2022届秋季高一新生开学分班考试精选数学试卷(全国)07(解析版)
2021-2022学年山东省烟台市高一下学期期中考试数学试题(解析版)
山东省烟台市2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．若52iz i =+，则(z = ) A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i --〖解 析〗55(2)122(2)(2)i i i z i i i i -===+++-，∴12z i =-． 〖答 案〗C2．下列命题正确的是( ) A ．若a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量//a b ，//b c ，则//a cC ．与非零向量a 共线的单位向量是唯一的D ．已知λ，μ为非零实数，若a ub λ=，则a 与b 共线〖解 析〗若a ，b 都是单位向量，则这2个向量不一定相等，因为它们的方向都是任意的，故A 错误；若向量//a b ，//b c ，则a 和c 不一定平行，例如当0b =时，a 和c 的方向和大小都是任意的，故B 错误；与非零向量a 共线的单位向量有2个，因为它们的方向是相反的，故C 错误； 设λ，μ为非零实数，若a ub λ=，则a 与b 共线，故D 正确． 〖答 案〗D3．sin318cos162cos42cos72︒︒+︒︒的值为( )A ．12B ．12-C D ． 〖解 析〗因为sin318cos162cos42cos72sin42cos18cos42sin18︒︒+︒︒=︒︒+︒︒sin(4218)sin 60=︒+︒=︒=． 〖答 案〗C4．若4cos()45πθ+=，则sin 2(θ= )A ．15B ．15-C ．725D ．725-〖解 析〗4cos()45πθ+=，2sin 2cos(2)[2()1]24cos ππθθθ∴=-+=-+-97(21)2525=-⨯-=-．〖答 案〗D5．在ABC ∆中，3AB =，AC =，6AB AC ⋅=，D ，E 分别是BC 边上的三等分点，则AD AE ⋅的值是( ) A ．6B ．649C ．8D ．809〖解 析〗如图，()()AD AE AB BD AC CE ⋅=+⋅+11()()33AB BC AC BC =+⋅-1111()()3333AB AC AB AC AC AB =+-⋅-+2112()()3333AB AC AB AC =+⋅+22252999AB AB AC AC =+⋅+ 252649689999=⨯+⨯+⨯=． 〖答 案〗B6三角形．黄金三角形有锐角三角形和钝角三角形，其中锐角三角形的顶角36︒，底角72︒，而钝角三角形顶角108︒，底角36︒．如图，在一个锐角黄金ABC ∆中，BC AC =．根据这些信息，可得sin 666(︒= )A ．BC ．D 〖解 析〗取BC 的中点D ，连接AD ，如下图所示：则21cos7223612CD BC cos AC AC ︒==⋅==︒-，所以cos36︒==，所以sin 666sin(36630)cos36︒=︒+︒=-︒=． 〖答 案〗A7．若()cos sin f x x x =+在[m -，]m 是增函数，则m 的最大值为( ) A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π 〖解析〗())4f x x π=+，令22242k x k πππππ-+++，k Z ∈，∴32244k x k ππππ-++，k Z ∈， ()f x ∴在R 上的单调增区间为：3[24k ππ-，2]4k ππ+，k Z ∈， 又()f x 在[m -，]m 是增函数，(0)m >， [m ∴-，3][24m k ππ⊆-，2]4k ππ+，k Z ∈， m ∴的最大值为4π． 〖答 案〗B8．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东3/km h ．一艘小货船准备从河南岸码头P 处出发，航行到河对岸(Q PQ 与河的方向垂直）的正西方向并且与Q 相距250m 的码头M 处卸货若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为5/km h ，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为( )A ．/hB ．6/km hC ．7/km hD ．/nh〖解 析〗由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段PM ，设小货船航行速度为v ，水流的速度为1v ，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为2v ，作出示意图如下：因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东3/km h ，,250PQ QM m ==，在Rt PQM ∆中，有tan PQ PMQ QM ∠=所以122,,,36263PMQ MPQ v v πππππ∠=∠=〈〉=+=，所以21v v v =-， 所以2222212112||()||||2537v v v v v v v =-=+-⋅=+， 所以小货船航行速度的大小为7/km h ． 〖答 案〗C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若复数2223(1)()z m m m i m R =--+-∈，则下列正确的是( ) A ．当1m =或1m =-时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则1m =-或3m =C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则13m <<D ．若复数z 对应的点位于直线2y x =上，则1224z i =+〖解 析〗对于A ，当1m =或1m =-时，210m -=，故z 为实数，故A 正确， 对于B ，若z 为纯虚数，则2223010m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得3m =，故B 错误，对于C ，复数z 对应的点位于第二象限， ∴2223010m m m ⎧--<⎨->⎩，解得13m <<，故C 正确，对于D ，复数z 对应的点位于直线2y x =上，2212(23)m m m ∴-=--，解得5m =或1m -， 1224z i ∴=+或0z =，故D 错误．〖答 案〗AC10．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标，记(,)OP x y =．在上述xOy 坐标系中，若(1,2)a =，(2,1)b =-，则()A ．(3,1)a b +=B ．a b =C ．a b ⊥D ．a 与b 〖解 析〗对于12A :(1,2)2a e e ==+，12(2,1)2b e e =-=-，∴121212223a b e e e e e e +=++-=+，123(3,1)e e ∴+=，故A 正确；对于1212B :22e e e e +≠-，故a b ≠，故B 错误；对于221212112213C:(2)(2)23223112022a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=+⨯⨯⨯-=≠，故C 错误；对于22212121122D:|||2|(2)447a e e e e e e e e =+=+=+⋅+=，22212121122|||2|(2)443b e e e e e e e e =-=-=-⋅+=，cos a ∴<，32||||3a b b a b ⋅>===⋅⨯D 正确． 〖答 案〗AD11．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，下列命题中正确的是( ) A ．若2AM AB AC =-，则点M 是边BC 的中点B ．若30B =︒，b =，2c =，则ABC ∆有两种形状 C ．若cos cos a A b B =，则ABC ∆是等腰或直角三角形D ．若O 为ABC ∆的内心，则sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= 〖解 析〗对于A 选项，由2AM AB AC =-得AM AB AB AC -=-， 即BM CB =，点B 是边CM 的中点，故错误； 对于B 选项，由正弦定理sin sin b cB C=得sin sin 2c B C b ==， 由于(0,)C π∈，故45C =︒或135C =︒，所以105A =︒或15A =︒， 故ABC ∆均为钝角三角形，故错误；对于C 选项，由正弦定理边角互化得sin cos sin cos A A B B =，故sin2sin2A B =，由于A ，(0,)B π∈，故22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC ∆是等腰或直角三角形，故正确；对于D 选项，如图，以O 为坐标原点，角A 的角平分线所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(,0)A p ，(cos ,sin )B q q αα，(cos ,sin )C r r ββ-，其中AOB α∠=，AOC β∠=，OB q =，OC r =，则2()BOC παβ∠=-+，由于,OB OC 不共线，则存在x ，y R ∈使得OA xOB yOC =+， 即cos cos 0sin sin p xq yr xq yr αβαβ=+⎧⎨=-⎩，故sin sin()sin sin()p x q p y r βαβααβ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，所以sin()sin sin qr OA pr OB pq OC αββα+=+， 另一方面，由于111111,,222222BOC AOB AOC S BC R a R S AB R c R s AC R b R ∆∆∆=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅，其中R 为ABC ∆内切圆的半径，111111sin sin(),sin sin ,sin sin 222222BOC AOB AOC S OB OC BOC qr S OA OB pq s OA OC pr αβααββ∆∆∆=⋅∠=+=⋅==⋅=，所以sin()qr a αβ+=，sin b pr β=，sin c pq α=， 所以0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=， 故sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=， 所以D 选项正确． 〖答 案〗CD12．将函数1()sin (0)2f x x ωω=>图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移4πω个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，若()g x 在[0，]π上有且仅有5个零点，则( ) A ．()sin()4g x x πω=+B ．()g x 在(0,)20π单调递增C ．ω的取值范围是1923[,)44D ．()1y g x =-在(0,)π有且仅有3个零点 〖解 析〗由题意()(2())sin()44g x f x x ππωω=+=+，A 正确； ()g x 在[0，]π上，即[44x ππω+∈，]4πωπ+有且仅有5个零点，由正弦函数性质：564ππωππ+<，则192344ω<，C 正确； 当(0,)20x π∈时，(44x ππω+∈，)204ωππ+递增，则2042ωπππ+，可得5ω，而当2354ω<<时显然不成立，B 错误； 由()1y g x =-是()g x 向下平移1个单位所得，故只需()g x 在(0,)π有3个最大值点， 由C 分析知：在(4π，5)π或(4π，6)(4ππ⊆，)204ωππ+上()g x 均恰有3个最大值点，D 正确．〖答 案〗ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若||3a =，||2b =，且|2|7a b +=，则a 与b 的夹角大小为 ． 〖解 析〗根据题意，设a 与b 的夹角为θ， 若||3a =，||2b =，且|2|7a b +=，则222(2)443167a b a b θ+=++=++=，解可得cos θ=， 又由0180θ︒︒，则150θ=︒． 〖答 案〗150︒ 14．若tan 2α=，则cos (1sin 2)cos sin αααα-=- ．〖解 析〗tan 2α=，∴cos (1sin 2)cos sin αααα--22cos (2sin cos )cos sin sin cos ααααααα+-=- 22cos (cos sin )cos cos sin cos sin αααααααα-==--222cos sin cos cos sin ααααα-=+21tan 115tan αα-==-+． 〖答 案〗15-15．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边BC 、AC ，点D 在以AC 为直径的半圆上．已知以直角边AC 、BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，4cos 5DAB ∠=，则cos DAC ∠= ．〖解 析〗因为以直角边AC ，BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，所以ACBC= 所以在直角三角形ABC 中6BAC π∠=，因为4cos 5DAB ∠=，所以3sin 5DAB ∠=，所以cos cos()6DAC DAB π∠=∠-cos cos sin sin 66DAB DAB ππ=∠+∠431552=+⨯=．〖答 16．如图所示，在等腰直角ABC ∆中，2AB AC ==，O 为BC 中点，E ，F 分别是线段AB ，AC 上的动点，且150EOF ∠=︒．当//EF BC 时，则2EF 的值为；OE OF ⋅的最大值为 ．〖解 析〗因为ABC ∆是等腰直角三角形，//EF BC ，OB OC =，OE OF ∴=， 又150EOF ∠=︒，所以15EOB FOC ∠=∠=︒，所以120BEO CFO ∠=∠=︒， 因为2AB AC ==，所以12CO BO BC == 在BEO ∆sin 45OE =︒，∴OE OF =，在OEF ∆中，由余弦定理得24442(333EF =+-⨯⨯=； 设AEO α∠=，(0,180)α∈︒︒，所以120AFO α∠=︒-，60CFO α∠=︒+，180OEB α∠=︒-， 在CFO ∆=∴1sin(60)OF α=︒+， 同理1sin OE α=，所以1111sin(60)sin sin(230)24OE OF ααα⋅=︒+-︒+，因为(0,180)α∈︒︒，230(30,330)α∴-︒∈-︒︒， 所以当23090α-︒=︒即60α=︒时，OE OF ⋅取最小值43．所以(OE OF OE OF OF ⋅=⋅⋅=⋅， 所以OE OF ⋅的最大值为〖答 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）计算：20223821(1)(32)1(1)i i i i i ---⋅++-+；（2）已知(3,3)a =，(2,0)b =-，求向量b 在a 上的投影向量的坐标． 解：（1）原式2(32)(1)1521i i i i=-⋅+-++=+-．（2）因为(3,3)a =，所以与a 方向同的单位向量31(,(223e ==，又因为231||23a b a ⋅-==-，所以b 在a 上的投影向量的坐标为11(1)((,22-⨯=-．18．（12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(2,1)a =-，又点，(3,0)A ，(,)B x y ，(C λ，sin )(0)2πθθ．（1）若AB a ⊥，且||2||AB a =，求向量OB 的坐标；（2）若向量AC 与a 共线，当sin λθ取得最大值时，求OA OC ⋅的值． 解：（1）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(2,1)a =-，又点(3,0)A ，(,)B x y ，(C λ，sin )(0)2πθθ，由题设可知，||5a =，(3,)AB x y =-， AB a ⊥，26x y ∴-=，又因为||25AB ==，联立得，14x y =⎧⎨=-⎩或54x y =⎧⎨=⎩，所以(1,4)OB =-或(5,4)OB =；（2）由题设可知，(3,sin )AC λθ=-，因为向量AC 与a 共线，所以32sin λθ-=，即32sin λθ=-， 于是2239sin (32sin )sin 2sin 3sin 2(sin )48λθθθθθθ=-⋅=-+=--+，因为[0,]2πθ∈，所以sin [0θ∈，1]，所以当3sin 4θ=时，sin λθ取得最大值，此时32λ=，故339(3,0)(,)242OA OC ⋅=⋅=．19．（12分）函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0)ωϕπ><<的部分图象如图所示． （1）求函数()f x 的〖解 析〗式；（2）若将()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递减区间．解：（1）由图可知2A =，()2362T πππ=--=，所以T π=． 因为2T πω=，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+． 再根据五点法作图，2()06πϕ⨯-+=，所以3πϕ=，故()2sin(2)3f x x π=+． （2）由题可知()2sin[2()]2sin(2)333g x x x πππ=-+=-， 令3222232k x k πππππ+-+，可得51122266k x k ππππ++， 即5111212k x k ππππ++， 所以递减区间为511[,]1212k k ππππ++，k Z ∈． 20．（12分）在①2sin tan a B b A =，②sin sin()3a B b A π=+，③sin sin 2B C b a B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答． 问题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且____．（1）求角A ；（2）若角A 的平分线AD 长为1，且4bc =，求ABC ∆外接圆的面积． 解：（1）若选①：在ABC ∆中，由2sin tan a B b A =， 可得sin 2sin cos A a B b A=，2sin cos sin a B A b A ∴=， 根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin A B A A B =， 又sin 0A ≠，sin 0B ≠，∴1cos 2A =，3A π∴=，若选②：在ABC ∆中，sin sin()3a Bb A π=+，∴1sin (sin )2a B b A A =，根据正弦定理，得1sin sin sin sin sin 2A B A B A B =+，∴1sin sin sin 2A B A B ，sin 0B ≠，tan A ∴3A π=，若选③：在ABC ∆中，sinsin 2B C b a B +=，∴cos sin 2A b a B =， 根据正弦定理，得sin cossin sin 2A B A B =， 又sin 0B ≠，cossin 2sin cos 222A A A A ∴==，1sin 22A ∴=， 又(0,)A π∈，∴26A π=，则3A π=， （2）ABD ACD ABC S S S ∆∆∆+=，∴1144b c +=，b c ∴+=， 又由余弦定理得22222cos ()336a b c bc A b c bc =+-=+-=，6a ∴=，ABC ∴∆外接圆的直径为2sin a R A ===∴R = 故ABC ∆外接圆的面积212S R ππ==，21．（12分）已知函数2()2sin cos()cos cos()32f x x x x x x ππ=--+ （1）若6()5f α=，且63ππα<<，求cos2α； （2）若对[0,]2x π∀∈，2()2()0f x f x k --恒成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）21()2sin (cos )sin cos 2f x x x x x x x =+-222sin cos x x x x =+sin 22sin(2)3x x x π==-， 因为6()5f α=，所以62sin(2)35πα-=， 即3sin(2)35πα-=，因为63ππα<<，所以0233ππα<-<，所以4cos(2)35πα-==，则1cos2cos[(2)]cos(2)sin(2)33323ππππαααα=-+=-⋅--413525=⨯-= （2）因为[0,]2x π∈，则22[,]333x πππ-∈-，所以()[f x ∈， 令()f x t =，则[t ∈，由2()2()0f x f x k --恒成立，转化为220t t k --恒成立，即22k t t -恒成立，设2()2g t t t =-，则只需()max k g t ，又22()2(1)1g t t t t =-=--，当t =()3max g t =+323k +， 即实数k的范围为[3)++∞．22．（12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()(sin sin )(sin sin )a b A B c A C +-=-．（1）若ABC ∆为锐角三角形，且4c =，求a 的取值范围；（2）若点D 在边AC 上，且2AD DC =，2BD =，求ABC ∆面积的最大值． 解：（1）由题意ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ()(sin sin )(sin sin )a b A B c A C +-=-，由正弦定理可得，()()()a b a b c a c +-=-，即222b a c ac =+-，2221cos 22a c b B ac +-==，3B π=， ABC ∆为锐角三角形，∴0202A C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，∴cos 0cos 0A C >⎧⎨>⎩， 即22222200b c a a b c ⎧+->⎨+->⎩，所以222020c ac a ac ⎧->⎨->⎩，4c =，故28a <<， a 的取值范围(2,8)．（2）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 在边AC 上，且2AD DC =，2BD =，ADB CDB π∠+∠=，所以cos cos 0ADB CDB ∠+∠=， 在ABD ∆中，23AD b =，2BD =，22222449cos 823b c AD BD AB ADB AD BD b +-+-∠==⨯， 在BDC ∆中，13CD b =，2BD =，22222149cos 423b a CD BD BC CDB BD CD b +-+-∠==⨯， 所以222241449908433b c b a b b +-+-+=，即222221203b a c --+=，又因为222b a c ac =+-，所以2242366a c ac ac ++=， 即6ac （当且仅当a c =时取等号），13sin 322ABC S ac B ∆==，（当且仅当a c =时取等号），所以ABC ∆．。
2022-2023学年河南省郑州市第一中学高一上学期期末数学试题(解析版)
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
同理 ，解得 ，当且仅当 时，等号成立.
对于A， ，
所以 ，当 时，等号成立，所以A错误；
对于B， ，当 时，等号成立，所以B正确；
对于C， ，当且仅当 时，等号成立，所以C正确；
对于D，设 ，பைடு நூலகம் ，所以 ，
即 ，则 ，得 ，
解得 ，所以D正确.
故选：BCD.
12.设函数 的定义域为 ，且满足 ， ，当 时， .则下列说法正确的是（）
A.
B.当 时， 的取值范围为
C. 为奇函数
D.方程 仅有3个不同实数解
【答案】BC
【解析】
【分析】根据 ，推导出 ，所以 的周期为8，可判断A；根据函数性质求出 ， ，当 时， ，从而确定 的取值范围，可判断B；根据 得到 关于 中心对称，从而 关于原点中心对称，即 为奇函数，可判断C；画出 与 的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程 的根的个数，可判断D.
【详解】解：由二次函数图象开口向下知： ，对称轴为 ，即 ，故 .
又因为 ，
所以 .
故选：ACD.
11.已知 为正数， ，则下列说法正确的是（）
A. B. 的最小值为1
C. 最小值为8D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 结合基本不等式，求得 的最大值， 的最小值，判断选项正误.
【详解】因为 ， 为正数， ，
对于B，函数 偶函数，故B正确：
对于C，因为 是第一象限角，所以 ，所以 ，所以 是第一象限或第三象限角，故C正确；
对于D，取 ， ，满足 、 是第一象限的角，且 ，而 ．故D错误．
故选：BC．
10.二次函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（）
2022-2023学年辽宁省名校联盟高一上学期12月份联合考试数学试题(解析版)
2022-2023学年辽宁省名校联盟高一上学期12月份联合考试数学试题一、单选题 1．函数lg y x =的定义域为（ ） A ．()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．[)112,00,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()0,∞+D ．110,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】由已知可得210200xx x -≠⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解出不等式组，即可得到函数的定义域.【详解】要使函数lg y x =有意义，则210200x x x -≠⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得0x >且12x ≠，所以，函数lg y x =的定义域为110,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2．已知集合{}2,0,1A =-，集合{}0,1,3B =，则集合A B ⋃=（ ） A ．{}2,0,1,2,3- B ．{}2,0,1,3- C ．{}0,1,3 D ．{}2,1-【答案】B【分析】根据集合的并集运算即可求解.【详解】因为集合{}2,0,1A =-，集合{}0,1,3B =，所以集合{}2,0,1,3A B -⋃=. 故选：B.3．[]2,1,21x a x ∀∈--≥-为假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞C ．[]5,3-D ．[)5,-+∞【答案】A【分析】由全称命题的否定转化为最值问题求解， 【详解】因为[]2,1,21x a x ∀∈--≥-为假命题，即21a x <-在[]2,1x ∈-上有解，所以max (21)a x <-， 而max (21)2111x -=⨯-=，所以实数a 的取值范围为(),1-∞. 故选：A4．若二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则一元二次不等式20cx bx a ++>的解集为（ ）A ．1,2B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】C【分析】根据图像求得,,a b c ，进而求得一元二次不等式20cx bx a ++>的解集. 【详解】由图像可得当0x =时，2y c ==-，所以二次函数22y ax bx =+-， 由于二次函数22y ax bx =+-图像过点()()1,0,2,0-，所以204220a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得1,1a b ==-，所以一元二次不等式2210x x --+>，即()()2212110x x x x +-=-+<的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C5．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常，排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm （ppm 为浓度单位，1ppm 表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度()ppm y 与排气时间t （分钟）之间存在函数关系y =82mt -（m 为常数），若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，则至少需要排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳浓度达到正常状态（ ） A ．10 B ．14C ．18D ．28【答案】C【分析】由题意列方程求解m ，再由指数函数性质解不等式，【详解】由题意得84264m -=，解得12m =， 所以1822t y -=，因为181222t y --=，所以1812t --， 解得t 18，即至少需要排气18分钟才能使这个地下车库中一氧化碳浓度达到正常状态. 故选：C6．现有四个函数：()()()()21213453;log ;e e ;log x xf x x f x x f x f x x -===-=.如下图所示是它们在第一象限的部分图像，则对应关系正确的是（ ）A ．①()1f x ，②()3f x ，③()2f x ，④()4f xB ．①()1f x ，②()3f x ，③()4f x ，④()2f xC ．①()3f x ，②()2f x ，③()4f x ，④()1f xD ．①()3f x ，②()1f x ，③()4f x ，④()2f x 【答案】D【分析】根据函数恒过定点及其函数的单调性与奇偶性逐一进行判断即可【详解】已知()21f x x =，其为偶函数，所以关于y 轴对称，所以满足条件的为②图像；已知()3e e x x f x -=-，由于()()33e e x x f x f x --=-=-，所以()3f x 为奇函数，故其关于原点对称， 因为e x y =是R 上的增函数，e x y -=是R 上的减函数，所以()3f x 是R 上的增函数， 所以满足条件的为①图像；()45log f x x =过点()1,0，且在定义域内单调递增，所以满足条件的为③图像；()213log f x x=过点()1,0，且在定义域内单调递减，所以满足条件的为④图像；综上所述①()3f x ，②()1f x ，③()4f x ，④()2f x . 故选：D7．方程e ln x x =-的根所在的区间为（ ）（参考数据ln20.69≈，ln3 1.10≈）A ．()1,2B ．()2,eC ．()e,3D ．()3,4【答案】B【分析】构造函数()ln e f x x x =+-，易知函数在()0,∞+上单调递增.然后得出各个端点处的函数值与0的关系，根据零点的存在性定理即可得出. 【详解】构造函数()ln e f x x x =+-.因为e y x =-与ln y x =均在()0,∞+上单调递增，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.()11e 0f =-<，()22ln 2e 2.69e 0f =+-≈-<，()e e lne e 10f =+-=>，()33ln3e 4.10e 0f =+-≈->，()44ln 4e=42ln 2e 5.38e 0f =+-+-≈->.则()()2e 0f f ⋅<，根据零点的存在性定理即可得出函数()ln e f x x x =+-在()2,e 上存在零点，即方程e ln x x =-的根所在的区间为()2,e . 故选：B.8．已知函数()f x 满足()()f x f x -=，且在区间()0,∞+内单调递减，则()3log 23f -，()0.42f -，()0.19f 的大小关系正确的是（ ）A ．()()()3log 20.10.4392f f f ->>- B ．()()()3log 20.40.1329f f f ->-> C ．()()()3log 20.10.4932f f f ->>- D ．()()()3log 20.10.4923f f f ->->【答案】A【分析】利用函数的奇偶性，将自变量化为同一单调区间之内，再结合单调性对函数值的大小进行比较.【详解】∵函数()f x 满足()()f x f x -=，∴函数()f x 为偶函数，∴()()0.40.422f f -=∵()331log 2log 21133212---===<，()0.10.440.10.102216991==>>=， ∴3log 20.10.40392-<<<，∵()f x 在区间()0,∞+内单调递减，∴()()()3log 20.10.4392f f f ->>，即()()()3log 20.10.4392f f f ->>-.故选：A.二、多选题9．若实数,0a b c >≠，则以下说法正确的是（ ） A ．a c b c +>+ B ．22ac bc > C ．ac bc > D ．b b ca a c+<+ 【答案】AB【分析】根据不等式的性质可判断ABC ，取特殊值可判断D. 【详解】因为实数a b >，所以a c b c +>+，所以A 项正确； 由20c >，得22ac bc >，所以B 项正确； 当0c <时，ac bc <，所以C 项错误；b bc a a c +<+不一定成立，如当32,1,2a b c ===-时，此时不等式不成立， 所以D 项错误. 故选：AB.10．已知正实数,a b 满足4a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．4ab ≤ B ．223a b +≤C ．1494a b +≥D ．1111a b≤+【答案】ACD【分析】利用基本不等式可直接判断A ；由222()2a b a b ab +=+-结合选项A 即可判断B ；利用“1”的代换即可求解C ；利用选项A 可判断D. 【详解】对于A，利用基本不等式2a b+≥a b +=4代入，得4ab ≤，当且仅当2,2a b ==时等号成立，故A 正确；对于B ，222()21628a b a b ab ab +=+-=-≥，当且仅当2,2a b ==等号成立，故B 错误；对于C，1414444445594a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当48,33a b ==时等号成立，故C 正确；对于D ，411111ab aba b aba b a b ===++≤+，当且仅当2,2a b ==时等号成立，故D 正确； 故选：ACD11．幂函数()()12231m f x m m x -=--满足，对于定义域中任意的()1212,x x x x ≠，恒有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的值可以为（ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．12-【答案】BD【分析】根据幂函数定义，建立方程，由题意，可得函数单调性，进行检验，可得答案.【详解】因为()()12231m f x m m x -=--是幂函数，满足22311m m --=，解得2m =或12m =-，由题意，可知函数()f x 在其定义域内单调递增， 将2m =代入()f x 中，可知()f x x =满足条件；将12m =-代入()f x 中，可知()32f x x =满足条件.故选：BD.12．函数()7log f x x =的图象与函数()3g x x =-+的图象交于点(),P a b ，则下列说法正确的是（ ） A ．7ab = B ．7b a = C ．73b b += D ．3a b +=【答案】BCD【分析】由()()f a g a b ==可求得BD 正确；将B 代入D 中，可得C 正确；利用基本不等式可知A 错误. 【详解】()7log f a a b ==，()3g a a b =-+=，7b a ∴=，3a b +=，BD 正确；73b b b a ∴+=+=，C 正确； 作出()f x 与()g x 图象，由图象知：0a >，0b >，29724a b ab +⎛⎫∴≤=< ⎪⎝⎭，A 错误.故选：BCD.三、填空题13．设:3,:2p x q x <，则p 是q 的__________.（填入“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”） 【答案】必要不充分条件【分析】由充分必要条件的概念判断，【详解】由题意可知，p 不可以推出,q q 可以推出p ，所以p 是q 的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件14．已知函数()1f x -的定义域为[]2,4，则()23f x +的定义域为__________. 【答案】[]1,0-【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.【详解】函数()1f x -的定义域为[]2,4，即24,113x x ≤≤≤-≤， 所以对于()23f x +有1233,10x x ≤+≤-≤≤， 所以()23f x +的定义域为[]1,0-. 故答案为：[]1,0-15．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x +是奇函数，()01f =，则21012f f f f f __________.【答案】1-【分析】由奇函数的定义，()1f x +是奇函数，所以有()()11f x f x -+=-+，分别令x 取0和1-，即可求出()1f 与()2f 的值，再利用()f x 为偶函数，可求出()1f -与()2f -的值，然后代入式中求解即可.【详解】∵()1f x +是奇函数， ∴()()11f x f x -+=-+，令0x =，得()()0101f f -+=-+，即()()11f f =-，∴()10f =， 令=1x -，得()()()1111f f --+=--+，即()()201f f =-=-， ∵()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()221f f -==-，()()110f f -==， ∴21012101011ff f f f .故答案为：1-.16．已知函数()()()2550,||(0)xu x ax x a x v x a a x =-+=+<，其中实数1,0,1a ≠-，若对于2100,x x <∃>∀使得()()12u x v x =，则a 的一个可能的取值为__________.【答案】12（答案不唯一）【分析】转化为值域的包含关系，分类讨论后列式求解， 【详解】若对于2100,x x <∃>∀使得()()12u x v x =，设22{|(),0}A y y v x x ==<，()110}{|,B y y u x x =>=，则A B ⊆， 255y ax x a =-+的对称轴为52x a=， ①当0a <时，()u x 在(0,)+∞上单调递减，()1(,5)u x a ∈-∞， 而()20v x >，显然不满足题意，②当01a <<时，，则()1,a u x <在50,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，在5,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，()212025,4a u x a ⎡⎫-∈+∞⎪⎢⎣⎭，而()||xv x a a =+在(),0∞-上单调递减，()()21,v x a ∈++∞2202525141044a a a a a---=--<，故01a <<时满足题意，③当1a >时，()212025,4a u x a ⎡⎫-∈+∞⎪⎢⎣⎭， ()||x v x a a =+在(),0∞-上单调递增，()()2,1v x a a ∈+，由220254a a a-≤解得514a <≤， 综上，当504a<且1a ≠时，对于2100,x x <∃>∀使得()()12u x v x =， 故答案为：12（答案不唯一）四、解答题 17．计算：(1)2450139(3)2(44π--⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭；(2)51log 422log log 365log 9--.【答案】(2)32【分析】分别根据指数和对数的运算性质即可得到答案.【详解】（1）2450139(3)2(44π--⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭ 224255334422991=⎛⎫⎛⎫⨯- ⎭⨯-⎪ ⎪⎝⎝⎭2255449449⎛⎫⎛⎫⎪ =⎭--+⎝⎝⎪⎭=（2）()5551log 422321414log 4321log 43222log log 365log 93log log 495log 93log log 95log 9112443.l 23og 4---=+⨯--=--+-+-=+=18．已知集合R{1A x x =≤-∣或3}x ≥，集合{23}B x k x k =<<+∣.(1)当1k =-时，求A B ⋂；(2)若A B ⋂是空集，求实数k 的取值范围. 【答案】(1){12}xx -<<∣ (2){4kk ≤-∣或3}2k ≥【分析】（1）先根据补集的定义求出集合A ，再将集合,A B 取交集； （2）需要分类讨论集合B 是否为空集.【详解】（1）集合{13}A x x =-<<∣， 当1k =-时，集合{22}B xx =-<<∣， 所以{12}A B xx =-<<∣. （2）当A B ⋂是空集时，分两种情况：情况一：集合B =∅时，23k k ≥+，所以3k ≥； 情况二：集合B ≠∅时，3k <，要使A B ⋂是空集， 则需要满足31k +≤-或23k ≥，解得4k ≤-或32k ≥， 所以这种情况下，实数k 的取值范围为{4k k ≤-∣或33}2k ≤<. 综上，实数k 的取值范围为{4kk ≤-∣或3}2k ≥. 19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()391xx f x =+.(1)求当2x =-时的函数值； (2)求()f x 在R 上的解析式. 【答案】(1)982-；(2)()3,0,910,0,3,0.91xxx x x f x x x ⎧>⎪+⎪⎪==⎨⎪⎪-<⎪+⎩【分析】（1）根据奇函数的定义直接求解； （2）由奇函数的奇偶性分0,0x x =<求解析式即可. 【详解】（1）当2x =时，()223929182f ==+，又()f x 是R 上的奇函数， 所以()()92282f f -=-=-. （2）当0x >时，()391xx f x =+；当0x <时，0x ->，此时()()339191x xxx f x f x --=--=-=-++. 当0x =时，()00f =.所以()f x 在R 上的解析式为()3,0,910,0,3,0.91xxx x x f x x x ⎧>⎪+⎪⎪==⎨⎪⎪-<⎪+⎩20．已知函数()()log log (0102a a a f x x x a a ⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭且1)a ≠.(1)当()11f =时，求a 的值；(2)若()3,4,32x a a f x ⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(2)102⎛⎤⎥⎝⎦，.【分析】（1）由已知，将()11f =代入，先求解方程满足的条件，然后利用对数的运算得到方程，解方程，并根据前面的条件求解出的a 的范围，对参数a 的值进行取舍；（2）根据题意，将参数a 分成01a <<和110a <<两种情况进行讨论，要满足()3,4,32x a a f x ⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦恒成立，则需求解在给定区间()max 3f x ≤，根据前面分类讨论结合复合函数的单调性讨论函数()f x 的单调性，分别求解其最大值，列式求解即可.【详解】（1）当()11f =时，即()()1log 1log 112a a a f a ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，首先要保证10102a a ->⎧⎪⎨->⎪⎩，所以01a <<.将()log 1log 112a a a a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭化简为()1(12a a a ⎫--=⎪⎭，即2520a a -+=，解得a =又01<<，所以a =（2）情况一：当01a <<时，()f x 在3,42x a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以max 3()32f x f a ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，而3log log 2log 2322a a a a f a a ⎛⎫=+=-≤ ⎪⎝⎭，即log 21a -≤，即1log 21log a aa≥-=， 又=log a y x 在()0,∞+上单调递减， 所以12a ≥，解得102a <≤. 所以此时102a <≤. 情况二：当110a <<时，()f x 在3,42x a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()max ()43f x f a =≤，而()2721214log 3log log log 23222a a a a a a f a a =+==+≤， 即21log 1log ,2a a a ≤= 即212a ≥，矛盾，所以舍去. 综上可知，102a <≤. 所以，实数a 的取值范围102⎛⎤⎥⎝⎦，21．已知函数()()2123log 6f x x x a -=--+.(1)当8a =时，求()f x 的单调区间，并利用定义进行证明；(2)当10a =时，不等式()()2222f x mf x m -≥-⎡⎤⎣⎦对)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,+∞，证明见解析； (2)(],1-∞.【分析】（1）采用配凑法可求得()f x ，代入8a =得到()()22log 1f x x =-，根据对数真数大于零可求得()f x 定义域；令121x x <<-，431x x >>，分别证得()()210f x f x -<，()()430f x f x ->，由单调性的定义可得结论；（2）由（1）可求得()()22log 1f x x =+，根据对数型复合函数值域的求法可求得()2f x ≥，令()t f x =，可将问题转化为2222t mt m -≥-对[)2,t ∈+∞恒成立； 方法一：采用分离变量法，得到()12121m t t ≤--+-，令1b t =-，()12h b b b=-+，根据单调性可知()min 2h b =，得到22m ≤，从而得到m 的取值范围；方法二：将问题转化为22220t mt m --+≥对[)2,t ∈+∞恒成立，分别讨论2m ≤和m>2的情况，结合二次函数单调性可得最小值，由最小值大于等于零可构造不等式求得结果. 【详解】（1）()()()()22212223log 6log 6log 39f x x x a x x a x a ⎡⎤-=--+=-+=-+-⎣⎦，()()22log 9f x x a ∴=+-；当8a =时，()()22log 1f x x =-，由210x ->得：1x <-或1x >，即()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞；()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,+∞，证明如下：令121x x <<-，则()()()()222222221121222122221111log 1log 1log log 11x x x x f x f x x x x x --+--=---==--2221221log 11x x x ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭； 121x x <<-，22210x x ∴-<，2110x ->，222121111x x x -∴+<-，2221221log 101x x x ⎛⎫-∴+< ⎪-⎝⎭， 即()()210f x f x -<，f x 在(),1-∞-上单调递减；令431x x >>，则()()()()222222433443242322223311log 1log 1log log 11x x x x f x f x x x x x -+---=---==--2243223log 11x x x ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭， 431x x >>，22430x x ∴->，2310x ->，224323111x x x -∴+>-，2243223log 101x x x ⎛⎫-∴+> ⎪-⎝⎭， 即()()430f x f x ->，f x 在()1,+∞上单调递增；f x 的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,+∞.（2）由（1）知：()()22log 9f x x a =+-，则当10a =时，()()22log 1f x x =+；当x ≥214x +≥，()2log 42f x ∴≥=， 令()t f x =，则2t ≥，则()()2222f x mf x m -≥-⎡⎤⎣⎦对)x ∈+∞恒成立等价于2222t mt m -≥-对[)2,t ∈+∞恒成立；方法一：由2222t mt m -≥-得：()()()22121121212111t t t m t t t t -+---≤==--+---，设1b t =-，则1b ≥，设()12h b b b=-+，y b =在[)1,+∞上单调递增，1y b=在[)1,+∞上单调递减，()h b ∴在[)1,+∞上单调递增，()()min 12h b h ∴==，即()11221t t --+≥-，22m ∴≤，解得：1m ， ∴实数m 的取值范围为(],1-∞.方法二：由2222t mt m -≥-得：22220t mt m --+≥对[)2,t ∈+∞恒成立；令()2222t t mt m ϕ=--+，对称轴为t m =，①当2m ≤时，()t ϕ在[)2,+∞上单调递增，()()min 2220t m ϕϕ∴==-≥，解得：1m ； ②当m>2时，()t ϕ在[)2,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增，()()()22min 22110t m m m m ϕϕ∴==-+-=---≥，不等式无解；综上所述：实数m 的取值范围为(],1-∞.22．目前各地已经陆续开展供暖工作，供暖缴费方式有两种，一种是按照流量计费，另一种是按照面积计费.现一小组随机抽查某小区一单元住户进行了解后发现，当住户中有%(0100)x x <<成员按照流量方式缴费时，人均缴费费用为()4800020100,0602300,60100x x f x x x ⎧++<≤⎪=⎨⎪<<⎩（单位：元），而按照面积方式缴费的人均缴费费用不受x 的影响，为固定值2100元，请根据上述提供的信息解决下面问题： (1)当x 取得何值时，满足流量方式缴费的人均缴费费用等于按照面积方式缴费的人均缴费费用； (2)已知该小区这一单元住户的人均缴费费用计算公式为()()()%21001%F x f x x x =⋅+⋅-，讨论()F x 的单调性.【答案】(1)40x =或60x =(2)在(]0,50x ∈时单调递减，在()50,100x ∈时单调递增【分析】（1）由()2100f x =求得对应x 的值.（2）求得()F x 的解析式，结合二次函数、一次函数的单调性求得正确答案. 【详解】（1）因为23002100≠，所以当流量方式缴费的人均缴费费用等于按照面积方式缴费的人均缴费费用时，x 的取值范围为060x <≤.当()2100f x =时，满足48000201002100x x++=， 即有480002020000x x+-=，整理为210024000x x -+=. 解得()()40600x x --=，所以40x =或60x =.（2）()()%2100(1%)F x f x x x =⋅+⋅-20.2202580,060,22100,60100x x x x x ⎧-+<≤=⎨+<<⎩当060x <≤时，()220.22025800.2(50)2080F x x x x =-+=-+，所以()F x 在(]0,50x ∈时单调递减，在(]50,60x ∈时单调递增，并且()2600.2(6050)20802100F =-+=元；当60100x <<时，()22100F x x =+在()60,100x ∈上单调递增， 并且()2100F x >元.综上，()F x 在(]0,50x ∈时单调递减，在()50,100x ∈时单调递增.。
2022届高考数学解三角形综合满分突破专题七 三角形中的结构不良题型(解析版)
专题七 三角形中的结构不良题型结构不良题型2020年新高考试卷中出现了结构不良试题，所谓结构不良，就是试题不是完整呈现，一般需要考生从给出的多个条件中选出一个或两个补充完整进行解答，试题具有一定的开放性，不同的选择可能导致不同的结论，难度与用时也会有所不同．此类题型的设置一定程度上让学生参与了命题，从传统解题向解决问题的思维转变．【例题选讲】[例1](2020·新全国Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析 方案一：选条件①．由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32．由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b ．于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ．由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1． 方案二：选条件②．由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32，由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b ．于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3，由②c sin A ＝3，所以c ＝b ＝23，a ＝6．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝23． 方案三：选条件③．由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32，由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b ．于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ．由③c ＝3b ，与b ＝c 矛盾，因此，选条件③时问题中的三角形不存在．[例2] (2020·北京)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积．条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解析 (从条件①②中任选一个即可)选条件①：c ＝7，cos A ＝－17，且a ＋b ＝11．(1)在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（11－a ）2＋72－a 22×（11－a ）×7＝－17，解得a ＝8．(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－149＝437． 在△ABC 中，由正弦定理，得sin C ＝c ·sin A a ＝7×4378＝32．∵a ＋b ＝11，a ＝8，∴b ＝3，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×3×32＝63．选条件②：cos A ＝18，cos B ＝916，且a ＋b ＝11．(1)∵A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，cos A ＝18，cos B ＝916，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－164＝378，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫9162＝5716．在△ABC 中，由正弦定理，可得a b ＝sin A sin B ＝3785716＝65．又∵a ＋b ＝11，∴a ＝6，b ＝5．(2)sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝378×916＋18×5716＝327128＝74．∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×5×74＝1574．[例3]在：①a ＝3c sin A －a cos C ，②(2a －b )sin A ＋(2b －a )sin B ＝2c sin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝3，而且________． (1)求角C ；(2)求△ABC 周长的最大值．解析 (1)选①：因为a ＝3c sin A －a cos C ，所以sin A ＝3sin C sin A －sin A cos C ，因为sin A ≠0，所以3sin C －cos C ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫C －π6＝12， 因为0<C <π，所以－π6<C －π6<5π6，所以C －π6＝π6，即C ＝π3．选②：因为(2a －b )sin A ＋(2b －a )sin B ＝2c sin C ，所以(2a －b )a ＋(2b －a )b ＝2c 2， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，因为0<C <π，所以C ＝π3．(2)由(1)可知，C ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝3，即a 2＋b 2－ab ＝3，所以(a ＋b )2－3＝3ab ≤3(a ＋b )24，所以a ＋b ≤23，当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以a ＋b ＋c ≤33，即△ABC 周长的最大值为33． 【对点训练】1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b 2＝(b 2＋c 2－a 2)(1－tan A )． (1)求角C ；(2)若c ＝210，D 为BC 的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度．条件①：△ABC 的面积S ＝4且B >A ，条件②：cos B ＝255．2．在①3c 2＝16S ＋3(b 2－a 2)，②5b cos C ＋4c ＝5a ，这两个条件中任选一个，补充在下面横 线处，然后解答问题．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，已知________． (1)求tan B 的值；(2)若S ＝42，a ＝10，求b 的值．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)3．在条件①(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，②a sin B ＝b cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6， ③b sin B ＋C2＝a sin B 中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＋c ＝6，a ＝26，________，求△ABC 的面积．4．从①B ＝π3，②a ＝2，③b cos A ＋a cos B ＝3＋1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若4S ＝b 2＋c 2－a 2，b ＝6，且________，求△ABC 的面积S 的大小．5．在①cos A ＝35，cos C ＝255；②c sin C ＝sin A ＋b sin B ，B ＝60°；③c ＝2，cos A ＝18三个条件中任选一个填至横线上，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，________，求△ABC 的面积S ． (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)专题七 三角形中的结构不良题型结构不良题型2020年新高考试卷中出现了结构不良试题，所谓结构不良，就是试题不是完整呈现，一般需要考生从给出的多个条件中选出一个或两个补充完整进行解答，试题具有一定的开放性，不同的选择可能导致不同的结论，难度与用时也会有所不同．此类题型的设置一定程度上让学生参与了命题，从传统解题向解决问题的思维转变．【例题选讲】[例1](2020·新全国Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解析 方案一：选条件①．由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32．由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b ．于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ．由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1．方案二：选条件②．由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32，由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b ．于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3，由②c sin A ＝3，所以c ＝b ＝23，a ＝6．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝23．方案三：选条件③．由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32，由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b ．于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ．由③c ＝3b ，与b ＝c 矛盾，因此，选条件③时问题中的三角形不存在．[例2] (2020·北京)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积．条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解析 (从条件①②中任选一个即可)选条件①：c ＝7，cos A ＝－17，且a ＋b ＝11．(2)若 c ＝2 10，D 为 BC 的中点，在下列两个条件中任选一个，求 AD 的长度．(1)在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（11－a ）2＋72－a 22×（11－a ）×7＝－17，解得a ＝8．(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－149＝437．在△ABC 中，由正弦定理，得sin C ＝c ·sin A a ＝7×4378＝32．∵a ＋b ＝11，a ＝8，∴b ＝3，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×3×32＝63．选条件②：cos A ＝18，cos B ＝916，且a ＋b ＝11．(1)∵A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，cos A ＝18，cos B ＝916，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－164＝378，sin B ＝1－cos 2B ＝1－(916)2＝5716．在△ABC 中，由正弦定理，可得a b ＝sin A sin B ＝3785716＝65．又∵a ＋b ＝11，∴a ＝6，b ＝5．(2)sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝378×916＋18×5716＝327128＝74．∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×5×74＝1574．[例3]在：①a ＝3c sin A －a cos C ，②(2a －b )sin A ＋(2b －a )sin B ＝2c sin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝3，而且________．(1)求角C ；(2)求△ABC 周长的最大值．解析 (1)选①：因为a ＝3c sin A －a cos C ，所以sin A ＝3sin C sin A －sin A cos C ，因为sin A ≠0，所以3sin C －cos C ＝1，即sin (C －π6)＝12，因为0<C <π，所以－π6<C －π6<5π6，所以C －π6＝π6，即C ＝π3．选②：因为(2a －b )sin A ＋(2b －a )sin B ＝2c sin C ，所以(2a －b )a ＋(2b －a )b ＝2c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，因为0<C <π，所以C ＝π3．(2)由(1)可知，C ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝3，即a 2＋b 2－ab ＝3，所以(a ＋b )2－3＝3ab ≤3(a ＋b )24，所以a ＋b ≤23，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以a ＋b ＋c ≤33，即△ABC 周长的最大值为33．【对点训练】1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b 2＝(b 2＋c 2－a 2)(1－tan A )．(1)求角C ；条件①：△ABC 的面积S ＝4且B >A ，条件②：cos B ＝255．1．解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理知b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，所以2b 2＝2bc cos A (1－tan A )，所以b ＝c (cos A －sin A )．又由正弦定理知b c ＝sin Bsin C，得sin B ＝sin C (cos A －sin A )，所以sin(A ＋C )＝sin C (cos A －sin A )，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A －sin C sin A ，所以sin A cos C ＝－sin C sin A ．因为sin A ≠0，所以cos C ＝－sin C ，所以tan C ＝－1．又因为0<C <π，所以C ＝3π4．(2)若选择条件①．△ABC 的面积S ＝4，且B >A ．因为S ＝4＝12ab sin C ＝12ab sin 3π4，所以ab ＝82．由余弦定理知c 2＝(210)2＝40＝a 2＋b 2－2ab cos 3π4，所以a 2＋b 2＋2ab ＝40，由Error!解得Error!或Error!因为B >A ，所以b >a ，所以Error!所以CD ＝BD ＝2．在△ACD 中，AD 2＝CA 2＋CD 2－2CA ·CD ·cos C ＝16＋2－2×4×2cos 3π4＝26，所以AD ＝26．若选择条件②，cos B ＝255．因为cos B ＝255，所以sin B ＝55．所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝1010．由正弦定理知，c sin C ＝asin A，所以a ＝c sin Asin C ＝22．在△ABD 中，由余弦定理知AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，解得AD ＝26．2．在①3c 2＝16S ＋3(b 2－a 2)，②5b cos C ＋4c ＝5a ，这两个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，已知________．(1)求tan B 的值；(2)若S ＝42，a ＝10，求b 的值．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)2．解析 选择条件①：(1)由题意得8ac sin B ＝3(a 2＋c 2－b 2)，即4sin B ＝3·a 2＋c 2－b 22ac，整理可得3cos B －4sin B ＝0．又sin B >0，所以cos B >0，所以tan B ＝sin B cos B ＝34．(2)由tan B ＝34，得sin B ＝35．又S ＝42，a ＝10，所以S ＝12ac sin B ＝12×10c ×35＝42，解得c ＝14．将S ＝42，a ＝10，c ＝14代入3c 2＝16S ＋3(b 2－a 2)，得3×142＝16×42＋3(b 2－102)，解得b ＝62．选择条件②：(1)已知5b cos C ＋4c ＝5a ，由正弦定理，得5sin B cos C ＋4sin C ＝5sin A ，即5sin B cos C ＋4sin C ＝5sin(B ＋C )，即sin C (4－5cos B )＝0．在△ABC 中，因为sin C ≠0，所以cos B ＝45．所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以tan B ＝34．(2)由S ＝12ac sin B ＝12×10c ×35＝42，解得c ＝14．又a ＝10，所以b 2＝100＋196－2×140×45＝72，所以b ＝62．3．在条件①(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，②a sin B ＝b cos (A ＋π6)，③b sin B ＋C2＝a sin B 中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＋c ＝6，a ＝26，________，求△ABC 的面积．3．解析 若选①，由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12．因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3．又a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，a ＝26，b ＋c ＝6，所以bc ＝4，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×sin π3＝3．若选②，由正弦定理得sin A sin B ＝sin B cos (A ＋π6)．因为0<B <π，所以sin B ≠0，所以sin A ＝cos (A ＋π6)，化简得sin A ＝32cos A －12sin A ，即tan A ＝33．因为0<A <π，所以A ＝π6．又因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π6，所以bc ＝(b ＋c )2－a 22＋3＝62－(26)22＋3＝24－123，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×(24－123)×12＝6－33．若选③，由正弦定理得sin B sin B ＋C 2＝sin A sin B ，因为0<B <π，所以sin B ≠0，所以sin B ＋C2＝sinA ．又因为B ＋C ＝π－A ，所以sin π－A 2＝sin A ，即cos A 2＝2sin A 2cos A2，因为0<A <π，所以0<A 2<π2，所以cos A 2≠0，所以sin A 2＝12，所以A ＝π3．又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，a ＝26，b ＋c ＝6，所以bc ＝4，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×sin π3＝3．4．从①B ＝π3，②a ＝2，③b cos A ＋a cos B ＝3＋1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若4S ＝b 2＋c 2－a 2，b ＝6，且________，求△ABC 的面积S 的大小．4．解析 因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，S ＝12bc sin A ，所以2bc sin A ＝2bc cos A ，显然cos A ≠0，所以tan A ＝1，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4．若选择①B ＝π3，由a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B＝6×2232＝2．又sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×12＋22×32＝6＋24，所以S ＝12ab sin C ＝3＋32．若选择②a ＝2，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32，B ∈(0，π2)，所以cos B ＝12．sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝6＋24．所以S ＝12ab sin C ＝3＋32．若选择③b cos A ＋a cos B ＝3＋1，所以a cos B ＝1，即a ·a 2＋c 2－62ac＝1，所以a 2＝6＋2c －c 2，又a 2＝6＋c 2－26c ·22＝6＋c 2－23c ，所以6＋2c －c 2＝6＋c 2－23c ，解得c ＝3＋1，所以S ＝12bc sin A ＝3＋32．5．在①cos A ＝35，cos C ＝255；②c sin C ＝sin A ＋b sin B ，B ＝60°；③c ＝2，cos A ＝18三个条件中任选一个填至横线上，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，________，求△ABC 的面积S ．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)5．解析 解 选①．∵cos A ＝35，cos C ＝255，∴sin A ＝45，sin C ＝55，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝45×255＋35×55＝11525．由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝3×1152545＝33520，∴S ＝12ab sin C ＝12×3×33520×55＝9940．选②．∵c sin C ＝sin A ＋b sin B ，∴结合正弦定理，得c 2＝a ＋b 2．∵a ＝3，∴b 2＝c 2－3．又∵B ＝60°，∴b 2＝c 2＋9－2×3×c ×12＝c 2－3，∴c ＝4，∴S ＝12ac sin B ＝33．选③．∵c ＝2，cos A ＝18，∴结合余弦定理，得18＝b 2＋22－322×b ×2，即b 2－b 2－5＝0，解得b ＝52或b ＝－2(舍去)．又∵sin A ＝1－cos 2A ＝378，∴S ＝12bc sin A ＝12×52×2×378＝15716．。
2021-2022学年山东省潍坊市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
山东省潍坊市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有( ) A ．8条B ．6条C ．4条D ．2条〖解 析〗如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有：BC ，CD ，11C D ，11B C ． 〖答 案〗C2．下列命题正确的是( ) A ．若向量//a b ，//b c ，则//a c B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．方向不同的两个向量不可能是共线向量D ．若向量(3,6)a =--，则a 分别在x 轴，y 轴上的投影的数量之和为9-〖解 析〗A ．若a 与c 不共线，0b =，满足//a b ，//b c ，则得不出//a c ，A 错误； B ．模相等方向相反时，这两个向量不相等，B 错误； C ．方向相反的两个向量共线，C 错误；D.(3,6)a =--在x 轴上的投影为3-，在y 轴上的投影为6-，D 正确．〖答 案〗D3．下列各式化简结果为12的是( ) A ．212cos 75-︒ B ．sin15cos15︒︒C ．sin14cos16sin76cos74︒︒+︒︒D ．tan20tan25tan20tan25︒+︒+︒︒〖解 析〗对于A ，原式1(1cos150)cos150cos30=-+︒=-︒=︒=，故错误； 对于B ，原式1111sin302224=︒=⨯=，故错误；对于C ，原式1sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin302=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，故正确； 对于D ，原式tan(2025)(1tan20tan25)tan20tan25=︒+︒-︒︒+︒︒tan45(1tan20tan25)tan20tan251tan20tan25tan20tan251=︒-︒︒+︒︒=-︒︒+︒︒=，故错误．〖答 案〗C4．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，2()f z z =就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数()f z 之后，对任意一个复数0z ，通过计算公式1()n n z f z +=，n N ∈，可以得到一列值0z ，1z ，2z ，⋯，n z ，⋯．若2()f z z =，01z i =-，当3n 时，(n z = ) A ．122n -B ．22nC ．122n +D ．14n -〖解 析〗依题意，21(1)2z i i =-=-，22(2)4z i =-=-，243(4)2z =-=， 当3n 时，0n z >，由21n n z z +=，得：212log 2log n n z z +=，而23log 4z =，则2122n nlog z log z +=，当4n 时，252622422323242521n n n log z log z log z log z log z log z log z log z log z log z -=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯31422n n --=⨯=， 23log 4z =满足上式，∴当3n 时，12log 2n n z -=，122n n z -=．〖答 案〗A5．在ABC ∆中，若3AB =，4BC =，30C =︒，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定〖解 析〗3AB =，4BC =，AB BC <，C A ∴<，A ∴必为大于30︒的角，故A 可以为锐角，也可以是钝角，∴此三角形有二解．〖答 案〗B 6．若tan 2θ=-，则sin cos2(sin cos θθθθ=- )A ．65-B ．25-C ．25D ．65〖解 析〗因为tan 2θ=-，所以sin cos2sin cos θθθθ-22sin ()sin cos cos sin θθθθθ-=-sin (cos sin )(cos sin )sin cos θθθθθθθ+-=-2sin cos sin θθθ=--222sin cos sin sin cos θθθθθ--=+22tan 1tan tan θθθ--=+2441-=+25=-． 〖答 案〗B7．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，且AF CE G =，则( )A ．12AF AD AB =-B ．2133AG AD AB =- C ．1()2EF AD AB =+D ．3BG GD =〖解 析〗E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，∴12EF AC =， AC AD AB =+，∴1()2EF AD AB =+，故选项C 正确； 12AF AD DF AD AB =+=+，故选项A 错误； 221333AG AF AD AB ==+，故选项B 错误； 2BG GD =，故选项D 错误．〖答 案〗C8．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=>，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，则实数ω的取值范围为( ) A ．137(,]62B ．725(,]26C ．814(,]33D ．28(,]33〖解 析〗函数()cos (0)2cos()3f x x x x πωωωω=>=+，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，(33x ππω+∈，)3πωπ+， 353ππωππ∴<+，求得81433ω<． 〖答 案〗C二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．已知正四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则( )A ．正四棱台的高为2BC ．正四棱台的表面积为20+D〖解 析〗对于A ，正四棱台上下底面对角线长为，∴正四棱台的高h ==错误；对于B ，正四棱台的斜高h '==B 正确；对于C ，正四棱台侧面积为14(24)2⨯⨯+4，16，∴正四棱台的表面积41620S =++=+C 正确；对于D ，正四棱台的体积1(416)3V =D 正确．〖答 案〗BCD10．设1z ，2z ，3z 为复数，且30z ≠，则下列命题正确的是( ) A ．若12||||z z =，则12z z =± B ．若1323z z z z =，则12z z = C ．若2313||z z z =，则13z z =D ．若21z z =，则1323||||z z z z =〖解 析〗当11z =，2z i =时，12||||z z =，但12z z ≠±，故选项A 错误；1323z z z z =，且30z ≠，12z z ∴=，故选项B 正确；当1z i =，3z i =-时，2313||z z z =，但13z z ≠，故选项C 错误； 若21z z =，则1313||||||z z z z =⋅，23231313||||||||||||||z z z z z z z z =⋅=⋅=⋅， 故选项D 正确． 〖答 案〗BD11．已知函数()cos(2)12f x x π=+，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于直线1124x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点7(,0)24π-对称D ．函数()f x 在(0,)4π上单调递减〖解 析〗对于函数()cos(2)12f x x π=+，对于A ：函数的最小正周期为22ππ=，故A 错误； 对于B ：当1124x π=时，1124()cos 12424f ππ==-，故B 正确； 对于C ：当724x π=-时，7142()cos()cos()02424242f ππππ--=+=-=，故C 正确； 对于D ：当(0,)4x π∈时，72(,)121212x πππ+∈，故函数在该区间上单调递减，故D 正确．〖答 案〗BCD12．在ABC ∆中，P ，Q 分别为边AC ，BC 上一点，BP ，AQ 交于点D ，且满足AP tPC =，BQ QC λ=，BD DP μ=，AD mDQ =，则下列结论正确的为( )A ．若12t =且3λ=时，则23m =，9μ=B ．若2μ=且1m =时，则13λ=，12t =C ．若121tλ-=时，则121t μ-=D ．(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++ 〖解 析〗由题意得：1t AC AP t +=，1m AQ AD m+=，BQ QC λ=， ()AQ AB AC AQ λ-=-，即111AQ AC AB λλλ=⋅+⋅++， 即11111m t AD AP AB m t λλλ++=⋅⋅+⋅++， 所以111111t m mAD AP AB t m m λλλ+=⋅⋅+⋅++++，因为B ，D ，P 三点共线，所以1111111t m mt m m λλλ+⋅⋅+⋅=++++，当12t =，且3λ=时，11312111311312m m m m +⋅⋅+⋅=++++，解得23m =，1BP BD μμ+=，1BC BQ λλ+=，AP tPC =， ∴()BP BA t BC BP -=-，即111t BP BC BA t t=⋅+⋅++， 即11111t BD BC BA t t μλμλ++=⋅⋅+⋅++，所以111111t BD BC BA t t λλλλλλ+++=⋅⋅+⋅++，因为A ，D ，Q 三点共线，所以1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++， 当12t =，且3λ=时，131121113111122μμμμ+⋅⋅+⋅=++++，解得9μ=，故A 正确； 若2μ=且1m =时，11211t t λλλ+⋅+=++，，113112t t t λλ+⋅+=++，解得12λ=，13t =，故B 错误； 1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++，变形为1111t t t t λλλμ++=+++①， 若121t λ-=时，则2t t λλ-=，代入①式得1111t μ-=+， 假设1111t μ-=+成立，则121t t=+，解得2t =-，此时10λ=，显然无解，故假设不成立，故C 错，同理可得1111111m m m λμμλμμ++⋅⋅+⋅=+++，1111111m t m m t m μμμ++⋅⋅+⋅=+++，所以111111(1)(1)t m m t m m μμμμμ-⋅=-=++++++，111111(1)(1)m m m m m λμμλμμ-⋅=-=++++++， 所以(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++．故D 正确． 〖答 案〗AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答 案〗填在答题卡的相应位置． 13．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若222sin a c b B +-=，则B = ．〖解析〗因为222sin a c b B +-=，所以由余弦定理可得2cos sin ac B B =，所以可得tan B =， 又(0,)B π∈，则3B π=．〖答 案〗3π14．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，侧棱长为2，则其外接球的表面积为 ． 〖解 析〗如图，设正三棱柱111ABC A B C -的上下底面中心分别为E ，F ，则由正三棱柱与球的对称性可知EF 的中点O 即为正三棱柱111ABC A B C -的外接球心， OA ∴即为外接球的半径R ，设正三角形ABC 的截面小圆半径为r ，又正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，∴由正弦定理可得12sin 60r =︒，∴r =，又12EF AA ==，1OF ∴=，在Rt AOF ∆中由勾股定理可得222r OF R +=，∴2113R +=，∴243R =，∴正三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为24164433R πππ=⨯⨯=． 〖答 案〗163π 15．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即A ，B 两点间的距离），现取与A ，B 两点在同一平面内的两点C ，D ，测得C ，D 间的距离为1500米，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为 米．〖解 析〗由题意可知在ADC ∆中，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 则1801501515DAC ∠=︒-︒-︒=︒，故1500AD DC ==， 在BDC ∆中，15120135DCB ACD ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故1801351530DBC ∠=︒-︒-︒=︒，故由sin sin BD CDDCB DBC=∠∠得1500sin 21sin 2CD DCB BD DBC ∠===∠，在ADB ∆中，2222cos135AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒，22215002150051500=++⨯⨯=⨯，故AB =)． 〖答案〗16．在平面直角坐标系xOy 中，给定1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，假设O ，A ，B 不在同一直线上，利用向量的数量积可以方便的求出OAB ∆的面积为12211||2S x y x y =-．已知三点(1,1)A ，(3,4)B -，2(,8)1tC t +，则ABC ∆面积的最大值为 ． 〖解 析〗依题意，在ABC ∆中，1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ， 则ABC ∆的面积为12211||2S x y x y =-， 当(1,1)A ，(3,4)B -，2(1t C t +，8)时，(4,3)AB =-，2(11t AC t =-+，7) 则ABC ∆面积22113|3(1)28||25|2121ABC t t S t t ∆=-+=+++， 显然ABC ∆面积取最大值时，必有0t >，因此，当0t >时，213131353(25)(25)(25)1212242ABC t S t t t t ∆=+=+=++⨯， 当且仅当1t =时取“=”， 所以ABC ∆面积的最大值为534． 〖答 案〗534四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知(3,)A m ，(2,1)B ，(2,1)C -，(,2)D n -是复平面内的四个点，其中m ，n R ∈，且向量AC ，BD 对应的复数分别为1z ，2z ，且1262z z i -=-+． （1）求1z ，2z ； （2）若复数12z tz z +=，t R ∈，在复平面内对应的点Z 在第四象限，求实数t 的取值范围． 解：（1）由已知可得(5,1)AC m =--，(2BD n =-，3)-， 则15(1)z m i =-+-，223z n i =--，所以123(4)62z z n m i i -=--+-=-+，则3642n m -=-⎧⎨-=⎩，解得2m =，9n =，所以15z i =--，273z i =-， （2）因为125(5)(73)(327)(223)73(73)(73)58z t i t t i i t t iz z i i i +--+-+-+-++-+====--+ 在复平面内对应的点在第四象限，则32702230t t -+>⎧⎨-+<⎩，解得322273t <<，即实数t 的范围为3222(,)73． 18．（12分）已知向量(1,2)a =，(2,5)b =-，2()c a tb t R =+∈． （1）若c b ⊥，求t 的值；（2）若c 与a 的夹角为锐角，求t 的取值范围． 解：（1）c b ⊥，(22,45)c t t =-+，∴2(22)5(45)0c b t t ⋅=--++=，∴1629t =-； （2）c 与a 的夹角为锐角，∴0c a ⋅>，且c 与a 不共线，∴222(45)0452(22)0t t t t -++>⎧⎨+--≠⎩，解得54t >-且0t ≠，t ∴的取值范围为：504t t t ⎧⎫-≠⎨⎬⎩⎭且．19．（12分）在ABC ∆中，点P 在边BC 上，3C π=，4AP =，记AC 的长为m ，PC 的长为n ，且16mn =． （1）求APB ∠；（2）若ABC ∆的面积为sin PAB ∠． 解：（1）在APC ∆中，由于3C π=，AC m =，PC n =，16AC PC mn ⋅==，所以利用余弦定理2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅，整理得：22216()3m n mn m n mn =+-=+-，解得8m n +=，故4m n ==， 则：AC PC AP ==，所以APC ∆为等边三角形，所以23APB π∠=． （2）由ABC S ∆=，所以1sin 2AC BC ⋅⋅⋅=7BC =，则3BP =；如图所示：作AD BC ⊥交BC 于点D ，由（1）可知：在等边三角形APC 中，AD =2PD =，在Rt ABD ∆中，AB = 在ABP ∆中，利用正弦定理：sin sin AB PBAPB PAB=∠∠，整理得：3sin74PAB ∠==．20．（12分）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1)．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2)．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花50朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（参考数据： 3.14)π≈；（2）若C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点)S ，从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．解：（1）圆锥的侧面展开图的面积为：618339.12S rl ππ==⨯⨯≈， 需要的鲜花为：339.125016956⨯=（朵)； （2）圆锥的侧面展开图如图：122183ASC ππ∠==，18SA =，6SC =，在SAC ∆中，AC ==即灯光带的最小长度为米．21．（12分）已知函数5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围． 解：（1）5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++ sin 2cos cos2sin 2cos()sin()6644x x x x ππππ=-+++12cos2sin(2)22x x x π=-++12cos2cos22x x x =-+12cos22x x =+sin(2)6x π=+， 令222262k x k πππππ-+++，k Z ∈，所以36k x k ππππ-++，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：[3k ππ-+，]6k ππ+，k Z ∈．（2）函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点， 即曲线sin(2)6y x π=+与直线y k =在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个交点， 由11[,]612x ππ∈-，可得2[66x ππ+∈-，2]π， 当11[,]612x ππ∈-时，()sin(2)[16f x x π=+∈-，1]， 设26t x π=+，则sin y t =，[6t π∈-，2]π，当(1k ∈-，1)(02-⋃，1)时，曲线sin y t =与直线y k =区间[6t π∈-，2]π上有且仅有两个交点．22．（12分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)ϕπ<，()f x 图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差2π，3x π=-是()f x 的一条对称轴，且()(1)6f f π>． （1）求()f x 的〖解 析〗式；（2）将函数()f x 的图像向右平移12π个单位得到函数()t x 的图像，若存在1x ，2x ，⋯，m x 满足1205m x x x π<<⋯<，且1223|()()||()()|t x t x t x t x -+-+⋯+1|()()|20(2m m t x t x m --=，*)m N ∈，求m 的最小值；（3）令()()cos2h x f x x =-，()[()]g x h h x =，若存在[,]123x ππ∈使得2()(2)()30g x a g x a +-+-成立，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意，周期22T ππ=⨯=，故22,()sin(2)f x x πωϕπ===+， 且2()()32k k Z ππϕπ⨯-+=+∈，即7()6k k Z πϕπ=+∈， 因为||ϕπ<，故766ππϕπ=-=或75266ππϕπ=-=-， 故()sin(2)6f x x π=+或5()sin(2)6f x x π=-．当()sin(2)6f x x π=+时，()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯+==+<， 故()sin(2)6f x x π=+成立；当5()sin(2)6f x x π=-时， 55()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯-=-=->-．综上有()sin(2)6f x x π=+； （2）由题意，()sin[2()]sin 2126t x x x ππ=-+=，根据题意，要使m 的值尽量小， 则1|()()|m m t x t x --要尽量大．又1|()()|2m m t x t x --，结合()sin 2t x x =的图象可得，当12345673579110,,,,,,444444x x x x x x x ππππππ=======， 8910111213151719,,,,54444x x x x x πππππ=====时， m 的取值最小为12，（3）由（1）()2sin(2)6f x x π=+，所以1()()cos2sin(2)cos2cos2cos262h x f x x x x x x x π=-=+-=+-12cos2sin(2)26x x x π=-=-， 当[,]123x ππ∈时，0262x ππ-， 0()1h x ∴，所以，2()2666h x πππ---，所以，1()[()]sin[2()][,sin(2)]626g x h h x h x ππ==-∈--， ∴1()1[,1sin(2)]26g x π+∈+-，2223ππ<<，∴2362πππ<-<sin(2)16π<-<， 由2()(2)()30g x a g x a +-+-，可得2()2()3[()1]g x g x a g x +++，所以，22()2()3[()1]22()1()1()1()1g x g x g x a g x g x g x g x ++++==+++++，由基本不等式可得2()12[()()1g x g x g x ++++，当且仅当1()1[,1sin(2)]26g x π++-时，等号成立，所以，22a ．即a ∈)+∞．。
卷6-备战2022年高考数学(理)【名校地市好题必刷】全真模拟卷(全国卷专用)第二辑(解析版)
备战2022年高考数学（理）【名校地市好题必刷】全真模拟卷（全国卷专用）第六模拟（本卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2022·河南·高三期末（理））已知集合{}0,N A x x a x =≤≤∈，{}1,2,3B =，若A B B =，则a 的取值范围是（ ） A ．{}3 B ．()3,+∞C ．[)3,4D ．[)3,+∞【答案】D 【解析】解：因为A B B =，所以B A ⊆， 又{}0,N A x x a x =≤≤∈，{}1,2,3B =， 所以3a ≥. 故选：D.2．（2022·安徽蚌埠·高三期末（理））设复数202212i 2i z +⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则z =（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】B 【解析】()()()()12i 2i 12i 5i i 2i 2i 2i 5+++===--+，因此()()1011101120222i i 11z ===-=-. 故选：B.3．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））设0x >且1x ≠，0y >且1y ≠，则“log 0x y <”是“()()110x y --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】01log 01x x y y <<⎧<⇒⎨>⎩或101x y >⎧⎨<<⎩，因此有(1)(1)0x y --<，充分性满足，当(1)(1)0x y --<时，10,10x y --或10,10x y ->-<，结合前提条件可得log 0x y <，必要性满足．因此是充分必要条件． 故选：C ．4．（2022·吉林白山·高三期末（理））某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图.根据双层饼图，下列说法正确的是（ ）A ．2020年第四季度的销售额为380万元B ．2020年上半年的总销售额为500万元C ．2020年2月份的销售额为60万元D ．2020年12个月的月销售额的众数为60万元 【答案】D 【解析】不妨设全年总销售额为x 万元，则第二季度的销售额可得，(6%9%11%)260x ++=，解得，1000x =，选项A ：第四季度销售额为100028%280⨯=(万元)，故A 错误； 选项B ：由图可知，上半年销售额为160260420+=(万元)，故B 错误； 选项C ：由图可知，1月份和3月份销售额之和为1000(5%6%)110⨯+=(万元)， 故2月份的销售额为16011050-=(万元)，故C 错误；选项D ：由图易知，2月份的销售额占比为5%，从而由图可知，月销售额占比为6%的月份最多，故月销售额的众数为10006%60⨯=(万元)，故D 正确. 故选：D.5．（2022·内蒙古通辽·高三期末（理））酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量在20~80mg 之间为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2mg/mL ，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）（参考数据：lg 20.3≈，lg30.48≈）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】设该驾驶员至少需经过x 个小时才能驾驶汽车，则()120120%20x-<，所以81106x⎛⎫< ⎪⎝⎭，则8101lg 6lg 2lg3log 7.86lg 0.83lg 21x --->==≈-，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车. 故选：C6．（2021·江西宜春·高三期末（理））我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数图象的特征.函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ()()ln ||cos ()sin x x f x f x x x-⋅--==---，为奇函数，排除A(1)0f =，()02f π=，()03f π>，()0f π<故选：D 【点睛】由解析式找图像的问题，可根据奇偶性，单调性，对称性，特殊值等排除选项，找出答案. 7．（2022·四川巴中·一模（理））已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则下列命题中错误的是（ ） A ．1n n n S S a q +=+⋅ B ．11n n S S qS +=+C ．2S ，42S S -，64S S -成等比数列D ．“12q =-”是“n S ，2n S +，1n S +成等差数列”的充要条件【答案】C 【解析】对于选项A ，因为11n n n S S a ++-=，又等比数列{}n a 的公比为q ，所以1n n a a q +=⋅ 所以1n n n S S a q +-=⋅，即1n n n S S a q +=+⋅，故A 正确；因为()111231123......n n n S qS a q a a a a a a q a q a q a q +=+++++=+++++ 12311...n n a a a a S ++=++++=，所以11n n S S qS +=+，故B 正确；当1q =-时，224640S S S S S =-=-=，显然此时2S ，42S S -，64S S -不能成等比数列，故C 错误；若n S ，2n S +，1n S +成等差数列，则212n n n n S S S S +++-=-，所以221n n n a a a ++++=-， 即122n n a a ++=-，所以1212n n a q a ++==，所以“12q =-”是“n S ，2n S +，1n S +成等差数列”的充要条件，故D 正确.8．（2022·吉林四平·高三期末（理））如图，1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A 、B ．若2ABF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．4B 7C 23D 3【答案】B 【解析】解：根据双曲线的定义可得122BF BF a -=，因为2ABF 为等边三角形，所以2BF AB =，12120F AF ∠=︒ 所以112BF AB AF a -==，因为212AF AF a -=，所以2124AF AF a a =+=， 因为在12AF F △中，122,4AF a AF a ==，12120F AF ∠=︒， 所以2221212122cos120F F AF AF AF AF =+-⋅︒， 即222214416224282c a a a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以7c a ，所以双曲线的离心率为7ce a= 故选：B9．（2022·四川雅安·高三期末（理））我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面A 处垂直上升的无人机P ，对地面,B C 两受灾点的视角为BPC ∠，且1tan 3BPC ∠=．已知地面上三处受灾点,,B C D 共线，且90ADB ∠=，1km BC CD DA ===，则无人机P 到地面受灾点D 处的遥测距离PD 的长度是（ ）A 2kmB ．2kmC 3kmD ．4km【答案】B 【解析】提示：法一：由题意，得BD ⊥面,PAD BD PD ∴⊥．设,PD x =记,PBD PCD ∠α∠β==， ()212tan ,tan ,tan tan 22312xx x x x x x x αβθβα-∴==∴=-===++⋅，解得1x =或2x =，又在Rt PDA △中有1, 2.x x >∴=∴选B ．法二：由题，BD ⊥面,PAD BD PD ∴⊥．设PA x =，则22225,2PB x PC x =+=+．由1tan 3BPC ∠=33cos BPC ∠⇒=PBC 中，由余弦定理得2222310521252x x x x +++-=++23x =，进而21 2.PD x +=∴选B. 故选：B.10．（2022·广西·南宁市东盟中学高三期末（理））已知函数()()2sin (00)2f x x πωϕωϕ=+><<，的最小正周期为π，且它的图象关于直线23x π=对称，则下列说法正确的个数为（ ）①将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度后，得到函数2sin y x ω=的图象；②()f x 的图象经过点()01，； ③()f x 的图象的一个对称中心是5012⎛⎫⎪⎝⎭，π；④()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由最小正周期为π，得2ω=；由23x π=为对称轴，得()4 32k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<<， 故k 取1，6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．①()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度后，得2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，错误；②()02sin 16f π==，正确；③52sin 012f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，正确； ④52636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，错误； 故选：C ．11．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期末（理））已知圆C ：()()22232x y -+-=．若直线l ：0x y m ++=上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则m 的取值范围是（ ） A ．(),9-∞- B ．(][),91,-∞⋃-+∞ C ．()1,-+∞ D ．[]9,1--【答案】D 【解析】解：根据题意，圆C ：()()22232x y -+-=的圆心为()2,3，半径2r =过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，连接PC ， 若60APB ∠=︒，则30APC ∠=︒，又由CA PA ⊥， 则||2||222PC CA r ===若直线l ：0x y m ++=上存在点P ，满足60APB ∠=︒， 则有C 到直线l 的距离2211d =≤+ 解可得：91m -≤≤-，即m 的取值范围为[]9,1--， 故选：D ．12．（2022·黑龙江·高三期末（理））已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在(0,)+∞单调递减B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】C 【解析】对于选项A ，当1a =-时，()sin x f x e x =-，(0,)x ∈+∞，()cos 0x f x e x -'=>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故选项A 不正确；对于选项B ，当时，()sin x f x e x =-，(0)1f =，故切点为(0,1) ，()cos x f x e x '=-，所以切线斜率0)0k f ='(=，故直线方程为：10(0)y x -=-，即切线方程为：1y = ，故选项B 不正确；对于选项C ，当1a =时，()+sin x f x e x =，(,0)x π∈-，()+cos x f x e x '=，()sin 0x f x e x ''=->恒成立，所以()f x '单调递增，又3433()cos()044f e πππ-'-=+-<，2()02f e ππ-'-=> 故()f x '存在唯一极值点，不妨设3,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ，则0()=0f x '，即00+cos =0x e x ，且003,()0;,()042x x f x x x f x ππ''-<<<<<->， 所以极小值000000()=+sin sin cos =2)(1,0)4xf x e x x x x π=--∈-，故选项C 正确；对于选项D ，对于()+sin x f x e a x =，(,+)x π∈-∞，令()0f x =，即+sin 0x e a x =，当,1x k k π=>-，且Z k ∈， 显然没有零点，故,1x k k π≠>-，且Z k ∈，所以sin x e a x =-则令()sin x e F x x =-，2(cos sin )()sin x e x x F x x -'=，令()=0F x '，解得+,14x k k k Z ππ=≥-∈，，所以3(,)4x ππ∈-- 单调递减，3(,0)4x π∈- 单调递增，有极小值343()240F e ππ-->，于是知(,0)x π∈-时得34()2F x e π- ，所以当342)a e π-∈时，函数无零点，对于条件中任意的0a >均有零点矛盾，故选项D 不正确；故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2022·安徽宣城·高三期末（理））已知向量()2,1a =，()1,b λ=-，若()2a b a +⊥，则a 与b 的夹角的余弦值是______． 【答案】213【解析】()()()24,21,3,2a b λλ+=+-=+，由于()2a b a +⊥，所以()()3,22,16280,8λλλλ+⋅=++=+==-， 则()1,8b =--，所以a 与b 的夹角的余弦值是2213565513a b a b⋅--===⨯⨯⋅.故答案为：21314．（2022·山西·祁县中学高三阶段练习（理））曲线()31()e x f x x mx -=-在点(1(1))f ，处的切线与直线410x y --=垂直，则该切线的方程为__________. 【答案】410x y +-= 【解析】由题意得()321()3e x f x x x mx m ---'=+，则(1)42f m '=-， 所以切线的斜率142k m =-.直线410x y --=的斜率214k =. 因为两直线相互垂直，所以121(42)14k k m =-=-，解得4m =， 则1(1)4k f '==-.所以()31()4e x f x x x -=-，则(1)3f =-， 故该切线的方程为34(1)y x +=--，即410x y +-=. 故答案为：410x y +-=15．（2022·云南昆明·高三期末（理））在ABC 中，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，若2AD =，则ABC 的面积为__________.33【解析】∴由正弦定理，sin sin6BDAD B π=，sin sin 6DC ADC π=，即1sin sin 6sin AD BD B Bπ=⋅=，1sin sin 6sin AD DC C Cπ=⋅=，而3BC =， ∴113sin sin B C+=， ∵23sin sin sin AB AC BC C B BAC ===∠123sin C =123sin B =， ∴113AC AB +=3AB AC AB +=⋅， 又由余弦定理知：2222cos AC AB AC AB BAC BC +-⋅⋅∠=，∴229AC AB AC AB +-⋅=，即2()39AC AB AC AB +-⋅=，令x AC AB =⋅， ∴24120x x --=，即6x =（2x =-舍去）， ∴133sin 2ABCSAC AB BAC =⋅⋅∠=3316．（2022·四川南充·高三期末（理））已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>上一点A 到焦点F 的距离为4，设点M 为抛物线C 准线l 上的动点，给出以下命题： ①若△MAF 为正三角形时，则抛物线C 方程为24y x =； ②若AM l ⊥于M ，则抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠； ③若3MF FA =，则抛物线C 方程为26y x =；④若OM MA +的最小值为213，则抛物线C 方程为28y x =． 其中所有正确的命题序号是________． 【答案】①②③④ 【解析】①若△MAF 为正三角形时，122p AM ==，故①正确； ②若AM l ⊥于M ，设 ()00,A x y ，过A 的切线m 方程为:00x ty ty x =-+，代入22y px =得2002220y pty pty x -+-=，()()20024220pt pty x ∆=---=，又202y px =，()200tp y ∴-=， 0y t p=，所以过A 点的切线的斜率为0p k y =，因为00022MF y yk p p p -==---，所以过A 的切线m MF ⊥，又AM AF =, 故抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠，②正确③若3MF FA =，则A M F 、、三点共线，4,12AF MF ==， 由三角形的相似比得12,3164pp ==，故③正确；④设(),0B p -则214,82A p p p ⎛-±- ⎝，O B 、关于准线l 对称，OM BM =，2221482132O p M BM MA A M B p p A ⎛⎫⎛⎫=+≥==++±- ⎪⎪⎝⎭⎭+ ⎝1402p ->,解得4p =，故④正确. 故答案为: ①②③④三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2022·安徽宣城·高三期末（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．（1）求证：数列{}n S 是等比数列； （2）求数列{}n na 的前n 项和n A ． 【解析】（1）因为n T 为数列{}n S 的前n 项和， 当1n =时，1111122S T S S S +=+==，则11S = 当2n ≥时，1n n n T T S --=2n n S T +=① 112n n S T --+=②，①－②得()122n n S S n -=≥，得()1122n n S n S -=≥ 所以数列{}n S 是首项为1公比为12的等比数列．（2）由（1）可得，数列{}n S 是以11S =为首项，以12为公比的等比数列，所以112n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭．当1n =时，1111a S T ===，当2n ≥时，1211111222n n n n n n a S S ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然对于1n =不成立，所以11,11,22n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 当1n =时，111A a ==当2n ≥时，21111123222n n A n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦23111112322222nn A n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦上下相减可得2311111111222222n nn A n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211142111112122212n n nn n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-+-⋅=-++⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭又1n =时，13121A =⨯-=综上，()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭18．（2022·安徽蚌埠·高三期末（理））第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，冬季两项是冬奥会的正式项目之一，冬季两项是把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起进行的运动，要求运动员既要有由动转静的能力，又要有由静转动的能力.20km 男子个人赛是冬季两项中最古老的奥运项目，分成5个阶段：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点．比赛时，运动员单个出发，随身携带枪支和20发子弹，每轮射击发射5发子弹，每脱靶一次加罚1分钟．成绩的计算是越野滑雪的全程时间加被罚的时间，比赛结束所耗总时间少者获胜．已知甲、乙两名参赛选手在射击时每发子弹命中目标的概率均为0.8． （1）试求甲选手在一轮射击中，被罚时间X 的分布列及期望；（2）若甲、乙两名选手在滑道上滑行所耗时间相同，在前三轮射击中甲选手比乙选手多罚了3分钟，试求在四轮射击结束后，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率（保留小数点后4位）．（参考数据：50.80.32768=，40.80.4096=．） 【解析】（1）因为一轮射击中，共发射5发子弹，脱靶一次罚时1分钟， 所以一轮射击中，被罚时间X 的值可能为0，1，2，3，4，5．()500.80.32768P X ===，()1451C 0.20.80.4096P X ==⨯=，()()22352C 0.20.80.2048P X ==⨯=，()()33253C 0.20.80.0512P X ==⨯=，()()4454C 0.20.80.0064P X ==⨯=，()()5555C 0.20.00032P X ===，所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P0.327680.40960.20480.05120.00640.00032（2）依题意，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少，在第四轮射击中，共有两种可能，第一种情况，甲5发子弹都击中，乙击中0发或1发；第二种情况，甲击中4发子弹，乙击中0发，所以甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率为()5514145550.80.2C 0.20.8C 0.20.80.20.0023P =⨯+⨯+⨯⨯=．19．（2022·江西·新余市第一中学高三期末（理））如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,5BC BD BA ===把ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值． 【解析】（1）证明：如图，设PD 的中点为F ，连接AF ．∵ADP △为等边三角形，∴AF PD ⊥．又平面PAD ⊥平面PBD ，平面PAD 平面PBD PD =，∴AF ⊥平面PBD ．∵BD ⊂平面PBD ，∴BD AF ⊥． ∵1,2,5AD BC BD BA ==== ∴222AD BD AB +=，∴BD AD ⊥． 又ADAF A =，∴BD ⊥平面PAD ．又∵PA ⊂平面PAD ，∴PA BD ⊥．（2）由（1）知BD ⊥平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ABD ． 设AD 中点为O ，连接PO ，则PO AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABD ，平面PAD 平面ABD AD =，∴PO ⊥平面ABD ． 设AB 中点为O '，连接OO '． ∵//OO BD '，∴OO AD '⊥，故以点O 为坐标原点，OA ，OO '，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则1133,0,0,,2,0,,2,0,222A B C P ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1313,0,,,2,222PA PB ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，33,2,2PC ⎛=- ⎝⎭．设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =，由130,213202m AP x m PB x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩得3,3,x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩取 2z =，则(23,3,2)m =设平面PBC 的法向量为(,,)n a b c =，由1320,233202n PB a b n PC a b ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩得0,3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩取4c =-，则(0,3,4)n =--，11cos ,19||||1919m n m n m n ⋅-〈〉===-⨯∴二面角A PB C --的余弦值为1119-20．（2022·四川·成都七中高三期末（理））已知两圆222212:(2)54,:(2)6C x y C x y -+=++=，动圆M 在圆1C 内部且和圆1C 内切，和圆2C 外切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）过点()3,0A 的直线与曲线C 交于,P Q 两点.P 关于x 轴的对称点为R ，求ARQ 面积的最大值. 【解析】（1）依题意，圆1C 的圆心()12,0C ，半径136r =，圆2C 的圆心()22,0C -，半径26r 设圆M 的半径为r ，则有11MC r r =-，22MC r r =+，因此，121212464MC MC r r C C +=+=>=，于是得点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴长246a =24c =，短半轴长b 有：22220b a c =-=，所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为：2212420x y +=. （2）显然直线PQ 不垂直于坐标轴，设直线PQ 的方程为3(0)x my m =+≠，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由22356120x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得：22(56)30750m x my ++-=，则1223056my y m +-+=，1227565y y m =-+，点P 关于x 轴的对称点11(,)R x y -，1211|2|||2PQRSy x x =⋅⋅-，111232APRS y x =⋅⋅-，如图，显然1x 与2x 在3的两侧，即21x x -与13x -同号， 于是得()()()1211121133AQRPQRAPRSSSy x x x y x x x =-=---=⋅---121212275||656765||5|5||5302||3|||||||||||m y x y m m m my my y m m ++⋅=≤==⋅-=⋅==， 当且仅当|||65|m m =，即30m =“=”，因此，当30m =时，max(50)3AQR S =所以ARQ 530. 21．（2022·江西·新余市第一中学高三期末（理））已知函数1()ln f x x a x=++. （1）当12a =-时，求函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程；（2）当(0,2)a ln ∈，证明：函数()()x g x e f x =存在唯一极值点0x ，且0()0g x >. 【解析】解：（1）当12a =-时，11()ln 2f x x x =+-，22111()x f x x x x -'=-=，f ∴'（2）14=，f （2）ln 2=， ∴函数()f x 在(2，f （2）)处的切线方程为：1ln 2(2)4y x -=-，整理为44ln 220x y -+-=.（2）证明：函数1()()()x x g x e f x e lnx a x==++，(0,)x ∈+∞.221()(ln )x g x e x a x x '=+-+， 设221()ln h x x a x x =+-+， x R ∀∈，0x e >，因此()'g x 与()h x 的符号相同.2233122(1)1()x h x x x x x '-+=-+=，显然，当0x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增.又h （1）02110a a =+-+=+>，11()ln 44ln 2022h a a =+-+=-<.((0,2))a ln ∈，∴存在唯一01(2x ∈，1)，使得0()0h x =.对于()g x ，则有0(0,)x x ∈时，()0g x '<；0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>.∴函数()()x g x e f x =存在唯一极值点0x ，01(2x ∈，1).由0()0h x =，可得：020021ln 0x a x x +-+=，解得020021ln a x x x =--+，0000000222000000111211()(ln ln )()x x x x g x e x x e e x x x x x x -∴=++--=-=， 01(2x ∈，1)，0()0g x ∴>.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（2022·西藏昌都市第三高级中学高三期末（理））在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，0απ<<）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=. （1）求曲线C 以及直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若||8AB =，求α值. 【解析】 解：（1）由22cos sin θρθ=，得2sin 2cos ρθθ=，22sin 2cos ρθρθ∴=，即22y x =， 由题知sin y t α=，代入1cos 2x t α=+整理得2sin 2cos sin 0x y ααα--=. （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程得：22sin 2cos 10t t αα--= ()222cos 4sin 40αα∆=-+=>设12,t t 是方程的根，则：1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=- ∴()221212124224cos 4248sin sin sin AB t t t t t t αααα=-+-+== 21sin 4α∴=，又0απ<< 1sin 2α∴=6πα∴=或56π23．（2022·陕西宝鸡·一模（理））关于x 的不等式3ax x -≤的解集为[]1,b ，其中1a >． （1）求实数a ，b 的值； （2）若正数m ，n 满足2m a n +=，求2n m+的最小值． 【解析】（1）依题意，不等式3ax x -≤化为：22(1)690a x ax --+≤，而1a >，则1,b 是方程22(1)690a x ax --+=的二根，且1b >，因此，2680a a -+=且291b a =-，解2680a a -+=得2a =或4a =， 当2a =时，3b =，符合题意，当4a =时，315b =<不符合题意， 所以2a =，3b =. （2）由(1)知，2a =，22m n+=，而0,0m n >>， 则有21221414()()(4)(42)4222n m n mn mn m n m mn mn+=++=++≥+⋅=，当且仅当4mn mn =时取“=”，由422mn mn m n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：1,2m n ==，所以当1,2m n ==时，2n m+取最小值4.。
北京市清华大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷(word版,含答案)
清华大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末考试数 学1. 已知集合A ={y|y =log 2x,x >2}，B ={y|y <4}，则A ∩B =( ) A. {y|0<y <4}B. {y|0<y <1}C. {y|1<y <4}D. ⌀2. 命题“∀x >0，x 2−2x +1≥0”的否定是( ) A. ∃x >0，x 2−2x +1<0 B. ∀x >0，x 2−2x +1<0 C. ∃x ≤0，x 2−2x +1<0D. ∀x ≤0，x 2−2x +1<03. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( ) A. y =−1xB. y =3x −3−xC. y =tanxD. y =√x4. 已知a =(12)3.1,b =3.112,c =lg 12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c <a <bB. a <c <bC. c <b <aD. a <b <c5. 函数f(x)=x|x|+lnx 2的图象可能是( )A. B.C. D.6. 已知函数f(x)={ax 2−x −14,x ≤1log a x −1,x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( ) A. [14,12)B. [14,12]C. (0,12]D. [12,1)二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。
在每小题有多项符合题目要求）7. 函数f(x)=sin (ωx +φ)(ω>0)的最小正周期为π，f(x)≤f(π8)，下列说法正确的是( ) A. f(x)的一个零点为−π8 B. f(x +π8)是偶函数C. f(x)在区间(3π8,7π8)上单调递增D. f(x)的一条对称轴为x =−3π88. 定义域和值域均为[−a,a]的函数y =f(x)和y =g(x)的图象如图所示，其中a >c >b >0，下列四个结论中正确有( )A. 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解B. 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解C. 方程f[f(x)]=0有且仅有八个解D. 方程g[g(x)]=0有且仅有一个解三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9. 函数f(x)=lg(x −2)+1x−3的定义域是______ ．10. 把函数y =cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，然后把图象向左平移π4个单位，则所得图象对应的函数解析式为______．11. 若α的终边过点(−1,2)，则tanα= ______ ．sin(π−α)sin(π2+α)−cos(π+α)= ______ ．12. 设函数f(x)={log ax(x >0)2x (x≤0)，若f(12)=12，则实数a = (1) ，f(f(2))= (2) ．13. 已知函数f(x)={x 2+2x −3,x ≤0−2+lnx,x >0，方程f(x)=k 有两个实数解，则k 的范围是 ． 四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。
2022-2023学年甘肃省张掖市高一下学期第一次全市联考数学试题(解析版)
张掖市2022-2023学年第一次全市联考高一数学试卷答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．7πsin 6=（ ）A B ．C ．12D ．12-【答案】D 【详解】7πππ1sinsin sin 6662π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭.故选：D 2.设命题2:N,2n p n n ∀∈≤，则它的否定为（ ）A ．2N,2n n n ∃∈≤B ．2N,2n n n ∀∈>C ．2N,2n n n ∃∈>D ．2N,2nn n ∃∉>【详解】命题2:N,2n p n n ∀∈≤，它的否定为：2N,2n n n ∃∈>.故A ，B ，D 错误. 故选：C.3．已知()()2,>0=+1,0x x f x f x x ≤⎧⎪⎨⎪⎩，则()()22f f +-的值为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．6【答案】A4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为（ ） A ．1y x= B ．tan y x = C ．3y x =- D ．sin y x =【答案】C5．已知a 为实数，使“[]3,4x ∀∈，0x a -<”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a >B ．5a >C ．3a >D ．4a ≥【答案】B 【详解】解：依题意，全称量词命题：[]3,4,0x x a ∀∈-<为真命题，所以，a x >在区间[]3,4上恒成立，所以4a >，所以使“[]3,4,0x x a ∀∈-<”为真命题的一个充分不必要条件是“5a >”.故选：B6. 设72log 2a =， 1.23b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A 【详解】由已知得 1.231b =>，0.50.51313c -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且0.5 1.233c b =<=，772log 2log 41a ==<，所以a c b <<，故选：A.7. 已知幂函数()f x 的图象过点()2,32，若()()110f a f ++->，则a 的取值范围为（ ）A. ()2,+∞B. ()1,+∞C. ()0,∞+D. ()1,-+∞【答案】C 【详解】设幂函数()y f x x α==，其图象过点()2,32，所以232α=，解得5α=，所以()5f x x =.因为()()()5f x x f x -=-=-，所以()5f x x =为奇函数，且在R 上单调递增，所以()()110f a f ++->可化为()()()111f a f f +>--=，可得11a +>，解得0a >，所以a 的取值范围为()0,∞+.故选:C.8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为!为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车，达到80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg /ml ，如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车． （参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）． A ．3B ．5C ．4D ．6【答案】B 【详解】某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg /ml ，则100ml 血液中酒精含量达到60ml ，在停止喝酒以后， 他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，他至少要经过t 小时后才可以驾驶机动车．则60(120%)20t -<，10.83t∴<，0.8451lg 3lg 30.48log log 3 4.83lg 4lg 513lg 2130.3t ∴>=-=-=≈=---⨯．∴整数t 的值为5．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
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2022届秋季高一新生入学分班考试数学试卷（全国）07一、选择题1．比－2小的数是（ ） A ．－3 B ．－1C ．0D ．1【参考答案】A解：比-2小的数只能在负数中找，在-3和-1中， ∵3322-=>=-， ∴32-<-． 故选A ．2．一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【参考答案】C解：从上面看，一个正方形里面有一个圆且是实线． 故选C ．3．下列说法正确的是（ ）A ．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式B ．平均数相同的甲、乙两组数据，若甲组数据的方差20.2S =甲，乙组数据的方差20.01S =乙，则乙组数据比甲组数据稳定C ．某次抽奖，中奖概率为2%，小李抽取了100张彩票，一定有两张中奖D ．随机掷一枚质地均匀的硬币，若第一次正面朝上，则第二次一定反面朝上 【参考答案】BA.要了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查的方式，A 错误；B.方差越小则数据越稳定，B 正确；C.某次抽奖，中奖概率为2%，小李抽取了100张彩票，可能有两张中奖，C 错误；D.随机掷一枚质地均匀的硬币，若第一次正面朝上，则第二次可能反面朝上，D 错误，故选：B ．4．下列运算正确的是（ ） A ．3362x x x += B ．428x x x ⋅=C ．623x x x ÷=D ．()236x x -=【参考答案】D解：A. 3332x x x +=，原选项计算错误，不合题意； B. 426x x x ⋅=，原选项计算错误，不合题意； C. 624x x x ÷=，原选项计算错误，不合题意； D. ()236x x -=，原选项计算正确，符合题意．故选：D5．如图，//AB CD ，EF 分别与AB ，CD ，交于点B ，E ，若30F ∠=︒，130CEF ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．30C ．40︒D ．50︒【参考答案】A 解：∵AB ∥CD ，∴∠ABF =∠CEF =130°，又∵∠A +∠F +∠ABF =180°，且∠F =30°， ∴∠A =180°-∠F -∠ABF =180°-30°-130°=20°， 故选：A ．6．数据21，21，26，25，21，25，26，27的众数、中位数分别是（ ） A ．21，23 B ．21，21C ．23，21D ．21，25【参考答案】D解：把数据按照从小到大重新排列如下：21,21,21,25,25,26,26,27,其中21出现的次数最多，所以众数是21,而排在最中间的两个数是25,25， 所以中位数为：25+25=25,2所以中位数是25. 故选：.D7．如图，A ，B ，C 是O 上的三个点，60AOB ∠=︒， 55B ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．25︒B ．30C ．40︒D ．50︒【参考答案】A 解：OB OC =，55B ∠=︒，180270BOCB，60AOB ∠=︒，7060130AOC AOB BOC ︒︒∴∠=∠+∠=+=︒， OA OC =，180130252AOCA，故选：A ． 8．不等式组10842x x x -≥⎧⎨+>+⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【参考答案】B由10x ≥－，得：1≥x ，由842x x ＋＞＋，得：2x ＜， 所以，不等式组的解集为：12x ≤＜， 在数轴上表示解集如图所示：，故选B.9．随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x 万件，依据题意得（ ） A ．40050030x x=- B ．40050030x x =+ C ．40050030x x =- D ．40050030x x=+ 【参考答案】B解：设更新技术前每天生产x 万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品， 依题意，得：40050030x x =+． 故选：B ．10．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A =60°，一个以点B 为顶点的60°角绕点B 旋转，这个角的两边分别与线段AD 的延长线及CD 的延长线交于点P 、Q ，设DP =x ，DQ =y ，则能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【参考答案】A解：∵四边形ABCD 是菱形，∠A =60°，∴∠ABD =∠CBD =∠ADB =∠BDC =60°，∴∠BDQ =∠BDP =120°，∵∠QBP =60°，∴∠OBD =∠PBC ，∵AP ∥BC ，∴∠P =∠PBC ，∴∠QBD =∠P ，∴△BDQ ∽△PDB ，∴DQ BD BD PD =，即22y x=，∴xy =4，∴y 与x 的函数关系的图象是双曲线，故选A ．二、填空题11．新型冠状病毒肺炎疫情期间，应该坚持勤洗手．一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为_____． 【参考答案】87.510⨯解：75000万用科学记数法表示为87.510⨯， 故参考答案为：87.510⨯．12．在∠ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线．若添加一个条件：______，则∠ABD ∠∠ACD ． 【参考答案】AD BC ⊥当AD ⊥BC 时，∠ADB =∠ADC =90°， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD =∠CAD ， 在△ABD 和△ACD 中，AD ADADB ADC BAD CAD ⎧⎪=⎨⎪∠=∠=∠⎩∠， ∴△ABD ≌△ACD ，故参考答案为：AD ⊥BC ．13．在函数y 中，自变量x 的取值范围是_____． 【参考答案】3x ≤且0x ≠∵y =， ∴300x x -≥⎧⎨≠⎩，∴3x ≤且0x ≠．故参考答案为：3x ≤且0x ≠．14．已知菱形ABCD 的边长为6，∠B ＝60°，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在对角线BD 上，∠ADE 与∠BOC 相似，则点E 到BC 的距离为______．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，30OBC ADB ︒∠=∠=，AB=BC=AD=6，OA=OC ， ∴132OC BC ==，∴OB ==当AE BD ⊥时，此时E 与O 重合，在Rt ADE 和Rt CBE ∆中，高考复习试卷资料AE ECAD BC=⎧⎨=⎩ ∴ADE CBE ≅∆， 设E 到BC 的距离为h ，∵1122COBS OB OC CB h =⋅=⋅，即113622h ⨯=⨯，解得2h =，∴E 到BC ； 当AE AD ⊥时，∵30OBC ADB ︒∠=∠=，90EAD COB ︒∠=∠= ∴ADE ∽OBC ∆，在Rt △ADE 中，30ADB ︒∠=，AD =6，∴tan 30AE AD ︒=⋅= 延长AE 交BC 于点G ，则AG BC ⊥，在Rt △ABD 中，60ABC ︒∠=，AB =6，∴sin 60AG AB ︒=⋅=∴EG AG AE =-=高考复习试卷资料2． 15．如图，点A 、B 在双曲线y ＝kx（x ＞0）上，点C 、D 在坐标轴上，AC∠x 轴，BD∠y 轴，OA 与BD 交于点E ，OB 与AC 交于点F ，AC 与DB 交于点G ，BD ＝2OC ，四边形OEGF 的面积为2，则k 的值为___．【参考答案】8 解：连接OG ，设A ,k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴OC=m ， ∴BD ＝2OC=2m ， ∴B 2,2k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，高考复习试卷资料∴2kCG AG BG DG m m====， ， ∵//EG OC ， ∴1,AE AGO AEG A C E G O C== ，∴214AEG AOCS AG SAC ⎛⎫== ⎪⎝⎭． ∵//AG OD ， ∴1,AE EGOE DE== AEG OED ，∴2,1,AEG OEDSAE DE EG SEO ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ∴E 是DG 的中点， ∴12ODEOEGODGSSS ==．∵//BG OC ， ∴1,BG FGOC CF== ∴GF FC =， ∴F 是GC 的中点， ∴12OGFOFCOCG SSS ==．在矩形OCGD 中，ODGOCG S S =，∴ODEOEGOGF OFCSSSS===．∵四边形OEGF 的面积为2， ∴1OEGOGFS S ==， ∴1ODE OEGOGFOFCS S SS====，∴1AEG ODES S==， ∴44AOCAEGSS==，∴28AOCk S ==．故参考答案为：8．高考复习试卷资料16．如图，平面直角坐标系中，∠ABC 、∠A 1B 1C 1、∠A 2B 2C 2、…∠A n B n ∠n 均为等边三角形，点A 、A 1、…An 在x 轴上，OA ＝1，点B 在y 轴上，BC //B 1C 1//B 2C 2//…//B n ∠n //x 轴，点C 为A 1B 1中点，点C 1为A 2B 2中点，…，点∠n 为A n +1B n +1中点．则点C 4坐标为______．【参考答案】(解：过点C ，作CW 1⊥x 轴，过点C 1，作C 1W 2⊥x 轴，过点C 2，作C 2W 3⊥x 轴．∵点B 在y 轴上，BC //B 1C 1//B 2C 2//…//B n ∁n //x 轴，OA ＝1，△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2、…△A n B n ∁n 均为等边三角形∴==60BAO ABC ∠∠︒，111==60B AO B ∠∠︒ 则1===21cos 602OA AB ︒，1==tan60=1CW OB OA ⋅︒11=+=+=2=2OW OA AW OA OA OA ，故点C (2∴1△ACA 是等边三角形 ∵点C 为A 1B 1中点∴111====4222A C B A A AB C∴2112=+=+22=55OW OA AA AW OA OA OA OA ++=，12122CW OA(15C ，由上述规律：3=+244=1111OW OA OA OA OA OA ++=，234C W OA (2C 11，；4=+2488=2323OW OA OA OA OA OA OA +++=，348C W OA ，则(3C 23，；5=+24816+16=4747OW OA OA OA OA OA OA OA +++=，4516C W OA ，则(4C 47，；故参考答案为：(三、解答题17．（1）计算0214cos3023-⎛⎫︒+- ⎪⎝⎭⎝⎭（2）化简式子2244233x x x x x x +-+⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭并在0，2，3中选取一个合适的数作为x 的值代入求值． 【参考答案】（1）8；（2）22x x +-；当0x =时，原式=1-．解：（1）02114cos30223-⎛⎫⎛⎫︒-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4219=-+-219=+-8=；（2）2244233x x x x x x +-+⎛⎫++÷⎪--⎝⎭22(2)(3)(2)333x x x x x x x ++--⎡⎤=+÷⎢⎥---⎣⎦2(2)(13)33(2)x x x x x ++--=⋅--x 2x 2+=-， 因为x 不能取2，3， 所以当x =0时，原式=021 02+=--．18．《中国汉字听写大会》唤醒了很多人对文字基本功的重视和对汉字文化的学习，我区某校组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表：抽取的200名学生海选成绩分组表请根据所给信息，解答下列问题：（1）求出D组的人数，并把图1中的条形统计图补充完整；（请画在答题卷相对应的图上）（2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为%a，则a的值为______，表示C组扇形的圆心角θ的度数为______度；（3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？（4）经过统计发现，在E组中，有2位男生和2位女生获得了满分，如果从这4人中挑选2人代表学校参加比赛，请用树状图或列表法求出所选两人正好是一男一女的概率是多少？【参考答案】（1）50（人）；作图见题目解析；（2）15，72；（3）700人；（4）23．解：（1）D组的人数是：2001030407050----=（人），补全图形如下：（2）B组人数所占的百分比是30100%15%200⨯=，则a的值是15；C组扇形的圆心角θ的度数为4036072200︒⨯=︒；故参考答案为：15，72；（3）根据题意得：702000700200⨯=（人）答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人．（4）分别用A、B表示两名女生，分别用C、D表示两名男生，由题意，可列表：由已知，共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中满足要求的有8种，∴P（恰好抽到1个男生和1个女生）82 123 ==．19．如图，在ABC 中，D 是边BC 上一点，以BD 为直径的O 经过点A ，且CAD ABC ∠=∠．（1）请判断直线AC 是否是O 的切线，并说明理由；（2）若2CD =，4CA =，求半径的长．【参考答案】（1）直线AC 是O 的切线，参考答案见题目解析；（2）3．解：（1）直线AC 是O 的切线，理由如下：如图，连接OA ．∵BD 为O 的直径，∴90BAD OAB OAD ∠=︒=∠+∠． ∵OA OB =， ∴OAB ABC ∠=∠． 又∵CAD ABC ∠=∠， ∴90OAD CAD ∠+∠=︒． ∴AC OA ⊥．又∵点A 在O 上，∴直线AC 是O 的切线．（2）∵CAD ABC ∠=∠，C C ∠=∠， ∴CAD CBA ∽△△， ∴CA CDCB AC=，即2AC CD CB =⋅， ∴2CD =，4CA =，∴162CB =， ∴8CB =，从而6BD =，即26r =， ∴3r =．20．如图，已知一次函数1y kx b =+与反比例函数2my x=的图象在第一、三象限分别交于(6,1)A ，(,3)B a -两点，连接OA ，OB ．（1）求一次函数和反比例函数的题目解析式； （2）AOB 的面积为______；（3）直接写出12y y >时x 的取值范围．【参考答案】（1）1122y x =-，26y x =；（2）8；（3）-2＜x ＜0或x ＞6.解：（1）把(6,1)A 代入反比例函数2my x=得：m=6，∴反比例函数的题目解析式为26y x=， ∵(,3)B a -点在反比例函数2my x=图像上， ∴-3a=6，解得a=-2， ∴B （-2，-3），∵一次函数y 1=kx+b 的图象经过A 和B ，∴1632k b k b =+⎧⎨-=-+⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴一次函数的题目解析式为1122y x =-； （2）∵(6,1)A ，(2,3)B --，一次函数的题目解析式为1122y x =-， 令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x 轴交点为（4，0）， ∴S △AOB =()141382⨯⨯+=， 故参考答案为：8； （3）由图象可知：12y y >时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，x 的取值范围是：-2＜x ＜0或x ＞6.21．一方有难，八方支援．2020年初，新冠肺炎爆发，山东某蔬菜基地运输公司计划安排甲、乙两种货车向某疫区运送新鲜蔬菜，两次满载的运输情况如下表：（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨新鲜蔬菜？（2）目前至少有36吨新鲜蔬菜要一次性运输到目的地，该公司拟安排甲、乙两种货车共8辆，其中每辆甲种货车一次运送费用为500元，每辆乙种货车一次运送费用为300元，请问该公司应如何安排甲、乙两种货车使总运送费用最少？【参考答案】（1）甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3吨新鲜蔬菜；（2）该公司安排甲种货车6辆，乙种货车2辆时总运送费用最少．解：（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x 吨和y 吨新鲜蔬菜，根据题意得：23193530x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得53x y =⎧⎨=⎩．答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3吨新鲜蔬菜； （2）设安排甲种货车a 辆，乙种货车()8a -辆，根据题意得：()53836a a +-≥，解得6a ≥，设总运送费用为w 元，则500300(8)2002400w a a a ==+-+， ∵2000＞，∴w 随a 的增大而增大，∴当6a ＝时，w 的值最小，从而该公司安排甲种货车6辆，乙种货车2辆时总运送费用最少．22．如图1 ，在ABC 中，90,,BAC AB AC ∠=︒=D 是BC 边上一点(不与点,B C 重合)，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AE ，连接EC ．（发现问题）（1）如图1 ，通过图形旋转的性质，可知AD =_______，DAE =∠ 度； （解决问题）（2）如图1，证明BC DC EC =+； （拓展延伸）如图2，在ABC 中，90,,BAC AB AC D ∠=︒=为ABC 外一点，且45ADC ∠=︒，仍将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AE ，连接,EC ED ． （3）若6,3,AD CD ==求的BD 长．【参考答案】（1）AE ；90；（2）见题目解析；（3）BD 的长为9解：（1）由旋转性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，得到90AD AE DAE =∠=︒，. 故参考答案为：AE ；90． （2）∵90DAE BAC ∠=∠=︒， ∴DAE DAC BAC DAC ∠-∠=∠-∠, ∴BAD CAE ∠=∠, 又∵,AB AC AD AE ==, ∴ABD ACE △≌△（SAS ）， ∴BD CE =，∴BC BD DC DC EC =+=+； （3）如图2中，连BD ．∵90=BAC DAE ∠=︒∠，∴+=+BAC DAC DAE DAC ∠∠∠∠, ∴=CAE BAD ∠∠, 又AB AC =，AD AE =，ABD ∴≌()ACE SAS ，BD CE ∴=，∵90DAE ∠=︒,AD AE =, ∴22222=+=DE AD AE AD ，45ADE ADC ∠=∠=︒，ECD ∴为直角三角形，=90EDC ∠︒,∴2222222283261EC CD ED CD AD =+=+⨯==+，∴EC=9，∴=9BD CE =．23．如图，抛物线2=3y ax x c ++()0a ≠与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴交于点()0,8C ，顶点为D ，连接AC ，CD ，DB ，直线BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ．（1）求抛物线的题目解析式和直线BC 的题目解析式； （2）求四边形ABDC 的面积；（3）P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当35PBCABCSS =时，求点P 的坐标；（4）在抛物线的对称轴l 上是否存在点M ，使得BEM △为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【参考答案】（1）8y x =-+，21382y x x =-++；（2）70；（3）1(2,12)P ，2(6,8)P ；（4）存在．点M 的坐标为(3,0)或()3,5-或(3,5+或(3,5-（1）抛物线23y ax x c =++(0)a ≠过点(2,0)A -和(0,8)C ，∴4608a c c -+=⎧⎨=⎩解得128a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的题目解析式为21382y x x =-++． 令0y =，得213802x x -++=． 解得12x =-，28x =．高考复习试卷资料∴点B 的坐标为()8,0．设直线BC 的题目解析式为y kx b =+． 把点()8,0B，()0,8C 分别代入y kx b =+，得608k b b +=⎧⎨=⎩解得18k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的题目解析式为8y x =-+．（2）如图，设抛物线的对称轴l 与x 轴交于点H ． 抛物线的题目解析式为()221125383222y x x x =-++=--+， ∴顶点D 的坐标为253,2⎛⎫⎪⎝⎭．∴S 四边形ABDC AOCSS =+四边形OCDH BDH S +△111()222AO OC OC DH OH HB HD =⋅++⋅+⋅ 11251252883522222⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭ 70=．（3）111084022ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=△． ∴3245PBC ABCSS ==．如图，过点P 作PG x ⊥轴，交x 轴于点G ，交BC 于点F ．高考复习试卷资料设点21,382P t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． 点F 在直线BC 上，∴(,8)F t t -+． ∴2142PF t t =-+． ∴11()2422PBC S PF OG GB PF OB =⋅+=⋅=△． ∴211482422t t ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭．解得12t =，26t =．∴1(2,12)P ，2(6,8)P ．（4）存在．直线BC 的题目解析式为8y x =-+对称轴l 为：3x =(3,5)E ∴5EH BH ∴==BE ∴==①当MB ME =时，点M 与点H 重合，∴M ()3,0高考复习试卷资料②当EB EM =时，15HM =1M ∴(3,5-或者25HM =2M ∴(3,5+③当BE BM =时，5HM HE ==,3M ∴()3,5-点M 的坐标为()3,0或()3,5-或(3,5+或(3,5-．24．如图，在平面直角坐标系中，已知点C (0，4)，点A 、B 在x 轴上，并且OA ＝OC ＝4OB ，动点P 在过A 、B 、C 三点的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式；(2)在直线AC 上方的抛物线上，是否存在点P ，使得∠P AC 的面积最大？若存在，求出P 点坐标及ΔP AC 面积的最大值；若不存在，请说明理由．(3)在x 轴上是否存在点Q ，使得∠ACQ 是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】（1）y ＝−x 2＋3x ＋4；(2)存在, 当P 点坐标为（2，6）时，ΔP AC 面积的最大值是8；（3）Q (0,0),(－4,0),()()4,4+-．解： (1)∵C (0,4)，∴OC ＝4．∵OA ＝OC ＝4OB ，∴OA ＝4，OB ＝1，∴A (4,0),B (−1,0)，设抛物线题目解析式：y ＝a (x ＋1)(x −4)，∴4＝−4a ，∴a ＝−1．∴y ＝−x 2＋3x ＋4．(2)存在．作PN ⊥x 轴交AC 于N ， ()()4,0,0,4,A C高考复习试卷资料 ∴ AC 的题目解析式为y ＝－x ＋4 ，设P （x ，−x 2＋3x ＋4），则N (x ,－x ＋4),得PN ＝（−x 2＋3x ＋4）－(－x ＋4)＝−x 2＋4x ，∴S △P AC ＝12PN ×4＝2PN ＝2(−x 2＋4x )＝－2(x －2)2＋8 ，当x =2时，ΔP AC 面积的最大值为8，此时点P 的坐标为（2，6）.∴P 点坐标为（2，6）时，ΔP AC 面积有最大值，最大面积是8 .(3) 设(),0,Q x 根据勾股定理得：()2222222224432,4,416,AC AQ x CQ x x =+==-=+=+①当AC AQ =时，()2432,x -=1244x x ∴=+=-此时可得Q 的坐标为（，0）、（，0）；②当CA CQ =时，21632,x +=∴ 4,x =±当4x =时，不合题意舍去，()4,0,Q ∴-③当QC QA =时，()22416,x x -=+0,x ∴=()0,0.Q ∴综上，符合条件的点Q 的坐标为：(0,0)，(－4,0)，()()4,4+-．高考复习试卷资料。