非线性方程的简单迭代法和Steffensen迭代法

《数值计算方法》实验报告
实验名称：实验1 非线性方程的简单迭代法和Steffensen迭代法
实验题目：
分别用简单迭代法和Steffensen迭代法求方程

010423xx
在 [1, 2] 内的一个实根.
实验目的：理解并掌握简单迭代法和Steffensen迭代法
基础理论：简单迭代法和Steffensen迭代法
1）.简单迭代法的原理：
将一元非线性方程：0)(xf 改写

成等价方程：)(xx ，对此，从某个初始值x0开始，对应
式)(xx 构成迭代公式 ,...1,0),(1kxxkk ，这样就
可以确定序列 kx （k=0，1，2…）。如果 kx 有极限
*
lim
xxkk


，由式 ,...1,0),(1kxxkk 两边取极限可得

)(**xx
，可知 *x 为方程0)(xf的近似解。

2）Steffensen迭代法的原理：
通过把改进的Aitken方法应用于根据不动点迭代所得到的线
性收敛序列，将收敛速度加速到二阶。















kkkkkkkkkkkxyzxyxxyzxy2
)(
)(

2
1




xxxxxxx)(2)(()()(2
实验环境：操作系统：Windows 7；
实验平台：Turbo C++

实验过程：写出算法→编写程序→调试运行程序→计算结果
1）简单迭代法的算法：
Input:初始近似值x0,精度要求del,最大迭代次数N
Output:近似解x或失败信息
1. n←1
2. While nN do;
3. x←f(x0);
4. if | x-x0|5. | return x;
6. end
7. n←n+1;
8. X0←x;
9. End
10. return False;




0202xyzxy


Steffensen迭代法计算

的结果：
近似解为：
给出程序:
1,简单迭代法的程序（C++）
#include ""
#include ""
#define phi(x) *sqrt(10-x*x*x)
void main()
{int n=1,N;
float x,x0,del;
printf("x0="); scanf("%f",&x0);
printf("\ndel=:"); scanf("%f",&del);
printf("\nN="); scanf("%d",&N);
printf("\nk x(k)");
printf("\n %2d %f ",0,x0);
while (n{ x=phi(x0);
if(fabs(x-x0){ printf("\n \n=近似解 = %f \n",x);
return;
}
printf("\n %2d %f ",n,x0);
n=n+1; x0=x;
}
printf("\n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n",N);
}
2,Steffensen迭代法的程序（C++）
#include ""
#include ""
#define phi(x) *sqrt(10-x*x*x);
void main()
{int n=1,N;
float x,x0,del,y,z,a,b;
printf("x0="); scanf("%f",&x0);
printf("\ndel=:"); scanf("%f",&del);
printf("\na="); scanf("%f",&a);
printf("\nb="); scanf("%f",&b);
printf("\nN="); scanf("%d",&N);
printf("\nk x(k)");
printf("\n %2d %f ",0,x0);
while (n{ y=phi(x0);
z=phi(y);
x=x0-(y-x0)*(y-x0)/(z-2*y+x0);
if(fabs(x-x0){ printf("\n \n=近似解 = %f \n",x);
return;
}
printf("\n %2d %f ",n,x0);
n=n+1; x0=x;
}
printf("\n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n",N);
}

结果分析：
1.用简单迭代法和
Steffensen迭代法都能求出非线性方程的近似解，

且用简单迭代法和Steffensen迭代法求出的近似解基本一样。
2.用Steffensen迭代法来求解时迭代的次数少很多，可见
Steffensen迭代法加速了收敛速度。