初高中数学衔接课程教案14-耐克函数

（4）值域： (,2 ab) (2 ab,)
二、典型例题
例 1、如果函数 y kx2k
2
k 2
的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
解析：有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 y 又在第二，四象限内，则 k 0 可以求出的值 答案：由反比例函数的定义，得：
k 0） ⑵反比例函数的图像是双曲线，y （ k 为常数， 中自变量 x 0 ， 函数值 y 0 ，
所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不 与坐标轴相交． ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是 y x 或 y x ） ． ⑷反比例函数 y
k o ko
可求出 k ）
5．反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函 数y
k 中的两个变量必成反比例关系． x
7．反比例函数的应用 2、耐克函数 在高中数学学习中，我们常常会碰到形如 y ax
b (a 0, b 0) 的函数，我们称这样的函 x
数为“耐克函数”，它是一种类似于反比例函数的重要的函数之一，它的性质及图像有十分鲜 明的特征和规律，其图像形如两个中心对称的对勾，故又名对号函数、对勾函数，在实际问 题中有着广泛的应用． 我们都知道，(a b) 0 ， 展开就是 a 2 b 2 2ab 0 ， 有 a 2 b 2 2ab ， 当且仅当 a b
初高中数学衔接课程教案 14 耐克函数 一、知识点梳理 1、反比例函数 1. 定义：一般地，形如 y 以写成 y kx
1
k k （ k 为常数， k o ）的函数称为反比例函数． y 还可 x x
2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数 y ， 等号右边是一个分式． 分子是不为零的常数 k（也叫做比例系数 k ） ， 分母中含有自变量 x ，且指数为 1． ⑵比例系数 k 0 ． ⑶自变量 x 的取值为一切非零实数． ⑷函数 y 的取值是一切非零实数． 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）
A O C B
答案： （1） y 2 x 3 ； y (2) S
2 x
15 4
(3) 2 x 0或x
1 2
5、 （1）求函数 y x （2）若函数 y x
9 在 [1,5] 上的最小值； x
9 在 (0, a ] 上的最小值为 6，求 a 的取值范围； x 9 （3）若函数 y x 在 (0, a ] 上是减函数，求 a 的取值范围． x 解： （1） y 6
x1 x2 0 x3 则下列各式正确的是（）
A． y3 y1 y2 B． y3 y2 y1 C． y1 y2 y3 D． y1 y3 y2
解析：可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法． 解法一：由题意得 y1
1 1 1 ， y2 ， y3 x1 x2 x3
O
x
n 1 的图象都经过点 A（-2，1） ． x
2 x
1 2
15 4
k 4、如图所示，一次函数 y＝ax＋b 的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于 A、B 两点，与 x 轴 x
1 交于点 C．已知点 A 的坐标为（－2，1） ，点 B 的坐标为（ ，m） ． 2 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积； （3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围．
2
时取得“ ” 号，在两边同时加上 2ab ，整理得到 (a b) 4ab ，同时开根号，就得到了
2
a b 2 ab ，当且仅当 a b 时取得“ ”号．
现 在 把
y ax
b (a 0, b 0) x
套
用
这
个
公
式
ห้องสมุดไป่ตู้
，
得
到
b b b y ax (a 0, b 0) 2 ax 2 ab ，这里有当且仅当 ax 时取得最小值，解 x x x
5 3 5 m B、小于 m3 4 4 4 3 4 3 C、不小于 m D、小于 m 5 5
A、不小于 答案：C 2、如图，A、C 是函数 y
1 的图象上的任意两点，过 A 作 x 轴的垂线， x
y
垂足为 B， 过 C 作 y 轴的垂线， 垂足为 D， 记 RtΔAOB 的面积为 S1， RtΔCOD 的面积为 S2 则（ C ） A． S1＞S2 C． S1=S2 答案：C 3、关于 x 的一次函数 y=-2x+m 和反比例函数 y= 求： （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）两函数图象的另一个交点 B 的坐标； （3）△AOB 的面积． 答案： （1） y 2 x 3 ； y （2） ( ,4) （3） S B． S1<S2 D． S1 与 S2 的大小关系不能确定
得x
b ，对应的 y 2 ab ． a
b (a 0, b 0) 的性质： x
函数 y ax
（1）奇偶性：奇函数
（ ,0） (0,) （2）定义域：
（3）单调性：单调增区间为 (,
b b b b ) )，( ， ) ，单调减区间为 ( ， 0) ， (0, a a a a
（2） a 3 （3） a 3
所以 S AOB 例 6、求下列函数的最小值 （1） y
x2 x 1 ( x 0) x
（2） y
x2 5 x2 4
( x R)
（3） y 解： （1）3 （2）
x2 2x 6 ( x 1) x 1
5 2
（3）10 三、巩固练习 1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内 气体的气压 P ( kPa ) 是气体体积 V ( m3 ) 的反比例函数，其 图象如图所示． 当气球内气压大于 120 kPa 时， 气球将爆炸． 为 了安全起见，气球的体积应（）
k x
k k （ k 0 ）中比例系数 k 的几何意义是：过双曲线 y （ k 0 ） x x
上任意引 x 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为 k ． 4．反比例函数性质如下表：
k 的取值
图像所在象限 一、三象限 二、四象限
函数的增减性 在每个象限内， y 值随 x 的增大而减小 在每个象限内， y 值随 x 的增大而增大
k ， （ k 0 ）即 y kx x
1
（k 0）
1 2k 2 k 2 1 k 1或k 解得 2 k 0 k 0 k 1 2 1 k 1 时函数 y kx2k k 2 为 y x 1 例 2 、在反比例函数 y 的图像上有三点 x1 ， y1 ， x 2 ， y 2 ， x3 ， y3 ．若 x
x1 x2 0 x3 ， y3 y1 y2 所以选 A
解法二：用图像法，在直角坐标系中作出 y
1 的图像 x
描出三个点，满足 x1 x2 0 x3 观察图像直接得到 y3 y1 y2 选 A 解法三：用特殊值法
1 x1 x2 0 x3 , 令x1 2, x2 1, x3 1 y1 , y 2 1, y3 1, y3 y1 y 2 2 1 3n m 2） 的图像 相交于点 例 3、 如果一次函数 y mx nm 0与反比例函数 y （ ， ， 2 x
1， 另一个点为 1
例 4、如图，在 Rt AOB 中，点 A 是直线 y x m 与双曲线 y 且 S AOB 2 ，则 m 的值是_____．
m 在第一象限的交点， x
解:因为直线 y x m 与双曲线 y 则有 y A x A m, y A
m 过点 A ，设 A 点的坐标为 x A , y A ． x
m ．所以 m x A y A ． xA
又点 A 在第一象限，所以 OB x A x A , AB y A y A ．
1 1 1 OB AB x A y A m ．而已知 S AOB 2 ．所以 m 4 ． 2 2 2 1 （0， ） 例 5、 （1）求函数 y x 在 上的最值； x 1 1 （2）求函数 y x 在 [ , 2 ] 上的最值； 2 x 1 （3）求函数 y x 在 [2,4] 上的最值． x 解： （1） [2,) 5 （2） [ 2, ] 2 5 17 （3） [ , ] 2 4
那么该直线与双曲线的另一个交点为（） 解 析 ：
1 m 2 3n m 1 mn 2 直线y mx n与双曲线y x相交于 ， 2 ， 2 解得 x 2 3n m 1 n 1
y 2x 1 1 直线为y 2 x 1, 双曲线为y 解方程组 1 x y x 1 x1 1 x2 得 , 2 y1 1 y 2 2