高等数学第10章第4节旋转曲面的面积
利用微元法求旋转曲面面积的研究
利用微元法求旋转曲面面积的研究
旋转曲面是二维曲面向三维曲面旋转转换过程，它包括很多基本曲线，经过细
心整合可以用于建立几何形体之后实现详细的丰富外观效果。
旋转曲面的面积计算和其他曲面不同，一般而言，只有通过微元法才能够求解准确的面积。
微元法是分析数字分析旋转曲面的面积的一种数值方法，基本思想是将复杂的
旋转曲面拆分成多个小的微元，然后计算每个微元的面积，进而累加以获得整体的面积。
微元法求旋转曲面面积的研究，可帮助我们更好地了解旋转曲面的特性，有助
于准确估计面积大小，当我们评估曲面形状、体积和特性时，微元法就被广泛应用。
然而，这种方法有一定的缺陷，如计算时间长，易出错等，需要在理论研究和实际应用中进行改进。
总之，微元法求旋转曲面面积的研究在许多工程领域都有着重要意义。
它能够
有效解决很多复杂的计算问题，为工程设计批量生产提供精确的指导，更好地满足用户的需求。
函数绕y轴旋转所生成的曲面面积
函数绕y轴旋转所生成的曲面面积以《函数绕y轴旋转所生成的曲面面积》为标题，本文将探讨函数绕y轴旋转所生成的曲面面积问题。
此类曲面通常称为曲线积分表面，它们可以用不同的函数构成，例如多项式、指数函数和三角函数等，其中一些曲面在计算机图形学和工程技术中得到广泛应用。
这些曲面构成的一般称为曲面积分表面，它们可以用应用积分方法求出其体积。
函数绕y轴旋转所生成的曲面积分表面可以用极坐标方法求出面积。
极坐标方法把空间分成若干小块，每一个小块有一个曲面积的近似值。
在Riemann求积公式中，把空间分割成若干小块，每一小块都有一个面积的近似值。
计算曲面面积的公式为：面积＝π*Integral[from 0 to 2π] r*dθ其中，r为以原点为中心的极坐标系中的曲线函数。
曲线函数可以是任意形式，如多项式函数、指数函数、三角函数等等。
θ表示极坐标系中的角度。
函数绕y轴旋转所生成的曲面面积也可以通过其他方法计算，其中一个传统的计算方法是变量替换法。
变量替换法将计算的函数曲线加以分离，然后对两个部分进行计算，而最终的结果也可以通过积分来求出，其核心思想是将曲面做一个变换，使其在新的坐标系中更为简单。
函数绕y轴旋转所生成的曲面面积也可以用数值分析方法计算。
由于曲面积分表面的复杂性，使得一般的精确求解通常很难实现，因此，对于曲面积分表面，数值分析方法有着重要的意义。
数值分析方法可以用来计算曲面的面积，从而获得曲面的体积。
数值方法计算曲面面积的核心思想是将曲面分割成若干小块，每一小块有一个曲面积的近似值。
总之，函数绕y轴旋转所生成的曲面面积可以用极坐标方法、变量替换法和数值分析方法来求出。
本文简述了函数绕y轴旋转所生成的曲面面积的计算方法，同时介绍了极坐标方法、变量替换法和数值分析方法。
本文的研究可以为计算函数绕y轴旋转所生成的曲面面积提供有价值的参考。
§10.4对面积的曲面积分
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式.
按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式:
(1) 若曲面 为: z=z(x, y), 则
f ( x, y, z)dS
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
)
i
.
i 1
由以上假设知: 上式两边当0时的极限存在, 即
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
i
)Si
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
z(i
,i
))
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
i
.
上式左边为函数f(x, y, z)在 上对面积的曲面积分, 而
右边为一个在区域Dxy上的二重积分, 因此有
f ( x, y, z)dS
对面积的曲面积分的性质:
由上述定义可知, 其性质与对弧长的曲线积分的 性质完全类似.
(1) 对函数的线性性质:
[f ( x, y, z) g( x, y, z)]dS
f ( x, y, z)dS g( x, y, z)dS.
(2) 对积分曲面的可加性:
12 f ( x, y, z)dS
0
i 1
(
i
,i
,
i
)Si
.
实例: 若曲面 是光滑的, 它的面密度(x, y, z)为
连续函数, 求它的质量. 所谓曲面光滑即曲面上各点处
《高数》第10章 习题课 线、面积分
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
28
练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). 计算
其中L为上半圆周 提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
L
L
2 ydx
义
L
f (x, y)ds lim 0
i 1
f (i , i )si
Ln
lim
0
i1
[P(i
, i )xi
Q(i , i )yi ]
联 系
L Pdx Qdy L(P cos Qcos )ds
计
L f ( x, y)ds
算
计算
其中L为圆周
提示: 利用极坐标 ,
ds r2 r2 d a d
原式 = L ax ds
说明: 若用参数方程计算, 则
y
r
t
o
ax
d s x2 y 2 d t
19
P184 3(3).计算
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧. 提示:
其中L为摆线
原式
a
2
2
27
练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). 计算
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
P185 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
场力所作的功与所取的路径无关.
证明在此力场中
P185 10. 求力
沿有向闭曲线 所作的
高等数学(下)曲线曲面积分
且
f (x, y) ds f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
L
说明:
(1)因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
y
ds (d x)2 (d y)2
2 (t ) 2 (t ) d t
o
因此上述计算公式相当于“换元法”.
原式 = 12 ( x2 y2 )ds 12 ds 12a
L4 3
L
y
3
o 2x
2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为
(1) 求它关于 z 轴的转动惯量 I z ;
(2) 求它的质心 .
解: 设其密度为 ρ (常数).
(1)
Iz
L
(x2
y2)
d
s
2
0
a2
2 a2 a2 k 2
其中为螺旋 的一段弧.
a2 k 2 2 [a2 k 2t 2]d t 0
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 )
3
例4. 计算
其中为球面
被平面
所截的圆周.
解: 由对称性可知 x2 ds y2 ds z2 ds
x2 ds 1 (x2 y2 z2 ) ds
(t)]
(t)d
t
• 对有向光滑弧 L : y (x) , x : a b
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
x (t) • 对空间有向光滑弧 : y (t), t :
z (t)
P
曲面面积公式范文
曲面面积公式范文曲面面积是指三维空间中曲面所覆盖的表面积。
曲面面积的计算公式依赖于曲面的类型和参数化方法。
以下将介绍几种常见的曲面面积计算方法。
1.参数化曲面的面积参数化曲面是指通过参数方程描述的曲面。
考虑一个形如S(u,v)的参数化曲面，其中u和v是曲面上的参数。
将曲面分割成小的面元，面元的面积可以近似为∆S=，∂S/∂u×∂S/∂v，∆u∆v，其中∂S/∂u和∂S/∂v分别是S 对u和v的偏导数。
将所有面元的面积相加并取极限，即可得到整个曲面的面积：A = ∬S dS = ∬，∂S/∂u × ∂S/∂v， dudv2.旋转曲面的面积旋转曲面是指一个平面曲线沿一些轴旋转一周所生成的曲面。
考虑一个形如r(θ)的旋转曲线，其中θ是旋转角度，r是与θ相关的函数。
将旋转曲线分割成小的弧长∆s，在曲面上对应的面元可以视为一个以∆s 为底，高为r的圆柱体。
圆柱体的侧面积为2πr∆s，将所有面元的面积相加并取极限，得到整个曲面的面积：A = ∫2πr(θ) ds3.高斯曲率法高斯曲率法可以用于计算任意曲面的面积。
该方法利用了高斯－波恩公式，即A=∫KdA，其中K是曲面上的高斯曲率。
对于给定的曲面，可以使用微分几何的工具来计算曲面上每个点的高斯曲率，然后将高斯曲率积分得到曲面的面积。
然而，该方法较为复杂，需要涉及到曲面的微分几何理论。
4.数值积分法对于一些特殊的曲面，无法通过上述方法直接计算面积。
在这种情况下，可以采用数值积分法。
将曲面分割成小的面元，对每个面元的面积进行估计并相加，即可得到整个曲面的近似面积。
数值积分方法的精度和计算效率取决于面元的数量和大小选择。
综上所述，曲面面积的计算方法有多种，具体的计算公式取决于曲面的类型和参数化方法。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法来计算曲面的面积。
单叶旋转双曲面的表面积
单叶旋转双曲面的表面积单叶旋转双曲面是一种具有独特美感和几何特征的数学曲面。
其形状优美而奇特，能够引人入胜地体验几何学的魅力。
本文将从理论和实践两个方面介绍单叶旋转双曲面的表面积计算方法，并通过实例对其进行详细阐述。
首先，我们来解释一下何为单叶旋转双曲面。
单叶旋转双曲面是通过将一个直角双曲线绕其一个对称轴旋转得到的一种曲面。
它的形状特点是在中心轴附近的部分曲线非常密集，向两侧则逐渐变得稀疏。
这种曲面在数学和物理领域中具有广泛应用，常见于天文学、机械制造、航空航天等领域。
其次，我们将介绍单叶旋转双曲面的表面积计算方法。
一般而言，采用定积分的方法可以求解曲面的表面积。
以第一象限中的单叶旋转双曲面为例，假设其方程为y=f(x)，则表面积公式为：S = 2π∫[a,b]f(x)√(1+(f'(x))^2)dx其中，f'(x)表示函数f(x)的导数。
通过求解上述定积分，便可得到该区域内曲面的表面积。
需要注意的是，在实际计算中，可能会遇到f(x)无法直接求导的情况，此时可以利用数值积分等数值计算方法来求解。
接下来，我们通过一个实例来具体说明单叶旋转双曲面表面积的计算过程。
假设我们选取的曲线方程是y=2x，则可得到其对应的单叶旋转双曲面。
为了计算表面积，需要确定积分的上下限。
假设我们选取曲线上x的取值范围为[-1,1]。
将上述参数代入表面积公式中，得到：S = 2π∫[-1,1]2x√(1+4)dx = 4π∫[-1,1]x√5dx对于该积分式，可以采用分部积分法来求解。
首先计算∫x√5dx，然后将其结果代入表面积公式，即可得到唯一解。
经过计算，得到曲面的表面积为：S = 8π/3√5通过这个实例，我们可以看到单叶旋转双曲面的表面积计算过程其实并不复杂。
只要将相应的曲线方程代入表面积公式，然后进行求解，即可得到具体的数值结果。
综上所述，单叶旋转双曲面是一种形状独特而美丽的数学曲面。
在实际应用中，计算其表面积是一项重要的任务。
第十章：曲线积分与曲面积分
第十章：曲线积分与曲面积分本章知识点1、曲线积分2、第一曲面积分3、第二曲面积分4、两种曲面积分的联系5、各种积分的联系重点：1．两类曲线积分的概念及计算方法2．格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件3．两类曲面积分的概念及计算方法4．高斯公式难点：1．曲面积分的概念及计算方法2．斯托克斯公式第一节对弧长的曲线积分一、公式：=应用前提:1.曲线L光滑,方程可以写成为:2.函数在L上有定义，且连续。
公式变形：若L为平面曲线，L方程为，则公式可以写成为：二、常用计算法：１．对于曲线L可以写成为参数形式的，可直接套用公式．２．对于平面曲线，可以用公式的变形．３．计算中，根据图形特点，直接将ds化为dx,dy或dz．如： ,其中：ds=P(x,y,z)dx ,x4.当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。
（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，否则，公式中的将有无意义的点．三、公式推导及证明推导的总体思想：将曲线Ｌ先分割，再求和，最后取极限。
推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数的一些极限性质．分割：在Ｌ上插入n个分割点，令，（）；记d＝max（），为［］上的弧长，为［］上任意一点．求和：利用积分定义，由弧长公式：由中值定理：其中是由中值定理确定的［］上的一点，；于是：利用,,,的连续性，有：于是：右端是黎曼积分和数，利用黎曼积分定义取极限：得公式：四、例题例1． 计算ds y L⎰，其中L 是抛物线上点O （0，0）与点B （1,1）之间的一段弧。
例2． 计算曲线积分ds z y x ⎰++Γ)(222，其中Γ为螺旋线kt z t a y t a x ===,sin ,cos 上相应于t 从0到2π的一段弧第二节 对坐标的曲线积分一、问题的来源：物理上，力Ｆ作用于物体上，使之沿曲线ＡＢ由Ａ运动到Ｂ，求力Ｆ所做的功Ｗ． 公式的推导分割：将ＡＢ曲线分为小弧段，，．．．，．在每个小段上将Ｆ视为常力Ｆ．于是上作功，（其中，是线段与的夹角）设，，是在x,y,z 三轴正方向的投影．则：做和：二．公式{}⎰⎰'+'=+βεψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L)()(),([)()(),([),(),(三、 两类曲线积分的联系设曲线上以(t,x),(t,y),(t,z)表示正向切线t 与三正向坐标系的夹角.于是,,,据二类曲线计算公式:;由一类曲线推导得:由曲线方程对称性的公式如下:对于平面时,公式可化为:平面上,设n 为法方向,t 为切向,则cos(t,x)=cos(n,y),cos(t,y)=-cos(n,x)于是:例题： 例1：计算⎰Lxydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点A （1，－1）到点B （1,1）的一段弧 例2 计算⎰-+ydz x dy zy dx x 2233，其中是从点A （3,2，1）到点B （0,0，0）的直线段AB第三节 格林公式及其应用 一．格林(Green)公式:,其中:l 为光滑曲线,D 为平面单连通区域,l 为D 的边界. P,Q 在D 及l 上连续,并且有对x,y的连续偏导,右侧积分取区域正向,即延正向前进,区域在左边. 二．平面上曲线积分与路径无关的条件 三．二元函数的全微分求积四．例题例1 求椭圆θθsin ,cos b y a x ==所围成图形的面积A 例2 计算⎰⎰-dxdy e y2，其中D 是以O （0,0），A （1,1），B （0,1）为顶点的三角形闭区域 例3 验证：22yx ydxxdy +-在右半平面（x>0）内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数 第四节 对面积的曲面积分思想:与曲线积分类似,只不过分割的是平面.曲线积分中一切线段代替曲线段, 这里以微小切平面代替曲面.接下来是求和,取极限.一、公式:其中z=f(x,y)为曲面方程.也可写成,其中为法线与z 轴夹角.若s 为参数形式x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)由于,(其中所以公式可化为若记,,则公式亦可写为:.二、计算方法:1.利用原始公式求积分.(但是注意:有些方程虽不能写成z=z(x,y)的显示形式,但利用隐式求导.求出与后.s由于方程的特殊形式,有可能消去子项,从而可利用原始公式.2.化方程为参数方程.计算A,B,C或E,F,G利用推倒公式求积分.3.有些方程利用图像的对称性.可以只求其中的几个部分即可.这样做可大大降地计算量.三、公式推广:第一式中z=f(x,y).第二式E,F,G定义同上.四、例题例1 计算曲面积分⎰⎰∑zdS，其中∑是球面2222azyx=++被平面z=h(0<h<a) 截出的顶部例2 计算⎰⎰∑xyzdS，其中∑是由平面x=0,y=0 ,z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面第五节对坐标的曲面积分一．同第二类曲线积分的推导及形式,相类似的有积分形式为:二．下面求第二类曲面的计算公式: 与上述推导类似,分割,做和,与I相比较,有对于正负号的取舍,适当uv平面的正向与曲面s选定一侧相关的正向相互对应时取正号,否则取负.因为第二类区面积分计算可利用上述公式将分别计算,然后求和.三．两类曲面积分的联系对于微小面有(由中值定理得其存在性).作和,由于.取极限:,其中为微小元的直径的最大值.因为,于是得由方程对称性得到联系方程(为法线与x,y,z轴的夹角)四．例题例1 计算曲面积分⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222长方体Ω的整个表面的外侧，{}c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω0,0,0),,(。
旋转曲面面积与旋转体体积的积分公式
旋转曲面面积与旋转体体积的积分公式
聂智
【期刊名称】《重庆文理学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2003(002)003
【摘要】利用坐标变换与微元法得到了空间曲线绕任一直线旋转所得旋转曲面∑的面积公式,以及由∑所围(未封闭处加底圆盘)旋转体的体积公式.
【总页数】5页(P5-9)
【作者】聂智
【作者单位】渝西学院,数学与计算机科学系,重庆,永川,402168
【正文语种】中文
【中图分类】O182;O172
【相关文献】
1.关于旋转体面积和体积的两个积分公式 [J], 范新华
2.一个计算旋转曲面面积的积分公式 [J], 储理才
3.旋转曲面面积与旋转体体积的积分公式 [J], 聂智;;
4.平面曲线段绕定直线旋转所产生旋转体的体积及旋转曲面面积 [J], 李信明
5.绕任一直线旋转体体积及旋转曲面面积公式 [J], 薛利敏
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中国矿业大学(北京)《高等数学》课件-第10章重积分
“分割, 近似, 求和, 取极限”
解决方法:
质量 M .
密度函数为
定义. 设
且相等,
称为体积元素,
若对 作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
在 上的三重积分.
在直角坐标系下常写作
三重积分的性质与二重积分相似.
性质:
例如
下列“乘
中值定理.
在有界闭域 上连续,
则存在
使得
V 为 的
体积,
其中
解: 积分域 D 的边界为圆周
它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线
从而
而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上
估计下列积分之值
解: D 的面积为
由于
积分性质5
即: 1.96 I 2
D
例2.
判断积分
的正负号.
解: 分积分域为
则
原式 =
猜想结果为负 但不好估计 .
总有：
引例1中曲顶柱体体积:
引例2中平面薄板的质量:
如果 在D上可积,
元素d也常记作
二重积分记作
这时
分区域 D ,
因此面积
可用平行坐标轴的直线来划
二重积分存在定理:
若函数
定理2.
(证明略)
定理1.
在D上可积.
限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,
积.
在有界闭区域 D上连续,
计算该薄片的质量 M .
度为
设D 的面积为 ,
则
若
非常数 ,
仍可用
其面密
“分割, 近似, 求和, 取极限”
解决.
1)“分割”
用任意曲线网分D 为 n 个小区域
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§4 旋转曲面的面积
一 微元法
用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值
（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到
的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把
称为量 的元素并记做
，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式：
⎰b
a
dx x f )(
例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为
⎰-=b
a
dx x f x f A |)()(|21
采用微元法应注意一下两点：
1）所求量 关于分布区间 具有代数可加性.
2）)()(x o x x f U ∆=∆-∆
对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：
x y s x
x S V x
y S ∆'+≈∆∆≈∆∆≈∆21)(||
二 旋转体的侧面积
设y ＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积：
2b a
S π=⎰ 例1、 计算圆222R y x =+在],[],[21R R x x -⊂上的弧段绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积． 例2、 计算由内摆线t a y t a x 33sin ,cos ==绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积． 作业：P255 1（2）（3）， 3（2）。