关于矢量的总结

1.2 矢量1.2.1 矢量、矢量基与基矢量(1)几何矢量定义(2) 几何矢量的运算(3)几何矢量的运算性质(4)一些有用的公式(5)矢量基(简称基)矢量基的定义与基矢量的右旋正交性基的矢量列阵的表达，矢量列阵的运算1.2.2 矢量的代数描述(1) 矢量在某基下的代数表达、坐标阵与坐标方阵(2) 矢量坐标阵的矩阵表达形式(3) 矢径的定义；矢量与矢径间的关系(4)几何矢量的运算与在同一个基下的坐标阵运算间的关系。

1.2.3 矢量的导数(1) 矢量对时间导数的定义，矢量在某基下对时间导数的定义(2) 在某基下矢量导数的运算与其坐标阵导数运算间的关系几何矢量定义矢量是一个具有方向与大小的量。

它的大小称为模，记为，或简写为a。

模为 1 的矢量称为单位矢量。

模为0的矢量称为零矢量，记为。

矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述，线段的长度表示它的模，箭头在某一空间的指向为它的方向。

利用这种方式描述的矢量又称为几何矢量。

几何矢量的运算矢量相等模相等、方向一致的两矢量与称为两矢量相等，记为(1.2-1)标量与矢量的积标量α与矢量的积为一个矢量，记为，其方向与矢量一致，模是它的α倍，即(1.2-2)矢量的和(平行四边形法则)(a)(b)图1-1 几何矢量运算两矢量与的和为一个矢量，记为，即(1.2-3)它与两矢量与的关系遵循如图1-1a的平行四边形法则矢量的点积(标积)两矢量与的点积(或称为标积)为一个标量，记为α，它的大小为(1.2-6)其中θ为两矢量与的夹角。

如果已知两矢量的点积，可以由上式计算两矢量夹角，即特殊情况，，此时α =0，有，即矢量自身的点积为其模的平方。

有时也简写为。

矢量的叉积(矢积)两矢量与的叉积(或称为矢积)为一个矢量，记为，即(1.2-8)它的方向垂直于两矢量与构成的平面，且三矢量、、的正向依次遵循右手法则(见图1-1b)。

定义矢量的模为(1.2-9)其中α为两矢量与的夹角。

几何矢量的运算性质加法运算遵循结合律与交换律矢量的和运算遵循结合律与交换律，即有结合律：(1.2-4)交换律：(1.2-5)矢量的点积的交换律矢量的点积有交换律，即(1.2-7)矢量的叉积无交换律矢量的叉积无交换律，但有(1.2-10)矢量的点积与叉积的分配律矢量的点积与叉积有分配律，即(1.2-11)(1.2-12)一些有用的公式由矢量的基本运算可以得到如下常用的较复杂的运算关系式：(1.2-13)(1.2-14)式(1.2-13)左边称为三矢量的两重叉积，式(1.2-14)左边称为三矢量的混合积。

矢量基的定义与基矢量的右旋正交性图1-2 矢量基与基矢量矢量的几何描述很难处理复杂的运算。

通常采用比较多的是矢量的代数表达方法。

为此首先需要构成一个参考空间，即用过点O 的三个正交的单位矢量依次按右手法则(见图1-2)构成一个坐标系，称之为矢量基(简称基)。

点O称为该矢量基的基点。

这三个正交的单位矢量称为这个基的基矢量。

根据三个基矢量的正交性，有如下的关系式(1.2-15)(1.2-16)其中，δαβ称为克罗内克(L. Kronecker )符号，即(1.2-17)(α, β=1,2,3)而εαβγ称为李奇 (Ricci) 符号，即(α, β, γ=1, 2, 3，且)(1.2-18)基的矢量列阵的表达，矢量列阵的运算将基矢量构成一个矢量列阵，即（1.2-19）它来表示这个矢量基。

对于不同的基，在上加上标进行区分。

例，基与基分别表示基b与基r，即,矢量列阵是标量列阵的拓展。

矢量阵运算的定义在形式上与一般的矩阵运算定义一致，只是在运算中将一个矢量作为一个标量元素处理。

例如对于矢量阵与矢量，以下算式成立：矢量与矢量阵的点积运算：（1.2-20），矢量与矢量阵的叉积运算：（1.2-21）矢量阵与矢量阵的点积运算：（1.2-22）矢量阵与矢量阵的叉积运算：（1.2-23）需要注意的是以上的算式中点积与叉积的运算符不能遗漏，对于叉积运算的次序不能交换。

考虑到3个基矢量的归一性和右旋正交性，（1.2-22）与（1.2-23）分别可化简为（1.2-24）（1.2-25）矢量在某基下的代数表达、坐标阵与坐标方阵图1-3 矢量在基上的分矢量与坐标在某个矢量基上，根据矢量和的定义，任意矢量可通过如图1-3所示三个矢量的和表示，其矢量运算表达式为（1.2-26）其中、与分别为与基矢量方向一致的三个矢量，称它们为矢量在相应基矢量上的三个分矢量，或简称为分量。

三个标量系数a 1, a 2, a 3分别称为矢量在三个基矢量上的坐标。

它们分别为三个分矢量的模。

这三个坐标构成一个标量列阵称为矢量在该矢量基上的坐标阵，记为（1.2-27）三个坐标还可定义一个反对称方阵，记为（1.2-28）称此方阵为矢量在该矢量基上的坐标方阵。

不难验证，此坐标方阵成立（1.2-29）例题1.图示一长方体，其中，，。

图中给出了基。

写出矢量在该基上的坐标阵与坐标方阵。

例1.2-1图解：由图可知，矢量可表为图中三矢量之和。

由于，，故有因此，矢量在该基上的坐标阵为坐标方阵为矢量坐标阵的矩阵表达形式利用矩阵乘的运算形式，有据此，表达式可写成矢量的坐标阵与基的矩阵积，即(1.2-30)不难验证矢量的坐标阵a有如下的表达式(1.2-31)因此，矢量的坐标阵a可简写为(1.2-31')应该指出，根据定义矢量在几何上是一客观存在的量，与矢量基的选取无关。

而矢量的坐标阵与矢量基有关。

例如，有两个不同的矢量基与。

矢量在这两个基上的坐标阵分别记为与(见图1-5)。

有图1-5 同一个矢量在不同基上的坐标阵(1.2-32)或(1.2-32')矢径的定义，矢量与矢径间的关系图1-4 矢径的分量与坐标起点在基点O指向空间点P的矢量，称为点P的矢径，记为。

如果空间点P在基上的三个坐标分别为r1, r2, r3，由图1-4可知，矢径坐标阵的三个元素就是空间点P的三个坐标，即特殊情况，基矢量、与在其的基下的坐标阵分别为，，矢量的运算与坐标阵运算间的关系首先令矢量、与在基下的坐标阵分别记为a，b与c。

由矢量的矩阵表达式，有(1.2-33)(1.2-34)(1.2-35)则由两矢量相等得到可见相等的两矢量与的在同一个基上的坐标阵相等，即a = b；反之亦然。

将矢量的矩阵表达式分别代入矢量的数乘公式、矢量相加公式、矢量点积公式和矢量叉积公式，得到相应的矩阵运算公式，即，上述各表达式的左边为一些矢量的基本运算，各表达式的最右边为这些基本运算在同一基下对应的坐标阵运算式。

现列于表1.2-1中。

根据表1.2-1读者可很容易写出较复杂的矢量运算对应的坐标阵运算式。

矢量对时间导数的定义，矢量在某基下对时间导数的定义图1-6 矢量对时间的导数上节已经提到，矢量是一与参考基无关的数学量，故它随时间的变化也与参考基无关。

如图1-6所示，在时刻t，该矢量的大小与方向为，到时刻t+ t，该矢量的大小与方向为，定义矢量在时刻t对时间的导数是另一个矢量，记为，且(1.2-36)从几何上考察或进行矢量导数的运算极不方便。

下面将讨论矢量导数与其坐标阵导数的关系。

尽管矢量对时间的导数与参考基无关，但在不同的参考基上考察同一个矢量的变化，其结果将不同。

现在某一参考基上考察一个矢量。

定义为矢量在参考基上对时间的导数。

在基上考察它自身的三个基矢量(i=1,2,3)，显然在该基上它们不随时间变化，有(1.2-37)(i=1,2,3)将矩阵对时间导数的表达式推广到矢量阵，故上式可简写为如下矩阵表达式：(1.2-37')由矢量的矩阵表达式，有(1.2-38)同理，(1.2-38')由此可得到如下结论，矢量在基上对时间的导数为一矢量，它在该基的坐标阵等于矢量在基的坐标阵对时间的导数。

显然，对于标量 ，对时间求导的左上标r无意义，即。

对于矢量求导，如果所定义的参考基为公认或在约定的情况下，为了书写方便有时矢量求导的表达式也作如下的简写，即。

读者应该注意识别。

求矢量在基上对时间的导数解：矢量在基的坐标阵为。

由式(1.2-38)，该矢量在基上对时间的导数为在某基下矢量导数的运算与其坐标阵导数运算间的关系由矢量对时间导数的定义与矩阵对时间导数的公式，不难得到一些矢量运算在某基下对时间导数的矢量运算式，现列于表1.2-2的左列。

根据矢量在某基下对时间的导数式，或表1.2-2左列的矢量运算式对应的坐标运算式为表1.2-2右列所示。

例如，对于表1.2-2第一行的左列，其左边可表为其右边为将以上两式代入表1.2-2第一行的左列，考虑到同一基下坐标阵相等，可得到相应的矩阵式如表1.2-2第一行的右列。

读者不难类似推导表中后3行的对应关系。

表中最后一行的推导，用到了如下关系式，读者不难给予证明。

（1.2-39）对于例1.2-5的矢量，可以理解为三个矢量相加，该例也可利用表1.2-2的第二行的关系求解。

即直接对矢量求导，有。