分数指数幂及其运算法则(供参考)

一、复习引入

回顾平方根、立方根的有关概念．

归纳：在初中的时候我们已经知道：

若2x a =，则x 叫做a 的平方根.

同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.

二、新课讲解

1、根式

若n x a =（1>n ，+∈N n ）则x 叫做a 的n 次方根

说明：n n

n a n a a n a n a ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为为正数:为偶数, 的次方根有两个,为

零的n 次方根为零，记为00n =

如果n a 有意义，那么n a （1>n ，+∈N n ）叫做根式.其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.

2、分数指数幂

（1）规定10=a ，n n a a

1=- （2）规定正数a 的正分数指数幂的意义为 n m n m

a a

=)1,,(>∈+n N n m ） 规定正数a 的负分数指数幂的意义为 n m n m

a a 1

=-)1,,(>∈+n N n m ）

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.

课内练习 P41 练习7.1.1 题2，3

（3）引入了分数指数幂后，整数指数幂就推广到了有理数指数幂。对于有理数指数幂，整数指数幂的运算性质保持不变，即：

t s t s a a a +=•，st t s a a =)(，s

s s b a ab •=)(， 其中Q t s ∈,，0,0>>b a 。

例1求下列各式的值

解：33

(1)(8)-= —8； 2(2)(10)-=|—10|=10； 44(3)(3)π-=3π- 2(4)

()a b -=a b - 例题2：求值：2

38；1

225-；51()2

-；3416()81-. 解：① 223338(2)=23232

24⨯===； ② 1

1

22225(5)--=12()121555

⨯--===； ③ 5151

()(2)2---=1(5)232-⨯-==；

④334()44162()()813-⨯-=3227()38

-==. 例题3：用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）

3.a a ；322a a ⋅；

3a a . 分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算 解：117333222.a a a a a

a +=⋅==； 232223a a a a ⋅=⋅28

233

a a +==； 例1．计算下列各式（式中字母都是正数）

（1）2

11511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-（2）31884()m n -

分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.

解：（1）原式=211115326236[2(6)(3)]a

b +-+-⨯-÷-=04ab =4a （2）原式=3

1

8884()()m n - =23m n -

四、巩固练习

五、课堂小结

1．根式的概念：若n ＞1且*

n N ∈，则n x a 是的次方根. ,x a n n 为奇数时,= n 为偶数时，n x a =±；

2．掌握两个公式：,n n a n 为奇数时,()

3．分数指数是根式的另一种写法.

4．无理数指数幂表示一个确定的实数.

5．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.

六、布置作业

教材 P44 1、2、3