关于每一个极大左理想是弱右理想的环
05 商环、欧氏环
n 1
作成 R x 的一个理想。 注：以上是常数项为零的多项式的集合，关于多 项式的加法与乘法。 以上两个理想显然既不是零理想也不是单位理想。
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理想的性质
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推论 域是单环。
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理想的交与和
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谢
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理想的传递
设 N 是 R 的理想, I 是 N 的理想, 那么 I 不一定是 R 的理想。
x y 例.设 R z w | x , y , z , w Z M 2 ( Z ) ，
a1 , a2 2a1 a2 N | ai 2 Z 是 R 的理想,而 I | ai 2Z 是 N 的理想, a3 , a4 a3 a4
近世代数及其应用
罗守山 教授 博士生导师
北京邮电大学计算机学院
1
第5章 商环、欧氏环
群是只有一种二元运算的代数系统。第2章群 之后介绍第3章特殊子群，由正规子群引出商 群，得到群同态基本定理。 环是建立在群基础上的代数系统，有二种二元 运算。第4章环之后介绍第5章特殊子环：理想， 由理想引出商环，得到环同态基本定理。 整数环上整数相除有余数和商，推广引出欧氏 环。 学习环知识应随时与群的相应概念与理论进行 比较，即复习群的内容，又学习新的知识。
抽象代数复习题与答案
抽象代数复习题与答案《抽象代数》试题及答案本科⼀、单项选择题(在每⼩题的四个备选答案中，选出⼀个正确答案，并将正确答案的序号填在题⼲的括号内。
每⼩题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2x +1,则（fg ）(x)等于（ B ）A. 221x x ++B. 23x + C. 245x x ++ D. 23x x ++2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的（ A ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。
A. 1个B. 2个C. 4个D. ⽆限个5. 剩余类环Z 10的⼦环有( B )。
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 97．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A )A. 111)(---=a b ab B. b 的阶不⼀定整除G 的阶C. G 的单位元不唯⼀D. G 中消去律不成⽴8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何⼦群都是正规⼦群 C. G 是交换群 D.G 的任何⼦群都是循环群9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的⼦集为等价关系的是( C )A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的（ B ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。
近世代数
个代数运算以定义个元素的集合上总共可、含有 n n 12n （ ） ）（群。
能作成对运算集合、由全体正整数作成的 a b a G 2b =3、循环群的子群仍是循环群。
（ ）4．正规子群的左陪集也一定是一个右陪集。
（ ）5．任何群G 都与其商群G/N 同态。
（ ） 13123321 61）（、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- （ ） 也是循环群是循环群，则，若是两个群且与、设G G G ~G G G 78．整数环Z 的每个理想不一定是主理想。
（ ）9．设环R 有单位元且每个非零元素都有逆元，若 | R |＞1，则R 一定是体。
（ ）10．无零因子的交换环不一定是整环。
（ ）11．环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。
（ ）2、什么是理想？3什么是体？ 的行列式。
是矩阵其中同态映射，且是满射，的一个到是：普通乘法，证明：，代数运算是数的；再令运算是方阵的普通乘法数阶方阵作成的集合，代上全体是数域分）令三、（A |A | M M |A |A F M n F M 15−→−ϕ=四、（15分）设G 是一个群，且H ≤G ，K ≤G ，证明：H 与K 的交集是G 的一个子群。
五、（15分）设N 是群G 的任一正规子群，证明：G ~ G/N6、（15分）写出三次对称群S 3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}关于子群H={（1），（23）}的所有左陪集和所有右陪集。
一、判断题。
！个双射变换个元素的任意集合共有、含有 n n 12．在模8剩余类环Z 8中{}6,4,2,0 2>=<是一个极大理想。
（ ）4．整数环Z 的每个理想都是主理想。
（ ）二、单项选择题（每小题2分，共10分）1、关于半群的说法不正确的是： （ ）（A ）半群是带有一个代数运算的代数系统；(B) 半群的乘法一定适合结合律；(C) 半群的乘法不一定适合交换律；（D) 半群中一定有单位元。
2、设G 是一个群，H 是G 的一个非空子集，则H ≤G 的充要条件是 （ ）（A ） H ab H b ,a ∈⇒∈ (B) H a H a 1∈⇒∈-(C)H ab H b ,a 1∈⇒∈- (D) H b a H b ,a ∈+⇒∈ 3、设R 是一个环，下面说法不正确的是 （ ）（A ）R 中若有零因子，则一定既有左零因子也有右零因子；(B) R 中若无零因子，则一定既无左零因子也无右零因子；(C) 一个环一定有零因子；(D) R 中若有左零因子也一定有右零因子。
简单的抽象代数基本知识2
2，环的又一定义 代数系统[R;+,*],其中+和*为定义在R上的二元 运算,满足下述条件, (1) [R;+]为Abel群 (2) [R;*]为半群 (3) +，*满足分配律: a*(b+c)=(a*b)+(a*c), (b+c)*a=(b*a)+(c*a) 则称[R;+,*]为环。
域f上的所有多项式在多项式加法和乘法下作成一个有幺元的交换环记为fx称为域f多项式运算department这个域称为二元域应用在电话电报电视传真计算机中数据传输打印机vcd机cd机纠错码上以及卫星图片的传输等
编 码 理 论 基 础
哈尔滨工程大学理学院 信息与计算科学系 林 锰
Department of Mathematics, College of Sciences
第一章 简介抽象代数基本知识
1 2 3 授课预计 (6学时) 群的相关概念 环的相关概念 域及域上多项式
§2.2 环 的 相 关 概 念 一, 环的定义及相关内容 1，定义：设R是一个非空集合，其中有“+” “·” 两种二元代数运算，R叫做一个环，如果 1) a+b=b+a， 2) a+（b+c）=（a+b）+c， 3) G中有一个元素0，适合a+0=a， 4) 对于G中任意a,有-a,适合a+（-a）=0， 5) a·（b·c）=（a·b）·c， 6) a·（b+c）=a·b+a·c，（a+b) ·c=a·c+b·c。
则集合：
(a + I ) ⊗ (b + I ) = a ⋅ b + I
2024届浙江省杭州市高三下学期教学质量检测(二模)物理试题
2024届浙江省杭州市高三下学期教学质量检测（二模）物理试题学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（满分：100分时间：75分钟）总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题升流器是电力部门和工矿企业的电器设备做电流负载试验及温升试验的专用设备，其工作原理简化如图所示。
某次外接调压器进行伏安特性试验，升流器第一级的自耦线圈滑头P位于线圈中点，为第二级升流器，均为理想变压器，不计线路电阻。
当采集负载R的电流值为输入端电流值的10倍时，则第二级升流器的匝数比为（）A．1:5B．3:1C．4:1D．5:1第(2)题下列说法正确的是（ ）A．检验工件平整度的操作中，如图甲所示，上面为标准件，下面为待检测工件，通过干涉条纹可推断出P为凸处、Q为凹处B．图乙为光照射到圆盘上，在圆盘后得到的衍射图样C．图丙光导纤维传递光信号的原理是利用光的全反射现象，必须满足外套的折射率比内芯的大D．图丁的原理和照相机镜头表面涂上增透膜的原理是相同的第(3)题下列说法正确的是（ ）A．千克、秒、牛顿是国际单位制中的三个基本单位B．汽车行驶的速度越大，惯性就越大C．a=是加速度的比值法定义式D．用质点来代替有质量的物体是采用了理想化模型的思想第(4)题下列叙述中符合物理学史实的有（ ）A．法拉第提出可以用电场线描绘电场的分布，极大地促进了人们对电磁现象的研究B．麦克斯韦建立了完整的电磁场理论，并通过实验证实了电磁波的存在C．查德威克通过对α粒子散射实验的研究，提出了原子的核式结构学说D．贝克勒尔发现了天然放射现象，并提出原子核是由质子和中子组成的第(5)题如图所示，一位潜水爱好者在水下活动时，利用激光器向岸上救援人员发射激光信号，激光束与竖直方向的夹角为α。
第六章有限域
正规子群和商群
正规子群：G为群，H是G的子群，若 a G, h H
有 aha1 H ， 则称H为G的正规子群，记为H G。
H G g G, gHg 1 H g G, gH Hg
第一部分 代数学基础
1.1 群、环、域基本概念 1.2 剩余类环、理想 1.3 多项式环 1.4 域与扩域
一、环的定义
定义1.2.1：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运 算，一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做·；且满足：
（1）（R，＋）是一个可换群； （2）（R，·）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a，b，cR，有：a(b ＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc； 则称代数系统（R，＋，·）是一个环。
群同态
同态：设f：G→H是群G到H的一个映射，如果 a,b G 有 f(a·b)=f(a)*f(b) ,则称f是G到H的同态。
同构： 若上述f是一一映射，则称f是G到H的同构。
G到G自身的同构称为内自同构
核（kernel)：设f：G→H是群同态映射，f的核定义 为kerf={a∈G|f(a)=1H}，其中1H是H中的单位元。
定理1.2.1：有限整环是域。
证明思路：根据域的定义，只需要证明每一个 非零元都有逆元即可。
四、子环、理想和商环
定义1.2.7：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子 集；如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的 一个扩环。
对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环称 为R的平凡子环。
指数法则：对任意的m，nZ，a，bR，
近世代数复习题
近世代数复习题近世代数复习思考题一、基本概念与基本常识的记忆（一）填空题1.剩余类加群Z 12有个生成元. 2、设群G 的元a 的阶是n ，则的阶是.3. 6阶循环群有个子群.4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为———。
5. 模8的剩余类环Z 8的子环有个.6.整数环Z 的理想有个.7、n 次对称群的阶是——————。
8、9-置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。
9.剩余类环Z 6的子环{［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是.10. 24中的所有可逆元是：.11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个同构。
12. 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于，（2）若a 的阶为n ，则G 同构于。
13. 在整数环中，23+；14、n 次对称群的阶是.15. 设12,A A 为群G 的子群，则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为。
16、除环的理想共有个。
17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于.18、在整数环Z 中，由｛2，3｝生成的理想是.19. 剩余类环Z 7的可逆元有个.20、设Z 11是整数模11的剩余类环，则Z 11的特征是.21. 整环{所有复数(是整数)}，则I 的单位是.22. 剩余类环是域⇔n 是.23、设Z 7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z 7 [x]中, (54)(32).24. 设G 为群，a G ∈，若12a =，则8a =。
25、设群｛e ，a 1，a 2，…，1｝，运算为乘法，e 为G 的单位元，则a 1n .26. 设{}，则A 到A 的一一映射共有个.27、整数环Z 的商域是.28. 整数加群Z 有个生成元.29、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么R I 是一个域当且仅当I 是————————。
关于AP—内射环的某些研究
ｆ（ ） ＝ ｆ（ ）＝ Ｒ ｂ０ ６ 甄 ， ｒ６ ｒ ａ ，
６ 月 于 是 存 在 ｌ Ｒ， ∈ ≤ Ｒ＝ ∈ ＝
， 得 ６ ＝ ｃａ 使 【ｂ
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＝（ １一 ｏ １ 曲 ∈ Ｒ ｂｎ 。 ＝ ０， 以 ，） ｅ ａ 所
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≠ ０ 这 表 明 ｒ （ ， 此 ｒ ｙ ， ） 周 （ ）ｃ （ ）从 而 ｒａ ＝ ｒＹ 。 ｒａ 。 （） （ ）
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下 面证 明 Ｌ由 一 个 幂 等 元 生成 。 Ｓ ＝ ｚ（ ａ， 们 断 言 Ｓ＝ Ｏ 假 设 存在 ∈ Ｓ， 令 Ｒ ）ｎ Ｒ 我 ｏ ≠ ０ 由（ ， ＊） ｒ ｎ 知 （ ）： ｒ ）＝ ｒ ！ ， 以 （ （ ）所
１ ｂ， ｄ 一 Ⅱ １ ） ＝ ａ （ ｄ ６
０ ６∈ ｒ ａ— ｄ １ ） 但 ６ ０ ， （ ｃａ 。 （ ）∈ Ｌ， （ ｒ ａ）ｎ Ｌ ＝ ０ 故 ６ 畦 （ ， 而 ｒ ０ （ ， ｄ） 从 （ ）ｃ ｒ ａ— ｄ ｌ ） ｄ 而 。 一 ｄ １ ａ 所 以 由 （＊ ）ｄ ＝ ｄ ｌ 。 ｄ ＝ ｃ 。 。 １ ， ＝ ｄ， ＝ ｒ ａ ＝ ｒ ｄ）＝ ｃｄＥ Ｒ ， ｃ 令 ｄ 【 （ ｃ） ｄ Ｌ （ ） （ （ 一 ｄ Ｒ （ ＝ “ ｄ）＝ “ ｄ ＝ Ｒ １一 ｄ ） （ １ ） Ｌ ） （ ） ．１一 ｄ） ：＝ １一 ｄ， Ｌ 显 然 是 右 （ ）理 想 ， 而 左 从 而结 论 成 立 。
因此 对 任 意 ∈ ，
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第２６卷第１期 ２０１０年２月 大 学 数 学
ＣｏＬＩ ＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏｌ＿２６，№．１
Ｆｅｂ．２０１０
Ｏｎ Ｒｉｎｇｓ Ｗｈｏｓｅ Ｅｖｅｒｙ Ｍａｘｉｍａｌ Ｌｅｆｔ Ｉｄｅａｌ ｉｓ ａ Ｗｅａｋｌｙ Ｒｉｇｈｔ Ｉｄｅａｌ
ＺＨＡＯ Ｌｉａｎｇ ， （Ｆａｃｕｌｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｊｉａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ ＸＩＯＮＧ Ｘｉａｏ－ｆｅｎｇ
Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇａｎｚｈｏｕ ３４ １ ０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐｒ。ｐｅｒｔｉｅｓ。ｆ ｔｈｅ ｒｉｎｇｓ ｗｈ。ｓｅ ｅＶｅｒｙ ｍａｘｉｍａｌ ｌｅｆｔ ｉｄｅａｌ ｉｓ ａ ｗｅａｋｌｙ ｒｉｇｈｔ ｉｄｅａｌ ａｒｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ
． ｓ。ｍ。 ｅｗ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉ。ｎｓ。ｎ ｌｅｆｔ ＳＦ—ｒｉｎｇｓ ａｎｄ ｓｔｒ。ｎｇｌｙ ｒｅｇｕ１ａｒ ｒｉｎｇｓ ａｒｅ。ｂｔａｉｎｅｄ，ｗｈｉｃｈ ｅｘｔｅｎｄ ｓｅｖｅｒａ１
ｋｎｏｗｎ ｒｅｓｕｌｔｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｗｅａｋｌｙ ｉｄｅａｌｓ；ｒｅｇｕｌａｒ ｒｉｎｇｓ；ＳＦ－ｒｉｎｇｓ ＣＬＣ Ｎｕｍｂｅｒ：Ｏ１５３．３ Ｄｏｃｕｍｅｎｔ Ｃｏｄｅ：Ａ Ａｒｔｉｃｌｅ ＩＤ：１ ６７２．１４５４（２０１０）０１．００３３一Ｏ４
１ Ｉｎｔｒ０ｄｕｃｔｉ０ｎ
ｌ ｈｒｏｕｇｈｏｕｔ ｔｈ ｓ ｐａｐｅｒ＇ａｌｌ ｒｉｎｇｓ ａｒｅ ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｅ ｗｉｔｈ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ａｎｄ ａｌｌ ｍｏｄｕｌｅｓ ａｒｅ ｕｎｉｔａｒｖ．Ｆｏｒ ａｎｙ
ｎｏｎｅｍｐｒｙ ｓｕｂｓｅｔ义ｏｆ ａ ｒｉｎｇ Ｒ，ｗｅ ｄｅｎｏｔｅ ｂｙ ｒ尺（Ｘ）ａｎｄ （Ｘ）ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ａｎｄ ｌｅｆｔ ａｎｎｉｈｉｌａｔｏｒ ｏｆ Ｘ ｉｎ
Ｒ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｉ．ｅ．，ｒＲ（Ｘ）一｛ｚ∈Ｒ ＪＸｘ一０｝ａｎｄ ｚＲ（Ｘ）一｛ ∈Ｒ｝ Ｘ一０｝． Ａ ｉｎｇ Ｒ ｉｓ ｃａｌｉｅｄ ａ ｌｅｆｔ（ｒｉｇｈｔ）ｑｕａｓｉ—ｄｕｏ ｒｉｎｇ ｉｆ ｅｖｅｒｙ ｍａｘｉｍａｌ ｌｅｆｔ（ｒｉｇｈｔ）ｉｄｅａ１ ｏｆ Ｒ ｉｓ ａｎ ｉｄｅａ１
． Ｉｎ Ｌ ｌ Ｊ，ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ ｏｆ ｒｉｇｈｔ ｑｕａｓｉ—ｄｕｏ ｒｉｎｇｓ ｗａｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ， ａｎｄ ｓｅｖｅｒａ１ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｗｅｒｅ ａ１ｓｏ
。ｂ ｉ“ ｄ・Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ａ ｌｅｆｔ Ｒ—ｍｏｄｕｌｅ Ｍ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｌｅｆｔ ＧＰｉｎｊｅｃｔｉｖｅ［２ ｉｆ ｆｏｒ ａｎｙ ０４－口Ｅ Ｒ，ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ
Ｐｏｓ ｔ Ｖｅ ｍｔｅｇｅｒ刀ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ≠Ｏ ａｎｄ ａｎｙ Ｒ—ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｒｏｍ Ｒａ ｉｎｔｏ Ｍ ｅｘｔｅｎｄｓ ｔｏ ｏｎｅ ｆｒｏｍ Ｒ
ｉｎｔｏ Ｍ・Ａ ｒｉｎｇ Ｒ ｗｉｔｈｏｕｔ ｎｏｎ—ｚｅｒｏ ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｒｅｄｕｃｅｄ．Ｉｆ Ｒ ｉｓ ａ ｒｅｄｕｃｅｄ ｒｉｎｇ，ｔｈｅｎ ｉｔ
ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ｒ（＆）一 （以）ｆｏｒ ａｎｙ＆∈Ｒ．
Ａ ｏ ｄ ｎｇ ｔｏ Ｌ３Ｊ，ａｎ ａｄｄｉｔｉｖｅ ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｏｆ Ｒ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｗｅａｋｌｙ ｌｅｆｔ ｉｄｅａ１ ｏｆ Ｒ ｉｆ ｆＯｒ ｅｖｅｒｖ ｚ∈ｆ
ａｎｄ ｒ∈ ，ｔｈｅｒｅ ｅｘ ｓｔｓ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ（ｒｚ） ∈Ｊ．Ｗｅａｋｌｙ ｒｉｇｈｔ ｉｄｅａｌｓ ｃａｎ ｂｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ ａ
ｓ ｍ ｌ ｄｒ ｗａｙ・Ｉｔ ｌＳ ｏｂｖｉＯＵＳ ｔｈａｔ ｅｖｅｒｙ ｌｅｆｔ（ｒｉｇｈｔ）ｉｄｅａｌ ｏｆ Ｒ ｉｓ ｗｅａｋｌｙ ｌｅｆｔ（ｒｉｇｈｔ）ｉｄｅａ１。Ｂｕｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ
ｅｘａｍｐ ｅ ｔｏ ｓｈｏｗ ｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｓｅ ｉｓ ｎｏｔ ｔｒｕｅ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ａｓ ｉｎｄｉｃａｔｅｄ ｉｎ ［３， Ｅｘａｍｐｌｅ １］． Ｗｅ
ｃｎａｒａｃｔｅｒ ｚｅ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ ｏｆ ｒｉｎｇｓ ｗｈｏｓｅ ｅｖｅｒｙ ｍａｘｉｍａｌ ｌｅｆｔ ｉｄｅａｌ ｉｓ ａ ｗｅａｋｌｙ ｒｉｇｈｔ ｉｄｅａ１ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ． Ｓｏｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ．
２ Ｍａｉｎ Ｒｅｓｕｌｔｓ
Ｉｔ ｉｓ ｗｅｌｌ ｋｎｏｗｎ ｔｈａｔ ｉｆ Ｒ ｉｓ ｑｕａｓｉ—ｄｕｏ ｒｉｎｇ Ｒ ｉｓ ａ ｒｅｄｕｃｅｄ ｒｉｎｇ．Ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｃａｎ ｂｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ
Ｌｅｍｍａ ２．１ Ｌｅｔ Ｒ ｂｅ ａ ｒｉｎｇ ｗｈｏｓｅ ｅｖｅｒｙ ｓｉｍｐｌｅ ｌｅｆｔ Ｒ—ｍｏｄｕｌｅ ｉｓ ＧＰ—ｉｎｊ ｅｃｔｉｖｅ，ｔｈｅｎ Ｒ ｉｓ ａ
ａｎｄ ｅｖｅｒｙ ｓｉｍｐｌｅ ｌｅｆｔ Ｒ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ． ｍｏｄｕｌｅ ｉｓ ＧＰ～ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ，
ｍａｘｉｍａｌ ｌｅｆｔ ｉｄｅａｌ ｉｓ ａ ｗｅａｋｌｙ ｒｉｇｈｔ ｉｄｅａ１．Ｉｆ ｅｖｅｒｙ
ｒｅｄｕｃｅｄ ｒｉｎｇ．
Ｒｅｃｅｉｖｅｄ ｄａｔｅ：２００７—０６・０６；Ｒｅｖｉｓｅｄ ｄａｔｅ：２００８—０２—２５ Ｆ。ｕｎｄａｔｉｏｎ ｉｔｅｍ：Ｔｈｅ Ｙｏｕｔｈ Ｆｕｎｄ ｏｆ Ｊｉａｎｇｘｉ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｐｒｏｖｉｎｃｉａ１ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ（ＧＪＪ １ ０ １ ５ ５） ３４ 大 学 数 学 第２６卷 Ｐｒｏｏｆ Ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ Ｏ≠口∈Ｒ ａｎｄ ａ 一０，ｔｈｅｎ Ｒａ＋ｌ（ａ）≠Ｒ．Ｉｆ ｎｏｔ，Ｒ—Ｒａ＋Ｚ（口）一Ｒａ．Ｔｈｅｎ １＝ｒａ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｒ∈Ｒ，ｓｏ ａ＝Ｆａ ＝０，ａ ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｍａｘｉｍａｌ ｌｅｆｔ ｉｄｅａｌ Ｍ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ Ｒａ＋Ｚ（口），ｓｏ Ｒ／Ｍ ｉｓ】ｅｆｔ ＧＰ－ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ．Ｌｅｔ 厂：尺以 尺／Ｍ：ｒⅡ一，．＋Ｍ． Ｉｔ ｉｓ ｏｂｖｉｏｕｓ ｔｈａｔ厂ｉｓ ａ ｗｅｌｌ—ｄｅｆｉｎｅｄ Ｒ－ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．Ｓｉｎｃｅ Ｒ／Ｍ ｉｓ ｉｅｆｔ ＧＰ—ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ ａｎｄ ａ —０， ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ｃＥＲ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ １＋Ｍ—ｆ（ａ）＝ａｃ＋Ｍ，ｓｏ １－－ａｃＥＭ．Ｂｙ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ。Ｍｉｓ ａ ｗｅａｋｌｙ ｒｉｇｈｔ ｉｄｅａ１ ｏｆ Ｒ，ｓｏ ａ∈Ｍ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ（ａｃ）”∈Ｍ．Ｌｅｔ ｚ一１－－ａｃＥ
Ｍ，ｔｈｅｎ（ｎｃ） 一（１一 ）”＝ ｃ （一１） 一 一．ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ∈Ｍ，（＆ｃ）ｎ∈Ｍｔｈａｔ １ＥＭ，ｗｈｅｒｅ ｋ＝０ ｋ：＝＝１，…， ，ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｓ Ｍ≠Ｒ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ Ｒ ｉｓ ａ ｒｅｄｕｃｅｄ ｒｉｎｇ．
Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ａ ｒｉｎｇ Ｒ ｉｓ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ｒｅｇｕｌａｒ ｒｉｎｇ…ｉｆ ｆｏｒ ａｎｙ ａ Ｅ Ｒ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ｂ∈Ｒ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ａ＝ａｂ ． Ａ ｒｉｎｇ Ｒ ｉｓ ａ ｌｅｆｔ Ｖ—ｒｉｎｇ ｉｆ ｅｖｅｒｙ ｓｉｍｐｌｅ ｌｅｆｔ Ｒ—ｍｏｄｕｌｅ ｉｓ ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ．Ｉｎ ｖｉｅｗ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｃｅｄｉｎｇ ｌｅｍｍａ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｂａｓｉｃ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ ｏｆ ａ ｒｉｎｇ ｗｈｏｓｅ ｅｖｅｒｙ ｍａｘｉｍａｌ ｌｅｆｔ ｉｄｅａｌ ｉｓ ａ ｗｅａｋｌｙ ｒｉｇｈｔ ｉｄｅａ１． Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１ Ｉｆ Ｒ ｉｓ ａ ｒｉｎｇ ｗｈｏｓｅ ｅｖｅｒｙ ｍａｘｉｍａｌ ｌｅｆｔ ｉｄｅａｌ ｉｓ ａ ｗｅａｋｌｙ ｒｉｇｈｔ ｉｄｅａｌ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ： （ｉ）Ｅｖｅｒｙ ｌｅｆｔ Ｒ—ｍｏｄｕｌｅ ｉｓ ＧＰ—ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ． （ｉｉ）Ｅｖｅｒｙ ｃｙｃｌｉｃ ｌｅｆｔ Ｒ—ｍｏｄｕｌｅ ｉｓ ＧＰ—ｉｎｊ ｅｃｔｉｖｅ． （ｉｉｉ）Ｅｖｅｒｙ ｓｉｍｐｌｅ ｌｅｆｔ Ｒ—ｍｏｄｕｌｅ ｉｓ ＧＰ—ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ． （ｉｖ）Ｒ ｉｓ ａ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ｒｅｇｕｌａｒ ｒｉｎｇ． （ｖ）Ｒ ｉｓ ａ ｖｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ ｒｅｇｕｌａｒ ｒｉｎｇ． （ｖｉ）Ｒ ｉｓ ａ ｌｅｆｔ Ｖ—ｒｉｎｇ． Ｐｒｏｏｆ Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｌｅｍｍａ ２．１ ａｎｄ ｔｈａｔ ｏｆ ｒ２，Ｔｈｅｏｒｅｍ １Ｏ］． Ｌｅｔ Ｒ ｂｅ ａ ｒｉｎｇ ａｎｄ Ｇ ｂｅ ａ ｇｒｏｕｐ（ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ｆｉｎｉｔｅ）．Ｉｔ ｉｓ ｗｅｌｔ ｋｎｏｗｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｒｉｎｇ ＲＥＧ３ ｉｓ ｙｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ ｒｅｇｕｌａｒ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ：（ａ）Ｒ ｉｓ ａ ｖｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ ｒｅｇｕｌａｒ ｒｉｎｇ．（ｂ）Ｇ ｉｓ ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅ（ｉ．ｅ．，ｅｖｅｒｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｉｓ ａｌｓｏ ｆｉｎｉｔｅ）．（ｃ）ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｅｖｅｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｇ ｉｓ ａ ｕｎｉｔ ｉｎ Ｒ（ｓｅｅ，ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，ｒ５，Ｐ１５５］）． Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ２．１ Ｌｅｔ Ｒ ｂｅ ａ ｒｉｎｇ ｗｈｏｓｅ ｅｖｅｒｙ ｍａｘｉｍａｌ ｌｅｆｔ ｉｄｅａｌ ｉｓ ａ ｗｅａｋｌｙ ｒｉｇｈｔ ｉｄｅａ１．Ｉｆ Ｇ ｉｓ ａ ｇｒｏｕｐ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｈｏｌｄ： （ｉ）Ｉｆ ＲＥＧ］ｉｓ ａ ｌｅｆｔ Ｖ—ｒｉｎｇ，ｔｈｅｎ Ｒ［Ｇ］ｉｓ ａ ｙｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ ｒｅｇｕｌａｒ ｒｉｎｇ． （ｉｉ）Ｉｆ Ｇ ｉｓ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐ，ｔｈｅｎ ＲＥＧ］ｉｓ ａ ｌｅｆｔ Ｖ—ｒｉｎｇ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ Ｒ［Ｇ］ｉｓ ａ ｖｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ ｒｅｇｕｌａｒ ｒｉｎｇ． Ｐｒｏｏｆ（ｉ）Ｂｙ Ｅ６，Ｔｈｅｏｒｅｍ ｌｏ２，Ｉｆ ＲＩＧ］ｉｓ ａ ｌｅｆｔ Ｖ—ｒｉｎｇ，ｔｈｅｎ Ｒ ｉｓ ａ ｌｅｆｔ Ｖ ｒｉｎｇ，Ｇ ｉｓ ａ ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｅａｃｈ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｇ ｉｓ ａ ｕｎｉｔ ｉｎ Ｒ．Ｓｏ Ｒ［Ｇ］ｉｓ ａ ｖｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ ｒｅｇｕｌａｒ ｒｉｎｇ ｂｙ ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１ ａｎｄ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｍｅｎｔｉｏｎｅｄ ａｂｏｖｅ ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ２．１． （ｉｉ）Ｂｙ［６，Ｔｈｅｏｒｅｍ １１］，Ｉｆ Ｇ ｉｓ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐ，ｔｈｅｎ ＧＥＲ］ｉｓ ａ ｌｅｆｔ Ｖ—ｒｉｎｇ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ Ｒ ｉｓ ａ ｌｅｆｔ Ｖ—ｒｉｎｇ，Ｇ ｉｓ ａ ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｅｖｅｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｇ ｉｓ ａ ｕｎｉｔ ｉｎ Ｒ．Ａｇａｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１． Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ａ ｒｉｎｇ Ｒ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｒｉｇｈｔ（１ｅｆｔ）ｗｅａｋｌｙ ｒｅｇｕｌａｒ ｉｆ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ．ｚ Ｅ Ｒ，ｘ Ｅ ｘＲｘＲ￣ ］ （ Ｅ ＲｘＲｘ）．Ｒ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｗｅａｋｌｙ ｒｅｇｕｌａｒ ｉｆ ｉｔ ｉｓ ｂｏｔｈ ｒｉｇｈｔ ａｎｄ ｌｅｆｔ ｗｅａｋｌｙ ｒｅｇｕｌａｒ．Ｉｔ ｉｓ ｗｅｌｌ ｋｎｏｗｎ ｔｈａｔ ｉｆ Ｒ ｉｓ ａ ｒｅｄｕｃｅｄ ｒｉｎｇ，ｔｈｅｎ Ｒ ｉｓ ｌｅｆｔ ｗｅａｋｌｙ ｒｅｇｕｌａｒ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ Ｒ ｉｓ ｒｉｇｈｔ ｗｅａｋｌｙ ｒｅｇｕｌａｒ（ｓｅｅ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，［８，ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ４．３］． Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ２．２ Ｌｅｔ Ｒ ｂｅ ａ ｒｉｎｇ ｗｈｏｓｅ ｅｖｅｒｙ ｍａｘｉｍａｌ ｌｅｆｔ ｉｄｅａｌ ｉｓ ａ ｗｅａｋｌｙ ｒｉｇｈｔ ｉｄｅａ１．Ｉｆ ｅｖｅｒｙ ｓｉｍｐｌｅ ｌｅｆｔ Ｒ—ｍｏｄｕｌｅ ｉｓ ＧＰ－ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ，ｔｈｅｎ Ｒ ｉｓ ａ ｒｅｄｕｃｅｄ ｗｅａｋｌｙ ｒｅｇｕｌａｒ ｒｉｎｇ． Ｌｅｍｍａ ２．２ Ｉｆ Ｒ ｉｓ ａ ｒｉｎｇ ｗｈｏｓｅ ｅｖｅｒｙ ｍａｘｉｍａｌ ｌｅｆｔ ｉｄｅａｌ ｉｓ ａ ｗｅａｋｌｙ ｒｉｇｈｔ ｉｄｅａｌ，ｔｈｅｎ Ｒ／Ｊ（Ｒ）ｉｓ