高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.3函数的奇偶性与周期性课件
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高三数学一轮复习课件第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2-3ppt版本
() A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析 依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)， 因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数， A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函 数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)| 是奇函数，C正确； |f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|， |f(x)g(x)|是偶函数，D错．
又 f(－x)＝ 4－（－－x x）2＝－ 4－x x2， ∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．
规律方法 判断函数的奇偶性，包括两个必备条件：(1)定 义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件， 所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关 系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价 等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0 (偶函数))是否成立．
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．
(× )
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原
点．
(× )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x
＝a对称．
(√ )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期
f(x)，当－3≤x<－1 时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3 时，
解析 依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)， 因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数， A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函 数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)| 是奇函数，C正确； |f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|， |f(x)g(x)|是偶函数，D错．
又 f(－x)＝ 4－（－－x x）2＝－ 4－x x2， ∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．
规律方法 判断函数的奇偶性，包括两个必备条件：(1)定 义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件， 所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关 系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价 等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0 (偶函数))是否成立．
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．
(× )
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原
点．
(× )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x
＝a对称．
(√ )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期
f(x)，当－3≤x<－1 时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3 时，
江苏专版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第三节函数的奇偶性及周期性课件理
那么函数 f(x)就叫做偶函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任 奇函数 意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，关于 原点 对称
那么函数 f(x)就叫做奇函数
2．函数的周期性 (1)周期函数
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定 义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ， 那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
[小题纠偏] 1．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么
a＋b＝________. 解析：因为 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数， 所以 a－1＋2a＝0，所以 a＝13.又 f(－x)＝f(x)，所以 b＝0， 所以 a＋b＝13. 答案：13
为[－1，1]，因此[－1，a－2]⊆[－1,1]⇒－1＜a－2≤1⇒
1＜a≤3.
答案：(1,3]
角度三：周期性与奇偶性结合
3．(2019·江阴期中)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并满足
f(x＋2)＝－f1x，当 1≤x≤2 时 f(x)＝x－2，则 f(6.5)＝ ________. 解析：∵f(x＋2)＝－f1x，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－fx＋1 2 ＝f(x)，即函数 f(x)的周期为 4. ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(6.5)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝－0.5. 答案：－0.5
浙江专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数2.3函数的奇偶性与周期性课件
2
2
2
象关于直线 x=π对称,即 f(x)=f(2π-x),又因为当 x∈ - π , π
2
22
1
时,f(x)=������3+sin x,所以函数 f(x)在
-
π 2
,
π 2
上单调递增,在
π 2
,
3π 2
上单
关闭
调D 递减,因为 2<π-1<3,所以 f(2)>f(π-1)=f(1)>f(3),即 b>a>c.故选 D.
取f(x)=-x,g(x)=|x|,可知D不对,故选C.
关闭
C
解析 答-1案7-
考点一
考点二 考点三
函数奇偶性的应用(考点难度★★)
2������ + ������,������ ≥ 0, 【例2】 (1)已知t∈R,函数f(x)= ������(������),������ < 0 为奇函数,则
B.f(ex)=e2x D.f(ln x)=x+���1���
关闭
A.设 ex=t⇒x=ln t(t>0),则 f(ex)=|x|⇒f(t)=|ln t|,即 f(x)=|ln x|,不是偶
函数,故 A 错误;B.设 ex=t⇒x=ln t(t>0),则 f(ex)=e2x⇒f(t)=(ex)2=t2,
()
A.-1
B.1
C.1
D.-1
3
3
2
2
关闭
依题意 b=0,且 2a=-(a-1),解得 b=0,a=13,所以 a+b=13.
关闭
B
解析 答案
知识梳理
-8-
知识梳理 双击自测
高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性课件.ppt
2 个性质——奇、偶函数的两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0。 (2)设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝ 奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。
8
3 条结论——与周期性和对称性有关的三条结论 (1)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象 关于直线 x＝a 对称。 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)，且 f(2b－x)＝f(x)(其中 a＜b)，则 y ＝f(x)是以 2(b－a)为周期的周期函数。 (3)若对于定义域内的任意 x 都有 f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则函数 f(x)是周期函数， 其中一个周期为 T＝2|a－b|。
那么函数 f(x)就叫做奇函数。
(3)奇函数的图象关于□3 ___原__点_____对称；偶函数的图象关于□4 ___y__轴_______对
称。
5
2．奇函数、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性□5 相__同__，偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性□6 ___相__反___。
答案：13
13
5．设函数 f(x)＝x3cosx＋1。若 f(a)＝11，则 f(－a)＝__________。 解析：令 g(x)＝f(x)－1＝x3cosx， ∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cosx＝－g(x)， ∴g(x)为定义在 R 上的奇函数。又∵f(a)＝11， ∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10。 又 g(－a)＝f(－a)－1， ∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9。 答案：－9
8
3 条结论——与周期性和对称性有关的三条结论 (1)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象 关于直线 x＝a 对称。 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)，且 f(2b－x)＝f(x)(其中 a＜b)，则 y ＝f(x)是以 2(b－a)为周期的周期函数。 (3)若对于定义域内的任意 x 都有 f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则函数 f(x)是周期函数， 其中一个周期为 T＝2|a－b|。
那么函数 f(x)就叫做奇函数。
(3)奇函数的图象关于□3 ___原__点_____对称；偶函数的图象关于□4 ___y__轴_______对
称。
5
2．奇函数、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性□5 相__同__，偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性□6 ___相__反___。
答案：13
13
5．设函数 f(x)＝x3cosx＋1。若 f(a)＝11，则 f(－a)＝__________。 解析：令 g(x)＝f(x)－1＝x3cosx， ∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cosx＝－g(x)， ∴g(x)为定义在 R 上的奇函数。又∵f(a)＝11， ∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10。 又 g(－a)＝f(－a)－1， ∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9。 答案：－9
高考理数学一轮复习课件第二章第三节函数的奇偶性与周期性
(2)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,则g(1)= .
答案 (1)1 (2)3
1-2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)=
1
2x
+
-1
1 ;(3)f(x)=
2
x2 -x
2xx,x,x00, ;(4)f(x)=x3sin
.
答案 (1)C (2)(-∞,-5)
解析 (1)由题意可得f(2x-1)≥f(1),∵函数f(x)为偶函数,∴f(|2x-1|)≥f(1), 又函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, ∴|2x-1|≤1,解得0≤x≤1.故选C. (2)由题意得f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex-x3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,因 为f '(x)=ex+e-x+3x2>0,所以函数f(x)是定义域上的增函数,所以由f(2x+1)<-f(4-x) =f(x-4),得2x+1<x-4,所以x<-5.
对f(x)定义域内任意自变量x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)= 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
(3)若f(x+a)=- 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)若函数f(x),g(x)为定义域相同的奇函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ✕ ) (2)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称 的. ( √ ) (3)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0或f(0)无意义.( √ ) (4)若对于任意的实数x,都有f(x)= -1 ,则2是函数f(x)的一个周期. ( ✕ )
答案 (1)1 (2)3
1-2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)=
1
2x
+
-1
1 ;(3)f(x)=
2
x2 -x
2xx,x,x00, ;(4)f(x)=x3sin
.
答案 (1)C (2)(-∞,-5)
解析 (1)由题意可得f(2x-1)≥f(1),∵函数f(x)为偶函数,∴f(|2x-1|)≥f(1), 又函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, ∴|2x-1|≤1,解得0≤x≤1.故选C. (2)由题意得f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex-x3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,因 为f '(x)=ex+e-x+3x2>0,所以函数f(x)是定义域上的增函数,所以由f(2x+1)<-f(4-x) =f(x-4),得2x+1<x-4,所以x<-5.
对f(x)定义域内任意自变量x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)= 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
(3)若f(x+a)=- 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)若函数f(x),g(x)为定义域相同的奇函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ✕ ) (2)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称 的. ( √ ) (3)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0或f(0)无意义.( √ ) (4)若对于任意的实数x,都有f(x)= -1 ,则2是函数f(x)的一个周期. ( ✕ )
2020版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3节函数的奇偶性与周期性课件理新人教A版
lg（1－x2） ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝ . －x
lg[1－（－x）2] lg（1－x2） 又∵f(－x)＝ ＝－ ＝－f(x)， x －x
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2， 故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0 令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2， 令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个. 答案 (1)C (2)7
规律方法
1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根
据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间. 2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0). 1 (2)若 f(x＋a)＝ ，则 T＝2a(a>0). f （x ） 1 (3)若 f(x＋a)＝－ ，则 T＝2a(a>0). f（x）
4.对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称.
高考数学新增分大一轮新高考：第二章2.3函数的奇偶性与周期性
解析 ∵ f(x＋ 4)＝ f(x－ 2)， ∴ f(( x＋2) ＋4)＝ f(( x＋ 2)－ 2)，即 f (x＋ 6)＝ f(x)， ∴ f(x) 是周期为 6 的周期函数， ∴ f(919) ＝ f(153 × 6＋ 1)＝ f(1)．
又 f(x)是定义在 R 上的偶函数， ∴ f(1) ＝ f(－ 1)＝6，即 f(919) ＝ 6.
1＋ 1
1 2a＋
1，
2
即 3a＋ 2b＝－ 2.①
由
f(－ 1)＝ f(1) ，得－
a＋
1＝
b＋ 2
2 ，
即 b＝－ 2a.②
(2)最小正周期：如果在周期函数 就叫做 f(x)的最小正周期． 概念方法微思考
f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
1．如果已知函数 f( x)， g(x)的奇偶性，那么函数 f( x) ±g(x)，f (x) ·g(x)的奇偶性有什么结论？ 提示 在函数 f(x)，g( x)公共定义域内有： 奇 ±奇＝奇， 偶 ±偶＝偶， 奇×奇＝偶， 偶×偶＝偶， 奇×偶＝奇．
＝ 1.而 f (－ 2)＝ f(－ 2＋ 4)＝ f(2) ，所以－ 2a＋ b＝2a－ 1，解得 a＝ 1， 2
所以
f(2
021)＝ f(1)＝ 1× 1－1＝－ 2
1 2.
(2)已知 f(x) 为偶函数，当
x≤ 0
时，
f
(x
)＝
－x
e
－1
－
x，则
f(x)＝ ________.
答案
－
e
x－
1－
x，
；
|x－ 2|－2
x2＋ x， x<0， (3)f (x)＝ －x2＋x， x>0.
2019-2020年高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第3讲函数的奇偶性与周期性课件理北师大版
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
解析 (1)对于 A，定义域为 R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝ －(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于 B，定义域为 R， f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于 C，定义域为 R，f(－x)＝2－x＋21－x＝2x＋21x＝f(x)，为偶函数； y＝x2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选 D.
2
∴f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1)， 又 f(log2a)＝f(|log2a|)且 f(x)在[0，＋∞)上递增， ∴|log2a|≤1⇔－1≤log2a≤1.解得12≤a≤2. 答案 (1)D (2)C
规律方法 (1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性 及奇偶性的定义以及奇、偶函数图像的对称性. (2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利 用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化 到已知解析式的函数定义域内求解. (3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利 用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调 性求解.
答案 (1)C (2)1
规律方法 (1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系 数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式， 由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值. (2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知 区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间 上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的 方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值.
高考数学一轮总复习第二章函数 2函数的基本性质第2课时函数的奇偶性与周期性课件
所以 不具有奇偶性.
9 − 2 ≥ 0,
（2）由ቊ 2
得 = ±3.
− 9 ≥ 0,
所以 的定义域为{−3,3}，关于原点对称.
又 3 + −3 = 0， 3 − −3 = 0.
所以 = ± − .
所以 既是奇函数，又是偶函数.
（3）（方法一）（定义法）当 > 0时， = − 2 + 2 + 1，− < 0,
1−
;
1+
（2） = 9 − 2 + 2 − 9；
− 2 + 2 + 1, > 0,
（3） = ቊ 2
+ 2 − 1, < 0;
（4） = ln
1−
.
1+
1−
解：（1）由
1+
≥ 0，且1+ ≠ 0，得−1 < ≤ 1，
的定义域为(−1,1]，不关于原点对称，
A. − 1 − 1
B. − 1
√
解：由题意，得 =
1−
1+
1−
，则下列函数中为奇函数的是(
1+
+1
= −1 +
C. + 1 − 1
D. + 1 + 1
2
.
1+
2
对于A， − 1 − 1 = − 2不是奇函数.
2
对于B， − 1 + 1 = 是奇函数.
（2）偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.
( ×)
( ×)
（3）若函数 = + 是偶函数，则函数 = 的图象关于直线 = 对称.
9 − 2 ≥ 0,
（2）由ቊ 2
得 = ±3.
− 9 ≥ 0,
所以 的定义域为{−3,3}，关于原点对称.
又 3 + −3 = 0， 3 − −3 = 0.
所以 = ± − .
所以 既是奇函数，又是偶函数.
（3）（方法一）（定义法）当 > 0时， = − 2 + 2 + 1，− < 0,
1−
;
1+
（2） = 9 − 2 + 2 − 9；
− 2 + 2 + 1, > 0,
（3） = ቊ 2
+ 2 − 1, < 0;
（4） = ln
1−
.
1+
1−
解：（1）由
1+
≥ 0，且1+ ≠ 0，得−1 < ≤ 1，
的定义域为(−1,1]，不关于原点对称，
A. − 1 − 1
B. − 1
√
解：由题意，得 =
1−
1+
1−
，则下列函数中为奇函数的是(
1+
+1
= −1 +
C. + 1 − 1
D. + 1 + 1
2
.
1+
2
对于A， − 1 − 1 = − 2不是奇函数.
2
对于B， − 1 + 1 = 是奇函数.
（2）偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.
( ×)
( ×)
（3）若函数 = + 是偶函数，则函数 = 的图象关于直线 = 对称.
高考数学一轮复习 第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 理
(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，单调递减 区间[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．(12分)
关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键 是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上 的问题．
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存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最 小正周期．
一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称． 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件． 两个性质 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定 义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶 ＝奇．
2．奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ，偶函数 在关于原点对称的区间上的单调性 相反 ．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是 奇函数 ，两个奇函数的积是 偶函数 ； ②两个偶函数的和、积都是 偶函数 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 ．
3．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中
第3讲 函数的奇偶性与周期性
第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础梳理 1．奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．
关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键 是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上 的问题．
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存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最 小正周期．
一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称． 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件． 两个性质 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定 义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶 ＝奇．
2．奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ，偶函数 在关于原点对称的区间上的单调性 相反 ．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是 奇函数 ，两个奇函数的积是 偶函数 ； ②两个偶函数的和、积都是 偶函数 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 ．
3．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中
第3讲 函数的奇偶性与周期性
第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础梳理 1．奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．