高考数学总复习 课时作业45 命题及其关系、充分条件与必要条件 理 新人教B版

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A 级
1．(2012·湖南卷)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )

A．若α≠π4，则tan α≠1 B．若α＝π4，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠π4 D．若tan α≠1，则α＝π4
2．下列说法中正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a＞b”与“a＋c＞b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
3．有下列命题：
①两组对应边相等的三角形是全等三角形；
②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；
③“若a＞b，则2x·a＞2x·b”的否命题；
④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．
其中真命题共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个

4．(2012·四川卷)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分
条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
5．(2012·山东潍坊一模)命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要
条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
6．e1、e2是不共线的两个向量，a＝e1＋ke2，b＝ke1＋e2，则a∥b的充要条件是实数
k
＝________.
7．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是
________．
8．有三个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
(3)“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．
2

其中真命题的个数为________．
9．a<0是方程ax2＋1＝0有一个负数根的________条件．(填“充分不必要”、“必要
不充分”、“充分必要”)
10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题．
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
11．指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、
“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；
(2)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；
(3)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
B 级
1．下列命题：
①“若a21，
则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”
的逆否命题．其中正确的命题是( )
A．③④ B．①③
C．①② D．②④
2．(2012·济南调研)若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范
围是________．

3．已知集合A＝y y＝x2－32x＋1，x∈34，2，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是
“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
详解答案
课时作业(四十五)
A 级

1．C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．
2．D 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．
3．B ①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题．

4．C 因为a|a|＝b|b|，则向量a|a|与b|b|是方向相同的单位向量，所以a与b共线同向，

即使a|a|＝b|b|成立的充分条件为选项C.
5．C 原命题等价于“a≥x2对于任意x∈[1,2]恒成立”，其充要条件是a≥4，所以C
正确．
3

6．解析： a＝λb， 1＝kλk＝λ⇒k2＝1⇒k＝±1.
答案： ±1
7．解析： 原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是
假命题．故假命题个数为3.
答案： 3
8．解析： 命题(1)为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若
a>b，则a2>b2”是假命题，故命题(2)是假命题；命题(3)为“若x>－3，则x2＋x
－6≤0”，

因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题(3)是假命题，综上知真命题只有1个．
答案： 1

9．解析： 当a<0时，由ax2＋1＝0得x2＝－1a>0，

故方程ax2＋1＝0有一个负数根；若方程ax2＋1＝0有一个负数根，则x2＝－1a>0，∴a<0，
从而a<0是方程ax2＋1＝0有一个负数根的充要条件．
答案： 充分必要
10．解析： (1)否命题：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题为真命题，证明如下：
∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
11．解析： (1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因
为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条
件．
(2)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条
件．
(3)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，
所以p⇒q但q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．
B 级
1．A 对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积
相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，
从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，
故选A.
2．解析： ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；

当a≠0时，得 a＜0Δ＝4a2＋12a≤0，解得－3≤a＜0，故－3≤a≤0.
答案： [－3,0]
4

3．解析： y＝x2－32x＋1＝x－342＋716，
∵x∈34，2，∴716≤y≤2，∴A＝y 716≤y≤2，
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}，
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B，

∴1－m2≤716，解得m≥34或m≤－34，

故实数m的取值范围是－∞，－34∪34，＋∞.