数理方程试题-定稿

班号 学号 姓名 成绩

2009年数理方程期末试题

（注：期末试题为70分，平时成绩为30分，合计100分）

一、填空题 （18分，每题3分）

1、如果函数)(x f 的付立叶变换为)(λg ，则)(''x f 的Fourier 变换为

2、定解问题包括 和 两部分

3、数学物理问题的适定性包括：存在性、 和稳定性

4、定解问题⎩⎨⎧==>+∞<<-∞=1

)0,(,0)0,(0,,2x u x u t x u a u t xx tt 的解为 =),(t x u

5、一长为l 的均匀细弦，弦的x=0端固定，x=l 端受迫作谐振动Atsinω，弦的初始

位移和初始速度都是零，弦的位移函数u(x,t)所满足的定解问题是：

6、一矩形薄板，其中板的一组对边是绝热的；而另一组对边中，一边温度保持零度，另一边保持常温0u ，那么此矩形薄板的稳定温度分布所满足的定解问题是：

二、选择题（21分，每题3分）

1、经典的分离变量法要求（ ），否则方法失效。

A ．方程和初始条件是齐次的

B ．初始条件和边界条件是齐次的

C ．方程和边界条件是齐次的

D ．方程、初始条件和边界条件都是齐次的

E. 上面各表述都不对

2、三维波动与二维波动传播的特性有：（ ）

A ．二者都有后效性

B ．二者都没有后效性

C ．三维波动传播有后效性，二维波动传播没有后效性

D ．二维波动传播有后效性，三维波动传播没有后效性

E. 上面各表述都不对

3．以下关于调和函数和拉普拉斯方程的描述不正确的是 （ ）

A ．调和函数在球心的值，等于其在球面上的值

B ．调和函数在区域内任意一点的函数值，可用区域边界上的函数值表达

C ．调和函数的最大和最小值发生在区域的边界上

D ．拉普拉斯方程第二边值问题的解如果存在，必定唯一

E. 上面各表述都不对

4．方程02=---t yy t Ae u u 是（ ）

A. 波动方程

B ．热传导方程

C ．稳定场方程

D ．以上都不对

5．方程yy xx x u u u =-4是

A ．双曲型方程

B ．抛物型方程

C ．椭圆型方程

D ．以上都不对

6. 设函数),(0M M G 在Ω内除 0M 点外满足拉普拉斯方程, 且0=ΓG , Γ为Ω

的边界, 则⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂-

=dS n

M M G M dV M f M M G M u )),()((41)(),((41

)(000ϕππ是定解问题( )的解

A. ⎪⎩

⎪⎨⎧=∂∂==∆ΓΓ)(),(0M f n u M u u ϕ

B. ⎩⎨⎧==∆Γ

)()(M u M f u ϕ C. ⎩⎨⎧==∆Γ

)()(M f u M u ϕ D. )(),(0M n u M f u u ϕ=⎪⎩

⎪⎨⎧∂∂==∆ΓΓ

E. 上面各表述都不对

7. 设M at S 表示以M 为球心,以at 为半径的球面,则积分表达式

⎥⎥⎦

⎤

+⎢⎢⎣⎡

∂∂

=⎰⎰⎰⎰M at M at S S dS f r dS f r t a t M u 211141),(π是定解问题( )的解 A. ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>

+∞<<-∞∆===)

(),()

0,,,( 212M f n u M f u t z y x u a u at

r at r tt B. ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞∆===)

(),()

0,,,( 122M f n u M f u t z y x u a u at

r at r tt C. ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞∆===)

(),()

0,,,( 20

102M f t u M f u t z y x u a u t t tt D. ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞∆===)

(),()

,,,( 10

202

M f t u M f u t z y x u a u t t tt

E. 上面各表述都不对

三、试用分离变量法求解下面的定解问题 （12分）

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<=∂∂+∂∂∞

→0

),()0,(0),(),0(0

,0 ,0lim 0

2222

y x u u x u y a u y u y a x y u

x u y

其中0,u a 为常数

四、试用行波法（通解法）解下面的边值问题：（9分）

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==+∞

<<+=∂∂∂x

x u y y u y x y x y x u

)0,(sin ),0(,0 ,sin 22

五、用Green 函数法求解上半平面上的Laplace 方程第一边值问题： （10分）

⎪⎩⎪⎨⎧=>+∞<<-∞=∂∂+∂∂)

()0,(0,,02222x x u y x y u x u ϕ