关于nZ的理想及商环
代数结构与数理逻辑-多项式环
▪ 定理14.9:(1)GCD(f(x),g(x))可用类似于上 述方法求得;
▪ ( 2 ) 当 h(x)=GCD(f(x),g(x)) 时 , 必 存 在 s(x),t(x)F[x]，使h(x)=s(x)f(x)+t(x)g(x)
对degf(x)作归纳证明.
(2) 唯 一 性
q1(x)…qm(x) 对n作归纳证明
若 f(x)=p1(x)…pn(x)=
§4 理想与商环
▪ 一、理想 ▪ 定义14.13：[R;+,*]为环, 若I ,IR,关于+,*
运算满足条件: ▪ (1)任a,bI,a-bI ▪ (2)任aI,rR,a*r,r*aI
▪ 定理14.13：域F上的多项式环F[x]是主理 想环。
▪ 分析:与前面证明方法类似.
▪ 证明:若I={0},成立
▪ 对于I{0}的理想,其生成元是什么呢?
▪ 对多项式,则应取I中非零的、多项式次数 最小的p(x).
▪ 这样就要证明对任一理想,可表示成
▪ {p(x)f(x)|f(x)F[x],p(x)为该理想中次数最 小的}.
▪ FF[x],F*=F-{0},任意aF*,存在逆元
▪ 对于F[x]中其他元素f(x),当degf(x)>0, 不 存在g(x)F[x],使得f(x)g(x)=1.
▪ 这里1是域F的单位元.
▪ 对F[x]中有逆元的元素称为可逆元.
▪ 定义14.11:当aF[x],并存在a-1F[x],使aa-1 =1
§3 多项式环
▪ 在习题14.3(5)的中，已知可以类似于在
实数域上定义多项式一样，在域F上定义
近世代数课件 第11节 子环与理想
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近世 代数
理想子环的实例
前面的例1已经证明：对任意给定的自然数n, nZ={nz|z∈Z}
是整数环Z的子环。 于是有： 2Z ={2z|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环. 3Z ={3z|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环.
…… nZ={nz|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环.
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近世 代数
极大理想
由(交换)环得到域的方法之一：利用极大理想的方法
定义1 环R的理想H称为R的极大理想，如果H是R的真 理想，且R不存在真理想N使得H N.
定义1’ 环R的一个不等于R的理想H称为R的极大理 想，如果除了R同H自己以外，没有包含H的理想.
定义1” 环R的真理想H称为R的极大理想，如果N是R
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近世 代数
子环的判定
定理1 (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。 S是R的子环的充要条件是
(1) a, b∈S, a–b∈S； (2) a, b∈S, ab∈S.
定理1’ (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。 S是R的子环的充要条件是
(1) a, b∈S, a+b∈S； (2) a∈S, -a∈S; (3) a, b∈S, ab∈S.
的特征数，简称为特征，记为ChR.
定理2 若无零因子环R的特征数为正整数p，则p为素
数.
推论2 整环、体和域的特征数或是无穷大，或是
一个素数.
问题：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.
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近世 代数
第11节 子环与理想
主要内容:
子环 理想(子环) 环的同态基本定理 极大理想
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近世 代数
定理1’’ (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。
近世代数学习系列四-北航李尚志抽象代数的人间烟火
抽象代数的人间烟火李尚志北京航空航天大学数学与系统科学学院北京, 100191摘要抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。
抽象代数能不能有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。
关键词：抽象代数，精彩案例某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。
我问她哪门课程学得最好。
答曰“抽象代数”。
不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。
我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。
让她举一个非交换群。
举不出来。
举一个有限域，举不出来。
我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分! 她大惑不解，说：“抽象代数就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。
如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。
问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是10%--20%，我估计：学习抽象代数的大学生中有90%都持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。
这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。
现有的抽象代数教材，不是没有例子。
这些例子本来就很精彩。
三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。
但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。
要讲清楚，课时也不够。
只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵魂砍掉了，只剩下最容易讲的：让学生死背一些自己也不懂的定义。
考试也不考用知识解决问题，只考背定义。
抽象代数就不是数学课，而是识字课，只要死记硬背就行了。
金庸的武侠小说《射雕英雄传》中的武功秘籍《九阴真经》中有一段用梵文写的话：“努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔。
第六章有限域
正规子群和商群
正规子群：G为群，H是G的子群，若 a G, h H
有 aha1 H ， 则称H为G的正规子群，记为H G。
H G g G, gHg 1 H g G, gH Hg
第一部分 代数学基础
1.1 群、环、域基本概念 1.2 剩余类环、理想 1.3 多项式环 1.4 域与扩域
一、环的定义
定义1.2.1：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运 算，一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做·；且满足：
（1）（R，＋）是一个可换群； （2）（R，·）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a，b，cR，有：a(b ＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc； 则称代数系统（R，＋，·）是一个环。
群同态
同态：设f：G→H是群G到H的一个映射，如果 a,b G 有 f(a·b)=f(a)*f(b) ,则称f是G到H的同态。
同构： 若上述f是一一映射，则称f是G到H的同构。
G到G自身的同构称为内自同构
核（kernel)：设f：G→H是群同态映射，f的核定义 为kerf={a∈G|f(a)=1H}，其中1H是H中的单位元。
定理1.2.1：有限整环是域。
证明思路：根据域的定义，只需要证明每一个 非零元都有逆元即可。
四、子环、理想和商环
定义1.2.7：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子 集；如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的 一个扩环。
对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环称 为R的平凡子环。
指数法则：对任意的m，nZ，a，bR，
代数结构与数理逻辑-代数元与根域
的代数元?
▪ 2.极小多项式
▪为在F上的极小多项式,如果
p(x)之首项系数为1,且它是F[x]中以为 根的多项式中次数最低的。
▪ 定理15.6:为F之代数元,p(x)为其在F上 的极小多项式, 则:
▪ (1)p(x)不可约。
▪ 若存在的另一极小多项式p1(x) ▪ 则p(x)|p1(x), p1(x)|p(x) ▪ 由定理14.10知p(x)=ap1(x),aF*,
▪ 极小多项式 首项系数为1,
▪ 因此a=1,即p(x)=p1(x).
▪ p(x)F[x],首项系数为1,在F上不可约,且 p()=0,p(x)是否为极小多项式？
▪ 测验：
▪ 1.设环R存在唯一一个右单位元，证 明该环一定存在单位元
▪ 2.设 Z(i)={a+bi|a,b∈Z},E={2a+2bi|a,b∈ Z}，[E;+,]为域[Z(i);+,]的理想，则 商环[Z(i)/E;,]必有零因子。这里 i2=-1 ，“+、”为普通加法和乘法 .
▪ 定理15.5：F为域,则必包含一个素子域, 且:
p(x)之首项系数为1,且它是F[x]中以为 根的多项式中次数最低的。
▪ (2)若f(x)F[x],f()=0则p(x)|f(x)。
▪ 因为f(x)=p(x)q(x)+r(x),
▪ q(x),r(x)F(x),r(x)=0或者degr(x)<degp(x)
▪ 由f()=0,得r()=0
▪ 根据极小多项式 定义,有r(x)=0,即p(x)|f(x)
▪ (3)p(x)是唯一的
▪ 设的极小多项式为p1(x). ▪ 证明p(x)=p1(x) ▪ 推论15.2：p(x)F[x],首项系数为1,在F
关于nZ的理想及商环
关于nZ的理想及商环张隆辉;石化国;赵凤鸣【摘要】给出了nZ的全部理想、极大理想和素理想,并研究了nZ的商环的构造以及为域的条件,解决了Z<,n>的子域的存在和个数问题.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2011(027)003【总页数】3页(P50-52)【关键词】理想;极大理想;素理想;商环;域;子域;单素因子【作者】张隆辉;石化国;赵凤鸣【作者单位】四川职业技术学院,数学系,四川,遂宁,629000;四川职业技术学院,数学系,四川,遂宁,629000;四川职业技术学院,数学系,四川,遂宁,629000【正文语种】中文【中图分类】O153.3若环R关于其加法作成的加群(R,+)是一个循环群,则称R是一个循环环.若a是循环环R的加群的一个生成元,则也称a是循环环R的一个生成元,并记R=〈a〉.循环环R=〈a〉的元素个数叫做R的阶,记为|R|,也就是生成元a关于R的加法的阶(简称a的加法阶).整数环Z是无限循环环且是欧氏环,对它的研究在代数学中具有十分重要的意义.循环环的子加群、子环、理想三者是一致的.Z的子环即由整数n生成的主理想,记为nZ或〈n〉.Z关于模n的剩余类环即Z的商环,记为Zn或Z/nZ.文[1]给出了Z/nZ的全部理想、极大理想和素理想及其具体求法,文[2]研究了Zn的子环.本文研究nZ 的理想、商环以及Zn的子域的存在和个数问题.以下均假设n≥1.若N是环R的理想,则记且N≠R,则记N◁R.引理1[1] 设Z是整数环,m Z是Z的理想,则Z中理想nZ⊇m Z⇔n|m.定理1 nZ的全部理想为mnZ,其中m≥0.证由引理1,mnZ是nZ的理想.设H是nZ的任一理想.由于nZ=〈n〉是以n为生成元的循环环,故H也为循环环.设其生成元为mn(m≥0),则H=〈mn〉=mnZ.定理2 nZ的全部极大理想为np Z,其中p为素数.证 (i)设p为素数,则np Z◁nZ.若np ZHnZ,则H=nkZ(k≥0)⇒nk|np⇒k|p.而p是素数⇒k=1或k=p⇒H=nZ或H=np Z⇒np Z为nZ的极大理想.(ii)设N是nZ的一个极大理想,则N=np Z(p≥0).显然p≠0且p≠1,故p＞1.如果p 为合数: p=p1p2,1＜pi＜p(i=1,2)⇒np=(np1)p2,npnp1,np1n⇒npZ◁np1Z◁nZ,矛盾.故p为素数.显然nZ总有两个素理想{0}和nZ,这两个素理想称为nZ的平凡素理想.定理3 nZ的全部素理想为np Z,其中p=0或p=1或p为素数且pn.证 (i)当p=0或p=1时,np Z是nZ的平凡素理想.当p为素数且pn时,∀a,b∈nZ,且ab∈np Z,令a=ns,b=nt,则ab=npq=nsnt⇒nst=pq.又由p为素数且pn⇒p|s 或p|t⇒np|a或np|b⇒a∈np Z或b∈np Z⇒np Z为nZ的素理想.(ii)设H是nZ的任一素理想,则H=np Z,p≥0.若H={0},则p=0.若H=nZ,则p=1.若H≠{0}且H≠nZ,则p＞1.①如p为合数:p=p1p2,1＜pi＜p(i=1,2),则取a=np1,b=np2,有a,b∈nZ.但a,b∉np Z,ab =np1np2=n(np)∈np Z,所以np Z不是nZ的素理想,矛盾.所以p 必为素数.②如p为素数但p|n.取a=b=n(p+1)∈nZ,令n=pk,则但a=b∉np Z(否则np|n(p+1)⇒p|p+1,矛盾.),所以np Z也不是nZ的素理想,矛盾.所以p为素数且pn.作为定理2,3的特例得熟知的结果:在Z中,除平凡理想外,素理想和极大理想是一致的.定理2、3还表明,在nZ(n＞1)中,非平凡素理想是极大理想,极大理想未必是素理想,故可以在nZ(n＞1)中找到是极大理想而不是素理想的例子.定理4给出了nZ的商环的构造,下面进一步看该商环为域的条件.引理2[3] 阶大于1的有限环若无零因子,则必为除环.定理5 nZ/mnZ为域的充要条件是m为素数且mn.证充分性.由m为素数且mn,则mnZ是nZ的非平凡素理想,所以nZ/mnZ为无零因子交换环.而|nZ/mnZ|=m有限且大于1,则由引理2知nZ/mnZ为域.必要性.假设m不是素数.若m=0或m=1,显然nZ/mnZ不是域.故m＞1.若m是合数,设m=m1m2,1＜mi＜m(i=1,2),记Z/mnZ的元为k ,则推论对商环nZ/mnZ,(i)当m=0时,与nZ同构;(ii)当m=1时,为零环;(iii)当m为合数时,为有零因子环;(iv)当m为素数且m|n时,为零乘环;(v)当m为素数且mn时,为特征是m的域且与Zm同构.证 (i),(ii)显然,(iii),(iv)由定理5的证明已得.至于(v),当m为素数且mn时,由定理5,nZ/mnZ已经为域,且显然其特征为m.记其单位元为ε,则nZ/mnZ=〈ε〉.记Zm的单位元为1,令φ:kε→k1(0≤k≤m-1),易知nZ/mnZZm.定义1 若环R的子环K对R的加法和乘法作成一个域,则称K是R的子域.定义2 设正整数n和素数p.若p|n且p2n,则称p是n的单素因子,n的单素因子的个数记为ψ(n).定理6 对模n剩余类环Zn,(i)若Zn有p阶子域,则Zn的p阶子域只有一个,即为m Z/pm Z (n=pm);(ii)Zn有p阶子域的充要条件是p为n的单素因子;(iii)Zn的子域个数为ψ(n).证 (i)设Zn有p阶子域Kp,令n=pm,则Kp也是Zn的p阶子环.而Zn是n阶循环环,有唯一的p阶子环,m Z/pm Z已是Zn的p阶子环,从而Kp=m Z/pm Z. (ii)若Zn有p阶子域,即为m Z/pm Z(n=pm).由定理5,p是素数且pm,故p是n 的单素因子.反之,若p是n的单素因子,令n=pm,因p是素数且pm,由定理5,m Z/pm Z是Zpm=Zn的p阶子域.(iii)若ψ(n)=0,则n没有单素因子,Zn的子域个数为0.若ψ(n)＞0,设n的全部单素因子为p1,…,pψ(n),则对每个pi,Zn有唯一的pi阶子域miZ/pimiZ(pimi=n).而当i≠j(1≤i,j≤ψ(n))时, pi≠pj,miZ/pimiZ≠mjZ/pjmjZ,故Zn的子域个数为ψ(n).由定理6可知,Znk(n,k＞1)不含子域,求Zn的子域的方法如下:①求出n的全部单素因子(如有的话)p1,…,pψ(n);②按定理4写出Zn的pi阶子域miZ/pimiZ【相关文献】[1] 杜福昌.剩余类环Z/mZ的理想素理想极大理想[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),1989,12(1)：66-67.[2] 李伯葓.模n的剩余类环的子环[J].南京师大学报(自然科学版),1992,15(3)：17-20.[3] 杨子胥.近世代数[M].2版.北京：高等教育出版社,2003：167.[4] 吴品三.近世代数[M].北京：高等教育出版社,1987.。
《近世代数》期末辅导
是极大理想。
17
8、相伴元，既约元，素元 在整环R中，两个元素 a, b称为相伴元，如
果存在可逆元d使得a=db.
在整环R中，非零非可逆元素p称为既约元，
如果p=ab,则a是可逆元或a与p是相伴元。当然
对于b也是如此。 在整环R中，非零非可逆元素p称为素元，如 果p整除ab，则p整除a或p整除b.
(1) (12) (12) (13) (13)
, a2 , a1 )
(123) (123) (132) (132)
例：S3 的乘法表
(23) (23)
(1)
(1)
(1) (132) (123) (23) (13) (13) (13) (123) (1) (132) (12) (23) (2 3) (23) (132) (123) (1) (13) (12) (1 2 3) (123) (13) (23) (12) (132) (1)
解： f ( x) g ( x) x 4 2 x3 5 x 2 2 x 5
f ( x) g ( x) 5 x 6 x 5 x 4 3x 3 5 x 2 5 x 4
12
例：在 Z8 中求元素 5 的逆元。 解：由于
5 5 3 8 1
，所以 5
1
5
4、设 n , m 是整数环Z中的两个主理想，求生 成元a, b使 a n m , b n
m
解：a是n与m的最大公约数，b是n与m的最小公倍数。 例：求生成元a, b使
a 24 36 , b 24 36
3
例2：设H是群G中指数为2的子群，则H是G的不变子群。
证明：指数为2是说G关于H的左陪集个数只有2个。
走下神坛的抽象代数
05
案例4. 单位根群
单位根: 1的 n 次方根. xn =1的根.
1
f(a)n =1 na = 2kp a=2kp/n
2
1,w,w2,…,wn-1 ,
3
w = cos(2p/n) +isin(2p/n)
4
n阶循环群 〈 w 〉={1,w,w2,…,wn-1}
3
同阶d=1,3,5,15复因子相乘得Fd(x)
4
F1(x)=x-1.
5
F3(x)=(x3-1)/(x-1)=x2+x+1.
6
F5(x)=(x5-1)/(x-1)=x4+x3+x2+x+1
7
F15(x)=(x15-1)/(F1(x)F3(x)F5(x))
8
分圆多项式 Fd(x)
9
有限域: 5最 PK 3最
案例10. 极限与微分
案例11.分数化小数-- 循环节长度
混循环: (10d-1)10kq≡0(mod p).
当 p是素数(≠2,5), 10d≡1(mod p)
q/p=a的循环节 D=(10d-1)q/p=整数.
a=1/7=0.142857…
D是 10在乘法群 Zp*中的阶,整除 p-1
5
f:Z 〈 w 〉, k wk , f(k+r) = f(k)f(r)
6
Ker f = nZ
7
Zn=Z/nZ ≌ 〈 w 〉
8
案例5. xn -1 的因式分解
复数范围: xn -1=(x-1)(x-w)…(x-wn-1)
1
有理数范围: 以x15 -1为例
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证 （） 户为 素数 ， ｎ Ｚ＜ｎ ． ｎ Ｚ＜ Ｈ ｎ 则 Ｈ—ｎ Ｚ（≥ Ｏ ￣ｎ ｝ ｉ设 则 ｐ ￣Ｚ若 ｐ ￣ Ｚ， ｋ ｋ ） ｋ
＝ ＝ ＞ ＝ １或 ｋ ｐ Ｈ — ｎ 或 Ｈ —ｎ Ｚ ｎ Ｚ 为 ｎ 的 极 大 理 想 ． ＝ — Ｚ ｐ ￣ ｐ Ｚ
忌 ． ｛ 而 是 素数
［ 摘
要 ］ 给 出 了 ｎ 的全 部 理想 、 大 理想 和 素 理想 ， 研 究 了 ｎ 的商 环 的构 造 以及 为域 的 条 件 ， 决 Ｚ 极 并 Ｚ 解
了 ｚ 的 子 域 的 存 在 和 个 数 问 题 ．
［ 关键词］理 想； 极大理 想 ； 素理想 商环； ； 域 子域 ； 单素因子
（ ）设 』 ｎ ｉ ｉ ｖ是 Ｚ的一 个极 大理想 ， Ｎ＝ｎ Ｚ（ ≥Ｏ ． 则 ｐ ｐ ） 显然 ≠０且 Ｐ ， ≠１ 故 ＞ １ 如果 为 合 数 ： ．
Ｐ—Ｐ Ｐ ，＜户 ＜ （一１ ２ ｎ １２１ ， ） 户一（ ｐ ） ，ｐ ｎ １ｎ 】 ｎ１ ２ ｎ ￣ ｐ ，ｐ 户 ｎ 】 ｎ 矛盾 ． Ｐ为素数 ． Ｚ ｐＺ Ｚ， 故 显然 ｎ Ｚ总有两 个素 理想 ｛ ｝ ｎ 这两个 素理想 称 为 ｎ ０ 和 Ｚ， Ｚ的平凡 素理 想．
② 如 Ｐ为素数 但 ＰＩ 取 ｎ 一ｎ ｐ ． 一６ （ ＋１ ∈ｎ 令 ， ） Ｚ， ｚ 是 则 一声 ，
ｎ６一 。 夕＋ １ 一 ｎ （ ） ｐｋ（ 夕＋ １ 。 ｎ ） ∈ ｐＺ．
但 ｎ ｎ Ｚ（ ＝ｂ ｐ 否则 １ （ ＋１ ｎ ）
（ｉ ｉ ）设 Ｈ 是 ｎ 的 任一 素理 想 ， Ｈ —ｎ Ｚ， ≥ ０ 若 Ｈ 一 ｛ ） 则 Ｐ—Ｏ 若 Ｈ—ｎ 则 户一１ 若 Ｚ 则 ｐ Ｐ ． ０， ． Ｚ， ．
Ｈ≠ ｛ ｝ Ｈ≠ ｎ 则 声 １ ０且 Ｚ， ＞ ．
［ 稿 日期 ］ ２ ０ — ７２ ； ［ 改 日期 ］ ２ ０ — ２２ 收 ０ ８ ０ — １ 修 ０ ８１—３
第 ２ ７卷 第 ３期
２１ ０ １年 ６月
大 学 数 学
Ｃｏ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ１ ２ № ． ． ７， ３
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．０ １
关 于 ｎ 的 理 想 及 商 环 Ｚ
张 隆辉 ， 石 化 国 ， 赵 凤 鸣
（ 川职业技术学院 数学系 ， 四 四川 遂 宁 ６ ９ ０ ） ２ ０ ０
第 ３期
张 隆辉 ， ： 于 ｎ 等 关 Ｚ的 理 想及 商环
５ １
① 如 ｐ为合数 ： —Ｐ Ｐ ，＜ ｐ ＜ （一１ ２ ， 取 ａ ｐ ， 一ｎ 有 ａ ｂ Ｚ 但 ａ ｂ ｎ Ｚ， ｂ １ ２ｌ ，）则 —ｎ １ ６ ｐ ， ， ∈ｎ ． ， ｐ ａ
—ｎ ｐ ＝ｎ ｎ ） ｎ Ｚ， 以 ｎ Ｚ不 是 ｎ 的 素 理 想 ， 盾 ． 以 Ｐ必 为 素 数 ． ｐ ｎ ｚ＝ （ｐ ∈ ｐ 所 ＝ ｐ Ｚ 矛 所
定理 ３ ｎ Ｚ的全部 素理想 为 ｎ Ｚ， 中 Ｐ ｐ 其 一０或 Ｐ一１ Ｐ为 素数且 ｐ ． 或
证 （ ｉ ）当 Ｐ ０或 Ｐ＝ １时 ， ｐ 是 ｎ 的 平 凡 素 理 想 ． Ｐ 为 素 数 且 ＰＴ 时 ， ， ∈ ｎ 且 一 ｎＺ Ｚ 当 ｎ Ｖ＆ ｂ Ｚ， ａ ｅｎ Ｚ， ｎ ６ ｎ ， 。 一 ｎ ｑ ｎｒ ： ｎｔ Ｐ 。 由 Ｐ 为 素 数 且 ｐ ｎ ｐｌ 或 Ｐ Ｉ ｂ ｐ 令 —ｎ ，一 ｔ则 ６ ｐ — ｓｔ￣ ｓ— ｑ 又 ｌ： Ｔ￣ Ｓ ｎ ＝ 。 ｎ Ｚ或 ｂ ｐ ￣ ｎ Ｚ为 ｎ 的 素 理 想 ． ｐ１ ＞ ∈ ｐ ６ ∈ｎ Ｚ ｐ Ｚ ｝ ａ或
Ｅ］ ２ 研究 了 ｚ 的子环 ． 本文 研究 ｚ的理 想 、 商环 以及 ｚ 的子域 的存 在和个 数 问题．
以下 均假 设 ≥ １ 若 Ｎ 是环 Ｒ 的理 想 ， 记 Ｎ Ｒ； Ｎ＜Ｒ， Ｎ≠Ｒ， 记 Ｎ＜Ｒ ． 则 若 １ 且 则 １ ．
１
Ｚ 的 理 想
引 理 １１ 设 Ｚ是 整 数 环 ， ｒ ］ ｍＺ 是 Ｚ 的 理 想 ， Ｚ 中理 想 Ｚ ｍＺ ｎ ｍ． 则 ｌ 定 理 ｌ ｎ 的全 部 理 想 为 ｍｎ 其 中 ｍ≥ Ｏ Ｚ Ｚ， ．
证 由引理 １ ｍｎ ， Ｚ是 ｎ 的理 想． Ｈ 是 ｎ 的 任一 理想 ． Ｚ 设 Ｚ 由于 ｎ Ｚ＝（ 是 以 为生 成元 的循 环 ＞ 环 ， Ｈ 也为 循环 环． 故 设其 生成 元 为 ｍｎ ｍ≥ Ｏ ， Ｈ：（ ｎ 一ｍｎ ． （ ）则 ａ ｒ ） Ｚ
定 理 ２ ｎ 的 全 部 极 大 理 想 为、ｐ 其 中 Ｐ为 素 数 ． Ｚ ｎ Ｚ，
［ 图 分 类 号］ Ｏ ５ ． 中 １３３ ［ 献标识码］Ａ 文 ［ 章编号］ 文
若环 Ｒ关 于其加 法作 成 的加 群 （ ＋） ～个 循环 群 ， 称 Ｒ 是一个 循 环环 ． 。是循 环环 Ｒ 的加 Ｒ， 是 则 若
群 的一个生 成元 ， 也称 ａ是循 环环 Ｒ 的一 个生 成元 ， 记 Ｒ一 （ ＞ 循 环环 Ｒ一＜ ＞ 则 并 口． 口 的元 素 个数 叫做 Ｒ 的阶， 记为 １ ， Ｒｌ也就是 生成 元 ａ关 于 Ｒ 的加 法 的阶 （ 称 ｎ的加 法 阶） 简 ． 整数环 Ｚ是无 限循 环环且 是 欧 氏环 ， 它 的研 究 在代 数 学 中具 有 十 分 重要 的意 义 ． 环 环 的子 加 对 循 群 、 环 、 想三者 是一 致 的． 子 理 Ｚ的子环 即 由整 数 生成 的主理 想 ， 为 ｎ 记 Ｚ或 （ ． ＞ Ｚ关 于模 的 剩余 类 环 即 Ｚ 的商环 ， 记为 或 Ｚ ｎ ． ［ ］ 出 了 ｚ ／ Ｚ 文 １给 ／ ｚ的全 部 理想 、 大理 想 和素 理想 及 其 具 体求 法 ， 极 文