2019秋浙教版八年级上册数学同步测试题：对点专题提升5—几何动点问题含答案

2019秋浙教版八年级上册数学同步测试题：对点专题提升5——几何动点问题(教材P82作业题第2题)

已知，如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP＝PC，AP⊥PC.求证：△ABP≌△PDC.

(教材母题图) 证明：∵∠APB＋∠A＝90°，∠APB＋∠CPD＝90°， ∴∠A＝∠CPD， 在△ABP和△PDC中， ∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠CPD，AP＝PC， ∴△ABP≌△PDC. 【思想方法】 动态问题就是利用运动特征，寻找题目中的某些量之间的关系，遇到计算问题的时候注意运用方程思想和分类讨论思想．

一个点的运动 1．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( B ) (第1题图) 【解析】 当点P在AD上运动，即0≤x≤4时，y的值为0； 当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大； 当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变； 当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．故选B. 2．[乐清校级期中]在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，AC＝6 cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以2 cm/s的速度匀速运动，若点D 运动t s时，以A，D，B为顶点的三角形恰为等腰三角形，

则所用时间t为__258或5或8__s.

【解析】 ①如答图①，当AD＝BD时， 在Rt△ACD中，根据勾股定理得到AD2＝CD2＋AC2，即BD2＝(8－BD)2＋62， 解得BD＝254(cm)，则t＝2542＝258(s)； 第2题答图① 第2题答图② ②如答图②，当AB＝BD时． 在Rt△ABC中，根据勾股定理得到 AB＝AC2＋BC2＝6＋82＝10，则t＝102＝5(s)； ③如答图③，当AD＝AB时，BD＝2BC＝16，则t＝162＝8(s)．

第2题答图③ 综上所述，t的值可以是258或5或8. 3．[杭州余杭区校级期中]如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q.

(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ； (2)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，点P以每秒1单位长度的速度匀速运动，当△ADQ恰为等腰三角形时，求点P运动的时间． (第3题图) 第3题答图 解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠DAC＝∠BAC， 在△ADQ和△ABQ中，AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，AQ＝AQ，∴△ADQ≌△ABQ. (2)①当AQ＝DQ时，∠QDA＝∠QAD＝45°，则点Q为正方形ABCD的中心，点B与点P重合，此时点P运动的时间为t1＝4÷1＝4(s)；

②如答图，当AQ＝AD时，则∠ADQ＝∠AQD， ∵正方形ABCD边长为4， ∴AC＝42＋42＝42， ∴CQ＝AC－AQ＝42－4， ∵AD∥BC，∴∠CPQ＝∠ADQ， ∴∠CPQ＝∠AQD＝∠CQP， ∴CP＝CQ＝42－4， ∴BP＝4－(42－4)＝8－42， ∴P点运动的时间为t2＝(4＋8－42)÷1＝(12－42)s. ③当AD＝DQ时，C，P，Q三点重合， 此时P点运动时间为t3＝(4＋4)÷1＝8(s)． 综上，当△ADQ恰为等腰三角形时，点P运动时间可以为4 s或(12－42)s或8 s. 4．[杭州上城区校级期中]如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动一周，且速度为每秒 2 cm，设运动的时间为t s.

(1)求t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分； (2)求t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求此时CP的长； (3)求t为何值时，△BCP为等腰三角形？(请直接写出答案)

(第4题图) 解：(1)∵AC＝8 cm，BC＝6 cm， ∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10 cm， 依题意得2t＝(10＋8＋6)÷2， 解得t＝6， ∴t＝6时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分； (2)∵CP要把△ABC的面积分成相等的两部分， ∴P为AB的中点， ∴2t＝8＋5，得t＝6.5 s， 此时CP＝12AB＝12×10＝5 cm. (3)△BCP为等腰三角形，共有三种情况， ①CP＝CB， P在AC上，CP＝6 cm，t＝62＝3(s)， P在AB上，此时可求得BP＝7.2 cm， ∴AP＝2.8 cm， ∴t＝(8＋2.8)÷2＝5.4(s)； ②BC＝BP，点P在AB上， BP＝6 cm，CA＋AP＝8＋10－6＝12 cm， ∴t＝122＝6 s. ③PB＝PC，点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即为AB中点， 有CA＋AP＝8＋5＝13(cm)，t＝132＝6.5 s. 综上可知，t＝3 s或5.4 s或6 s或6.5 s时，△BCP为等腰三角形． 两个点的运动 5．[湖州校级期中]如图，等边三角形ABC的边长为6，有从点A出发每秒1个单位且垂直于AC的直线m交三角形的边于P和Q两点且由A向C平移，点G从点C出发每秒4个单位沿C→B→P→Q→C

路线运动，如果直线m和点G同时出发，则点G回到点C的时间为__3＋338__s.

(第5题图) 【解析】 点G与点P相遇，点G在水平方向上速度为4×12＝2，P点在水平方向上速度与Q点相同，是1.故相遇时，时间为6÷(2＋1)＝2.相遇时，AQ＝2，所以PQ＝3AQ＝23，故点G在PQ上从P运动到Q点，需时间234＝32.当运动到Q点时，AQ＝2＋32，余下的CQ＝6－AQ＝4－32，点G需时

间4－32÷4＝1－38.故总的时间是2＋32＋1－38＝3＋338s. 6．[杭州上城区校级期中]如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿 A→B方向运动，且速度为每秒1 cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2 cm，它们同时出发，设出发的时间为t s.

(1)当t＝2 s时，求PQ的长； (2)求出发时间为几秒时，△PQB第一次成等腰三角形？ (3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．

(第6题图) 第6题答图 解：(1)BQ＝2×2＝4 cm， BP＝AB－AP＝8－2×1＝6 cm， ∵∠B＝90°， ∴PQ＝BQ2＋BP2＝42＋62＝213 cm. (2)由题得BQ＝BP，即2t＝8－t，t＝83 s， 即t为83 s时，△PQB第一次成等腰三角形． (3)分3种情况： ①当CQ＝BQ时，则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°， ∵∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5， BC＋CQ＝11，t＝11÷2＝5.5 s； ②当CQ＝BC时，BC＋CQ＝12， ∴t＝12÷2＝6 s. ③当BC＝BQ时，如答图，过B点作BE⊥AC于E， BE＝AB·BCAC＝6×810＝4.8 cm， ∴CE＝BC2－BE2＝3.6 cm， ∴CQ＝2CE＝7.2 cm， ∴BC＋CQ＝13.2 cm， ∴t＝13.2÷2＝6.6 s. ∴t为5.5 s或6 s或6.6 s时△BCQ为等腰三角形． 7．[乐清校级期中]如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1 cm，设出发的时间为t s.

(1)出发2 s后，求△ABP的周长； (2)问t满足什么条件时，△BCP为等腰三角形？ (3)另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2 cm，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

(第7题图) 第7题答图 解：(1)t＝2时，CP＝2， AP＝AC－CP＝2， BP＝BC2＋CP2＝13， ∴△ABP的周长＝AB＋BP＋AP＝7＋13. (2)当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形， 若点P在CA上，t＝3 s； 如答图，若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD＝125， 在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝95， ∴PB＝2BD＝185， ∴CA＋AP＝4＋5－185＝5.4， 此时t＝5.4÷1＝5.4(s)； 当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形， ∴AP＝AB－BP＝2， ∴t＝(4＋2)÷1＝6 s； 当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则BD＝CD， ∴PD为△ABC的中位线， ∴AP＝BP＝12AB＝52， ∴t＝4＋52÷1＝132(s)． 综上所述，t为3 s或5.4 s或6 s或132 s时，△BCP为等腰三角形； (3)∵△ABC的周长为12， ∴PQ将△ABC周长分为6和6两部分， ∵2t≤12，∴t≤6， ∴t＋2t＝6或t＋2t＝12＋6， 解得t＝2 s或6 s. 几何图形与函数的结合 8．如图，已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，P是AC上不与A，C重合的一动点，PQ⊥BC于Q，QR⊥AB于R.

(1)求证：PQ＝CQ； (2)设CP的长为x，QR的长为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； (3)PR能否平行于BC？如果能，试求出x的值；如果不能，请简述理由．