高中数学 小题基础过关练(一)

过关练(一)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.(2018·天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0

A.{x|0

B.{x|0

C.{x|1≤x<2}

D.{x|0

解析因为B＝{x|x≥1}，所以?R B＝{x|x<1}，因为A＝{x|0

答案 B

2.(2018·福州五校联考)若复数1－b i

2＋i

(b∈R)的实部与虚部相等，则b的值为()

A.－6

B.－3

C.3

D.6

解析1－b i

2＋i

＝

（1－b i）（2－i）

（2＋i）（2－i）

＝

2－b－（2b＋1）i

5，由

1－b i

2＋i

(b∈R)的实部与

虚部相等，得2－b

5＝

－（2b＋1）

5，解得b＝－3.

答案 B

3.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，(a－b)·a＝7，则a与b的夹角为()

A.π

6 B.

π

3

C.2π

3 D.

5π

6

解析向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，(a－b)·a＝7. 可得a2－a·b＝4－a·b＝7，可得a·b＝－3，

cos〈a，b〉＝

a·b

|a|·|b|＝

－3

2×3

＝－

1

2，

由0≤〈a，b〉≤π，得〈a，b〉＝2π3.

答案 C

4.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.

答案 B

5.已知f(x)满足?x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且当x≤0时，f(x)＝1

e x＋k(k为常

数)，则f(ln 5)的值为()

A.4

B.－4

C.6

D.－6 解析∵f(x)满足?x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，

故f(－x)＝－f(x)，则f(0)＝0.

∵x≤0时，f(x)＝1

e x＋k，

∴f(0)＝1＋k＝0，k＝－1，

所以当x≤0时，f(x)＝1

e x－1，

则f(ln 5)＝－f(－ln 5)＝－4.

答案 B

6.已知在递增的等差数列{a n}中，a1＝3，其中a2－4，a3－2，a7成等比数列，则S10＝()

A.180

B.190

C.200

D.210

解析设等差数列{a n}的公差为d(d>0)，因为a2－4，a3－2，a7成等比数列，所

以(a3－2)2＝(a2－4)a7，即(2d＋1)2＝(d－1)(3＋6d)，解得d＝－1

2(舍去)或d＝4.所

以S10＝3×10＋10×9

2×4＝210.

答案 D

7.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a tan B＝20

3，b sin A＝4，

则a的值为()

A.6

B.5

C.4

D.3

解析由

a

sin A＝

b

sin B，b sin A＝4得a sin B＝4，又a tan B＝

20

3，所以cos B＝

3

5，

从而sin B＝4

5，所以a＝5.

答案 B

8.(2018·广州测试)已知双曲线x2

a2－y2

b2＝1(a>0，b>0)的右顶点与抛物线y

2＝8x的焦

点重合，且其离心率e＝3

2，则该双曲线的方程为()

A.x2

4－

y2

5＝1 B.

x2

5－

y2

4＝1

C.y2

4－

x2

5＝1 D.

y2

5－

x2

4＝1

解析易知抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，所以双曲线的右顶点是(2，0)，所以

a＝2.又双曲线的离心率e＝3

2，所以c＝3，b

2＝c2－a2＝5，所以该双曲线的方程

为x2

4－

y2

5＝1.

答案 A

9.下列命题，其中说法错误的是()

A.双曲线x2

2－

y2

3＝1的焦点到其渐近线距离为 3

B.若命题p：x∈R，使得sin x＋cos x≥2，则綈p：x∈R，都有sin x＋cos x<2

C.若p∧q是假命题，则p，q都是假命题

D.设a，b是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得aα，且b∥α

解析双曲线x2

2－

y2

3＝1的焦点(5，0)到其渐近线3x－2y＝0的距离为d＝

|3·5－0|

3＋2

＝3，故A正确；

若命题p：x∈R，使得sin x＋cos x≥2，则綈p：x∈R，

都有sin x＋cos x<2，B正确；

若p∧q是假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故C不正确；

设a，b是互不垂直的两条异面直线，由a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入长方体中，如图，则存在平面α，使得aα，且b∥α，故D正确.

答案 C

10.已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝22，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为() A. 2 B.2 2 C. 3 D.2 3

解析取AB的中点O1，连接OO1，如图，在△ABC中，AB＝

22，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圆圆O1是以AB为直径

的圆，所以O1A＝2，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA＝4，

所以OA＝2，所以OO1＝OA2－O1A2＝2，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为2OO1＝2 2.

答案 B

11.若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n的展开式中的各项系数和为243，则a1＋2a2＋…＋na n＝()

A.405

B.810

C.243

D.64

解析(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，两边求导得2n(2x＋1)n－1＝a1＋2a2x ＋…＋na n xn－1，取x＝1，则2n×3n－1＝a1＋2a2＋…＋na n，

(2x＋1)n的展开式中各项系数和为243，令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.

∴a1＋2a2＋…＋na n＝2×5×34＝810.

答案 B

12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则()

A.4f(－2)<9f(3)

B.4f(－2)>9f(3)

C.2f(3)>3f(－2)

D.3f(－3)<2f(－2)

解析根据题意，令g(x)＝x2f(x)，

其导数g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，

又对任意x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0成立，

则当x >0时，有g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]>0恒成立，

即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数，

又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，

则f (－x )＝f (x )，

则有g (－x )＝(－x )2f (－x )＝x 2f (x )＝g (x )，

即函数g (x )也为偶函数，

则有g (－2)＝g (2)，且g (2)

则有g (－2)

答案 A

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)

13.不等式组???2x －y ＋6≥0，

x ＋y ≥0，x ≤2

表示的平面区域的面积为________.

解析 作出满足约束条件的可行域如图中阴影所示，则点A (－2，2)，B (2，－

2)，C (2，10)，所以平面区域面积为S △ABC ＝12|BC |·h ＝12

×(10＋2)×(2＋2)＝24.

答案 24

14.若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.

解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2

，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0).

因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p 2

＝－

2，解得p＝2 2.

答案2 2

15.当a＝2，b＝6时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为________.

解析依据程序框图，初始值a＝2，b＝6，S＝0，T＝12.

循环执行一次：S＝12，a＝3，b＝5，T＝15.

循环执行两次：S＝15，a＝4，b＝4，T＝16.

循环执行三次：S＝16，a＝5，b＝3，T＝15，

此时满足S>T，输出S＝16.

答案16

16.(2018·全国大联考)2017年吴京执导的动作、军事电影《战狼2》上映三个月，以56.8亿震撼世界的票房成绩圆满收官，该片也是首部跻身全球票房TOP100的中国电影.小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《战狼2》，并把标识分别为A，B，C，D的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同盒子里，让四位好朋友进行猜测：

甲说：第1个盒子里面放的是B，第3个盒子里面放的是C；

乙说：第2个盒子里面放的是B，第3个盒子里面放的是D；

丙说：第4个盒子里面放的是D，第2个盒子里面放的是C；

丁说：第4个盒子里面放的是A，第3个盒子里面放的是C.

小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半.”

可以推测，第4个盒子里面放的电影票为________.

解析甲说：“第1个盒子里放的是B，第3个盒子里放的是C”.

(1)若第1个盒子里放的是B正确，则第3个盒子里放C错误，

由乙知，第3个盒子里放D正确，结合丙知第2个盒子里放C，

结合丁，第4个盒子里面放的是A正确.

(2)若第1个盒子放的是B错，则第3个盒子里放C正确，同理判断第4个盒子里面放的是D，故可以推测，第4个盒子里放的电影票为A或D.

答案A或D