5.3同角三角比的关系和诱导公式(4)教案
高二数学 三角函数的诱导公式精华教案
一、教材分析（一）教材的地位与作用：1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。
诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。
诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。
这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
（二）教学重点与难点：1、教学重点：诱导公式的推导及应用。
2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
二、目标分析根据教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标为：1、知识目标：（1）识记诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。
2、能力目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
3、情感目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。
三、过程分析（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。
1、提问：试叙述三角函数定义2、提问：试写出诱导公式（一）3、提问：试说出诱导公式的结构特征4、板书诱导公式（一）及结构特征：诱导公式（一）结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。
同角的三角比
2、单位圆中的有向线段：
设单位圆和角的终边的交点为 P( x, y) 考察角的各个三角比：
y
P(x, y)
O
x
第一象限： y
第二象限： y
T P
P
O MA x
MO
Ax
sin MP
T
cos OM tan AT
例：已知 ，且 cos 2 ，则角
2
的取值范围是_______________。
N x
有向线段QP
Q
P
若线段的方向和坐标轴的正方向一致，就规定这条线段是 正的，否则就规定它是负的。
所以图中有正向线段MN、PQ；负向线段NM、QP
1、有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线
若线段的方向和坐标轴的正方向一致，就规定这条线段是 正的，否则就规定它是负的。
y
D2
C 1
A
B
|
|
|
o
1
23
AB 2 BA 2 CD 1 DC 1
csc
(5) sin2 cos2 1
2
2
典型例题：
例：sin2 cos2 1的充要条件是 。
sin2 cos2 5 1
2
2
cos 5
cos
?? 终边相同，所以三角比全对应相等
2
2
（终边相同的角，三角比对应相等）
知识要点：
（终边相同的角，三角比对应相等）
第一组诱导公式：
sin(2k ) sin cos(2k ) cos tan( 2k ) tan cot(2k ) cot
例：求 tan 25 的值
3
第一组诱导公式 (1) sin(2k ) sin (2) cos(2k ) cos (3) tan( 2k ) tan (4) cot(2k ) cot
5.3(1)同角三角比的关系和诱导公式
§5.3 同角三角比的关系与诱导公式（1）---------同角的三角比的关系教学目标：1. 知识与能力：①掌握同角三角比的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；②通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角比求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性； ③注意运用数形结合的思想解决有关求值问题； 2. 过程与方法：引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用、掌握各种恒等变形的技能、技巧．要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用． 3. 态度、情感、价值观：培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力。
教学重点：同角公式的推导与应用，同角三角比的基本关系.教学难点：已知某角的一个三角比值，求它的其余各三角比值时正负号的选择；教学过程： 一、 情景引入1．背景:如果53sin =α，α为第一象限的角，如何求角α的其它三角比值； 2．思考问题1:已知角α终边上一点),(y x P ，22y x r +=，则角α的六个三角比分别是什么？yr x r x y y x r x r y ======ααααααcsc ;sec ;cot ;tan ;cos ;sin 问题2:当角α分别在不同的象限时，ααααcot tan cos sin 、、、的符号分别是怎样的？3．讨论:由于α的三角比都是由r y x 、、表示的，则角α的六个三角比之间有什么关系？二、学习新课 探求公式：由三角比的定义，我们可以得到以下关系：1cos sin 22=+αα 理论证明：（采用定义）222221sin ,cos sin cos 1sin 2()tan 2cos y xx y r r ry x y r yk k Z r r r x xααααπααπαα+===∴+=≠+∈=÷=⨯==且当时，1cot tan ,23=⋅=⋅+≠≠yxx y k k ααππαπα时且当 （1）倒数关系：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα（2）商数关系：⎪⎩⎪⎨⎧==ααααααsin cos cot cos sin tan （3）平方关系：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin说明：三种关系，八个公式，称为同角三角比的基本关系。
(完整word版)《三角函数的诱导公式》教学设计完美版
《三角函数的诱导公式》教学设计一．教材分析（1）教材的地位与作用：《三角函数的诱导公式》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学必修4》（人教A版)第一章第3节第一课时，是三角函数这一章中的一个重要内容，它涉及三角函数的求值、化简、证明等应用，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体代换等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
（2）从知识的体系来看：《三角函数的诱导公式》是《任意角和弧度制》与《任意角的三角函数》内容的延续，不仅能加深对三角函数的理解，也为以后学三角函数的图像与性质做好铺垫。
二．学情分析（1）学生的已有的知识结构:掌握了任意角和弧度制,任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系。
（2）教学对象：高一理科试验班的学生,学习兴趣比较浓，表现欲较强,逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。
（3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与任意角的三角函数的定义及诱导公式一等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是：本节公式的种类繁多,要求归纳总结的知识多，这对学生的思维是一个突破。
三．教学目标根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为：(1）知识技能目标：理解并掌握三角函数的诱导公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题.(2）过程与方法目标:通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．（3）情感，态度与价值观：培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。
四．重点、难点分析教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。
同角三角比的关系和诱导公式
m 1 当 的终边在第二、三象限或 x 负半轴时， 1 m cos ,sin 解毕 2 m2 1 m 1
2 2
cos
1 m 1
,sin
m
例3.已知 tan( ) 3 ，求下列各式的值.
3sin 2 cos (1) (2) 4sin 2 3sin cos 2 sin cos 解： tan 3 3sin 2 cos 3 tan 2 11 (1) cos 0, 2sin cos 2 tan 1 5 2 4sin 3sin cos 2 (2) 4sin 3sin cos 2 2 sin cos
tan120 tan(180 60 ) tan 60 3
例1.利用诱导公式，把下列三角比化为锐角三角比 后求值：
例2.利用诱导公式，化简求值：
11 3 (1) sin sin(4 ) sin 3 3 3 2
2 (2) cos 225 cos(180 45 ) cos 45 2
4 (选用)例5.已知 sin cos ，求值： 3 (1) sin cos ; (2) tan cot ; (3) sin cos .
解: (3) (sin cos )2 1 2sin cos
7 2 1 2 18 9
4 tan 3 tan cos 9 2 tan 1 2
2
解毕
例4.求证： (1) tan 2 sin 2 tan 2 sin 2 ；
2 2 2 2
sin 证： tan sin tan (1 ) 2 tan 2 2 tan (1 cos ) tan 2 sin 2 证毕 1 2sin cos 1 tan (2) . 2 2 cos sin 1 tan 2 1 2sin cos (sin cos ) 证： 2 2 2 2 cos sin cos sin cos sin 1 tan 证毕 cos sin 1 tan
同角三角比的关系和诱导公式
2
2
1、求下列各三角比的值（不得使用计算器）
回家作业 （1）
tan
4
（2）
sin
390
（3）
sin
25
2
（4）
cos
690
(共6题)
2、利用诱导公式，求角 23 和 87 的正弦值、余弦值、正切值
3
4
3、化简（保留化简过程）
（1）
sin cos
cot tan
2 2
（2）
技巧1：公式变形的使用
技巧2：化切法
7、已知 3sin
4cos
0
，求
sin2 cos2 1 cos2
技巧3，化弦法+ (sinx+cosx),(sinx-cosx),(sinx*cosx)
8、已知关于 x 的一元二次方程 x2 tan cot x 1 0 的
一个实数根为 2 3 ，求 sin cos
cot2
tan2
sin2
4、根据条件，求角 x：
（1） tan x 3, x 0, 2 （2） cos x 2 ，x 是第二象限的角
2
5、在三角形 ABC 中（1）若 sin A 3 ，求角 A （2）若 cos A 2 ，求角 A
2
2
6、（1）若 为第一象限角，则 2 是第__________象限角； 是第__________象限 角； 是第__________象限角； 是第__________象限角；
①求值②化简③方程
例1：求下列三角比（不用计算器）
sin 26
3
tan 13
4
求值的一般方法：负角正角[0,2π]的角锐角
二、诱导公式典型题型
《三角函数的诱导公式二、三、四》教学设计
《三角函数的诱导公式二、三、四》教学设计第一课时一、内容和内容解析 1．内容“诱导公式”包括5组公式，即诱导公式二至六，本单元的知知识结构如下图所示：本单元分为两课时完成，本节课为第一课时，主要探究诱导公式二、三、四，并围绕圆的对称性提出要研究的相关问题，形成研究的思路．2．内容解析我们知道，任意角的三角函数的定义是借助于单位圆得出的，之后又借助于圆的几何性质得出了三角函数的部分性质，即同角三角函数的基本关系．圆有丰富的性质，对称性是圆的重要性质，如果用三角函数表示单位圆上点的坐标，就可将这些对称性表示为三角函数之间的关系，从而得到三角函数的诱导公式．角的基本构成元素就是顶点、始边、终边，在三角函数这一章的研究中，为了方便，使角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，因此变化的只有角的终边．首先从形的角度，研究圆的对称性，假设任意角α的终边与单位圆的交点为1P ，点1P 关于圆心或特殊直线的对称点为Q ，根据单位圆上这两个点的对称性，可以写出以OQ 为终边的角与角α的关系．接下来从数的角度，利用三角函数的定义，建立对称点坐标之间的关系，得到三角函数之间的关系即诱导公式．由此可见诱导公式的本质就是圆的对称性的代数表示．对于πα+，π2α+还可以从旋转对称的角度认知它们，与从轴对称认知的本质一致，而这样认知与诱导公式一，及后续的两角差的余弦公式的研究就一致了．因此这种变式为后续利用旋转对称性探究两角差的余弦作了铺垫．可见，本单元是培养学生发现和提出问题、分析和解決问题，发展学生直观想象核心素养的很好的载体．在数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题．数学家制作了锐角三角函数值表，并通过公式，将任意角转化为锐角进行计算．现在，我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值，所以利用这些公式的“求值”已不是重点，但是研究这些公式时使用的数学思想方法，在解決三角函数的各种问题中却依然有重要作用．在本单元中，利用诱导公式解決问题，重要的是观察计算对象的特征，选择合适的诱导公式，确定恰当的求解路线，并实施计算求解问题．因此本单元是培养学生数学运算核心素养的很好的载体．因此本单元的教学重点是：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．此外，为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯，在诱导公式中全部采用了弧度制．二、目标和目标解析1．目标（1）经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，提升直观想象核心素养．（2）初步应用诱导公式解決问题，积累解题经验，提升数学运算核心素养．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）在平面直角坐标系中，给出任意角α的终边与单位圆的交点P，结合单位圆的特殊对称性——关于原点对称和特殊直线对称，学生能分别画出相应的对称点Q，并利用圆的对称性给出坐标间的关系，利用三角函数的定义，用角表示两个点的坐标，并能求出以OQ为终边的角与角α的坐标之间的关系，从而建立三角函数之间的关系，即诱导公式．（2）学生能利用诱导公式进行化简、计算和证明．特别是在遇到比较复杂的问题时，能根据运算对象的特点，选择合适的公式，确定恰当的求解方案，并能正确求解．在解题的基础上，能概括出利用诱导公式求解的一般程序．三、教学问题诊断分析本单元就单个知识点而言，比较好理解．但是公式比较多，当学生应用和记忆时会出现困难或者混淆．因此本节课的教学难点之一是：诱导公式的有效识记和应用．为破解这一难点，本节课的教学过程中要充分发挥单位圆的直观作用，提高学生的直观想象核心素养，理解诱导公式的本质：圆的对称性的代数化，三角函数的性质．学生能主动地依托单位圆，想象着它的对称性，就可以准确的记忆诱导公式．对于公式的应用，要提高学生分析问题的能力，即要形成一定的求解程序，提升学生的数学运算素养．学生在理解诱导公式时，总是有思维定势，以为α是锐角，于是导致解题时，通过角所在象限判断诱导公式的符号出错．所以本单元的第二个难点是：诱导公式中角α可以是任意角的理解．为破解这一难点，在推导诱导公式时要充分地应用变式．比如在推导公式二时，点1P 的位置一般选在第一象限，获得公式后，可以变化点1P 的位置，让学生观察：点1P 的位置变化时，点2P 与点1P 的坐标之间的关系．并抽象概括出这两点的坐标之间的关系与点1P 的位置无关．因此公式中的角α可以是任意角．在此基础上，配以具体题目，让学生感受这种概括的正确性．四、教学支持条件分析本单位可利用作图软件，画图呈现如上所述的对称性，并动态演示当点1P 的位置变化时对称点的坐标与它的坐标之间的关系不变．五、教学过程设计 （一）创设情境，引出问题导入语：前面我们学习了三角函数，是借助于单位圆给出的，并根据定义得出了公式一，刻画“周而复始”这种変化规律及其几何意义．之后借助于单位圆的几何特征，获得了同一个角的三个三角函数之间的关系．我们知道，对称性是圆的重要性质，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的性质．问题1：如图5.3-1，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点1P ，作1P 关于原点的对称点2P ．（1）以2OP 为终边的角β与角α有什么关系？ （2）角β，α的三角函数值之间有什么关系？师生活动：先由学生独立完成问题1，然后展示，师生帮助一起完善和梳理思路． 如图5.3-2，以2OP 为终边的角β都是与角πα+终边相同的角，即2ππβα=++()k ∈Z ()k ．因此，只要探究角πα+与α的三角函数值之间的关系即可．设111P x y (，)，222P x y (，)．因为2P 是点1P 关于原点的对称点，所以2121x x y y =-=-，． 根据三角函数的定义，得1111sin cos =tan y y x x ααα==，，； 2222sin πcos πtan πy y x x ααα+=+=+=()，()，()．设计意图：初步感受如何将圆的一个特殊的对称性：在坐标系中关于原点对称，代数化，并得到诱导公式二．并以此问题作为研究方法的示范，为进一步提出、分析、解決问题做好奠基工作．追问1：如果点1P 在第二象限，那么点2P 的坐标与点1P 的坐标之间有什么关系？如果点1P 在y 轴负半轴上呢？在其他位置呢？据此，公式二中的角α的终边可以在什么位置？师生活动：学生思考后给出解答：不论点1P 在哪里，点2P 的坐标与点1P 的坐标之间的关系都不変，即公式二对任意角α都成立．追问2：探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想是什么？ 师生活动：学生思考后给出回答，教师进行归纳：第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系，从形的角度入手研究．第二步，建立坐标之间的关系．将形的关系代数化，并从不同的角度进行表示，体现了数形结合的思想方法．第三步，根据等量代换，得到三角函数之间的关系，即公式二，体现了联系性． 追问3：角πα+还可以看作是角α的终边经过怎样的变换得到的？ 师生活动：学生思考后给出回答：按逆时针方向旋转角π得到的．设计意图：追问1旨在帮助学生理解角α的任意性，追问2旨在提炼方法，追问3则渗透圆的旋转对称性，为后面几个公式的探索在方法上做好铺垫．（二）类比探索，整体认知问题2：借助于平面直角坐标系，类比问题1你能说出单位圆上点1P 的哪些特殊对称点？并按照如上问题1总结得到的求解步骤，尝试求出相应的关系式．师生活动：首先由学生独立思考，尽量多地写出点1P 的对称点，然后展示交流，之后再将之代数化，最后得到相应的诱导公式．学生的回答可能会超越教科书中的研究内容，如果是学生自己想到的，可以顺其自然保留，但是不作进一步的要求．如果学生没有想到，教师不需要增加．学生首先想到的应该是点1P 关于坐标轴的对称点；之后关于特殊直线的对称点，比如y x =；教师启发之后会想到经过两次对称得到的对称点．学生可能的答案有单位圆上点1P 的特殊对称点：第一类，点1P 关于x 轴、y 轴的对称点；第二类，点1P 关于特殊直线的对称点，如y x =，y x =-；第三类，点1P 关于x 轴的对称点，再关于特殊直线的对称点，或者点x 轴关于特殊直线的对称点，再关于坐标轴的对称点等等．接下来，针对如上结论，从第一类到第三类依次解決，本课时可以先解決第一类．如图5.3-3，作1P 关于x 轴的对称点3P ，以3OP 为终边的角β都是与角α-终边相同的角，即2πk βα=+-()∈Z ()k ．因此，只要探究角α-与α的三角函数值之间的关系即可．设333P x y (，)，因为3P 是点1P 关于x 轴的对称点，所以3131x x y y ==-，．根据三角函数的定义，得1111sin cos =tan y y x x ααα==，，； 3333sin cos tan y y x x ααα-=-=-=()，()，()．如图5.3-4，作1P 关于y 轴的对称点4P ，以4OP 为终边的角β都是与角πα-终边相同的角，即2ππk βα=+-()∈Z ()k ．因此，只要探究角πα-与α的三角函数值之间的关系即可． 设444P x y (，)，因为4P 是点1P 关于y 轴的对称点，所以4141x x y y =-=，．根据三角函数的定义，得1111sin cos =tan y y x x ααα==，，； sin sin αα-=-()， cos cos αα-=()，4444sin πcos πtan πy y x x ααα-=-=-=()，()，()．追问4：公式三和公式四中的角α的终边可以在什么位置？ 预设答案：角α是任意角．设计意图：类比问题1，进一步探索发现．这是个开放式的问题设计，给了学生自主的时空，鼓励他们多角度观察思考，提出问题，并类比问题1进行分析，解決问题．强化将单位圆的对称性代数化这种研究思路．（三）初步应用，建立程序 例1 利用公式求下列三角函数值： （1）cos225°； （2）8πsin 3； （3）8πsin 3-()； （4）tan 2040ο-()． 追问5：题目中的角与哪个特殊角接近？拆分之后应该选择哪个诱导公式？师生活动：学生独立完成之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程． 设计意图：引导学生有序地思考问题，有理地解決问题．问题3：由例1，你对公式一～四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？师生活动：学生独立思考总结，之后展示交流．利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按如下图步骤进行：设计意图：引导学生梳理求解过程，提炼解题经验，明确从负角转化为锐角的程序，提高自觉地、理性地选择运算公式的能力，提升数学运算素养．例2 化简：cos 180sin 360tan 180cos 180ααααοοοο++()()(--)(-+)．sin πsin αα-=()， cos πcos αα-=-()，追问6：本题与例1的异同是什么？由例1总结出的求解程序在此如何应用？师生活动：学生独立完成，之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．设计意图：巩固习题的知识和方法，提高学生分析能力和转化能力．（四）梳理小结，深化理解问题4：诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系？你学到了哪些基本知识，获得了怎样的研究问题的经验？师生活动：学生自主总结，展示交流．（1）诱导公式是圆的对称性的代数化，是三角函数的性质．（2）学到了三组诱导公式，研究方法是数形结合，注重联系．设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，为进一步的硏究铺路奠基．（五）布置作业，深入研究（1）类比第一类问题的解決，即诱导公式二、三和四的探索发现过程，完成第二类和第三类问题．写出你的研究小报告，报告中先写出问题，再写出答案，并在下节课展示交流．（2）完成教科书P191练习，注重应用总结出来的程序．六、目标检测设计计算下列三角函数值：（1）cos420ο-()；（2）7πsin6-()；（3）tan1140ο-()；（4）77πcos6-()；（5）tan315ο；（6）11πsin4-()．设计意图：检测学生对基本知识和基本运算及基本技能的掌握情况．。
5.3同角三角比的关系和诱导公式(3课时)学生
5.3（1）同角三角比的关系与诱导公式（学生）2010-2-25ZJ一、学习目标设计1.由三角比的定义,找出同角三角比的基本关系式;2.理解同角公式都是特定意义的恒等式，会简单应用同角公式. 二、内容重点及难点重点: 同角三角比公式的推导与应用 难点: 三角比符号的确定及公式的变形应用 三、学习过程一、 同角三角比的关系式：1、提问:已知角α终边上一点),(y x P ，22y x r +=，则角α的六个三角比分别是什么？2、讨论角α的六个三角比之间有什么关系？ [说明]①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如14cos 4sin 22=+αα,2tan2cos2sinααα=等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如),2(1cot tan Z k k ∈≠=⋅πααα；③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如： αα2sin 1cos -±=，αα22cos 1sin -=， αααtan sin cos =等。
④据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。
二．公式的应用例题1：已知,54cos =α且α为第四象限的角，求α的其他三角比的值；提问：如果去掉α为第四象限的角这个条件，应如何求α的其他三角比的值？例题2：已知 125tan =α，求ααcos sin 、和αcot ；[说明]已知一个角的某一个三角比的值，便可运用基本关系式求出其它三角比的值。
在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。
有时，由于角的终边位置的不 确定，因此解的情况不止一种。
解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好 或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
例题3：已知 cot (0)k k α=≠，求ααcos ,sin ；[说明](1)如果已知角α的一个三角比和它所在的象限,那么角α的其他三角比就可以唯一确定.如果仅知道α的一个三角比,那么就应该根据角α的终边的所有可能的情况分别求出其他三角比. (2)例1是给出一个三角比的值,并给出了角α所在的象限,这样的题目只有一组解;例2是给出一个三角比的值,未给出角所在的象限,要先确定角所在的象限,然后 分情况求解,这样的题有两组解;例3是给出了一个三角比的值,但是字母,因此先 要根据字母的取值确定α所在的位置. 三、巩固练习 练习5.3(1) 四、课堂小结1.同角三角函数基本关系式及成立的条件；2.根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；3.在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。
第三节 同角三角比关系和诱导公式
同角三角比关系和诱导公式【知识梳理】1、同角之间的三角比关系（1）倒数关系：sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1α⋅α=α⋅α=α⋅α= （2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin ααα=α=αα（3）平方关系：222222sin cos 1,sec tan 1,csc cot 1α+α=α-α=α-α=【注】同角间三角比进行求值计算时，可以结合直角三角形进行，注意下象限即可.【注】称sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-为“三角三姐妹”，知一求二，但需注意符号. 【注】同角三角比关系，可以采用六边形记忆： ①对角线法则（倒数关系）②相邻顶点法则（商数关系）：位于正六边形任意顶点上的 三角比等于该顶点的两个相邻顶点上的三角比的乘积； ③倒三角形法则（平方关系）：每个带阴影的倒置三角形中， 上面两个顶点上的数的平方和等于下面一个顶点上的数的平方.【注】记忆上述八组诱导公式的口诀：奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．【典型例题】 例1、已知5sin 13α=，且α为第二象限角，求α的其它五个三角比.【练习1】设)tan 01m α=<<，化简22sin sin cos cos m m αα++α-α.【练习2】化简：33sin (1cot )cos (1tan )x x x x +++.【练习3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【练习4=，则角x 的终边在第_______象限. 【练习5】若1+=-，则x 的终边在第_______象限.【练习62sin101sin 10=--_________.【练习7】化简：2662222csc sin cos cot sin cos 11cot 1tan α-α-α-α⎛⎫αα-- ⎪+α+α⎝⎭【练习8例2、若4sin 2cos 23sin 4cos 3x x x x +=-，则tan x =__________.【练习】已知21sin 3sin cos x x x +=，则tan x =__________.例3、已知tan 2α=，求下列各式的值： （1）sin cos cos 2sin αααα-+（2）22sin sin cos 3cos αααα++ （3）22sin sin cos sin 1αααα++（4）2212sin cos sin 2cos x xx x+-（5）3323sin cos 4cos sin cos x xx x x +-例4、关于x 的方程()2tan cot 10x x -α+α+=的一个根是2sin cos αα=______.例5、（2008清华自招）sin cos x x +=x 的取值范围为________.【变式】（2005交大推优）8841sin cos ,0,1282x x x π⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则x =________.例6、已知()sin cos tan cot sec csc f x x x x x x x =+++++，求()f x 的最小值.例7、是否存在0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，使得关于x 的方程24cos 20x x -α+=和24sin 20x x -α-=有一个实数解相等？如果存在，求出α；不存在，请说明理由.例8、化简下列各式（1）()()()()22sin 42cot 25cot 65sin 48α+++ββ-+-α（2）()()()()tan 150cos 210cos660tan 240sin 330-⋅-⋅-⋅-（3）()()()()()()cos 90csc 270tan 180sec 360sin 180cot 90x x x x x x +⋅+⋅--⋅+⋅-（4）sin[(21)]sin[(21)]()sin(2)cos(2)k k k Z k k απαπαπαπ+++--∈--+（5）()4334cos cos 44k kk Z +-π+π∈例9、若3cos 5α=-，则()()cos 2sin 322tan 3cot 2π⎛⎫α-+π-α ⎪⎝⎭=π⎛⎫π+α+α+ ⎪⎝⎭_________.【变式1】若1tan 2α=-，则()72cos cos 52sin cos 22π⎛⎫α--π-α ⎪⎝⎭=ππ⎛⎫⎛⎫+α+α- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________.【变式2】已知33cos()252ππααπ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，求tan(),sin(2).παπα--例10、若22tan 2tan 1α=β+，证明：22sin 2sin 1β=α-例11、证明下列恒等式：（1）4222sin sin cos cos 1α+αα+α= （2）222222cos cos sin sin cot cot α-β=αβα-β（3）cos 1sin 1sin cos x xx x+=- （4）1sec tan tan sec 11sec tan tan sec 1x x x x x x x x ++--=---+（5）6622csc cot 13csc cot x x x x -=+（6）tan sin tan sin tan sin tan sin ααα+α=α-ααα（7）1sec tan 1sin 1sec tan cos +α+α+α=+α-αα（8）()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1sin cos α-ααα-=+α+α+α+α（9）()()cos 2sec tan sec 2tan 2cos 3tan αα+αα-α=α-α。
诱导公式
5.3.2同角三角比的关系（2）诱导公式【教学目标】1．通过本节课的教学，使学生掌握五组诱导公式的推导方法和记忆方法．2．在理解、记忆五组诱导公式的基础上，会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明．3．加深理解化归思想，培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识．【教学重点】五组诱导公式的记忆、理解、运用。
【教学难点】五组诱导公式的推导教学过程：【情景引入】 与6π终边相同角α的集合如何表示？αsin 与6sinπ具有怎样的数量关系？与β终边相同角α的集合如何表示？αsin 与βsin 具有怎样的数量关系？βα,其它的五个三角比数量关系又如何呢？【问题探究】诱导公式一： 文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等． sin(k ·360°＋α)=sin α，cos(k ·360°＋α)=cos α，tan(k ·360°＋α)=tan α，cot(k ·360°＋α)=cot α．(k ∈Z )试求出sin 2016°的值．由公式一：sin 2016°=sin(5×360°×216°)＝sin 216°问题二：如何求出进一步sin 216°的值诱导公式二：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°＋α角所在象限(第三象限)角的原三角函数值的符号相同．sin(180°＋α)=－sin α， cos(180°＋α)=－cos α，tan(180°＋α)=tan α， cot(180°＋α)=cot α．诱导公式三：①同名函数关系；②符号规律是：右边符号与－α所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同．sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝tan α， cot(－α)＝－cot α．诱导公式四：sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-．t sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。
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课题：5.3(4)同角三角比关系和诱导公式（教案）教学目的：1、熟练掌握同角三角比关系，并应用其进行求值、化简和证明2、熟练掌握四组诱导公式，并应用其进行求值、化简和证明教学重点：同角三角比的关系和诱导公式的应用 教学过程： （一）引入一、（设置情境）已知ABC ∆中，53sin =A ，求A cos ,A tan 的值 已知角的一个三角比的值，可以求它的其它三角比的值，当角的象限不确定时应讨论二、（双基回顾） 1、同角三角比的关系：（1）平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+；（2）商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =；（3）倒数关系：1csc sin =αα，1sec cos =αα，1cot tan =αα； 2、诱导公式：四组诱导公式，把任意角的三角比化为锐角三角比3、“1”的代换：ααcsc sin 1=、ααsec cos 1=、ααcot tan 1=、αα22cos sin 1+=、αα22tan sec 1-=、αα22cot csc 1-=、4tan1π=、4cot1π=；（二）新课 一、典型例题例1、已知ABC ∆中，53sin =A ，求A cos ,A tan 的值 解：因为053sin >=A ，所以A 在第一象限或A 在第二象限 A 在第一象限时，54cos =A ，43tan =AA 在第二象限时，54cos -=A ，43tan -=A例2、化简：()()()()()()αππααππααπαπ+-⋅--⋅+-sin 5cos 3cos 2tan tan sin解：原式=1sin cos cos tan tan sin =--⋅-⋅-αααααα例3、化简ααcos 1cos 1+-ααcos 1cos 1-+-（παπ2<<） 解：原式=αα22cos 1)cos 1(--αα22cos 1)cos 1(-+-|sin ||cos 1|αα-=|sin ||cos 1|αα+- 因为παπ2<<，所以0sin <α，1cos 1<<-α，所以0cos 1>±α原式ααsin cos 1--==-+-ααsin cos 1αααcot 2sin cos 2=--=例4、已知θ是第四象限角，51cos sin =+θθ，求：（1）θθcos sin -；（2）θθ33cos sin +；（3）θθcot tan +；（4）θtan解：（1）()()2549cos sin cos sin 21cos sin 2512cos sin 51cos sin 22=-⇒⎪⎭⎪⎬⎫-=--=⇒=+θθθθθθθθθθ 又 θ是第四象限角，则57cos sin -=-θθ （2）θθ33cos sin +=+-+=)cos cos sin )(sin cos (sin 22θθθθθθ12537 （3）1225cos sin cos sin sin cos cos sin cot tan 22-=+=+=+θθθθθθθθθθ （4）⎪⎩⎪⎨⎧-=⇒=-=⇒⎪⎭⎪⎬⎫-=-=+43tan 54cos 53sin 57cos sin 51cos sin θθθθθθθ 二、课堂练习 1、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23,ππα，求αααα22tan 1sec 1sec tan +⋅+-⋅的值 （1-）2、已知0cos 3sin =-αα，求αααα22sin 3cos sin 8cos 3-+的值 （ 0 ）三、拓展探究 1、已知416sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πx ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 611cos 67sin 2ππ的值。
解：令απ=+6x ，则41sin =α。
原式=()()1611sin sin 1cos sin 2cossin 222=--=+-=-++αααααπαπ2、已知1cos cos 2=+θθ，求θθ26sin sin +的值。
解：θθθ22sin cos 1cos =-=；()()1cos cos cos cos sin sin sin sin 2323226+=+=+=+θθθθθθθθ()θθcos 2cos -= 1cos 3cos cos 22-=-=θθθ1cos cos 2=+θθ，0cos >θ，则215cos -=θ，则原式=255312153-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3、求证：θθθθθθsec tan tan sec 1tan sec 1+=-+++证：左=()()()θθθθθθθθθθθθθθtan sec tan sec 1tan sec 1tan sec tan sec 1tan sec tan sec 22+=-+-++=-+++-（三）、小结同角三角比和诱导公式的应用：1、已知角的一个三角比，求它的其它三角比的值 2、简单三角式的化简、求值 3、三角恒等式的证明 （四）、作业 课外作业： 一、填空题1、已知()()=--=+παααπsin ,53cos 是第四象限角，则且 2、已知31tan -=x ，那么=-+xx xx cos 3sin cos sin 2 3、若54sin =α，且α是三角形的一个内角，则=-+7cos 158sin 5αα 4、已知81cos sin =αα，且24παπ<<，则=-ααsin cos 5、已知=-+=1cos sin 3sin ,21tan 2x x x x 则6、化简：=++x x x x 2266cos sin 3cos sin 7*、若1sin sin 2=+x x ，则=+x x 42cos cos 8*、若=<<=+x x x x tan ,0,51cos sin 求且π 二、选择题1、若11sec csc cos 2-=-⋅⋅ααα，则角α的终边在 （ ）A 、第一或第三象限B 、第三象限C 、第四象限D 、第二或第四象限2、已知A 是三角形内角，且81cos sin -=A A ，则A A sin cos -的值为（ ） A 、23-B 、 23±C 、 25±D 、25- 3、已知α是三角形的一个内角，且32cos sin =+αα，那么这个三角形为（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、不等腰的直角三角形 D 、等腰直角三角形4*、已知43cos sin =+x x ，则x x 33cos sin -的值为（ ） A 、2312825 B 、2312825- C 、2312825± D 、以上都不对三、解答题 1、已知512tan =α，求αααcot ,cos ,sin 的值。
2、若角α的终边落在直线0=-y x 上，求αααα22sin 1cos sin cos 1-+-的值3、已知α是第二象限角，化简ααsin 1sin 1-+ααsin 1sin 1+--4*、已知m =αsin （1||<m ），试用m 表示αtan四、双基铺垫(下节课需要用到的知识)1、角α的终边与单位圆相交于点P ，则点P 的坐标可表示为2、两点()b a A ,，),(n m B 间的距离=||AB5.3同角三角比关系和诱导公式的应用课外作业答案一、填空题 1、54 2、101- 3、6或43- 4、23- 5、52 6、1 7、1 8、34tan -=x 二、选择题1、 D2、D3、B4、C ； 三、解答题1、当α在第一象限时，1312sin =α；135cos =α；125cot =α 当α在第三象限时，1312sin -=α；135cos -=α；125cot =α2、依据题意可确定α在第一、第三象限，再通过讨论即可求解，答案为2或-2.3、ααsin 1sin 1-+ααsin 1sin 1+--=|cos |sin 2αααααtan 2cos sin 2-=-= 4、因为221cos m -=α所以，当α在第一、四象限时，21cos sin tan m m-==ααα 当α在第二、三象限时，21cos sin tan mm --==ααα 当α终边在x 轴上时，0tan =α四、双基铺垫1、角α的终边与单位圆相交于点P ，则点P 的坐标可表示为)sin ,(cos ααP2、两点()b a A ,，),(n m B 间的距离22)()(n b m a AB -+-=。