2019-2020学年同步北师大版高中数学必修2培优新方案：课时跟踪检测(二十四) 圆与圆的位置关系

合集下载

2019-2020学年新导学同步人教A版高中数学必修2_第4章圆与方4.1.2

4.1.2 圆的一般方程知识导图学法指导1.准确把握圆的一般方程的结构形式，理解各个字母的意义；把握圆的一般方程与标准方程的互化；体会待定系数法求圆的一般方程的步骤．2．明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程的区别．高考导航1.圆心坐标及半径长的确定或与直线方程的综合是考查的热点，多以选择题、填空题的形式出现，分值5分．2．考查动点的轨迹(方程)，各种题型均有可能出现，分值4～6分.知识点一圆的一般方程1．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F >0时，该方程叫作圆的一般方程．2．圆的一般方程下的圆心和半径：圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为D 2＋E 2－4F 2. 知识点二求动点的轨迹方程的方法求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x ，y )所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系．求轨迹方程的一般步骤为：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F>0.求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，所求圆过点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，的特殊位置的讨论．4.1.2。

2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(二十二)圆的一般方程北师大版必修2

课时跟踪检测（二十二）圆的一般方程一、基本能力达标1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1C ．(－1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 解析：选D 将圆的方程化为标准方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. 2．已知圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( )A ．(1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(0，－1) 解析：选D 由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＋34k 2－1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2. 若表示圆，则r 2＝1－34k 2>0， ∴当k 2＝0，r 最大为1，此时圆的面积最大．此时圆心为(0，－1)．3．如果过A (2,1)的直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，则l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．x －y －1＝0D ．x －2y ＝0 解析：选A 由题意知直线l 过圆心(1,2)，由两点式可得直线方程为x ＋y －3＝0.4．若圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2B ．12或32C ．2或0D ．－2或0 解析：选C 由圆的方程得圆心坐标为(3,4)．再由点到直线的距离公式得|3－4＋a |2＝22，解得a ＝2或a ＝0.5．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，那么l 的方程是( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝0 解析：选D l 为两圆圆心的垂直平分线，两圆圆心为(0,0)和(－2,2)，其中点为(－1,1)，垂直平分线斜率为1，方程为y －1＝x ＋1即x －y ＋2＝0.6．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.解析：由题意，知D ＝－4，E ＝8，r ＝(－4)2＋82－4F 2＝4，∴F ＝4. 答案：47．若使圆x 2＋y 2＋2x ＋ay －a －12＝0(a 为实数)的面积最小，则a ＝________.解析：圆的半径r ＝12 4＋a 2－4(－a －12)＝12 a 2＋4a ＋52＝12(a ＋2)2＋48，∴当a ＝－2时，r 最小，从而圆面积最小．答案：－28．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有相异两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则直线PQ 的斜率k PQ ＝________.解析：由题意知，圆心(－1,3)在直线kx ＋2y －4＝0上，所以k ＝2，即直线kx ＋2y －4＝0的斜率为－k2＝－1，所以k PQ ＝1. 答案：19．已知圆心为C 的圆经过点A (1,0)，B (2,1)，且圆心C 在y 轴上，求此圆的一般方程．解：法一：设圆心C 的坐标为(0，b )，由|CA |＝|CB |得 1＋b 2＝22＋(b －1)2，解得b ＝2.∴C 点坐标为(0,2)．∴圆C 的半径r ＝|CA |＝ 5.∴圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2－4y －1＝0. 法二：AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.中垂线的斜率k ＝－1， ∴AB 的中垂线的方程为y －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，令x ＝0，得y ＝2，即圆心为(0,2)．∴圆C 的半径r ＝|CA |＝ 5，∴圆的方程：x 2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2－4y －1＝0.10．某海滨城市的气象台测得附近海面有台风，根据监测，当前台风中心位于该市正南方向300 km 处，若台风以40 km/h 的速度向东北方向移动，距台风中心250 km 以内的区域都受到台风的影响，问从现在起，大约多长时间后，该市将受到台风的影响？该市持续受台风影响将长达多少小时？解：以该市为原点，东西方向为x 轴建立平面直角坐标系，如图，由题意知，当台风中心进入圆x 2＋y 2＝2502内时，该市将受到台风的影响，根据监测，台风中心正沿直线x －y ＝300向东北方向移动．设直线x －y ＝300与x 轴，y 轴的交点为A ，B ，交圆x 2＋y 2＝2502于C ，D 两点，作OE ⊥AB ，垂足为E ，则在Rt △DOE 中，|OE |＝150 2，|OD |＝250，∴|DE |＝2502－(150 2)2＝50 7.在Rt△BOE 中，|BE |＝150 2，∴|BD |＝|BE |－|DE |＝1502－507，|CD |＝2|DE |＝1007.∴t 1＝1502－50740≈2，t 2＝100740≈6.6. 故从现在起，大约2 h 后该市受到台风的影响，持续时间大约为6.6 h.二、综合能力提升1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的标准方程为( )A ．(x －2)2＋(y －3)2＝16B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝16C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝16D ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝16解析：选C 将x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0配方，易得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16.2．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的圆与x 轴相切，则有( )A ．D 2－4F ＝0B ．D 2－4E ＝0 C ．D ＝E D ．D 2＋4F ＝0 解析：选A 由于圆与x 轴相切，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－E 2＝12D 2＋E 2－4F ，整理得D 2－4F ＝0. 3．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A. 5B ．3＋ 5C ．14－6 5D ．14＋6 5 解析：选D 由题知点(x ，y )在圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，即(x ＋2)2＋(y －1)2＝9上．又圆心(－2,1)到原点的距离为22＋12＝5，故x 2＋y 2的最大值为(5＋3)2＝14＋6 5.4．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0，得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －a <0，a >0，|－a |>2，2a >2，解得a >2，故选D. 5．关于方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，下列叙述中：①圆心在直线y ＝－x 上；②其圆心在x 轴上；③过原点；④半径为2a .其中叙述正确的是________(要求写出所有正确命题的序号)．解析：将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a ，a )，半径为2|a |，故①③正确．答案：①③6．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.答案：(－∞，1)7．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．解：圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2，①又r ＝D 2＋E 2－122＝2， ∴D 2＋E 2＝20，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，∴－D 2＜0，即D ＞0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4，∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.探究应用题8．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，及点Q (－2,3)．(1)点P (a ，a ＋1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；(2)若M 为圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值．解：(1)∵点P (a ，a ＋1)在圆上，∴a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0， ∴a ＝4，P (4,5)，∴|PQ |＝(4＋2)2＋(5－3)2＝210， k PQ ＝3－5－2－4＝13. (2) ∵圆心C 坐标为(2,7)，∴|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，圆的半径是22，点Q 在圆外， ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.。

2019-2020学年同步北师大版高中数学必修二培优新方案课时跟踪检测(十九) 两点间的距离公式

姓名，年级：时间：课时跟踪检测(十九）两点间的距离公式一、基本能力达标1．已知点A（－2,－1），B（a，3)，且｜AB｜＝5,则a的值为( ）A．1 B．－5C．1或－5 D．－1或5解析：选C 由｜AB|＝错误!＝5⇒a＝1或a＝－5，故选C。

2．已知平面上两点A（x，错误!－x),B错误!,则｜AB|的最小值为( )A．3 B．错误!C．2 D．错误!解析：选D ∵｜AB|＝错误!＝错误!≥错误!，当且仅当x＝错误!时等号成立，∴｜AB｜min＝错误!。

3．已知两直线l1:x＋y－2＝0,l2：2x－y－1＝0相交于点P，则点P到原点的距离为( )A.错误!B．5C.错误!D．2解析：选C 由错误!得错误!两直线的交点坐标为(1,1)，故到原点的距离为错误!＝错误!。

4．已知点M（－1,3），N（5,1)，P（x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是（) A．x＋3y－8＝0 B．x－3y＋8＝0C．x－3y＋9＝0 D．3x－y－4＝0解析：选D 由｜PM｜＝｜PN｜，得（x＋1）2＋(y－3）2＝(x－5）2＋（y－1)2,化简得3x －y－4＝0。

5．过点A(4，a)和点B（5，b)的直线与y＝x平行,则|AB｜的值为（)A．6 B。

错误!C。

错误!D．2解析：选C k AB＝错误!＝b－a.又因为过点A,B的直线与y＝x平行,所以b－a＝1，所以|AB｜＝错误!＝错误!.6．已知点A（5，2a－1），B（a＋1,a－4），则当｜AB｜取得最小值时，实数a等于________．解析：｜AB|2＝(5－a－1)2＋（2a－1－a＋4）2＝2a2－2a＋25＝2错误!2＋错误!，所以当a＝1时，｜AB｜取得最小值．2答案：错误!7．点P与x轴及点A(－4，2）的距离都是10，则P的坐标为________．解析：设P（x，y）．则错误!当y＝10时,x＝2或－10，当y＝－10时无解．则P（2，10）或P（－10,10)．答案:（2，10）或(－10,10）8．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则｜AB｜等于________．解析：设A（x,0）,B（0，y），∵AB中点P(2，－1），∴错误!＝2，错误!＝－1，∴x＝4，y ＝－2，即A（4，0），B（0，－2），∴|AB｜＝42＋22＝25。

2019-2020学年同步北师大版高中数学必修2培优新方案：阶段质量检测(一) 立体几何初步

阶段质量检测（一）立体几何初步(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是()A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B．棱锥的高线可能在几何体之外C．仅有一组对面平行的六面体是棱台D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥解析：选B由五个平面围成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故A不正确；根据棱锥的定义，棱锥的高线可能在几何体之外，故B正确；仅有一组对面平行的六面体可能是四棱台，也可能是四棱柱，故C不正确；因为棱锥的定义中要求这些三角形必须有公共的顶点，故D不正确．故选B.2.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC上的高为()A．1B．2C. 2 D．2 2解析：选D∵△ABC的直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝ 2.根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的高为AC＝2A′C′＝2 2.故选D.3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，mα，nβ，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：选C 对于A ，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B ，若m ∥n ，m α，nβ，则α∥β或α与β相交；易知C 正确；对于D ，若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α或n 在平面α内．故选C.4．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行D ．异面或相交解析：选D 如图所示，a ，b 是异面直线，AB ，AC 都与a ，b 相交，AB ，AC 相交；AB ，DE 都与a ，b 相交，AB ，DE 异面．5．已知m 是平面α的一条斜线，点A ∉α，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( )A ．l ∥m ，l ⊥αB ．l ⊥m ，l ⊥αC ．l ⊥m ，l ∥αD ．l ∥m ，l ∥α解析：选C 如图，l 可以垂直m ，且l 平行α.6．教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线( ) A ．平行 B ．异面C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C 分直尺所在直线在地平面内，直尺所在直线和地面垂直，直尺所在直线和地面相交三种情况讨论．7．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α； ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a . 其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．②D ．①③④解析：选C ②正确．①错在可能a 与b 异面或相交．③④错在a 可能在α内．8．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.12 cm3 B.13 cm 3 C.16cm 3 D.112cm 3 解析：选C 根据三视图可知原几何体是三棱锥， V ＝13Sh ＝13×12×1×1×1＝16(cm 3)．9．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )A ．280B ．292C ．360D ．372解析：选C 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋6×2×2＋8×2×2＝152，又由于两个长方体的表面积重叠一部分，所以该几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360，故选C.10．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ②若α∥β，l α，则l ∥β；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中正确的说法个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B 垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．11．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A.316B.916C.38D.932解析：选A 如图所示，设球的半径为R ，由题意知OO ′＝R2，OF ＝R ，∴r ＝32R . ∴S 截面＝πr 2＝π⎝⎛⎭⎫32R 2＝3π4R 2. 又S 球＝4πR 2， ∴S 截面S 球＝3π4R 24πR 2＝316. 12.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，D ，E 分别是棱BC ，AB 的中点，点F 在棱CC 1上，AB ＝BC ＝CA ＝CF ＝2，AA 1＝3，则下列说法正确的是( )A ．设平面ADF 与平面BEC 1的交线为l ，则直线EC 1与l 相交B ．在棱A 1C 1上存在点N ，使得三棱锥N -ADF 的体积为37C ．设点M 在BB 1上，当BM ＝1时，平面CAM ⊥平面ADFD ．在棱A 1B 1上存在点P ，使得C 1P ⊥AF解析：选C 连接CE 交AD 于点O ，则O 为△ABC 的重心，连接OF .由已知得OF ∥EC 1，则EC1∥l，故A错；若在A1C1上存在点N，则V N-ADF＝V D-AFN，当N与C1重合时，V D-AFN取最小值为36，故B错；当BM＝1时，可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF.又∵AD⊥平面CBB1C1，CM平面CBB1C1，∴AD⊥CM.∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF.∵CM平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确；过C1作C1G∥FA交AA1于点G.若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G.又∵C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G.∵A1C1平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D错．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面积为______cm2.解析：圆柱的底面半径为r＝12×4＝2(cm)，∴S侧＝2π×2×4＝16π(cm2)．答案：16π14．如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AD的位置关系是________．解析：由平面BCC1B1⊥平面ABCD，知MN⊥平面ABCD.∴MN⊥AD.答案：垂直15．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：先求面数，有如下两种方法．法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V )＋面数(F )－棱数(E )＝2(欧拉公式)．由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由V ＋F －E ＝2，得面数F ＝2＋E －V ＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH ，如图，设其边长为x ，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF ，过H ，G 分别作HM ⊥AF ，GN ⊥AF ，垂足分别为M ，N ，则AM ＝MH ＝NG ＝NF ＝22x . 又AM ＋MN ＋NF ＝1，即22x ＋x ＋22x ＝1. 解得x ＝2－1，即半正多面体的棱长为2－1. 答案：26 2－116．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．解析：如图所示，①取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，又AC 平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确；②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a . 由①知∠AEC 是直二面角A -BD -C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ， ∴△ACD 是等边三角形，故②正确；③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，故③不正确；④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ，连接ME ，NE ，MN . 则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ， ∴NE ＝12AC ＝12a .∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确．答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)．(1)该几何体是由哪些简单几何体组成的； (2)求该几何体的表面积和体积．解：(1)从三视图中可以看出，该几何体是组合体，上面的几何体是圆锥，下面的几何体是长方体，且圆锥底面圆和长方体上底的一组对边相切．(2)易得圆锥的母线长为32＋12＝10，则表面积S ＝S 圆锥侧＋S 长方体－S 圆锥底＝π×1×10＋2(2×3＋1×3＋1×2)－π×12＝(10－1)π＋22，体积V ＝2×3×1＋13×π×12×3＝6＋π，故所求几何体的表面积是(10－1)π＋22(m 2)，体积是6＋π(m 3)．18．(12分)已知圆柱OO1的底面半径为2，高为4.(1)求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长； (2)若平行于轴OO 1的截面ABCD 将底面圆周截去四分之一，求截面面积；(3)在(2)的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ，较大部分为Ⅱ，求VⅠ∶V Ⅱ(体积之比)．解：(1)将侧面沿某条母线剪开铺平得到一个矩形，邻边长分别是4π和4，则从下底面出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长41＋π2.(2)连接OA ，OB ，∵截面ABCD 将底面圆周截去14，∴∠AOB ＝90°，∵OA ＝OB ＝2，∴AB ＝22，而截面ABCD 是矩形且AD ＝4， ∴S 截面ABCD ＝22×4＝8 2. (3)依题知V 圆柱＝Sh ＝16π，三棱柱AOB -DO 1C 的体积是8，则V Ⅰ＋8＝14V 圆柱＝4π，∴V Ⅰ＝4π－8，而V Ⅱ＝V 圆柱－V Ⅰ＝12π＋8，于是V Ⅰ∶V Ⅱ＝π－23π＋2.19．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E -ABC 的体积V .解：(1)证明：在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC .∵四边形ABCD 为矩形， ∴BC ∥AD ， ∴EF ∥AD .又∵AD 平面PAD ，EF 平面PAD ，∴EF ∥平面PAD .(2)连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G . 则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA .在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2，∴V E -ABC＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.20．(12分)(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求点C 到平面C 1DE 的距离．解：(1)证明：连接B 1C ，ME .因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D .由题设知A 1B 1綊DC ，可得B 1C 綊A 1D ，故ME 綊ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED .又MN ⊄平面C 1DE ，所以MN ∥平面C 1DE . (2)过点C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE ⊥BC ，DE ⊥C 1C ，所以DE ⊥平面C 1CE ，故DE ⊥CH .从而CH ⊥平面C 1DE ，故CH 的长即为点C 到平面C 1DE 的距离．由已知可得CE ＝1，C 1C ＝4，所以C 1E ＝17，故CH ＝41717.从而点C 到平面C 1DE的距离为41717.21．(12分)矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为CD 的中点，沿AE 将△ DAE 折起到△D 1AE 的位置，使平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)若F 为线段D 1A 的中点，求证：EF ∥平面D 1BC ； (2)求证：BE ⊥D 1A .证明：(1)取AB 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG ∥BC ，FG ∥D 1B ，且EG ∩FG ＝G ，EG 平面EFG ，FG 平面EFG ，D 1B ∩BC ＝B ，D 1B 平面D 1BC ，BC 平面D 1BC ，∴平面EFG ∥平面D 1BC . ∵EF 平面EFG ， ∴EF ∥平面D 1BC .(2)易证BE ⊥EA ，平面D 1AE ⊥平面ABCE . 平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE . ∴BE ⊥平面D 1AE .又D1A平面D1AE，∴BE⊥D1A.22．(12分)如图，已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；(2)求三棱锥E-ABC的体积．解：(1)取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，EN，EM，则直线MN即为所求．取BC的中点H，连接AH，∵△ABC为腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC.又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理，可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH.∵EN平面ABC，AH平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC.∵MN平面ABC，BC平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN平面EMN，EN平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC.又EF平面EMN，∴EF∥平面ABC.(2)连接DH ，取CH 的中点G ，连接NG ，则NG ∥DH ，NG ＝12DH ，由(1)可知，EN ∥平面ABC ，∴点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等．又△BCD 是边长为2的等边三角形，∴DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH平面BCD ， ∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC .又DH ＝3，∴NG ＝32.又AC ＝AB ＝3，BC ＝2，∴AH ＝22，∴S △ABC ＝12·BC ·AH ＝22，∴V E -ABC ＝V N -ABC ＝13·S △ABC ·NG ＝63.。

2019-2020学年同步北师大版高中数学必修2培优新方案：课时跟踪检测(三) 三视图

课时跟踪检测（三）三视图一、基本能力达标1．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是()A．圆柱B．三棱柱C．圆锥D．球体解析：选C主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆说明此几何体是圆锥．2．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱解析：选C结合三视图，易知该几何体上面为圆台，下面为圆柱．3．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析：选A由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.4．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解析：选B将三视图还原为几何体即可．如图，几何体为三棱柱．5.如图所示，四面体A-BCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体A-BCD的主视图、左视图、俯视图依次是()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤解析：选B四面体A-BCD的主视图是边长分别为3,4的矩形，对角线左上至右下为虚线，左下至右上为实线，为①；左视图是边长分别为4,5的矩形，对角线左上至右下为实线，左下至右上为虚线，为②；俯视图是边长分别为3,5的矩形，对角线左上至右下为实线，左下至右上为虚线，为③，故选B.6．如图所示的几何体中，主视图与左视图都是长方形的是________．解析：②的左视图是三角形，⑤的主视图和左视图都是等腰梯形，其余的都符合条件．答案：①③④7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P-ABC的主视图与左视图的面积的比值为________．解析：三棱锥P-ABC的主视图与左视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.答案：18.如图，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(把所有可能图形的序号都填上)．解析：图②是在平面DCC1D1或平面ABCD上的正投影；图③是在平面BCC1B1上的正投影．图①④均不符合．答案：②③9．画出图中几何体的三视图．解：该几何体的三视图如图所示．10．根据如图所示的三视图，画出几何体．解：由主视图、左视图可知，该几何体为简单几何体的组合体，结合俯视图为大正方形里有一个小正方形，可知该组合体上面为一个正方体，下面为一个下底面是正方形的倒置的四棱台．如图所示．二、综合能力提升1．直角边分别为1和3的三角形，绕一条直角边所在直线旋转，形成的圆锥的俯视图是半径为1的圆，则它的主视图是()A．等腰直角三角形B．边长为3的等边三角形C．边长为2的等边三角形D．不能确定解析：选C由俯视图知长为3的边在轴上．因此主视图为边长为2的等边三角形．2．在一个几何体的三视图中，主视图和左视图是两个完全相同的图形，如图所示，则相应的俯视图可以为()A．①②B．②③C．③④D．②④解析：选D若俯视图为图①，则该几何体的主视图的上方三角形应该没有高线，故俯视图不可能为图①，排除选项A；若俯视图为图③，则该几何体的左视图的上方应该没有左边小三角形，故俯视图不可能为图③，排除选项B、C；若俯视图为图②，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是正方体组合而成的简单组合体；若俯视图为图④，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是圆柱组合而成的简单组合体．故选D.3．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为( )A ．2 3B ．3 C. 3D ．4解析：选A 当主视图的面积最大时，可知其正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示放置，此时S 左＝2 3.4.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是( )A ．2B ．2 2 C. 3D ．2 3解析：选D 由四面体的三视图知其直观图为如图所示的正方体中的四面体A -BCD ，由三视图知正方体的棱长为2.所以S △ABD ＝12×2×22＝22，S △ADC ＝12×22×22×32＝23，S △ABC ＝12×2×22＝22，S △BCD ＝12×2×2＝2.所以所求的最大面积为2 3.故选D.5．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________、________.解析：左视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸23为俯视图正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.答案：2 46．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．解析：小木块的排列方式如图所示．由图知，几何体由7块小正方体木块搭成．答案：77．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何是否为棱柱；(2)画出它的三视图．解：(1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图所示．探究应用题8.如图，在正四棱柱ABCD -A1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，求三棱锥P -ABC 的主视图与俯视图的面积的比值的最大值．解：点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则三棱锥P -ABC 的主视图始终是一个底为1，高为2的三角形，其面积S 1＝12×1×2＝1.当点P 在底面ABCD 内的投影点在△ABC 的内部或边界上时，其俯视图的面积最小，最小面积S 2＝12×1×1＝12，所以三棱锥P -ABC 的主视图与俯视图的面积的比值的最大值为S 1S 2＝2.。

同步北师大高中数学必修二培优新方案课时跟踪检测二十一圆的标准方程含解析

课时跟踪检测（二十一）圆的标准方程一、基本能力达标1．给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为()A．4x－y＝0B．4x＋y＝0C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0解析：选B由圆的标准方程，知圆心为(2，－8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y ＝－4x，即4x＋y＝0.2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析：选A(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.3．方程y＝9－x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆解析：选D y＝9－x2可化为x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆．4．已知一圆的圆心为M(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程为()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52解析：选A由已知条件可得直径的两个端点坐标分别为(0，－6)，(4,0)，此圆的半径为(4－2)2＋(0＋3)2＝13，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.5．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3的周长平分，则a等于()A．13 B．7C．－13 D．以上答案都不对解析：选B 当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a ，－5)代入直线方程x ＋2y ＋3＝0，得a ＋2×(－5)＋3＝0.解得a ＝7.6．点(a ，a )在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2a 2的内部，则a 的取值范围为________．解析：由(a －1)2＋(a ＋2)2＜2a 2得a ＜－52. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－52 7．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (0,1)的圆的方程为________．解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又该圆的半径r ＝(2－0)2＋(－3－1)2＝25，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝20.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝208．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝19．已知直线l 与圆C 相交于点P (1,0)和点Q (0,1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程．解：(1)∵PQ 中点为⎝⎛⎭⎫12，12，且k PQ ＝－1，∴圆心所在的直线方程为y －12＝x －12，即x －y ＝0. (2)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1，则{ (1－a )2＋b 2＝1，a 2＋(b －1)2＝1，解得{ a ＝0，b ＝0或{a ＝1，b ＝1. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.10．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在的直线上．(1)求AD 边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的标准方程．解：(1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又点T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2)，因为矩形ABCD 的两条对角线的交点为点M (2,0)，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又r ＝|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22，所以矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.二、综合能力提升1．△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (1,0)，B (3,0)，C (3,4)，则△ABC 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝20B ．(x －2)2＋(y －2)2＝10C ．(x －2)2＋(y －2)2＝5D ．(x －2)2＋(y －2)2＝ 5解析：选C 易知△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°，所以圆心是斜边AC 的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r ＝5，所以外接圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.2．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选B 由题意，知|PQ |的最小值即为圆心到直线x ＝－3的距离减去半径长，即|PQ |的最小值为6－2＝4，故选B.3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5解析：选C 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.4．圆心在直线2x －y ＝3上，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝9B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1D ．不存在解析：选C 设圆心为C (a ，b )，则|a |＝|b |，∵圆心在2x －y ＝3上，∴当a ＝b 时，代入得a ＝b ＝3，圆的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝9.当a ＝－b 时，同理得a ＝1，b ＝－1，圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.5．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．解析：由{ x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2,4)，从而r ＝(2－0)2＋(4－0)2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝206．已知圆C ：(x －2)2＋(y ＋m －4)2＝1，当m 变化时，圆C 上的点到原点的最短距离是________．解析：由题意可得，圆C 的圆心坐标为(2,4－m )，半径为1，圆C 上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即求d ＝22＋(4－m )2－1的最小值，当m ＝4时，d 最小，d min ＝1.答案：17．已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB 的中点(0,1)，半径r ＝12|AB |＝10. 则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－(－2)－1－1＝－3，即线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0. 由{ x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得{x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(4－b )2＝r 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，r 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.探究应用题8．(1)如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，求y x 的最大值和最小值． (2)已知实数x ，y 满足方程x 2＋(y －1)2＝14，求(x －2)2＋(y －3)2 的取值范围．解：(1)法一：如图，当过原点的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切于上方时y x 最大，过圆心A (2,0)作切线l 的垂线交于B ，在Rt △ABO中，OA ＝2，AB ＝ 3.∴切线l 的倾斜角为60°，∴y x 的最大值为 3.类似地容易求得y x 的最小值为－ 3.法二：令y x ＝n ，则y ＝nx 与(x －2)2＋y 2＝3，联立消去y 得(1＋n 2)x 2－4x ＋1＝0Δ＝(－4)2－4(1＋n 2)≥0，即n 2≤3，∴－3≤n ≤3，即y x 的最大值、最小值分别为3，－ 3.(2)(x －2)2＋(y －3)2可以看成圆上的点P (x ，y )到A (2,3)的距离．圆心C (0,1)到A (2,3)的距离为d ＝(0－2)2＋(1－3)2＝2 2.由图可知，圆上的点P (x ，y )到A (2,3)的距离的范围是⎣⎡⎦⎤22－12，22＋12. 所以(x －2)2＋(y －3)2的取值范围是 ⎣⎡⎦⎤22－12，22＋12.。

2019-2020学年人教A版高中数学必修二检测-圆与圆的位置关系-直线与圆的方程的应用-Word版含解析

圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用检测题一、题组对点训练对点练一圆与圆的位置关系1．两圆x2＋y2＝r2，(x －3)2＋(y ＋1)2＝r2外切，则正实数r 的值是________．解析：由题意得，2r ＝(3－0)2＋(－1－0)2＝10，即r ＝102. 答案：1022．已知圆C ：x2＋y2－8x ＋15＝0，直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最小值是________．解析：将圆C 的方程化为标准方程，得(x －4)2＋y2＝1，故圆心为C(4,0)，半径r ＝1.又直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以点C 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于2，即|4k －0＋2|k2＋1≤2，解得－43≤k ≤0，所以实数k 的最小值是－43. 答案：－433．圆O1：x2＋y2－4y ＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y ＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．内含解析：选D 因为r1＝1，r2＝8，|O1O2|＝(0－0)2＋(2－8)2＝6，则|O1O2|＜r2－r1.所以两圆内含．4．若两圆x2＋y2＝m 和x2＋y2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)解析：选C x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.5．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则(a－4)2＋(b＋1)2＝1. ①(1)若两圆外切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝1＋2＝3, ②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝|2－1|＝1, ③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.对点练二直线与圆的方程的应用6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h ，则A(0.8，h －3.6)所在圆的方程为： x2＋(y ＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h －3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米)．7．某公园有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A(2，2)，B(0,22)，设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝b2，由A 、B 两点在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．8．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．所以DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km. 二、综合过关训练1．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b)，则b ＝6(b ＝－6舍去)．再由a2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．已知点M 在圆C1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4上，点N 在圆C2：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：选C 由题意知圆C1的圆心C1(－3,1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝[1－(－3)]2＋[(－2)－1]2＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆相离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.3．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析：选D 设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.4．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A．4 B．4 2C．8 D．8 2解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a ＝__________.解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a1＝22－(3)2＝1，解得a＝1.答案：16．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1,0)，半径长为r2＝1，两圆的圆心距d＝(1＋1)2＋(－2－0)2＝22，又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．(2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，即(m＋1)2＜0，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．7．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．。

2019-2020学年北师大版高中数学选修2-1培优新方案同步课时跟踪检测(十) 空间向量与垂直关

姓名，年级：时间：课时跟踪检测(十) 空间向量与垂直关系一、基本能力达标1．已知平面α内有一个点A(2，－1，2),α的一个法向量为n＝（3，1,2)，则下列点P 中,在平面α内的是（)A．(1,－1，1) B.错误!C.错误!D。

错误!解析：选B 若点P在平面α内，则PA⊥α，即错误!·n＝0.对于选项A，错误!＝（1,0,1）,则错误!·n＝（1,0，1）·（3，1,2）＝5≠0,故排除A；对于选项B,错误!＝错误!,则错误!·n ＝错误!·(3，1,2）＝0,故B正确；同理可排除C、D.2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2），平面π的法向量为n＝（－3,0，－6），则( ）A．l∥πB．l⊥πC．lπD．l与π斜交解析：选B a＝－错误!n，∴a∥n，∴l⊥π.3．如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，E是CD的中点,F是AD上一点，当BF⊥PE 时，AF∶FD等于( )A．1∶2 B．1∶1C．3∶1 D．2∶1解析：选B 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1，PA＝a.则B(1，0，0），E错误!，P(0，0，a）．设点F的坐标为（0，y，0),则错误!＝(－1,y,0）,错误!＝错误!.∵BF⊥PE，∴错误!·错误!＝0，解得y＝错误!，则F点坐标为错误!，∴F为AD中点，∴AF∶FD＝1∶1.4．已知错误!＝(1,5，－2），错误!＝(3,1，z),若错误!⊥错误!，错误!＝(x－1,y，－3)，且BP⊥平面ABC，则向量错误!＝( ）A。

错误! B.错误!C。

错误! D.错误!解析：选A 错误!·错误!＝3＋5－2z＝0，故z＝4，由错误!·错误!＝x－1＋5y＋6＝0，且错误!·错误!＝3（x－1）＋y－12＝0，得x＝错误!,y＝－错误!.错误!＝错误!。

5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果错误!＝（2,－1，－4），错误!＝(4,2，0)，错误!＝（－1，2，－1）．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③错误!是平面ABCD的法向量；④错误!∥错误!。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

课时跟踪检测（二十四）圆与圆的位置关系一、基本能力达标1．圆x 2＋y 2－2x ＋F ＝0和圆x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4＝0的公共弦所在的直线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．E ＝－4，F ＝8B ．E ＝4，F ＝－8C ．E ＝－4，F ＝－8D ．E ＝4，F ＝8解析：选C 由题意联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋F ＝0，x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4＝0，得4x ＋Ey －4－F ＝0，则E 4＝－1，－4－F 4＝1，解得E ＝－4，F ＝－8，故选C. 2．到点A (－1,2)，B (3，－1)的距离分别为3和1的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选D 到点A (－1,2)的距离为3的直线是以A 为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B 的距离为1的直线是以B 为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB |＝(3＋1)2＋(－1－2)2＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5>4，所以圆A 和圆B 相离，因此它们的公切线有4条．3．设r ＞0，两圆C 1：(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与C 2：x 2＋y 2＝16不可能( )A ．相切B ．相交C ．内切或内含或相交D ．外切或相离解析：选D 圆C 1的圆心为(1，－3)，圆C 2的圆心为(0,0)，圆心距d ＝10，于是d ＝10＜4＋r ，但可能有d ＝|4－r |或d ＜|4－r |，故两圆不可能外切或相离，但可能相交、内切、内含．4．若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(121，＋∞)C ．[1,121]D ．(1,121)解析：选C x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36.圆心距为d ＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ，∴1≤m ≤121.5．与两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C 两圆的圆心距为5，两圆半径和为5，故两圆外切．因此有两条外公切线和一条内公切线共3条，故选C.6．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线方程为________．解析：线段AB 的垂直平分线为两圆的连心线，所以所求的直线方程为x ＋y －1＝0. 答案：x ＋y －1＝07．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－(3)2＝1，解得a ＝1.答案：1 8．两圆x 2＋y 2＝1和(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a 的值为________．解析：∵圆心分别为(0,0)和(－4，a )，半径为1和5，两圆外切时有(－4－0)2＋(a －0)2＝1＋5，∴a ＝±25，两圆内切时有(－4－0)2＋(a －0)2＝5－1，∴a ＝0. 综上a ＝±25或a ＝0.答案：±25或09．圆A 的方程为x 2＋y 2－2x －2y －7＝0，圆B 的方程为x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，判断圆A 和圆B 是否相交．若相交，求过两交点的直线的方程；若不相交，说明理由．解：圆A 的方程可写为(x －1)2＋(y －1)2＝9，圆B 的方程可写为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，∴两圆心之间的距离满足3－2＜|AB |＝(1＋1)2＋(1＋1)2＝22＜3＋2，即两圆心之间的距离小于两圆半径之和且大于两圆半径之差，∴两圆相交．圆A 的方程与圆B 的方程左、右两边分别相减得－4x －4y －5＝0，即4x ＋4y ＋5＝0为过两圆交点的直线的方程．10．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)．(1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2，∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝(0－2)2＋(－1－1)2－2＝2(2－1)，∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程为4x ＋4y ＋r 2－8＝0.∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 2－8|42＋42＝ 4－⎝⎛⎭⎫2222＝2，解得r 2＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.二、综合能力提升1．已知点M 在圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4上，点N 在圆C 2：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4上，则|MN |的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．11 解析：选C 由题意知圆C 1的圆心C 1(－3,1)，半径长r 1＝2；圆C 2的圆心C 2(1，－2)，半径长r 2＝2.因为两圆的圆心距d ＝[1－(－3)]2＋[(－2)－1]2＝5＞r 1＋r 2＝4，所以两圆相离，从而|MN |的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.2．两圆相交于点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为( )A ．－1B ．2C ．3D ．0解析：选C 由题意知直线x －y ＋c ＝0垂直平分线段AB ，∵k AB ＝3－(－1)1－m ＝41－m，AB 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 41－m ＝－1，1＋m 2－1＋c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，c ＝－2，∴m ＋c ＝3.故选C. 3．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5解析：选C 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.4．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17.∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32，∴|C 1C 2|＝(a －b )2＋(a －b )2＝32×2＝8.5．已知圆C ：x 2＋y 2－8x ＋15＝0，直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最小值是________．解析：将圆C 的方程化为标准方程，得(x －4)2＋y 2＝1，故圆心为C (4,0)，半径r ＝1.又直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以点C 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于2，即|4k －0＋2|k 2＋1≤2，解得－43≤k ≤0，所以实数k 的最小值是－43. 答案：－436．与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4外切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程为________．解析：设所求圆的圆心为P(a，b)，则(a－4)2＋(b＋1)2＝1，①由两圆外切，得(a－2)2＋(b＋1)2＝1＋2＝3，②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x－5)2＋(y＋1)2＝17．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，(1)若直线l1过定点A(1,0)，且与圆C相切，求l1的方程；(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．解：(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．②若直线l1的斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，即|3k－4－k|k2＋1＝2，解之得k＝34.所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.(2)依题意设D(a,2－a)，又已知圆C的圆心(3,4)，r＝2，由两圆外切，可知|CD|＝5，∴(a－3)2＋(2－a－4)2＝5，解得a＝3，或a＝－2，∴D(3，－1)或D(－2,4)．∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋(y－4)2＝9.探究应用题8．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1,0)，半径长为r2＝1，两圆的圆心距d＝(1＋1)2＋(－2－0)2＝22，又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．(2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，则圆心距d＝(m＋1)2＋(－2－0)2＜3－1，即(m＋1)2＜0，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．。