一元非线性回归

一元非线性回归

有时，回归函数并非是自变量的线性函数，但通过变换可以将之化为线性函数，从而利用一元线性回归对其分析，这样的问题是非线性回归问题。

为了检验X射线得到杀菌作用。用200kv的X射线照射杀菌，每次照射6分钟，照射次数为x,照射后所剩的细菌数为y,下表是一组试验结果

x y x y x y

1 783 81541528

2 621 91291620

3 433 101031716

4 431 11721812

5 287 1250199

6 251 1343207

7 175 1431

根据经验知道y关于x的曲线回归方程如

bx

ˆ

y

ae

试给出具体的回归方程，并对其对应的决定系数R^2和剩余标准差s。

一、首先描出数据的散点图，如下图

散点图呈现出一个明显的向下且下凸的趋势，可能选择的函数关系很多，比如我们可以给出如下三个曲线函数：

1.1b

a

y x

=+

（1）

2.b

ax

y=（2）

3.

b

x

y ae

=（3）

二、参数估计

1.为了能采用一元线性回归分析方法，我们做如下变换

y

v ln

=u=x

则（1）式的曲线图就化为如下的散点图

u i

∑= 3655 i v ∑=87.22497

u =182.75 v =4.361248

2u

i

∑=1611149 u i i v ∑=21281.69

2

nu =667951.3 nuv =15940.36

uu l = 943197.8 uv l =5341.329

1B =

uu

uv

l l =130.9375 0

B

=v - B1=-388.301

得出方程

v=-388.301+130.9375x

四、结束语

对于可化为线性模型的回归问题，一般先将其化为线性模型，然后再用最小二乘法求出参数的估计值，最后再经过适当的变换，得到所求回归曲线。在熟练掌握最小二乘法的情况下，解决上述问题的关键是确定曲线类型和怎样将其转化为线性模型。确定曲线类型一般从两个方面考虑:一是根据专业知识，从理论上推导或凭经验推测、二是在专业知识无能为力的情况下，通过绘制和观测散点图确定曲线大体类型。