11 一元二次方程
一元二次方程
1.（2015?广东）若关于x 的方程2904x x a +-+
=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是
A.2a ≥
B.2a ≤
C.2a ＞
D.2a ＜
一元二次方程
1)x^2-9x+8=0 答案：x1=8 x2=1 (2)x^2+6x-27=0 答案：x1=3 x2=-9 (3)x^2-2x-80=0 答案：x1=-8 x2=10 (4)x^2+10x-200=0 答案：x1=-20 x2=10 (5)x^2-20x+96=0 答案：x1=12 x2=8 (6)x^2+23x+76=0 答案：x1=-19 x2=-4 (7)x^2-25x+154=0 答案：x1=14 x2=11 (8)x^2-12x-108=0 答案：x1=-6 x2=18 (9)x^2+4x-252=0 答案：x1=14 x2=-18 (10)x^2-11x-102=0 答案：x1=17 x2=-6 (11)x^2+15x-54=0 答案：x1=-18 x2=3 (12)x^2+11x+18=0 答案：x1=-2 x2=-9 (13)x^2-9x+20=0 答案：x1=4 x2=5 (14)x^2+19x+90=0 答案：x1=-10 x2=-9 (15)x^2-25x+156=0 答案：x1=13 x2=12 (16)x^2-22x+57=0 答案：x1=3 x2=19 (17)x^2-5x-176=0 答案：x1=16 x2=-11 (18)x^2-26x+133=0 答案：x1=7 x2=19 (19)x^2+10x-11=0 答案：x1=-11 x2=1 (20)x^2-3x-304=0 答案：x1=-16 x2=19 (21)x^2+13x-140=0 答案：x1=7 x2=-20 (22)x^2+13x-48=0 答案：x1=3 x2=-16 (23)x^2+5x-176=0 答案：x1=-16 x2=11 (24)x^2+28x+171=0 答案：x1=-9 x2=-19 (25)x^2+14x+45=0 答案：x1=-9 x2=-5 (26)x^2-9x-136=0 答案：x1=-8 x2=17 (27)x^2-15x-76=0 答案：x1=19 x2=-4 (28)x^2+23x+126=0 答案：x1=-9 x2=-14 (29)x^2+9x-70=0 答案：x1=-14 x2=5 (30)x^2-1x-56=0 答案：x1=8 x2=-7 (31)x^2+7x-60=0 答案：x1=5 x2=-12 (32)x^2+10x-39=0 答案：x1=-13 x2=3 (33)x^2+19x+34=0 答案：x1=-17 x2=-2 (34)x^2-6x-160=0 答案：x1=16 x2=-10 (35)x^2-6x-55=0 答案：x1=11 x2=-5 (36)x^2-7x-144=0 答案：x1=-9 x2=16 (37)x^2+20x+51=0 答案：x1=-3 x2=-17 (38)x^2-9x+14=0 答案：x1=2 x2=7 (39)x^2-29x+208=0 答案：x1=16 x2=13 (40)x^2+19x-20=0 答案：x1=-20 x2=1 (41)x^2-13x-48=0 答案：x1=16 x2=-3 (42)x^2+10x+24=0 答案：x1=-6 x2=-4
7、一元二次方程
豪迈职校数学导学案 2.1 一元二次方程 班级： 命题人：张淑慧审核人：孙海森 学习目标 姓名： 1．理解什么是“一元二次方程” ； 2．会用配方法解一元二次方程； 一、回顾旧知： 1、同学们，你们知道什么是一元二次方程吗？你以前见过吗？判断下面几个例子是否为一元二次方程？并说明理由。 （1） x 2 3x80 （） 3x 2 20 2 （3）7x 6 0（4）8x29 2、根据上面的一元二次方程，你知道什么是一次项，什么是二次项，什么是常数项吗？你能说出一次项系数，二次项系数是什么吗？写写吧： 一元二次方程二次项二次项系数一次项一次项系数常数项（1）x23x 80 （2）3x220 （3）7x60 （4）8x29 二、探究新知：（预习课本 20-21 页，回答下列问题。） 1、一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 ,b24ac （1）根的情况 000 2、你会用配方法解方程吗？观察课本21 页的四个例题的求解过程，试着自己总结一下用配方法解方程的一般步骤： （1） （2） （3） 3、仿照课本 21 页例题的第 1 题，你会解下面的方程吗？（用你会的方法解一下吧） （ 1）x26x 7 0（2）x26x 70 三、课堂检测 1、说出下列一元二次方程的根 （1）x24 （2）( x 1)( x 2) 0 （3）x(x 3) 0 （4） ( x 1)2 0 （5）x2 1 0 第1页，共 4页第2页，共4页
（6）2（）2（）2 ( x 3)2 x 6x 7 0 783x 2x 1 0 2、用配方法解下列一元二次方程。 （1）x22x 8 0（2）x27 x 80 2 （4）t 2 3、已知关于 x 的方程x2ax a0 有两个相等的实数根，求实数 a 的值。 （3）2 x +3=7 x t 1 0 （5）x26x 9 0（6）x23x 30 四、我的收获： 第3页，共 4页第4页，共4页
(完整版)一元二次方程归纳总结
一元二次方程归纳总结 1、一元二次方程的一般式：2 0 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2 (0)x a a =≥ 解为：x = ②2 ()(0)x a b b +=≥ 解为：x a += ③2 ()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b += ④2 2() ()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 （3）公式法：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：222 4()24b b ac x a a -+= ①当2 40b ac ?=-> 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a -=② 当2 40b ac ?=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =- ③ 当2 40b ac ?=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。 注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 备注：公式法解方程的步骤： ①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：2 0 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c ②求出2 4b ac ?=-，并判断方程解的情况。 ③代公式：1,2x = 3、一元二次方程的根与系数的关系 法1：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： 1222b b x x a a -+-== 所以：12b x x a += +=-， 221222()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----?=?===
专题11 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(解析版)
提升训练2.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一、选择题 1．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(3)17x -= B ．2(3)14-=x C ．2(6)44x -= D ．2(3)1x -= 【答案】A 【解析】 用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17， 故选A ． 2．若1x ，2x 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个根，则12x x 的值是（ ） A ．4 B ．－3 C ．－4 D ．3 【答案】D 【解析】 ∵一元二次方程x 2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3， ∴x 1?x 2=c a =3． 故选D ． 3．一元二次方程2320x x =－－的两根分别为12x x ，，则下列结论正确的是( ) A ．1212x x =-=， B ．1212x x ==-， C ．123x x =＋ D ．122x x = 【答案】C 【解析】 ∵方程2320x x =－－的两根为12x x ，， ∴1212+=-3,2b c x x x x a a ===- ∴C 选项正确. 故选C
4．若1x 、2x 是方程2x 2x 10--=的两个根，则1122x x x x ++的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3 【答案】A 【解析】 因为1x 、2x 是方程2x 2x 10--=的两个根， 所以12122,1x x x x +=?=- 所以1122x x x x ++=2-1=1 故选A 5．若，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 ∵ ， ∴ ， 而 ， ∴ ， ∴， ∴以，为根的一元二次方程为 ． 故选：A ． 6．若代数式2x 2-5x 与代数式x 2 -6的值相等，则x 的值是( ) A ．-2或3 B ．2或3 C ．-1或6 D ．1或-6. 【答案】B 【解析】 因为这两个代数式的值相等， 所以有： 2x 2-5x=x 2-6， x 2-5x+6=0， (x-2)(x-3)=0，
一元二次方程 习题100道
一元二次方程百题 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 （1）0142 =-x （2）2)3(2=-x （3）()512 =-x （4）()162812 =-x （5）2 225x =； （6）2(1)9x -=； （7）2 (61)250x --=． （8）2 81(2)16x -=． （9）2 5(21)180y -= （10）21 (31)644 x += （11）26(2)1x +=； （12）25(21)180y -= （13）21(31)644 x += （14）26(2)1x +=； （15）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ 二、用配方法解下列一元二次方程。 （16）0662 =--y y （17） x x 4232=- （18）9642 =-x x
（19）210x x +-= （20）23610x x +-= （21）2 1(1)2(1)02x x ---+ = （22）22540x x --= （23）210x x --= （24）2 3920x x -+=． （25）2 310y y ++=． （26）．210x x +-= （27）．23610x x +-= （28）．21 (1)2(1)02 x x ---+= （29）.23610x x --= （30） 22540x x --= （31）210x x --= （32）2 3920x x -+=． （33）0542 =--x x
（34）01322 =-+x x （35）07232 =-+x x （36）01842 =+--x x （37）022 2=-+n mx x （38）()0022 2 >=--m m mx x 三、用公式解法解下列方程。 （39）0822 =--x x （40）2 2 314y y -= （41）y y 32132=+ (42)x 2 +4x +2=0 ; (43)3x 2 -6x +1=0; (44)4x 2 -16x +17=0 ; (45)3x 2 +4x +7=0. (1)2x 2 -x -1=0; (46)4x 2 -3x +2=0 ;
一元二次方程(含答案)
第十六期：一元二次方程 一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样，一般分值在6－9分左右。 知识点1：一元二次方程及其解法 例1：方程0232 =+-x x 的解是（ ） A ．11=x ，22=x B ．11-=x ，22-=x C ．11=x ，22-=x D ．11-=x ，22=x 思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ． 例2：若2 20x x --= ） A B C D 思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3 3 23 123222= +-+，选A. 练习： 1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2 +1=0的一个根为2，则a 的值是（ ） A ．1 B C ． D ．2.如果1-是一元二次方程2 30x bx +-=的一个根，求它的另一根． 3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0． 答案：1.D. 2.解： 1-是230x bx +-=的一个根， 2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-．
∴原方程为2230x x --= 分解因式，得(1)(3)0x x +-= 11x ∴=-，23x =. 3.移项，得x 2－2x=2． 配方x 2－2x+12=2+12， （x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题 1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2 (3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 3.（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()2 29x += D ．()2 29x -= 答案：1.1； 2.答案不唯一，如2 1x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系 例1：如果21,x x 是方程0122 =--x x 的两个根，那么21x x +的值为： （A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02 =++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是a b - ， 两根之积是a c ，易求出两根之和是2。答案：B 例2：设一元二次方程2 730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ， 则12x x += ，x 1、·x 2 ．
一元二次方程7
一、填空题：（每空3分，共30分） 1、方程(x–1)(2x+1)=2化成一般形式是，它的二次项系数是 . 2、关于x的方程是(m2–1)x2+(m–1)x–2=0，那么当m时，方程为一元二次方程； 当m时，方程为一元一次方程. 3、若方程 1 2 x 1 2 x m 5 - - = - + 有增根，则增根x=__________，m= . 4、(2003贵阳)已知方程0 4 2 2 2= + -α cos x x有两个相等的实数根，则锐角α=___________. 5、若方程kx2–6x+1=0有两个实数根 ．．．．．，则k的取值范围是 . 6、设x1、x2是方程3x2+4x–5=0的两根，则= + 2 1 1 1 x x .x12+x22= . 7、关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数； 当m= 时，两根互为相反数. 8、若x1=2 3-是二次方程x2+ax+1=0的一个根，则a= ， 该方程的另一个根x2 = . 9、方程x2+2x+a–1=0有两个负根，则a的取值范围是 . 10、若p2–3p–5=0，q2－3q–5=0，且p≠q，则= + p q 1 1 . 二、细心填一填（每题3分，共24分） 9、关于x的一元二次方程()4 2 3= - x x的一般形式是 3x2-6x-4=0 。 10．当x＝_-1或3_ 时，代数式3－ x 和－x2 + 3x 的值互为相反数 11、已知方程x2+kx+3=0 的一个根是 - 1，则k= 4 , 另一根为 -3 。 12．如果（a+b-1）（a+b-2）=2，那么a+b的值为___0或3__． 13．若方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是4 14．两个连续自然数的平方和比它们的和的平方小112，那么这两个自然数是____7和8_________ 15．把一根长度为14cm的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm2，则这个矩形的对角线长是_____5__cm. 16、如图，折叠直角梯形纸片的上底AD，点D落在底边BC上点F处，已知DC=8㎝，FC = 4㎝，则EC长 3 ㎝
解一元二次方程(公式法)
应用拓展 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意． 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13． 布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:
初中数学七年级一元二次方程的四种解法
二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二 元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元 一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一 次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的 解。 5、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数由多变少。 （2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做 代入消元法，简称代入法。 （4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个 未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”. 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联”｝ 6、加减消元法解二元一次方程组 （1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简 称加减法。 （2）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数也不相等，那么就用适当的数 乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。 二元一次方程组应用题 1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： 2、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个 未知数； 3、找：找出能够表示题意两个相等关系； 4、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； 5、解：解这个方程组，求出两个未知数的值； 6、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 一．解答题（共16小题）
一元二次方程求根公式
一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式
法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，
一元二次方程根与系数的关系(11.3)
一元二次方程根与系数的关系 一、验根 1．判断下列各方程后面括号内的两个数是不是前面方程的根。 （1）x2+5x+4=0 (1,4)；（2）2x2-3x+1=0 (1 2 ,1)； （3）x2+5x=6 (2,3)；（4）x2-(3+2)x+6=0 (3,2)。 二、不解方程，直接找出方程的两根之和与积 1．3x2-2x-1=0的两根之积为，两根之和为。 2．3x2-x=0的两根之积为。 3．2x2-1=0的两根之积为。 4．2x2+(3-4)x-23=0的两根之和为。 5．3x2-2(x+1)=2的两根之和为，两根之积为。 6．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为相反数，则b= 。 7．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为负倒数，则b= 。 8．若ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为零，则c= 。 9．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根都为零，则b= ，c= 。 10．已知关于x的一元二次方程x2-px+6=0的两根恰是一矩形的长和宽，则这个矩形的面积= 。 三、求有关根的式子的值 1．已知方程x2+4x-6=0的两个根是α和β，求下列代数式的值。 (1)（α+2）（β+2）；(2)α2β+β2α； (3)1 α+1 β ； (4)α2+β2； (5)（α-β）2；（6）β α+α β ； (7)α3+β3； (8)|α-β|； (9)α-β。 2．已知x2+11x+16=0的两根为x1,x2；求x2 x1+x1 x2 的值。 3．已知实数a，b满足a2-a-11=0，b2-b-11=0，且a≠b，求a2+b2的值。 4．已知a4+2a2-5=0,1 b +2 b -5=0，且a2≠1 b ，求ba 4+a2 b 的值。
中考数学考点研究与突破【7】一元二次方程(含答案)
考点跟踪突破7 一元二次方程 一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(2014·宜宾)若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是( B ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2－3x ＋2＝0 C ．x 2－2x ＋3＝0 D ．x 2＋3x ＋2＝0 2．(2014·益阳)一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0总有实数根，则m 应满足的条件是( D ) A ．m ＞1 B ．m ＝1 C ．m ＜1 D ．m ≤1 3．(2012·荆门)用配方法解关于x 的一元二次方程x 2－2x －3＝0，配方后的方程可以是( A ) A ．(x －1)2＝4 B ．(x ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＝16 D ．(x ＋1)2＝16 4．(2014·菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( B ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014·潍坊)等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋k ＝0的两个根，则k 的值是( B ) A ．27 B ．36 C ．27或36 D ．18 二、填空题(每小题6分，共30分) 6．(2014·舟山)方程x 2－3x ＝0的根为__x 1＝0，x 2＝3__． 7．(2013·佛山)方程x 2－2x －2＝0的解是． 8．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__． 9．(2014·呼和浩特)已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则m 2－mn ＋3m ＋n ＝__8__． 10．(2013·白银)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5，若x ★2＝6，则实数x 的值是__－1或4__． 解析：根据题中新定义将x ★2＝6变形得x 2－3x ＋2＝6，即x 2－3x －4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4 三、解答题(共40分) 11．(6分)(1)(2014·遂宁)解方程：x 2＋2x －3＝0； 解：∵x 2＋2x －3＝0，∴(x ＋3)(x －1)＝0，∴x 1＝1，x 2＝－3 (2)(2012·杭州)用配方法解方程：2x 2－4x －1＝0. 解：二次项系数化为1得：x 2－2x ＝12，x 2－2x ＋1＝12＋1，(x －1)2＝32，x －1＝±62 ，∴x 1＝62＋1，x 2＝1－62
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点 教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。 教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。 主要知识点： 一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(242 2≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理
21一元二次方程教案(表格形式,打包11套)-10
21.2.4一元二次方程的根与系数关系 一、教材分析知道一元二次方程的根与系数的关系，学习运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 二、学情分析 已经知道因式分解中的十字交叉法，这对认识一元二次方程的根与系数的关系，学生有点基础，再多加练习，是能够学会的。 三、教学目标 1.知道一元二次方程的根与系数关系. 2.学会运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 四、教学重点难点重点 一元二次方程的根与系数关系难点 对根与系数关系的理解和推导
五、教学过程设计 一、复习引入 导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？ 二、探究新知 1.课本思考 分析：将（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积. 2.跟踪练习 求下列方程的两根x1、x2. 的和与积. x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0 3. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？ 分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？ 分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 5.跟踪练习 求下列方程的两根x1、x2. 的和与积. ○13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0； ○25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x 6.拓展练习 ○1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b= ,c= . ○2已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是 ,k的值是 . ○3若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p= ; 若两个根互为倒数，则q= . 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次
七年级数学下一元二次方程
二元一次方程组复习学案 一、知识回顾 1.1 建立二元一次方程组 （1）二元一次方程：叫二元一次方程。 （2）二元一次方程组：叫做二元一次方程组。 （3）方程组的解：叫方程组的一个解。 例题： 1、下列各方程哪个是二元一次方程（） A 、8x －y ＝y B 、xy ＝3 C 、2x2－y ＝9 D 、 2、已知是方程2x ＋ay ＝5的解，则a ＝。 同类练习： 1、下列方程组：（1）（2）（3）（4）中，属于二元一次方程组的是（ ） （A ）只有一个 （B ）只有两个 （C ）只有三个 （D ）四个都是 2、是二元一次方程ax －2＝－by 的一个解，则2a －b －6的值等于。 1.2 二元一次方程组的解法 （1）解二元一次方程的基本思想：。 （2）代入消元法：这种解方程组的方法叫做代入消元法。 （3）加减消元法：这种解方程组的方法叫做加减消元法。 例题： 1、由2x －3y －4＝0，可以得到用x 表示y 的式子y ＝。 2．以下方程，与???=+=+75252y x y x 不同解的是 （ ） A ．???=+=+104252y x y x B ．? ??=+=+75214104y x y x C ．???=+=+2352y x y x D ．???=+=+7523y x y x 3、已知方程组的解是，则2m+n 的值为。 4、选择恰当的方法解下列方程组 21=-y x ???==12y x ???-==-1253y x y x ???==+y x xy 01? ??+=+=+416z y y x ???=+=326x y x ???-==12y x ???=+=+30ny x y mx ???-==21y x
第11讲.一元二次方程根系关系及应用题(答案版)
1 初二春季·第11讲·尖子班·教师版 方程11级 解特殊复杂方程 方程12级 特殊根问题 方程6级 方程13级 根系关系及应用题 春季班 第十一讲 春季班 第九讲 考古发现 满分晋级阶梯 漫画释义 11 根系关系及应用题
知识互联网 题型切片 编写思路 本讲主要分为两个版块，模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点，韦达定理，在这一板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形，对于这个补充版块，有的班级理解能力强些，老师们可能会有一些富余时间，故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。 模块二练习了各个类型的应用题，希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程，并再次练习了解方程应用题的一般步骤：审、设、列、解、答，希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。 初二春季·第11讲·尖子班·教师版 2
3 初二春季·第11讲·尖子班·教师版 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根 21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：a c x x a b x x =?-=+2121,. 【引例】 先阅读，再填空解题： ⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-； ⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝3 2 ； ⑶方程x 2 －3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出： 如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由． ⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211 x x + （十一学校期末） 【解析】 ；3，1；⑷1212n p x x x x m m +=-=，； ⑸①()22 12211212==31=3x x x x x x x x ++?②()() 2 221212122 222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+ 【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和． ⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+ 思路导航 例题精讲 典题精练 题型一：根与系数关系
九年级数学上册一元二次方程7
数项。 3x2＋9＝9x x2－4x＝19 (9x－3)(x＋7)＝0 4x(x－7)＝22 x(x－6)＝0 7x(x－9)＝9x＋9 (3x＋2)(x＋8)＝x(6x＋8) 7x2－9＝3x 2x(x－3)＝23 二、解下列方程。 8x2－9＝0 9x2－1＝7 (x＋1)2－5＝0 8(x＋5)2－8＝0 x2＋10x＋25＝6 6x2＋8＝8
数项。 x2＋1＝7x 8x2＋1x＝26 (6x＋5)(x＋8)＝0 5x(x＋8)＝9 2x(x＋7)＝0 x(x－1)＝8x－8 (3x＋6)(x＋6)＝x(2x－7) 3x2＋2＝8x 4x(x－9)＝4 二、解下列方程。 6x2－7＝0 x2－8＝1 (x＋3)2－2＝0 (x＋4)2－8＝0 x2＋14x＋49＝1 8x2－4＝2
数项。 x2＋2＝6x 8x2－9x＝96 (9x－4)(x＋5)＝0 x(x－2)＝5 8x(x＋9)＝0 x(x－5)＝9x－3 (9x＋7)(x－3)＝x(5x＋1) 3x2－3＝5x x(x－4)＝20 二、解下列方程。 4x2－5＝0 x2－7＝1 (x＋7)2－1＝0 (x－7)2－6＝0 x2＋6x＋9＝8 x2＋4＝9
数项。 x2＋8＝7x x2＋6x＝44 (3x－2)(x－5)＝0 7x(x－2)＝8 9x(x－2)＝0 7x(x＋3)＝8x－1 (4x＋3)(x－7)＝x(3x－1) x2－2＝2x 4x(x－6)＝18 二、解下列方程。 4x2－5＝0 x2－8＝7 (x＋9)2－1＝0 (x－8)2－6＝0 x2－14x＋49＝6 4x2＋4＝7
7 用因式分解法求解一元二次方程
课题：§2.4因式分解法求解一元二次方程 【学习目标】 1、会用分解因式法（提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程． 2、在解题过程中灵活使用“换元法” 【学习重难点】 1.重点：利用分解因式法解一元二次方程 2.难点：“整体思想”在解题中的应用 【学习过程】 一、【回顾复习】 1、分解因式是 2、我们学习了解一元二次方程的三种方法是： 3、解下列方程： (1)x2－4＝0； (2)x2－3x＋1＝0； (3)(x＋1)2－25＝0； (4)20x2＋23x－7＝0． 二、【自学探究】 1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎 样求出来的？ 你还有其他的方法吗? 把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b＝0，则
a ＝0或 b ＝0，把一元二次方程变为一元一次方程，从而求出方程的解．把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法． 三、【合作探究】 1、例题：解下列方程： (1) 5x 2 ＝4x (2) x －2＝x (x －2) (3) (x －1)(x ＋3)＝12 2、想一想：你能用分解因式法解方程x 2－4＝0，(x ＋1)2－25＝0吗？ 3.解方程：03)53(4)53(2=++-+x x 四、【课堂检测】 1．（1)已知一元二次方程 x 2 -2x=0, 它的解是（ ） A 、0 B 、2 C 、0，-2 D 、0，2 (2)方程x(x+3) =-x(x+3)的根为( ) A 、x= 0,x= 3 B 、x=0,x= -3 C 、x= 0 D 、x= -3 (3)若方程x(x+3)(3x+1)=0,则3x+1的值为( )
初中数学一元二次方程公式定理
1 平方与平方根 11 面积与平方 (1) 任意两个正数的和的平方,等于这两个数的平方和 (2) 任意两个正数的差的平方,等于这两个数的平方和,再减去这两个数乘积的2倍 任意两个有理数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,再加上(或减去)这两个数乘积的2倍 12 平方根 1 正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数; 2 零只有一个平方根,它就是零本身; 3 负数没有平方根 14 实数 无限不循环小数叫做无理数 有理数和无理数统称为实数 2 平方根的运算 21 算术平方根的性质 性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身 性质2 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 22 算术平方根的乘、除运算 1 算术平方根的乘法 sqrt(a)sqrt(b)=sqrt(ab) (a=0,b=0) 2 算术平方根的除法 sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b) (a=0,b0) 通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根号中的分母化去,叫做分母有理化(1) 被开方数的每个因数的指数都小于2;(2) 被开方数不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方根 23 算术平方根的加、减运算 如果几个平方根化成最简平方根以后,被开方数相同,那么这几个平方根就叫做同类平方根 3 一元二次方程及其解法 31 一元二次方程 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程 32 特殊的一元二次方程的解法 33 一般的一元二次方程的解法配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 1 化二次项系数为1用二次项系数去除方程两边,将方程化为x^2+px+q=0的形式 2 移项把常数项移至方程右边,将方程化为x^2+px=-q的形式 3配方方程两边同时加上一次项系数一半的平方,是方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数 4 有平方根的定义,可知 (1) 当p^2/4-q0时,原方程有两个实数根; (2) 当p^2/4-q=0,原方程有两个相等的实数根(二重根);
公式法解一元二次方程及答案详细解析
21.2.2公式法 一．选择题（共5小题） 1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（） A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣2 2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣ 4x2+3=5x，下列叙述正确的是（） A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3 C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣3 3．（2011春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（）A．c≤0 B．c＜0 C．c＞0 D．c≥0 4．（2012秋?建平县期中）若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解，则c2+c=（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2013?下城区二模）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的解是（） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或2
二．填空题（共3小题） 6．（2013秋?兴庆区校级期中）用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a= ；b= ；c= ． 7．用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时，先找出对应的a、b、c，可求得△，此方程式的根为． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是． 三．解答题（共12小题） 9．（2010秋?泉州校级月考）某液晶显示屏的对角线长30cm，其长与宽之比为4：3，列出一元二次方程，求该液晶显示屏的面积． 10．（2009秋?五莲县期中）已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1，求该方程的另一根与m的值．