D3-1环的定义及环的基本性质

c(a b) cb c[(a b) b] ca 由性质（4）可得
性质(8)
0a a 0 0 ( 0是R的零元)
事实上， (a a )a a(a a ) aa aa 0
性质(9)
( a )b a( b) ab
事实上， ab (a )b (a a )b 0, ab a(b) a(b b) 0
k 0
k C n1a k b n1 k
于是性质（ ）对任意n都成立. 14
性质(15)
a ma n a m n
(a m )n a mn
小结 1、环的定义与性质
2、 两个特别的环
测试题
以下集合对所说运算是否作成环？
实数集 对数的普通加法及新规 R 定的乘法： b | a | b. a
和乘法构成一个环， n ( F ), ,)称为 n阶矩阵环. (M
明示2：
在例5中，若用数环替代数域F后，结果仍成立. 譬如，用偶数环替代F，得到
M n ( 2 Z ) { A (a ij ) | a ij 2 Z ,1 i , j n}构成一个环 .
二、两个重要的环
关于环，我们可以举出许许多多的例子.下面特别 介绍一个用途很广的环。
k 0
k C n a k 1b n k
k 0
等式右端a k b n k 1 ( k 0, k n 1)项出现在第一个 中的系数为 n 1，出现在第二个 Ck
k k k 而Cn 1 Cn Cn1
n 1
中的系数为 n Ck
故有 (a b)n1
I （R，）是一个加法交换群； II （R， ）是一个乘法半群； III 乘法对于加法的左、右 分配律都成立，即 a(b c ) ab ac（左分配律） (b c )a ba ca（右分配律） 对于R中a , b, c任意均成立 .
在不产生混淆的前提下 ，可以记这个环为 . R
即： ai )( b j ) (
i 1 j 1
m
n
m
i 1
ai b j
j 1
n
性质(13)
( na )b a( nb ) n(ab)
当a, b R, 且ab ba时, 二项式定理成立，即
性质(14) (a b)n
k 0 k C n a k b n k n
设a , b, c R, n, m N
性质(1) 性质(2) 性质(3) 性质(4) 性质(5)
0 a a 0 a (a是任意元)
aa aa 0 (a ) a ac b c ba
(a b) a b, (a b) a b ( a b ) a b
证明： 数学归纳法证明 （1）当n=1时，结论成立。
（2）假设对某个自然数n，结论成立。
当n+1时，
(a b)n1 (a b) (a b)n a(a b)n b(a b)n
n n
a
n
k 0
k C n a k b n k
k b C n a k b n k k 0 n k C n a k b n k 1
模m的剩余类环( Z m ,,)
首先， m , )就是前面提到的剩余类 (Z 加群，（a] [b] [a b] [ ）
其次，规定 Z m ,)的乘法为a][b] [ab（也 )是一个环。
为了方便起见，特取 6，现考察{Z 6 , ,}是一个环 m 事实上：（ {Z 6 , }正是模6剩余类加群（第二章） 1 ）
因为一般 | a b | c (| a | | b |) c，即左分配律不成立， 故不作成环。
（Z， ）是一个乘法半群，又 因数的乘法对于加法适 合分配律， 故（Z， ， ）是一个环. — —习惯上称它为整数环 ，记为Z .
同样，数集 ，R，C对于数的加、乘也都作 Q 成环.
把数集关于数的加法、 乘法做成的环，叫做 数环.
例2
偶数集2Z {,6,4,2,0,2,4,6,}关于通常数的加法
性质(10)
( a )(b) ab
性质(11)
性质(12)
a(b1 b2 bn ) ab1 ab2 abn (b1 b2 bn )a b1a b2a bna
(a1 am )(b1 bn ) a1b1 a1bn am b1 am bn
由(1), ( 2), ( 3) ( Z 6 ,，是一个环。 )
同理([b] [c ])[a ] [b][a ] [c ][a ]
三、环的基本性质 一个环（R,+,· )中的加法与乘法不是孤立的两个运算， 二者被分配律联系起来了，正是这个纽带才是使得一个 具有两个代数运算的代数系统成为环的重要依据。
（ ） 6 ,}是半群 : 2 {Z
[0] [1] [2] [3] [4] [5]
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4] [5]
从右边的乘法运算表可 知： {Z 6 ,}对乘法是封闭的；
[2] [0] [2] [4] [0] [2] [4] 而满足结合律需要验算 3 次. 6 （略） [0] [3] [0] [3] [0] [3] [3]
（1）能清楚理解环的定义以及它与群的区别和联系； （2）环的基本性质应该全部能领会； （3）教学活动中介绍的环的几种主要类型要掌握；
重点和难点：
清楚环这种代数体系中两种运算中的协调关系。
一、环的引入及例子 定义1
有两个二元运算（分别 叫做加法，乘法）的代 数 系统（R， ， ）叫做环，如果
和乘法也构成一个环， {2Z， ，为偶数环. 称 }
一般地，
nZ { ,3n,2n, n,0, n,2n,3n, }都是环，其中， Z. n
例3
设Z[i ] {a bi | a, b Z }.
按数的通常的加法和乘 法也构成一个环 , 叫做高斯数环 .
例4 设F为数域，而F上一切一元多项式组成 的集合
F [ x ] {an x n an1 x n1 a1 x a0 | ai F , n N } F [ x ]关于多项式通常的加法 和乘法构成一个环， { F [ x ], ,}称为 一元多项式环.
明示1： 在例4中，若将数域F换成任一个数环，那么也能 构成多项式环.譬如，取整数Z，则
事实上， (a b) (a b) a (b) a b 0
性质(6) 性质(7)
m na mn a
n(a b) na nb
(a b)c ac bc c(a b) ca cb
事实上， (a b)c bc [(a b) b]c ac
（） [a],[b],[c] Z6 , 可知 3
[a]([b] [c]) [a][b c]
[a]([b] [c]) [a][b] [a ][c]
[4] [0] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [0] [5] [4] [3] [2] [1]
[a(b c )] [ab ac ] [ab] [ac ] [a][b] [a][c]
第三章 环与域
3.1 环的定义及环的基本性质 3.2 交换律、单位元、零因子、整环 3.3 除环、域 3.4 子环、环的同构 3.5 理想 3.6 商环与环同构基本定理 3.7 极大理想与素理想
第一节 环的定义及环的基本性质
教学目的和要求：
第三章
本节将在群理论的基础上讨论具有两个二元运算的代数系 统——环的基本性质。环也是近世代数中一类重要的、基本的代 数系统。由于它具有二个运算，故不可避免地会遇到在群论中不 能触及和解决的问题。在群论中，无论在思考问题、提出问题的 基本想法，还是分析问题、解决问题的主要手法方面，对于近世 代数来说，都具有普遍的、典型的意义，可以说基本上体现了近 世代数研究问题的格调与模式。这些对环的讨论会有重要的启发 和借鉴作用。本节中，主要介绍环的概念、环的主要特性及它与 群的联系与区别。在教学过程中，还将引入一批环的实例，以及 讨论有关环在二个运算方面所具有的基本性质。要求在学习中，
注意1： 对于环R而言，(R，+)是加法交换群，则意味着（R， +）满足群的四个条件，其中单位元为零元0，R中元素a 的逆元为负元-a。而半群（R，· )意味着“·”满足封闭和 结合律. 例1
全体整数所成集合 对于通常数的加法和乘 Z 法作成一个环 . 已知（Z，）是一个加法群，数的 乘法适合结合律，故
Z [ x ] {bn x n bn1 x n1 b1 x b0 | bi Z , n N }
叫做整系数多项式环.
例5
数域F上全部n阶方阵组成的集合 M n ( F ) {(aij ) | aij F ,1 i , j n}关于方阵通常的加法