条件概率知识点、例题、练习题
条件概率专题 一、知识点 ① 只须将无条件概率()PB替换为条件概率)(ABP，即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质 ② 在古典概型中 ---
)()()()()(ABAAPBAPABPABA事件包括的基本事件（样本点）数
事件包括的基本事件（样本点）数
③ 在几何概型中 ---
)()()()()(ABAAPBAPABP(,,)(,,)ABA区域的几何度量长度面积体积等
区域的几何度量长度面积体积等
条件概率及全概率公式 3.1.对任意两个事件A、B, 是否恒有P(A)≥P(A|B). 答：不是. 有人以为附加了一个B已发生的条件, 就必然缩小了样本空间, 也就缩小了概率, 从而就一定有P(A)≥P(A|B), 这种猜测是错误的. 事实上,可能P(A)≥P(A|B), 也可能P(A)≤P(A|B), 下面举例说明. 在0,1,…,9这十个数字中, 任意抽取一个数字,令 A={抽到一数字是3的倍数}; B1={抽到一数字是偶数}; B2={抽到一数字大于8}, 那么 P(A)=3/10, P(A|B1)=1/5, P(A|B2)=1. 因此有 P(A)＞
P(A|B1), P(A)＜P(A|B2).
3.2.以下两个定义是否是等价的. 定义1. 若事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B), 则称A、B相互独立. 定义2. 若事件A、B满足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B), 则称A、B相互独立. 答：不是的.因为条件概率的定义为 P(A|B)=P(AB)/P(B) 或 P(B|A)=P(AB)/P(A)
自然要求P(A)≠0, P(B)≠0, 而定义1不存在这个附加条件, 也就是说,P(AB)=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=0也是成立的. 事实上, 若P(A)=0由0≤P(AB)≤P(A)=0可知P(AB)=0故 P(AB)=P(A)P(B). 因此定义1与定义2不等价, 更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1不能推出定义2, 因此一般采用定义1更一般化. 3.3.对任意事件A、B, 是否都有 P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)+P(B). 答：是的.由于 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (*) 因为 P(AB)≥0, 故 P(A+B)≤P(A)+P(B). 由P(AB)=P(A)P(B|A), 因为0≤P(B|A)≤1,故 P(AB)≤P(A); 同理P(AB)≤P(B), 从而 P(B)-P(AB)≥0, 由(*)知 P(A+B)≥P(A). 原命题得证. 3.4.在引入条件概率的讨论中, 曾出现过三个概率: P(A|B), P(B|A), P(AB). 从事件的角度去考察, 在A、B相容的情况下, 它们都是下图中标有阴影的部分, 然而从概率计算的角度看, 它们却是不同的. 这究竟是为什么? 答：概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别: P(A|B)的计算基于附加样本空间ΩB;
P(B|A)的计算基于附加样本空间ΩA;
P(AB)的计算基于原有样本空间Ω.
3.5.在n个事件的乘法公式： P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1) 中,涉及那么多条件概率, 为什么在给出上述乘法公式时只提及P(A1A2…An-1
)>0呢?
答：按条件概率的本意, 应要求P(A1)>0, P(A1A2)>0, …, P(A1A2…An-2)>0, P(A1A2…A
n-1
)>0.
事实上, 由于A1A2A3…An-2 A1A2A3…An-2An-1, 从而便有P(A1A2…An-2) ≥P(A1A2…An-1)>0. 这样, 除P(A1A2…An-1)>0作为题设外, 其余条件概率所要求的正概率, 如P(A1A2…An-2) >0, …, P(A1A2) >0, P(A1)>0便是题设条件P(A1A2…An-1)>0的自然结论了. 3.6.计算P(B)时, 如果事件B的表达式中有积又有和, 是否就必定要用全概率公式. 答：不是. 这是对全概率公式的形式主义的认识, 完全把它作为一个”公式”来理解是不对的. 其实, 我们没有必要去背这个公式, 应着眼于A1,A2,…,An的结构. 事实上, 对于具体问题, 若能设出n个事件Ai, 使之满
足 (*) 就可得 . (**) 这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式. 因此, 能否使用全概率公式, 关键在于(**)式, 而要有(**)式, 关键又在于适当地对Ω进行一个分割, 即有(*)式. 3.7.设P(A)≠0, P(B)≠0, 因为有 (1)若A、B互不相容, 则A、B一定不独立. (2)若A、B独立, 则A、B一定不互不相容. 故既不互不相容又不独立的事件是不存在的. 上述结论是否正确. 答：不正确. 原命题中的结论(1)(2)都是正确的. 但是由(1)(2)(它们互为逆否命题, 有其一就可以了)只能推出在P(A)≠0, P(B)≠0的前提下, 事件A、B既互不相容又独立是不存在的, 并不能推出“A、B既不独立又不互不相容是不存在的”. 事实上, 恰恰相反, 既不互不相容又不独立的事件组是存在的, 下面举一例. 5个乒乓球(4新1旧), 每次取一个, 无放回抽取三次, 记Ai={第i次取到新球}, i=1, 2, 3. 因为是无放回抽取, 故A1、A2、A3互相不独立, 又A1A2A3={三次都取到新球}, 显然是可能发生的, 即A1、A2、A3可能同时发
生, 因此A1、A2、A3不互不相容. 3.8.事件A、B的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系? 事件A、B “独立”与“互不相容”又有什么区别和联系? 答：“对立”与“互不相容”区别和联系, 从它们的定义看是十分清楚的, 大体上可由如下的命题概括: “对立” →“互不相容”, 反之未必成立. 至于“独立”与“互不相容”的区别和联系, 并非一目了然. 事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生，是纯粹的事件的关系, 丝毫未涉及它们的概率, 其关系可借助图直观显示. 事件的独立性是由概率表述的, 即当存在概率关系P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)时, 称A、B是相互独立的.
它们的联系可由下述命题概括: 对于两个非不可能事件A、B, 则有“A、B互不相容” →“A、B不独立”. 其等价命题是: 在P(A)>0与P(B)>0下, 则 有“A、B独立” →“A、B不互不相容”(相容). 注意, 上述命题的逆命题不成立.
3.9.设A、B为两个事件,若 0则A、B相互独立, A、B互不相容, , 这三种情形中的任何两种不能同时成立. 答：在条件(*)下 当A、B相互独立时, 有 P(AB)=P(A)P(B); 当A、B互不相容时, 有 P(AB)当 时, 有 P(AB)>P(A)P(B). 在条件(*)下, 上述三式中的任何两个不能同时成立. 因此, A、B相互独立, A、B互不相容, 这三种情形中的任何两种不能同时成立. 此结论表明: 在条件(*)下,若两个事件相互独立时, 必不互不相容，也不一个包含另一个,而只能是相容了. 3.10.证明: 若P(A)=0或P(A)=1, 则A与任何事件B相互独立. 答：若P(A)=0, 又, 故0≤P(AB)≤P(A)=0. 于是P(AB)=0=P(A)P(B),所以A与任何事件B相互独立.
若P(A)=1, 则 .由前面所证知, 与任何事件B相互独
立. 再由事件独立性的性质知, 与B相互独立, 即A与B相互独立.另种方法证明: 由P(A)=1知 , 进而有.
又 且AB与互不相容, 故 .
即A与B相互独立. 3.11.设A、B是两个基本事件, 且00, , 问事件A与B是什么关系?
[解1]由已知条件 可得 . 由比例性质, 得 . 所以 P(AB)=P(A)P(B).因此事件A与B相互独立. [解2]由 得
. 因而 . 又 , 所以 P(B|A)=P(B). 因此事件A与B相互独立. 3.12.是不是无论什么情况, 小概率事件决不会成为必然事件. 答：不是的. 我们可以证明, 随机试验中, 若A为小概率事件, 不妨设P(A)=ε(0＜ε＜1为不论多么小的实数 ), 只要不断地独立地重复做此试验,
则A迟早要发生的概率为1.
事实上, 设Ak={A在第k次试验中发生}, 则P(Ak)=ε, , 在前n次试验中A都不发生的概率为: . 于是在前n次试验中, A至少发生一次的概率为
. 如果把试验一次接一次地做下去, 即让n→∞, 由于0＜ε＜1, 则当n→∞时, 有pn→1.
以上事实在生活中是常见的, 例如在森林中吸烟, 一次引起火灾的可能性是很小的, 但如果很多人这样做, 则迟早会引起火灾. 3.13.只要不是重复试验, 小概率事件就可以忽视. 答：不正确. 小概率事件可不可以忽视, 要由事件的性质来决定, 例如在森林中擦火柴有1%的可能性将导致火灾是不能忽视的, 但火柴有1%的可能性擦不燃是不必在意的. 3.14.重复试验一定是独立试验, 理由是: 既然是重复试验就是说每次试验
条件概率与独立事件例题和知识点总结
条件概率与独立事件例题和知识点总结在概率论中，条件概率和独立事件是两个非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种概率问题至关重要。
下面我们通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作P(A|B)。
其计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) （其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率）。
例 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出 2 个球。
已知第一个球是红球，求第二个球也是红球的概率。
解：设“第一个球是红球”为事件 A，“第二个球是红球”为事件 B。
第一次取出红球后，盒子里还剩下4 个红球和3 个白球，总共7 个球。
P(A) ＝ 5 ／ 8 （第一次取出红球的概率）P(AB) ＝ 5 ／ 8 × 4 ／ 7 ＝ 5 ／ 14 （第一个和第二个球都是红球的概率）P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝（5 ／ 14) ／（5 ／ 8) ＝ 4 ／ 7知识点总结：1、条件概率的定义和计算公式要牢记。
2、计算条件概率时，要注意事件发生后的样本空间的变化。
二、独立事件如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。
即 P(A|B) ＝ P(A)，P(B|A) ＝ P(B) 。
如果事件 A 和事件 B 相互独立，则 P(AB) ＝ P(A) × P(B) 。
例 2：甲、乙两人分别独立地射击一次，甲击中目标的概率为 08，乙击中目标的概率为 06，求两人都击中目标的概率。
解：设“甲击中目标”为事件 A，“乙击中目标”为事件 B。
因为甲、乙射击是相互独立的，所以 P(AB) ＝ P(A) × P(B) ＝ 08 ×06 ＝ 048知识点总结：1、独立事件的定义和判断方法要清楚。
条件概率练习题
条件概率练习题问题一某电子商务平台调查了2000名用户对于两种不同颜色的产品的满意度。
结果显示，用户对绿色产品的满意度为80%，对蓝色产品的满意度为75%。
此外，调查还发现，用户中有30%的人购买绿色产品，70%的人购买蓝色产品。
请你回答以下问题：1. 如果一个用户购买了蓝色产品，那么他对产品满意的概率是多少？2. 如果一个用户对产品满意，那么他购买的是蓝色产品的概率是多少？问题二某公司对其销售人员进行了培训，以提高销售业绩。
根据培训后的数据统计，已知一个销售人员达到预定销售目标的概率为80%，未达到预定销售目标的概率为20%。
另外，对于已达到预定销售目标的销售人员，他们接受过培训的概率为90%；对于未达到预定销售目标的销售人员，他们也接受过培训的概率为50%。
请你回答以下问题：1. 已知一个销售人员接受过培训，他达到预定销售目标的概率是多少？2. 已知一个销售人员未达到预定销售目标，他接受过培训的概率是多少？问题三某城市统计数据显示，约有10%的人是患有特定疾病的。
医生发现，在患有该疾病的人中，约有95%的人会出现某种症状。
而在没有患有该疾病的人中，约有5%的人也会出现该症状。
现在有一个人出现了这种症状，请你回答以下问题：1. 这个人患有上述特定疾病的概率是多少？2. 已知这个人患有上述特定疾病，他出现该症状的概率是多少？解答问题一1. 根据题意可得，购买蓝色产品的用户对产品满意的概率为75%。
<!-- 计算 -->购买蓝色产品并对产品满意的人数为 70% * 75% = 52.5%购买蓝色产品的总人数为 70%因此，如果一个用户购买了蓝色产品，他对产品满意的概率为52.5% / 70% ≈ 75%2. 已知用户对产品满意，购买蓝色产品的概率为？<!-- 计算 -->购买蓝色产品并对产品满意的人数为 52.5%总对产品满意的人数为（购买绿色产品并对产品满意的人数 +购买蓝色产品并对产品满意的人数）总对产品满意的人数为 30% * 80% + 70% * 75% = 67.5%因此，如果一个用户对产品满意，他购买的是蓝色产品的概率为52.5% / 67.5% ≈ 78%问题二1. 已知销售人员接受过培训，他达到预定销售目标的概率为？<!-- 计算 -->接受过培训的人达到预定销售目标的人数为 90% * 80% = 72%接受过培训的人总人数为 90%因此，已知一个销售人员接受过培训，他达到预定销售目标的概率为72% / 90% ≈ 80%2. 已知销售人员未达到预定销售目标，他接受过培训的概率为？<!-- 计算 -->未达到预定销售目标的人接受过培训的人数为 50% * 20% = 10% 未达到预定销售目标的人总人数为 20%因此，已知一个销售人员未达到预定销售目标，他接受过培训的概率为 10% / 20% = 50%问题三1. 这个人患有上述特定疾病的概率为？<!-- 计算 -->患有特定疾病并出现症状的人数为 10% * 95% = 9.5%出现症状的人数为（患有特定疾病并出现症状的人数 + 没有患有特定疾病但出现症状的人数）出现症状的人数为 10% * 95% + 90% * 5% = 9.5% + 4.5% = 14% 因此，这个人患有上述特定疾病的概率为9.5% / 14% ≈ 67.9%2. 已知这个人患有上述特定疾病，他出现该症状的概率为？<!-- 计算 -->患有特定疾病并出现症状的人数为 9.5%患有特定疾病的人数为（患有特定疾病并出现症状的人数 + 没有患有特定疾病但出现症状的人数）患有特定疾病的人数为 10%因此，已知这个人患有上述特定疾病，他出现该症状的概率为9.5% / 10% = 95%。
条件概率题库题
条件概率题库一、单选题1．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（）A．35B．23C．34D．4152．已知某种产品的合格率是79，合格品中的一级品率是45.则这种产品的一级品率为（）A．2845B．3536C．45D．233．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为（）A．512625B．256625C．113625D．16254．某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为1,,2a b，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为15，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为（）A．12B．35C．34D．3105．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.8，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.6，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是（）A．0.20B．0.48C．0.60D．0.756．甲､乙两人进行围棋比赛，若其中一人连续赢两局，则比赛结束.已知每局比赛结果相互独立，且每局甲胜的概率为0.6(没有平局)，若比赛在第三局结束，则甲获胜的概率为（）A．0.6B．0.4C．0.36D．0.1447．已知盒子里有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中4个红球，6个白球甲、乙两人依次不放回地摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为（）A．13B．25C．35D．2158．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是45，通过第二项考核的概率是12；乙同学拿到该技能证书的概率是13，那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（）A．1315B．1115C．23D．359．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则()P N M等于（）A．23B．59C．12D．1310．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（）A．19B．827C．1627D．178111．某单位举行知识竞赛，给每位参赛选手设计了两道题目，已知某单位参赛者答对每道题的概率均为4 5，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为（）A．45B．1625C．125D．242512．某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为（）A．0.24B．0.36C．0.6D．0.8413．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程､20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是（）A．12B．13C．14D．1614．一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S.在已知S为偶数的情况下，S能被3整除的概率为（）A．14B．13C．512D．2315．袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为（）A．0.0324B．0.0434C．0.0528D．0.056216．设每个工作日甲､乙､丙､丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为（）A ．0.25B ．0.30C ．0.31D ．0.3517．盒中有10个零件，其中8个是合格品，2个是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1个．已知第一次抽出的是合格品，则第二次抽出的是合格品的概率是（）A ．15B ．29C ．79D ．71018．袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A ．3/5B ．3/4C ．1/2D ．3/1019．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“恰有2名同学所报项目相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()|P B A =（）A ．16B ．13C ．23D ．5620．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，那么()|P A B =（）A ．12B ．34C ．25D ．3821．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于（）A ．49B ．29C ．12D ．1322．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则()|P A B =（）A ．89B ．29C ．38D ．3423．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ={两个点数互不相同}，B ={出现一个5点}，则()P B A =（）．A ．12B ．13C ．14D ．1524．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（）A ．35B ．25C ．23D ．31025．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为（）A ．89B ．25C ．911D ．81126．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()P B A =（）A ．13B ．47C ．23D ．3427．设A ，B 为两个事件，且()0P A >，若12(),()33P AB P A ==，则()|P B A 等于（）A ．49B ．19C ．29D ．1228．2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则P （A |B ）＝（）A ．29B ．13C ．49D ．5929．一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球，如果不放回的依次取出2个球.在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率是（）A ．12B ．310C ．35D ．2530．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是（）A ．35B ．25C ．59D ．2331．近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术.已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为90%，充放电次数达到1000次的概率为36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电100次的概率为（）A ．0.324B ．0.36C ．0.4D ．0.5432．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市为雨天的概率为（）A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.6633．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为1315，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，若已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为（）A ．49B ．59C ．79D ．131834．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加4100⨯接力比赛，记事件A 为“甲同学跑第一棒”，事件B 为“乙同学跑第二棒”，则()|P B A 的值为（）A ．14B ．13C ．34D ．1235．从0，1，2，3，4中任取2个不同的数，则在“取到的2个数之和为偶数”的前提下“取到的2个数均为奇数”的概率为（）A ．14B ．35C ．16D ．31036．已知()310P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于（）A ．950B ．12C ．910D ．1437．端午节是我国的传统节日，每逢端午家家户户都要吃粽子，现有5个粽子，其中3个咸蛋黄馅2个豆沙馅，随机取出2个，事件A =“取到的2个为同一种馅”，事件B =“取到的2个都是豆沙馅”，则()P B A =（）A ．14B ．34C ．110D ．31038．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件A 为“取到的两个数的和为偶数”，事件B 为“取到的两个数均为偶数”，则()P B A =（）A ．47B ．12C ．37D ．1339．某学校高三（5）班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件:A 男生甲被选中，事件:B 有两名女生被选中，则()P B A =（）A ．18B ．17C ．38D ．3740．根据历年气象统计资料，某市七月份吹南风的概率为931，下雨的概率为1131，既吹南风又下雨的概率为831，则在吹南风的条件下下雨的概率为（）A ．89B ．811C ．25D ．91141．一副扑克牌去掉大小王还有52张，充分洗牌后随机不放回的依次摸出2张牌，在第1次摸出黑桃的条件下，第2次也摸出黑桃的概率是（）A ．113B ．117C ．417D ．122142．若某地区刮风的概率为215，下雨的概率为415，即刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（）A ．12B ．34C ．38D ．822543．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．1644．在[]0,2上有两个连续型随机数x ，y ，记事件A ：x y >，事件B ：2x y >，则()|P B A =（）A ．512B ．1124C ．56D ．111245．抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A 为“两个点数不同”，事件B 为“两个点数中最大点数为4”，则()P B A =（）A ．112B ．16C ．15D ．5646．小红的妈妈为小红煮了7个汤圆，其中3个黑芝麻馅，4个五仁馅，小红随机取出两个，事件A =“取到的两个是同一种馅”，事件B =“取到的两个都是黑芝麻馅”()|P B A =（）A ．23B ．13C ．34D ．1647．抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合{}123456S =,,,,,，令事件{}13,5A =,，{}1,2,4,5,6B =，则()P A B 的值为（）A ．13B ．25C ．12D ．3548．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“--”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件A =“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件B =“取出的重卦中恰有3个阳爻”.则()P B A =（）A ．516B ．1132C ．2132D ．205749．现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（）.A ．18B ．14C ．25D ．1250．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不完全相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则()|P B A =（）A ．37B ．47C ．57D ．6751．已知某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，则现为20岁的这种动物活到25岁的概率是（）A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3252．.三台中学实验学校现有三门选修课，甲、乙、丙三人每人只选修一门，设事件A 为“三人选修的课程都不同”，B 为“甲独自选修一门”，则概率P (A |B )等于（）A ．49B ．12C ．13D ．2953．从1，2，3，4，5，6，7中取出两个不同数，记事件A 为“两个数之和为偶数”，事件B 为“两个数均为偶数”，则(|)P B A=（）A．13B．17C．37D．1254．已知盒中装有3只螺口灯池与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放若，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（）A．14B．944C．911D．7955．某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动.从2道文史题和3道理科题中不放回依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为（）A．925B．625C．310D．1256．已知盒中装有大小形状完全相同的2个红球、4个白球、6个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是白球的前提下，第二次拿到黑球的概率为（）A．16B．13C．611D．1257．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为（）A．35B．310C．25D．710二、填空题58．甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为3 4，乙胜的概率为14，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜），则甲获胜的概率为______.59．投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件A：蓝色骰子的点数为5或6；事件B：两骰子的点数之和大于8，则已知事件B发生的条件下事件A发生的概率()P A B=______.60．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时乙得分的概率为0.6，各球的结果相互独立.在某局打成10:10后，甲先发球，乙以13:11获胜的概率为______. 61．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为___________．62．A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为________．63．现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是___________.64．一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是______65．如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠性均为()01r r <<，而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为___________.66．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为______.67．暑假期间，甲外出旅游的概率是14，乙外出旅游的概率是15，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是__________.68．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为_____.69．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片"鲲鹏920”､清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”､“特斯拉全自动驾驶芯片”､寒武纪云端AI 芯片“思元270”､赛灵思“Versal 自适应计算加速平台”：现有1名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选3项进行了解，在其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为___．70．小赵､小钱､小孙､小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则()P A B =________.71．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为________．72．三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将T 2，T 3两个元件并联后再和T 1串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为________．73．若()34P A =，()14P B =，()12P AB =，则()P B A =______．74．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.75．设某种动物从出生算起活到20岁以上的概率为0.9，活到25岁以上的概率为0.5，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁以上的概率为____.76．已知某种疾病的患病率为0.5%，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为______.77．伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A 表示事件“抽到的2名队长性别相同”，B 表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则()|P B A =______.78．袋中有5个大小完全相同的球，其中2个黑球，3个白球.不放回地连续取两次，则已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________.79．口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为______.80．从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为________；81．一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A ，“第2次拿出的是白球”为事件B ，则()P B A 是________82．一个袋中装有外形相同的6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，记第一次摸出红球为事件A ，第二次摸出红球为事件B ，则()P B A =______.83．袋中有大小相同的4个红球，6个白球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球，则在前两次取出的是白球的前提下，第三次取出红球的概率为________．84．从装有3个红球2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为______.85．已知()12P B A =，3()10P AB =，则()P A =__________.86．已知纸箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶为合格品，2瓶为不合格品，现从纸箱中任取一瓶消毒液，每瓶消毒液被取到的可能性相同，不放回地取两次，若用A 表示“第一次取到不合格的消毒液”，用B 表示“第二次仍取到不合格的消毒液”，则()P BA =∣__________.87．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是25，既刮风又下雨的概率为110，现该地区开始刮风，则该地区会下雨的概率为__________.88．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______．89．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为______.90．一只袋内装有大小相同的3个白球，4个黑球，从中依次取出2个小球，已知第一次取出的是黑球，则第二次取出白球的概率是____．91．把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，事件A =“第一次出现正面”，事件B =“第二次出现正面”，则()P B A =______.92．某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校组织的义务植树活动，设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ．则()|P B A =________．93．加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为__________．94．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6．已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率为______________．95．为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼.已知某学生通过第一关的概率为0.8，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为0.5，则该同学两关均通过的概率为______.96．一个家庭中有三个小孩，假定生男、生女是等可能的.已知这个家庭中有一个是男孩，则至少有一个女孩的概率是________.三、解答题97．袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；（Ⅲ）第二次摸到红球的概率.98．盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒子中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率．四、双空题99．根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是35，刮风的概率为12，既刮风又下雨的概率为110，则在刮风天里，下雨的概率为__________，在下雨天里，刮风的概率为__________．100．甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）.先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球.分别以1A ，2A ，3A 表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B 表示由乙袋取出的球是红球的事件，则P ()1|P B A =______，()P B =______.。
专题05 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式-高中数学专项训练测试卷(解析版)
05事件的相互独立性与条件概率、全概率公式知识点1条件概率(1)条件概率的定义一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B│A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，简称条件概率．(2)条件概率的性质条件概率是概率的一种，具有概率的一般性质．设P(A)>0，则①P(Ω│A)＝1②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C│A)＝P(B│A)＋P(C│A)．③设B－和B互为对立事件，则P(B－│A)＝1－P(B│A)(3)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝n(AB) n(A)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．知识点2事件的相互独立性(1)独立事件的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．(2)相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立．(3)n 个事件相互独立对于n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 相互独立．(4)独立事件的概率公式①若事件A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )．②若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．(5)概率的乘法公式对任意两个事件A 与B ，若P (A )>0，则P (AB )＝P (A )P (B |A )．[提示]：当事件A 与B 相互独立时，P (AB )＝P (A )P (B )知识点3全概率公式一般地，设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ，则对任意事件B ⊆Ω，有iii 1()()(|)nP B P A P B A ==∑．我们称这个公式为全概率公式．知识点4贝叶斯公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ，则对任意事件B ⊆Ω，P (B )>0，有P (A i |B )＝P (A i )P （B │A i ）P(B )＝i i iii 1()(|)()(|)nP A P B A P A P B A =∑，i ＝1，2，…，n．考点1条件概率【例1】电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0．8，开关了15000次后还能继续使用的概率是0．6，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是()A ．0．20B ．0．48C ．0．60D ．0．75【答案】D【解析】记事件A ：电视机的显像管开关了10000次还能继续使用，记事件B ：电视机的显像管开关了15000次后还能继续使用，则P (AB )＝0．6，P (A )＝0．8，所以已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.60.8＝0．75．【总结】条件概率的三种求法定义法先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )求P (B |A )基本事件法(样本点法)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A )，再求事件AB 包含的基本事件数n (AB)，得P (B |A )＝n (AB )n (A )缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简【变式1-1】宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦．”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情．如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案．八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻．现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为()A ．47B ．37C ．56D ．23【答案】D【解析】由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻．设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件A ，“另一卦至少有两个阳爻”为事件B ．（方法1）因为P (A )＝1－P (A －)＝1－C 25C 28＝914，P (AB )＝C 13C 14C28＝37，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝23．（方法2）因为n (A )＝C 13C 15＋C 23＝18，n (AB )＝C 13C 14＝12，所以P (B |A )＝n (AB )n(A )＝1218＝23．【变式1-2】根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0．25，刮四级以上大风的概率为0．4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0．2．则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为()A ．0．8B ．0．625C ．0．5D ．0．1【答案】A【解析】设发生中度雾霾为事件A ，刮四级以上大风为事件B ，由题意知：P (A )＝0．25，P (B )＝0．4，P (AB )＝0．2，则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.20.25＝0．8．【变式1-3】设由0，1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝________．【答案】12【解析】因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝1412＝12．【变式1-4】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝()A ．18B ．14C ．25D ．12【答案】B【解析】（方法1）P (A )＝C23＋C22C25＝410＝25，P (AB )＝P (B )＝C22C25＝110．由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝14．（方法2）事件A 包括的基本事件有(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)，共4个．事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n (AB )＝1．故由古典概型概率得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝14．【变式1-5】某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()A ．38B ．310C ．311D ．35【答案】A【解析】设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，事件B 表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为P (B |A )＝n (AB )n (A )＝C 24C 13C 35C 24－C 34C 23＝1848＝38．【变式1-6】若P (A |B )＝19，P (B )＝13，则P (AB )的值是()A.127B.13C.19D.14【答案】A【解析】由P (AB )＝P (A |B )P (B )，可得P (AB )＝19×13＝127.【变式1-7】某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P (A |B )等于()A.16B.310C.12D.35【答案】D【解析】根据条件概率的计算公式可得，P (A |B )＝P (AB )P (B )＝36×3536＝35.【变式1-8】为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A 为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是()A ．P (A )＝35B ．P (AB )＝310C ．P (B |A )＝12D ．P (B |A )＝12【答案】ABC【解析】P (A )＝C 13C 15＝35，故A 正确；P (AB )＝C 13C 12C 15C 14＝310，故B 正确；P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12，故C 正确；P (A )＝1－P (A )＝1－35＝25，P (AB )＝C 12C 13C 15C 14＝310，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31025＝34，故D 错误．【变式1-9】对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是()A.35B.25C.59D.23【答案】D【解析】记A ＝“第一次摸出的是次品”，B ＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，P (A )＝410＝25，P (AB )＝410×69＝415，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝41525＝23.【变式1-10】已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A.310B.13C.38D.29【答案】B【解析】设A ＝{甲第一次拿到白球}，B ＝{甲第二次拿到红球}，则P (AB )＝A 12A 13A 210＝115，P (A )＝C 12C 110＝15，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13.【变式1-11】(多选)下列说法正确的是()A ．P (A |B )<P (AB )B ．P (A |B )＝P (A )P (B )是可能的C ．0≤P (A |B )≤1D ．P (A |A )＝1【答案】BCD【解析】由条件概率公式P (A |B )＝P (AB )P (B )及0<P (B )≤1，知P (A |B )≥P (AB )，故A 错误；当事件B 包含事件A 时，有P (AB )＝P (A )，此时P (A |B )＝P (A )P (B )，故B 正确；由于0≤P (A |B )≤1，P (A |A )＝1，故C ，D 正确．【变式1-12】(2022·石家庄模拟)某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()A.38B.310C.311D.35【答案】A【解析】设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，事件B 表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为P (B |A )＝n (AB )n (A )＝C 24C 13C 35C 24－C 34C 23＝1848＝38.【变式1-13】某道数学试题含有两问，当第一问正确做答时，才能做第二问，为了解该题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率为()A ．0.72B ．0.8C ．0.9D ．0.2【答案】C【解析】做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为0.8，做对第一问又做对第二问的学生有72人，则两问都做对的频率为0.72，设“做对第一问”为事件A ，“做对第二问”为事件B ，则P (A )＝0.8，P (AB )＝0.72，某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.720.8＝0.9.考点2相互独立事件的概率【例2】(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【答案】B【解析】事件甲发生的概率P (甲)＝16，事件乙发生的概率P (乙)＝16，事件丙发生的概率P (丙)＝56×6＝536，事件丁发生的概率P (丁)＝66×6＝16.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P (甲丙)≠P (甲)P (丙)，故A 错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6＝136，P (甲丁)＝P (甲)P (丁)，故B 正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6＝136，P (乙丙)≠P (乙)P (丙)，故C 错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D 错误．【总结】利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积公式求解．【变式2-1】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0．6，0．5，0．5，0．4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为________．【答案】0．31【解析】(1)设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A ，B ，C ，D ，则P (A )＝0．6，P (B )＝P (C )＝0．5，P (D )＝0．4，恰好3人使用设备的概率P 1＝P (A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －)＝(1－0．6)×0．5×0．5×0．4＋0．6×(1－0．5)×0．5×0．4＋0．6×0．5×(1－0．5)×0．4＋0．6×0．5×0．5×(1－0．4)＝0．25，4人使用设备的概率P 2＝0．6×0．5×0．5×0．4＝0．06，故所求概率P ＝0．25＋0．06＝0．31．【变式2-2】某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．【答案】0．128【解析】依题意，该选手第2个问题回答错误，第3，4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P ＝1×0．2×0．82＝0．128．【变式2-3】某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14．若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．【解析】(1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝34，（A －）·P （C －）＝112，（B ）·P （C ）＝14，－P （A ）]·[1－P （C ）]＝112，（B ）·P （C ）＝14，所以P (B )＝38，P (C )＝23．(2)有0个家庭回答正确的概率为P 0＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝14×58×13＝596，有1个家庭回答正确的概率为P 1＝P (A BC ＋A B C ＋AB C )＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P ＝1－P 0－P 1＝1－596－724＝2132．【变式2-4】一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为()A ．1B ．0.629C ．0D ．0.74或0.85【答案】B【解析】由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，∴甲、乙两根保险丝都熔断的概率为0.85×0.74＝0.629.【变式2-5】(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是()A ．P (B )＝25B ．P (B |A 1)＝511C ．事件B 与事件A 1相互独立D ．A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件【答案】BD【解析】易知A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，P (B |A 1)＝P (BA 1)P (A 1)＝510×511510＝511，P (B )＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝510×511＋210×411＋310×411＝922.【变式2-6】(多选)若P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝13，则事件A 与B 的关系错误的是()A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又独立【答案】ABD【解析】由题意可得P (A )＝1－P (A )＝13，因为P (AB )＝19，P (B )＝13，所以P (AB )＝P (A )·P (B )，故事件A 与B 相互独立．【变式2-7】(2022·福州模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为13，投中壶耳的概率为15.四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率为()A.1375B.375C.815D.875【答案】A【解析】由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：(1)第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，其概率为P 1＝13×15＝115；(2)第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，其概率为P 2＝15×＝875，所以乙赢得这局比赛的概率为P ＝P 1＋P 2＝115＋875＝1375.【总结】求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．考点3全概率公式的应用【例3】设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0．15，第二车间的次品率为0．12，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库．假设第一，二车间生产的比例为2∶3．(1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率；(2)客户从成品仓库随机提取一台合格产品，求该产品是第一车间的合格品的概率．【解析】设B ＝“随机提取一台产品为合格产品”，A i ＝“提取的一台是第i 车间的产品”，i ＝1，2，则Ω＝A 1∪A 2，且A 1，A 2两两互斥．根据题意，P (A 1)＝25，P (A 2)＝35，P (B |A 1)＝0．85，P (B |A 2)＝0．88．(1)由全概率公式得P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＝25×0．85＋35×0．88＝0．868．(2)由贝叶斯公式得P (A 1|B )＝P （A 1）P （B |A 1）P （B ）＝P （A 1）P （B |A 1）P （A 1）P （B |A 1）＋P （A 2）P （B |A 2）＝25×0.8525×0.85＋35×0.88≈0．392．【总结】全概率公式的适用范围及步骤什么样的问题适合用这个公式求解？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．运用全概率公式的一般步骤如下：(1)求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，A n；(2)求P(A i)(i＝1，2，…，n)；(3)求P(B|A i)(i＝1，2，…，n)；(4)求目标事件的概率P(B)．可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”．【变式3-1】据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0．1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0．4%，求不吸烟者患肺癌的概率是多少？【解析】以C记事件“患肺癌”，以A记事件“吸烟”，按照题意P(C)＝0．001，P(A)＝0．20，P(C|A)＝0．004，需求条件概率P(C|A)．由全概率公式有P(C)＝P(C|A)P(A)＋P(C|A)P(A)．将数据代入，得0．001＝0．004×0．20＋P(C|A)P(A)＝0．004×0．20＋P(C|A)×0．80，P(C|A)＝0．00025．则不吸烟者患肺癌的概率为0．025%．【变式3-2】对以往数据分析结果表明，当机器调整的良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%．试求已知早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？【解析】设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”，已知P(A|B)＝0．98，P(A|B)＝0．55，P(B)＝0．95，P(B)＝0．05，需求的概率为P(B|A)，由贝叶斯公式P(B|A)＝P（A|B）P（B）P（A|B）P（B）＋P（A|B）P（B）＝0.98×0.950.98×0.95＋0.55×0.05≈0．97．当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率约为0．97．【变式3-3】已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为()A.1100B.160C.150D.130【答案】B【解析】设B 表示汽车中途停车修理，A 1表示公路上经过的汽车是货车，A 2表示公路上经过的汽车是客车，则P (A 1)＝23，P (A 2)＝13，P (B |A 1)＝0.02，P (B |A 2)＝0.01，则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)·P (B |A 2)＝23×0.02＋13×0.01＝160.【变式3-4】某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是()A ．0.155B ．0.175C ．0.016D ．0.096【答案】B【解析】设事件B 1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B 2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B 3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P (B 1)＝20%，P (B 2)＝50%，P (B 3)＝30%.设事件A 表示“被保险人在一年内发生事故”，则P (A |B 1)＝0.05，P (A |B 2)＝0.15，P (A |B 3)＝0.30.由全概率公式，得iii 1()()(|)nP A P B P A B ==∑＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175.【变式3-5】人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________．【答案】0.64【解析】记“利率下调”为事件A ，则“利率不变”为事件A ，“价格上涨”为事件C ，由题意知：P (A )＝60%，P (A )＝40%，P (C |A )＝80%，P (C |A )＝40%，∴P (C )＝P (A )P (C |A )＋P (A )P (C |A )＝0.48＋0.16＝0.64.【变式3-6】已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为(设男子和女子的人数相等)()A.10 11B.20 21C.11 21D.1 12【答案】B【解析】设A表示“男子”，B表示“女子”，C表示“这人有色盲”，则P(C|A)＝0.05，P(C|B)＝0.0025，P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，可得P(A|C)＝P(A)P(C|A)P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0.05×0.50.5×0.05＋0.5×0.0025＝2021.【总结】利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1,2，…，n)；(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(A i)P(B|A i)；(3)代入全概率公式计算．【变式3-7】某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为()A．0.625B．0.75C．0.5D．0【答案】A【解析】用A表示事件“考生答对了”，用B表示“考生知道正确答案”，用B表示“考生不知道正确答案”，则P(B)＝0.5，P(B)＝0.5，P(A|B)＝100%，P(A|B)＝0.25，则P(A)＝P(AB)＋P(A B)＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.【变式3-8】葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰胡芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实20～80个.2021年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15,0.1,0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为________．【答案】0.4825【解析】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B表示“从这批种子中任选一颗，所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实”，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.4825.【变式3-9】(多选)(2022·合肥质检)有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有()A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B ．任取一个零件是次品的概率为0.0525C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为27D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为27【答案】BC【解析】记A i 为事件“零件为第i (i ＝1,2,3)台车床加工”，记B 为事件“任取一个零件为次品”，则P (A 1)＝0.25，P (A 2)＝0.3，P (A 3)＝0.45，对于A ，即P (A 1B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＝0.25×0.06＝0.015，A 错误；对于B ，P (B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)·P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525，B 正确；对于C ，P (A 2|B )＝P (A 2)·P (B |A 2)P (B )＝0.3×0.050.0525＝27，C 正确；对于D ，P (A 3|B )＝P (A 3)·P (B |A 3)P (B )＝0.45×0.050.0525＝37，D 错误．1．(2022·山东烟台二中模拟)已知事件A 与B 独立，当P (A )＞0时，若P (B |A )＝0．68，则P (B －)＝()A ．0．34B ．0．68C ．0．32D ．1【答案】C【解析】因事件A 与B 独立，且P (A )>0，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （A ）·P （B ）P （A ）＝P (B )，即P (B )＝0．68由对立事件概率公式得P (B －)＝1－P (B )＝0．32．2．已知P (B )＝310，P (B |A )＝910，P (B |A －)＝15，则P (A )＝()A ．17B ．37C ．13D ．110【答案】A【解析】由P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)·P (B |A －)，可得310＝P (A )×910＋(1－P (A ))×15，解得P (A )＝17．3．在公元前100年左右，我国古代数学著作《周髀算经》中有这样的表述：“髀者股也，正晷者勾也．”并且指出：“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得斜至日”，这就是我们熟知的勾股定理，勾股数组是指满足a 2＋b 2＝c 2的正整数组(a ，b ，c )．现将一枚质地均匀的骰子抛掷三次，则三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率是()A ．136B ．160C ．1108D ．1216【答案】A【解析】由题意知：骰子点数能够成勾股数的数组为3，4，5，∴第一次掷骰子得到其中一个的概率为12；第二次掷骰子得到两个数中的一个的概率为13；第三次掷骰子得到最后一个的概率为16；∴三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率为12×13×16＝136．4．现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为()A ．110B ．13C ．14D ．23【答案】C【解析】记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件A ，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B ，则黄色杯子和绿色杯子相邻，有A 44·A 22＝48种；黄色杯子和绿色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有A 33·A 22＝12种；所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝A 33·A 22A 44·A 22＝14．5．已知甲、乙、丙、丁四人进行围棋比赛，比赛流程如图所示，根据以往经验，甲战胜乙、丙、丁的概率分别为0．8，0．4，0．6，丙战胜丁的概率为0．5，并且比赛没有和棋，则甲获得最后冠军的慨率为()A ．0．6B ．0．5C ．0．4D ．0．3【答案】C【解析】甲获得最后冠军这个事件可分为两个互斥事件：一个是第一轮甲胜乙，丙胜丁，第二轮甲胜丙，另一个是第一轮甲胜乙，丁胜丙，第二轮甲胜丁，所以所求概率为P ＝0．8×0．5×0．4＋0．8×(1－0．5)×0．6＝0．4．6．(多选)已知A －，B －分别为随机事件A ，B 的对立事件，P (A )>0，P (B )>0，则下列说法正确的是()A ．P (B |A )＋P (B －|A )＝1B ．P (B |A )＋P (B |A －)＝1C ．若A ，B 独立，则P (A |B )＝P (A )D ．若A ，B 互斥，则P (B |A )＝P (A |B )【答案】ACD【解析】A 中：P (B |A )＋P (B －|A )＝P (AB )＋P (A B －)P (A )＝P (A )P (A )，故A 正确；B 中：设A ，B 独立，则P (B |A )＋P (B |A －)＝2P (B )，而P (B )显然不一定为12，故B 错误；C 中：A ，B 独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，则P (A |B )＝P (AB )P (B )＝P (A )，故C 正确；D 中：A ，B 互斥，P (AB )＝0，则根据条件概率公式P (B |A )＝P (A |B )＝0，故D 正确．7．(多选)(2021·山东滨州二模)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A 为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是()A ．P (A )＝35B ．P (AB )＝310C ．P (B |A )＝12D ．P (B |A －)＝12【答案】ABC【解析】P (A )＝C13C15＝35，故A 正确；P (AB )＝C13C12C15C14＝310，故B 正确；P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12，故C 正确；P (A－)＝C12C15＝25，P(A－B)＝C12C13C15C14＝310，P(B|A－)＝P(A－B)P(A－)＝31025＝34，故D错误．8．在10000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为________．【答案】5 3333【解析】设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则P(A)＝110000，P(AB)＝1×510000×9999＝5 99990000，P(AC)＝1099990000，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝599990000110000＝59999，P(C|A)＝P(AC)P(A)＝1099990000110000＝10 9999．∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝59999＋109999＝53333．即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为5 3333．9．(2022·广东佛山模拟)某地市场调查发现，35的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为34，而在实体店购买的家用小电器的合格率为910．现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是____________．【答案】15 19【解析】在网上购买的家用小电器不合格的概率为35×14＝320，在实体店购买的家用小电器不合格的概率为25×110＝125，故这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率为320320＋125＝1519．10．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称新型冠状病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是A传B，B传C，C又传D等，这就是“持续人传人”，而A，B，C被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0．95，0．9，0．85．健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会，仅和感染的10人中的一人接触，则感染的概率为________．【答案】0．915【解析】设事件A ，B ，C 分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D 表示小明被感染，则由题意得P (A )＝0，5，P (B )＝0，3，P (C )＝0，2，P (D |A )＝0．95，P (D |B )＝0．9，P (D |C )＝0．85，则P (D )＝P (D |A )P (A )＋P (D |B )P (B )＋P (D |C )P (C )＝0．95×0．5＋0．9×0．3＋0．85×0．2＝0．915．11．(多选)一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有4个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，则下列结论中正确的有()A ．若一次摸出3个球，则摸出的球均为红球的概率是25B ．若一次摸出3个球，则摸出的球为2个红球，1个白球的概率是35C ．若第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是49D ．若第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是35【答案】BC【解析】对于A，总事件数是C 36＝20，摸出的球均为红球的事件数为C 34＝4，所以摸出的球均为红球的概率是15，故选项A 错误；对于B ，总事件数是C 36＝20，摸出的球为2个红球，1个白球的事件数为C 24·C 12＝12，所以摸出的球为2个红球，1个白球的概率是35，故选项B 正确；对于C ，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为46×26＝836；②若第一次摸出白球，第二次摸出红球，则概率为26×46＝836．故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是836＋836＝49，故选项C 正确；对于D ，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为46×25＝830，②若第一次摸出白球，第二次摸出红球，则概率为26×45＝830．故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是830＋830＝815，故选项D 错误．12．(多选)(2021·山东烟台一模)骰子通常作为桌上游戏的小道具．最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n 关要抛掷六面骰n 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n ＋n ，则算闯过第n 关，n ＝1，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则()A ．直接挑战第2关并过关的概率为712B ．连续挑战前两关并过关的概率为524。
高中数学知识点题库 109条件概率
1．从1.2.3.4.5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A、1/8B、1/4C、2/5D、1/2答案：B解析：用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）= p(AB)/P(A)即可求得结果．题干评注：条件概率问题评注：在同一个样本空间Ω 中的事件或者子集 A 与B，如果随机从Ω 中选出的一个元素属于B，那么下一个随机选择的元素属于 A 的概率就定义为在 B 的前提下 A 的条件概率。
2．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.80，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是（）A、0.75B、0.60C、0.48D、0.20答案：A解析：记“开关了10000次还能继续使用”为事件A，记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P（A）=0.8，P（B）=0.6，则P（A∩B）=0.6，由条件概率的计算方法，可得P=P(A∩B)/P(A)=0.6/0.8=0.75，题干评注：条件概率问题评注：在同一个样本空间Ω 中的事件或者子集 A 与B，如果随机从Ω 中选出的一个元素属于B，那么下一个随机选择的元素属于 A 的概率就定义为在 B 的前提下 A 的条件概率。
3．袋中有5个小球（3白2黑），现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是（）A、3/5B、3/4C、1/2D、3/10答案：C解析：在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球，是一个条件概率，需要做出第一次取到白球的概率和两次都取到白球的概率，根据条件概率的公式，代入数据得到结果．题干评注：条件概率问题评注：在同一个样本空间Ω 中的事件或者子集 A 与B，如果随机从Ω 中选出的一个元素属于B，那么下一个随机选择的元素属于 A 的概率就定义为在 B 的前提下 A 的条件概率。
条件概率与独立事件例题和知识点总结
条件概率与独立事件例题和知识点总结在概率论中，条件概率和独立事件是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题至关重要。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作 P(A|B)。
其计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) （其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率）例题 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。
先从中随机取出一个球，不放回，再取一个球。
已知第一次取出的是红球，求第二次取出红球的概率。
解析：第一次取出红球后，盒子里剩下 4 个红球和 3 个白球。
此时总球数为 7 个。
所以第二次取出红球的概率为 4/7。
知识点总结：1、条件概率的本质是在新的信息（即已知某个事件发生）的基础上，重新评估另一个事件发生的可能性。
2、计算条件概率时，要先确定已知条件所限制的样本空间，再计算在这个新样本空间中目标事件发生的概率。
二、独立事件如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 称为相互独立事件。
即P(A|B) ＝ P(A) 且 P(B|A) ＝ P(B) 。
例题 2：掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 A ＝“第一次掷出的点数是1”，事件 B ＝“第二次掷出的点数是2”，判断事件 A 和事件 B是否独立。
解析：因为第一次掷骰子的结果不影响第二次掷骰子的结果，所以P(B|A) ＝ P(B) ＝ 1/6 ，P(A) ＝ 1/6 ，满足独立事件的条件，所以事件A 和事件B 是独立事件。
知识点总结：1、独立事件的判断关键在于看一个事件的发生是否会改变另一个事件发生的概率。
2、对于两个独立事件 A 和 B ，它们同时发生的概率为 P(AB) ＝P(A)×P(B) 。
三、条件概率与独立事件的综合例题例题 3：一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率。
条件概率及全概率公式练习题
二、计算题1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”,设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”. 则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式而P(B)=3/15=1/5 ,,∴P(A|B)=9/14.2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”, 设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”.则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式,,∴P(A|B)=1/2.3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取1解.设事件A i表示“第i次取到白球”. (i=1,2,…,N)则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3,到黑球的概率. 由乘法公式可知:P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.而P(A3|A1A2)=3/4 ,P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4 .由数学归纳法可以知道P(A1A2…A N)=1/(N+1).4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”,事件B表示“最后取到的是白球”.根据题意: P(B|A)=5/12 ,,P(A)=1/2.∴.5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率. 解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i 个白球”,其中i=0,1,2 .事件B表示“从乙袋中取到的是白球”.显然A0, A1, A2构成一完备事件组,且根据题意P(A)=1/10 , P(A1)=3/5 ,P(A2)=3/10 ;P(B|A)=2/5 , P(B|A1)=1/2 ,P(B|A2)=3/5 ;由全概率公式P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.6.袋中装有编号为1, 2,…, N的N个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率. 解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”,则表示“第一次取到的是非1号球”;事件B表示“最后取到的是2号球”.显然P(A)=1/N,,且P(B|A)=1/(N-1),;∴=1/(N-1)×1/N+1/N ×(N-1)/N=(N2-N+1)/N2(N-1).7. 袋中装有8只红球, 2解.设事件A1表示“第一次取到的是红球”,只黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.(1)取出的两只球都是红球;(2)取出的两只球都是黑球;(3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球;(4)第二次取出的是红球.设事件A2表示“第二次取到的是红球”.(1)要求的是事件A1A2的概率.根据题意P(A1)=4/5,,P(A2|A1)=7/9,∴P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/5×7/9=28/45.(2)要求的是事件的概率.根据题意:,,∴.(3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括两种情形,即求事件的概率.,,,, ∴.(4)要求第二次取出红球,即求事件A2的概率.由全概率公式:=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.8. 某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人. 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.解.设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”,设事件B i表示“射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4)显然, B1、B2、B3、B4构成一完备事件组,且P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20;P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2. 由全概率公式得到P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B 4)P(B4)=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20=0.645.9.轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400、200、100(米)的概率分别是0.5、0.3、0.2,又设它在距目标400、200、100(米)时的命中率分别是0.01、0.02、0.1 .求目标被命中的概率为多少?解.设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”,设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”,设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”,用事件B表示“目标被击中”.由题意, P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,且A1、A2、A3构成一完备事件组.又已知P(B|A1)=0.01, P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.1.由全概率公式得到:P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A 3)P(A3)=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.0 31.10. 加工某一零件共需要4道工序,设第一﹑第二﹑第三﹑第四道工序的次品率分别为2%﹑3%﹑5%﹑3%, 假定各道工序的加工互不影响, 求加工出零件的次品率是多少? 解.设事件A i表示“第i道工序出次品”, i=1,2,3,4因为各道工序的加工互不影响,因此A i是相互独立的事件.P(A1)=0.02, P(A2)=0.03,P(A3)=0.05, P(A4)=0.03,只要任一道工序出次品,则加工出来的零件就是次品.所以要求的是(A1+A2+A3+A4)这个事件的概率.为了运算简便,我们求其对立事件的概率=(1 -0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876.∴P(A1+A2+A3+A4)=1-0.876=0.124.11. 某人过去射击的成绩是每射5次总有4次命中目标, 根据这一成绩, 求(1)射击三次皆中目标的概率;(2)射击三次有且只有2次命中目标的概率;(3)射击三次至少有二次命中目标的概率. 解.设事件A i表示“第i次命中目标”, i=1,2,3根据已知条件P(A i)=0.8,,i=1,2,3某人每次射击是否命中目标是相互独立的,因此事件A i是相互独立的.(1)射击三次皆中目标的概率即求P(A1A2A3). 由独立性:P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.83=0.512.(2)“射击三次有且只有2次命中目标”这个事件用B表示.显然,又根据独立性得到:.(3)“射击三次至少有2次命中目标”这个事件用C 表示.至少有2次命中目标包括2次和3次命中目标,所以C =B +A 1A 2A 3P (C )=P (B )+P (A 1A 2A 3)=0.384+0.512=0.896.12. 三人独立译某一密码, 他们能译出的概率分别为1/3, 1/4, 1/5, 求能将密码译出的概率.解.设事件A i 表示“第i 人能译出密码”, i =1,2,3.由于每一人是否能译出密码是相互独立的,最后只要三人中至少有一人能将密码译出,则密码被译出,因此所求的概率为P (A 1+A 2+A 3).已知P (A 1)=1/3, P (A 2)=1/4, P (A 3)=1/5,而=(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4.∴P (A 1+A 2+A 3)=1-0.4=0.6.13. 用一门大炮对某目标进行三次独立射击, 第一、二、三次的命中率分别为0.4、0.5、0.7, 若命中此目标一、二、三弹, 该目标被摧毁的概率分别为0.2、0.6和0.8, 试求此目标被摧解.设事件A i 表示“第i 次命中目标”, i =1,2,3.设事件B i 表示“目标被命中i 弹”, i =0,1,2,3. 设事件C 表示“目标被摧毁”.由已知P (A 1)=0.4, P (A 2)=0.5, P (A 3)=0.7; P (C |B 0)=0, P (C |B 1)=0.2, P (C |B 2)=0.6, P (C |B 3)=0.8.又由于三次射击是相互独立的,所以,毁的概率.=0.6×0.5×0.7+0.6×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3=0 .36,=0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7 =0.41,.由全概率公式得到P(C)=P(C|B)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B)3=0×0.09+0.2×0.36+0.6×0.41+0.8×0.14=0.43.。
专题04条件概率与全概率公式(4个知识点2个拓展1个突破7种题型1个易错点)原卷版
专题04条件概率与全概率公式（4个知识点2个拓展1个突破7种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.条件概率知识点2.乘法公式知识点3.全概率公式知识点4.贝页斯公式拓展1.条件概率的求解拓展2.全概率公式的应用突破：全概率公式与贝叶斯公式的应用【方法二】实例探索法题型1.条件概率的概念与计算题型2.事件的独立性与条件概率的关系题型3.乘法公式的应用题型4条件概率的综合应用题型5.全概率公式的应用题型6.贝叶斯公式的应用题型7.全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【方法三】差异对比法易错点：混淆“条件概率”与“交事件的概率”【方法四】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.条件概率一、条件概率的概念一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，我们称P (B |A )＝P AB P A 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．二、 条件概率的性质设P (A )>0，则(1)P (Ω|A )＝1.(2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．(3)设B 和B 互为对立事件，则P (B |A )＝1－P (B |A )．例1．单选题（2024·全国·模拟预测）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B 为“两位游客选择的景点相同”，则()P B A 等于（ ） A ．111 B ．211 C ．19 D ．29知识点2.乘法公式对任意两个事件A 与B ，若P (A )>0，则P (AB )＝P (A )P (B |A )为概率的乘法公式．例2．填空题（2024上·山东滨州·高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用1A 、2A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则()2P A B =知识点3.全概率公式一般地，设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝ 1n i =∑P (A i )P (B |A i )，我们称该公式为全概率公式．例3．多选题（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（ ） A ．在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47 B ．在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C ．甲获得奖品的概率为2449D ．若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小知识点4.贝叶斯公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，P (B )>0，有P (A i |B )＝P A i P B |A i P B = 1()(B )()(B )i i n k ki P A P A P A P A =∑，i ＝1,2，…，n .例4．（2023·全国·高二随堂练习）现在一些大的建筑工程都实行招投标制．在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的．设B =“被调查的施工企业资质不好”，A =“被调查的施工企业资质评定为不好”．由过去的资料知()0.97P A B =，()0.95P A B =．现已知在被调查的施工企业当中有6%确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率（精确到0.01）．拓展1.条件概率的求解1．（2024·广东肇庆·统考模拟预测）小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是 . 拓展2.全概率公式的应用2．（2024上·福建泉州·高三统考期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率；(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为1P ；第1次摸到红球的概率为2P ；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为3P ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为4P .求1234,,,P P P P ；(3)对于事件,,A B C ，当()0P AB >时，写出()()()(),,,P A P BA P C AB P ABC ∣∣的等量关系式，并加以证明.突破：全概率公式与贝叶斯公式的应用1．多选题（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（）【方法二】实例探索法题型1.条件概率的概念与计算1．（2024上·天津和平·高三统考期末）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是；（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是．题型2.事件的独立性与条件概率的关系2．多选题（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同).先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别A和3A表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由以1A，2题型3.乘法公式的应用3．（2024上·上海·高二校考期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第题型4条件概率的综合应用4．（2024上·天津河北·高三统考期末）甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概题型5.全概率公式的应用5．（2024·贵州·校联考模拟预测）甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；(2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.题型6.贝叶斯公式的应用6．（2023·全国·高二随堂练习）某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率有多大？题型7.全概率公式与贝叶斯公式的综合应用7．（2024·天津·校考模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT 所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT 中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来【方法三】差异对比法易错点：混淆“条件概率”与“交事件的概率”1．判断题（2023上·高二课时练习）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）()()|P B A P AB <.( )（2）事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，相当于,A B 同时发生的概率．( )（3）()|0P A A ＝.( )（4）()()||P B A P A B =.( )【方法五】 成果评定法一、单选题1．（2023下·浙江·高二校联考阶段练习）从1,2,3,4,5,6,7,8,9中依次不放回地取2个数，事件A 为“第2．（2021·高二课时练习）英国数学家贝叶斯（17011763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）A ．0.01B ．0.0099C ．0.1089D ．0.13．（2021上·山东淄博·高三统考阶段练习）甲袋中有5个白球、1个红球，乙袋中有4个白球、2个红4．（2023下·江苏·高二校联考阶段练习）从3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P （B|A ）等于（ ）A ．0.5B ．0.4C ．0.25D ．0.1256．（2022下·江苏泰州·高二泰州中学校考期中）医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性2种结果．根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是80%，将正常者判为阳性的概率是10%．专家预测，某小区有5%的人口感染了该病，则在单次检验的8．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）某人从A 地到B 地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从A 地到B 地迟到的概率是（ ）A ．0.16B ．0.31C ．0.4D ．0.32 二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（ ）10．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）11．（2023下·辽宁抚顺·高二校联考期中）已知,A B 为两个随机事件，且()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的是（ ）12．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）某公司成立了甲、乙、丙三个科研小组，三、填空题13．（2023下·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）从编号为1~5号的球中随机抽取一个球，记编号为i ，再从剩下的球中取出一个球，记编号为j ，在i j <的条件下，2j i <+的概率为 ． 14．一只袋内装有大小相同的3个白球，4个黑球，从中依次取出2个小球，已知第一次取出的是黑球，则第二次取出白球的概率是 ．15．（2023下·北京西城·高二统考期末）抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在甲骰子的点数为奇数的条件下，乙骰子的点数不小于甲骰子点数的概率为 ．16． 10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张，则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为 ．四、解答题17．（2023上·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中）为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A ，B 两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．(1)如果A 同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；(2)如果A 同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B 同学接着抽取题目回答，若他(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．。
条件概率及全概率专题训练
条件概率及全概率专题训练一、考点梳理知识点一 条件概率的概念一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，我们称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．知识点二 概率乘法公式对任意两个事件A 与B ，若P (A )>0，则P (AB )＝P (A )P (B |A )为概率的乘法公式．知识点三 条件概率的性质设P (A )>0，则(1)P (Ω|A )＝1.(2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．(3)设B 和B 互为对立事件，则P (B |A )＝1－P (B |A )．知识点四．全概率公式一般地，设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1,2，…，n ， 则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝()()ini i A B P A P ∑=1，我们称这个公式为全概率公式． 二、题型归纳考点一:条件概率公式【例1】甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为13，乙命中目标的概率为12，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【考点精练】1．下面几种概率是条件概率的是（ ）A ．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率B ．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C ．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 2．若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B +=，则()P A B =（ ） A ．29 B ．23 C ．14 D ．163．从某高中2021名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从2021名学生中剔除21名，再从余下的2000名学生中随机抽取50名.则其中学生丙被选取和被剔除的概率分别是（）A．140，212021B．502021，212021C．140，212000D．212000，5020214.7名同学从左向右站成一排，已知甲站在中间，则乙站在最右端的概率是（）A．14B．15C．16D．17考点二:全概率公式【例2】一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（）A．13B．23C．34D．14【考点精练】1．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为（）A．310B．21100C．730D．29902．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（）A．0.8 B．0.532 C．0.482 5 D．0.312 53．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是（）A．0.013 B．0.04 C．0.002 D．0.0034．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是（）A．275B．7300C．7375D．9731000考点三:叶贝斯公式【例3】8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为 0.8；用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3．现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________．【考点精练】1．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________．2通信渠道中可传输的字符为AAAA，BBBB，CCCC三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为0.6，收到其他字符的概率为0.2，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为ABCA，则传输的字符是AAAA的概率为________．3.计算机中心有三台打字机A，B，C，某打字员使用各台打字机打字的概率依次为0.6，0.3，0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01，0.05，0.04.已知该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度，求该打字员使用A，B，C打字的概率分别为多少.4．在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列组成的，由于随机干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0．现假设发送信号为0和1的概率均为1；又已知发送信号为0时，接收为0和1的概率2分别为0.7和0.3，发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．求已知收到信号0时，发出的信号是0（即没有错误接收）的概率。
高中2-3条件概率练习题及讲解
高中2-3条件概率练习题及讲解在高中数学课程中，条件概率是一个重要的概念，它描述了在某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
以下是一些条件概率的练习题以及相应的讲解。
### 练习题1：假设在一个班级中有30名学生，其中20名男生和10名女生。
如果随机选择一名学生，他是男生的概率是2/3。
现在，如果我们知道这名被选中的学生参加了学校的篮球队，那么他是男生的概率是多少？解答：首先，我们设事件A为“学生是男生”，事件B为“学生参加了篮球队”。
根据题目，P(A) = 20/30 = 2/3。
我们需要计算的是P(A|B)，即在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
假设班级中有x名男生和y名女生参加了篮球队，那么P(B|A) = x/20（男生参加篮球队的概率），P(B|¬A) = y/10（女生参加篮球队的概率）。
根据全概率公式，P(B) = P(A)P(B|A) + P(¬A)P(B|¬A)。
由于我们不知道x和y的具体数值，我们无法直接计算P(A|B)。
但是，如果题目提供了这些信息，我们可以使用贝叶斯定理来求解。
### 练习题2：在一个袋子里有5个红球和3个蓝球。
第一次随机抽取一个球，记录颜色后放回。
第二次再次抽取一个球。
求第二次抽取红球的条件概率，条件是第一次抽取的也是红球。
解答：设事件A为“第一次抽取红球”，事件B为“第二次抽取红球”。
根据题目，P(A) = 5/8。
由于球被放回，抽取两次是独立的，所以P(B|A) = P(B) = 5/8。
### 练习题3：在一个小镇上，有两家医院。
医院A有70%的新生儿是男孩，医院B有60%的新生儿是男孩。
如果一个新生儿是男孩，那么他是在医院A出生的概率是多少？解答：设事件A为“新生儿在医院A出生”，事件B为“新生儿是男孩”。
根据题目，P(A) = 1/2（假设小镇上只有两家医院，且新生儿在两家医院出生的概率相等），P(B|A) = 0.7，P(B|¬A) = 0.6。