选修4-5 第三节 柯西不等式与排序不等理

[题组自测 题组自测] 题组自测 1．若实数 x，y，z 满足 x＋2y＋3z＝a(a 为常数 ，则 x2 ． 为常数)， ， ， ＋ ＋ ＝ ＋y2＋z2 的最小值为 a2 A. 12 a2 C. 16 a2 B. 14 a2 D. 18 ( )
解析： 解析：∵(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2. ≥ ＋ ＋ 1 1 当且仅当 x＝ y＝ z 时，等号成立． ＝ ＝ 等号成立． 2 3 a2 ∴14(x2＋y2＋z2)≥a2，∴x2＋y2＋z2≥14. ≥ 答案： 答案：B
2 2 2
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 利用柯西不等式求最值的一般结构为： 利用柯西不等式求最值的一般结构为： 1 1 2 2 2 1 (a1＋a2＋…＋an)( 2＋ 2＋…＋ 2 )≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在 ≥ ＋ ＋ 在 a1 a2 an 使用柯西不等式时，要注意右边为常数，且应注意等号成 使用柯西不等式时，要注意右边为常数， 立的条件. 立的条件
2 则(a1＋a2)(b2＋b2)≥ 2 1 2 ≥
(a1b1＋a2b2)2
2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向 ．柯西不等式的向量形式： ， 为平面上的两个向 量，则|α||β|≥|α·β|.
3．二维形式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 ．二维形式的三角不等式： ， x2＋y2＋ 1 1
2．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： ．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
n n 2 2 ai · bi ≥( aibi)2. i＝1 i＝1 i＝1
∑ ∑
n
∑
3．会用向量递归方法讨论排序不等式． ．会用向量递归方法讨论排序不等式．
[理 要 点] 理
一、柯西不等式的二维形式 1．柯西不等式的代数形式：设 a1，a2，b1，b2 均为实数， ．柯西不等式的代数形式： 均为实数，
∵|a·b|≤|a|·|b|(柯西不等式的向量形式 ， ≤ 柯西不等式的向量形式)， 柯西不等式的向量形式 ∴|3x＋4y|≤5 x2＋y2， ＋ ≤ |3x＋4y|2 4 ＋ 2 2 ∴x ＋y ≥ ＝ . 25 25 其他同法一． 其他同法一．
18 4．已知 x ＋2y ＋3z ＝ ，求 3x＋2y＋z 的最小值． ． ＋ ＋ 的最小值． 17 1 2 2 2 2 2 2 解：∵(x ＋2y ＋3z )[3 ＋( 2) ＋( ) ] 3 1 2 ≥(3x＋ 2y 2＋ 3z ) ＝(3x＋2y＋z)2， ＋ ＋ ＋ ＋ 3 ，－2 ≤ ＋ ＋ ≤ ∴(3x＋2y＋z)2≤12，－ 3≤3x＋2y＋z≤2 3. ＋ ＋ ，－ 9 3 3 3 3 当且仅当 x＝－ ＝－ ，y＝－ ＝－ ，z＝－ 时， ＝－ 17 17 17 3x＋2y＋z 取最小值，最小值为－2 3. ＋ ＋ 取最小值，最小值为－
2 x2＋y2≥ 2
(x1－x2)2＋(y1－y2)2
二、柯西不等式的一般形式 柯西不等式的一般形式： 设 a … a b b … 柯西不等式的一般形式： a1， 2， ， n， 1， 2， bn
2 为实数， 为实数，则(a2＋a2＋…＋a2 )·(b2＋b2＋…＋bn)≥(a1b1 ≥ 1 2 n 1 2
1 1 1 法二：左边＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ) 法二：左边＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]( ＋ ＋ a＋b b＋c c＋a ＋ ＋ ＋ a＋b a＋b b＋c b＋c c＋a c＋a ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝3＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ b＋c c＋a a＋b c＋a a＋b b＋c ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ≥3＋2 ＋ 2 a＋b b＋c ＋ ＋ · ＋2 b＋c a＋b ＋ ＋ a＋b c＋a ＋ ＋ · ＋ c＋a a＋b ＋ ＋
[究 疑 点] 究 1．二维形式的柯西不等式还有哪些等价变式？ ．二维形式的柯西不等式还有哪些等价变式？
提示： 提示：(1) a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|； ＋ ； (2) a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|. ＋
2．柯西不等式的一般形式等号成立的条件若写作“当且 ．柯西不等式的一般形式等号成立的条件若写作“ a1 a2 仅当 bi＝0(i＝1,2…n)或 bi≠0(i＝1,2…n)，b ＝b ＝… ＝ … 或 ＝ … ， 1 2 an 时等号成立”可以吗？ ＝b 时等号成立”可以吗？ n
2 3．已知 a＋b＋c＝1，且 a、b、c 是正数，求证： ． ＋ ＋ ＝ ， 、 、 是正数，求证： ＋ a＋b ＋ 2 2 ＋ ≥9. b＋c c＋a ＋ ＋
1 1 1 证明：法一：左边＝[2(a＋b＋c)]( 证明：法一：左边＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ) a＋b b＋c c＋a ＋ ＋ ＋ 1 1 1 ) ＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]( ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ a＋b b＋c c＋a ＋ ＋ ＋ ≥(1＋1＋1)2＝9. ＋ ＋
2．已知 x，y，z 是正实数，求证： ． ， ， 是正实数，求证： x＋y＋z ＋ ＋ x2 y2 z2 ＋ ＋ ≥ 2 . y＋z x＋z x＋y ＋ ＋ ＋
证明：∵x，y，z 是正实数，令 证明： ， ， 是正实数， x y z a＝( )， ＝ ， ， ， y＋z x＋z x＋y ＋ ＋ ＋ b＝( y＋z， x＋z， x＋y)， ＝ ＋， ＋， ＋ ， ∵|a·b|2≤|a|2|b|2，
证明： ≤…≤a 证明：不妨设 0＜a1≤a2≤…≤ n， ＜ 则 1 1 1 2 2 2 a1≤a2≤…≤ n， ≥ ≥…≥a . ≤…≤a a1 a2 n
由排序不等式知，乱序和≥反序和， 由排序不等式知，乱序和≥反序和，
2 a2 －1 a2 a2 a2 n 1 n 2 1 2 1 2 1 所以 ＋ ＋…＋ a ＋ ≥a1· ＋a2· ＋…＋an·a ， a2 a3 a1 a1 a2 n n 2 2 an－1 a2 a1 a2 2 n 即a ＋a ＋…＋ a ＋a ≥a1＋a2＋…＋an. n 2 3 1
提示：可以． 提示：可以．
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．设实数 x、y、z 满足 x2＋2y2＋3z2＝3， ． 、 、 ， 求证：|x＋2y＋3z|≤3 2. 求证： ＋ ＋ ≤
证明：由柯西不等式得： 证明：由柯西不等式得： [x2＋( 2y)2＋( 3z)2]·[12＋( 2)2＋( 3)2]≥(x＋2y＋3z)2， ≥ ＋ ＋ ， 即(x＋2y＋3z)2≤18， ＋ ＋ ∴|x＋2y＋3z|≤3 2. ＋ ＋ ≤
＋a2b2＋…＋an≤…≤ n，b1≤b2≤…≤ n为两组实数，c1，c2， ． ≤…≤a ≤…≤b 为两组实数， 的任一排列，则称a …，cn是b1，b2，…bn的任一排列，则称 1b1＋a2b2＋…＋ anbn为这两个实数组的 顺序和 ，称a1bn＋a2bn－1＋…＋ － anb1为这两个实数组的 反序和 ，称a1c1＋a2c2＋…＋ancn 为这两个实数组的 乱序和 ． 2．排序不等式可简记为：反序和 ≤乱序和 ≤ 顺序和 ． ．排序不等式可简记为：
3．若3x＋4y＝2，试求 2＋y2的最小值及最小值点． ． 的最小值及最小值点． ＋ ＝ ，试求x
解：法一：由柯西不等式 法一： (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2， ≥ ＋ 得 25(x2＋y2)≥4， ≥ ， 4 所以 x ＋y ≥ . 25
2 2
①
x y 不等式① 时等号成立， 不等式①中当且仅当 ＝ 时等号成立，为求最小值 3 4 点，需解方程组： 需解方程组：
1 1 1 ≥ ·a2a3＋ ·a3a1＋ ·a1a2 a2 a3 a1
＝a3＋a1＋a2，
a1a2 a2a3 a3a1 即 ＋ ＋ ≥a1＋a2＋a3. a3 a1 a2
2 2 a2 －1 an a1 a2 n 2 3．设 a1，a2，…，an 为正数，求证 ＋ ＋…＋ a ＋ 为正数， ． a2 a3 a1 n ≥a1＋a2＋…＋an.
[题组自测 题组自测] 题组自测
1．设 a，b∈R＋，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则 P 与 Q 的大 ． ， ∈ ＝ ＝ ＋ 小关系是 A．P＞Q ． ＞ C．P＜Q ． ＜ B．P≥Q ． ≥ D．P≤Q ． ≤ ( )
解析： 解析：不妨设 a≥b，∵a，b∈R＋， ≥ ， ， ∈ ∴a2≥b2， 由排序不等式 a2·a＋b2·b≥a2·b＋b2·a， ＋ ≥ ＋ ， 即 a3＋b3≥a2b＋ab2，∴P≥Q. ＋ ≥ 答案： 答案：B
a1a2 a2a3 a3a1 2．设 a1，a2，a3 为正数，求证： 为正数，求证： ． ＋ ＋ ≥a1＋a2＋a3. a3 a1 a2 证明： 证明：不妨设 a1≥a2≥a3＞0， ，
1 1 1 于是 ≤ ≤ ，a2a3≤a3a1≤a1a2， a1 a2 a3 由排序不等式：顺序和≥乱序和， 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得 a1a2 a3a1 a2a3 ＋ ＋ a3 a2 a1
柯西不等式与排序不等式[理 天津不作要求 柯西不等式与排序不等式 理]天津不作要求
1.了解下列柯西不等式的几种不同形式， 了解下列柯西不等式的几种不同形式， 了解下列柯西不等式的几种不同形式 理解它们的几何意 并会证明． 义，并会证明． (1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|. 柯西不等式的向量形式： ≥ 柯西不等式的向量形式 (2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. ≥ ＋ (3) (x1－x2)2＋(y1－y2)2＋ (x2－x3)2＋(y2－y3)2≥ 通常称为平面三角不等式)． (x1－x3)2＋(y1－y3)2(通常称为平面三角不等式 ． 通常称为平面三角不等式
6 ＋ ＝ ， 3x＋4y＝2， ＝ x＝25， x y 解得 3＝4， y＝ 8 . ＝ 25 6 8 ＝ 取得最小值， 因此当 x＝ ，y＝ 时，x2＋y2 取得最小值，最小值为 ＝ 25 25 4 6 8 最小值点为( ，最小值点为 ， )． ． 25 25 25 法二： 法二：令 a＝(3,4)，b＝(x，y)，则 ＝ ， ＝ ， ， a·b＝3x＋4y，|a|＝ 32＋42＝5，|b|＝ x2＋y2. ＝ ＋ ， ＝ ， ＝