01 加群、环的定义

第三章 环与域（Rings and Fields ）概述：本章主要讨论两种基本代数系统——环与域．和上章一样，在这一章我们只讨论环与域的若干最基本的性质及一些基本理论，并且介绍几种特殊的环与域，使得我们一方面对于中学代数有更清楚、更深入的了解，另一方面为今后进一步的学习和研讨获得必要的基础.第一节 环的定义基本概念：环的定义及基本性质、单位元、零因子、整环、无零因子环、除环、域．重点、难点: 环的定义、几种最常见的环之间的关系.一、加群定义3.1.1 设G 是一个交换群，若将群G 的代数运算叫做加法，则称G 为一个加群，此时G 的代数运算记为“＋”．注１ 加群G 中的单位元称为零元，记为0;G 中元素a 的逆元称为a 的负元（简称负a ），记为－a.注２ 加群G 中的其他一些符号及运算定律的记法也随之发生改变（具体见教材P80-82）．注3 设S 加群G 的一个非空子集,则S 为G 一个子群,,,,,a b S a S a b Sa b S a b S ⇔+∈-∈∀∈⇔-∈∀∈二、环的定义＜一＞ 基本概念环就是一个带有两种代数运算并满足一些运算性质的非空集合．具体如下定义3.1.2 设R 是一个非空集合，R 带有两种代数运算：加法（记为“＋”）和乘法（记为“．”），假如(1) R 对于加法是一个加群；(2) R 对于乘法构成一个幺半群；(3) 加法和乘法满足左、右分配律：()(),,,a b c ac bca b c ab ac a b c R +=++=+∀∈， 则称R 是一个结合环，简称R 是一个环，记做(R,+,．，0)是一个环．注 环中的运算顺序为：有括号先算括号，无括号的先算乘法后算加法．例1 R ＝{0，，，}。

加法和乘法由以下两个表给定：则R 对于上述两种运算构成一个环．证 (1) R 是一个加群： ①. 封闭，② 结合律，③ 零元，④ 负元，⑤ 交换律．(2) R 是一个乘法半群： ①封闭，结合律．(3) 满足左、右分配律．例 2 容易验证：（1）全体整数关于数的普通加法和乘法构成一个环，称为整数环，记为(,,,0,1)+或简记为¢．（２）全体有理数（实数、复数）关于数的普通加法和乘法构成一个环，称为有理数域，记为(,,,0,1)+（(,,,0,1)+、(,,,0,1)+）或简记为¤（¡、£）． 例３ 数域F 上的n 阶方阵的全体关于矩阵的加法和乘法构成一个环，称为F 上的n 阶方阵环，记为()n M F ．例４ R ＝{所有模的剩余类}，规定运算为 ， ．可以证明R 关于上述运算构成一个环，称之为模的剩余类环，记为/n ⅱ，或n ¢．＜二＞ 初等性质 （P81-84中的（１）－（１４）条，略）值得一提的是：在一般的环中，()n ab 未必等于n n a b ，即二项式定理未必成立．三、一些特殊的环＜一＞ 交换环定义3.1.3 若环R 的乘法满足交换律，即，,a b R ∀∈，则称R 是一个交换环． 例如，¢、¤、¡、£、n ¢都是交换环，而()n M F 则不是交换环．注１ 在交换环中，二项式定理成立，即()n n nab a b =，n 为正整数．＜二＞ 含幺环定义3.1.4 若R 的乘法半群是一个乘法幺半群，则称R 是一个有单位元的环，其中乘法单位元通常记为1，此时环R 通常也称为含幺环．例如，¢、¤、¡、£都是含幺环，单位元就是数1，n ¢、()n M F 也是含幺环，单位元分别是[1]和n 阶单位矩阵n E ．这也说明含幺环中的单位元1并非就是普通整数1．注１ 并非所有的环都是含幺环．如下例．例5 2¢＝{所有偶数}，R 对于数的普通加法和乘法来说作成一个环．但R 没有单位元． 注2 若R 是有单位元的非零环，则R 中的零元与单位元一定不相等．注意，零环{0}R =也是一个含幺环．故约定在今后的讨论中，含幺环总是指非零环．注3 含幺环中的单位元总是惟一存在的．注4 在含幺环R 中，规定 01,a a R =∀∈．定义3.1.5 一个有单位元环的一个元叫做元的一个逆元，假如，此时也称a 是一个可逆元．注１ 若b 是a 的一个逆元，则a 也是b 的一个逆元．注2 逆元未必存在，如非零环中的零元．但逆元若存在，则必是惟一存在的．注3 若a 可逆，则1(),nn a a n --=∀∈¢． 注4 还有左逆、右逆的概念（见第二章）．＜三＞ 无零因子环问：在一般的环中，两个非零元素之积是否仍然非零，即0ab =能否推出0a =或0b =？ 这个问题的回答是否定的，如环 ,n n ¢是个合数．定义3.1.6 若是在一个环里0,0a b ≠≠，但0ab =， 则称是这个环的一个左零因子，是一个右零因子．若a 既是一个左零因子，又是一个右零因子，则称a 是一个零因子．注１ 在交换环中，左零因子、右零因子、零因子的概念是统一的．注2 在非交换环中，左零因子与右左零因子的概念是不统一的．如特殊矩阵环0,0a R a b b ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭¤． 注３ 乘法可逆元一定不是左、右零因子．定义3.1.7 不含左、右零因子的环称为无零因子环．例如，¢、¤、¡、£都是无零因子环，而n ¢(n 是合数)、()n M F 不是无零因子环．注１ 可以证明：R 是无零因子环",,000"a b R ab a b ⇔∀∈=⇒==⇔或R 中非零元素之积仍非零．定理3.1.1 环R 是无零因子环⇔R 的乘法满足左、右消去律.证 (0),,a R b c R ∀≠∈∈．假定 R 是无零因子环，则有()00ab ac a b c b c b c =⇒-=⇒-=⇒=；()00ba ca b c a b c b c =⇒-=⇒-=⇒=故R 中的乘法满足左、右消去律.反过来，假定R 中的乘法满足左消去律 ，则000ab ab a b =⇒=⇒=即R 无零因子．由上面的证明可以得知有推论3.1.2 环R 的乘法满足左消去律⇔R 是无零因子环⇔R 的乘法满足右消去律.＜四＞ 整环定义3.1.8 一个有单位元的无零因子的交换环叫做一个整环．例如，¢、¤、¡、£都是整环，而2¢、n ¢(n 是合数)、()n M F 不是整环．＜五＞ 除环、域例6 只包括一个元，加法和乘法是：则R 是一个有单位元环，单位元a 有一个逆元，就是a 本身．此时R 就是零环．例7 ¤、¡、£中任意一个非零数a 都有一个逆元1a ，且111a a a a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 一般的，我们有如下的概念．定义3.1.9 一个环R 叫做一个除环（或体、斜域），假如(1) R 中至少包含一个不等于零的元 (即R 中至少有两个元素)；(2) R 有单位元；(3) R 的每一个不等于零的元有一个逆元．交换的除环叫做域．例如， ¤、¡、£都是域．容易证明，除环具有下面的性质．命题3.1.3 (1) 除环是无零因子环．(2) 设R 是一个非零环，记*{|0}\{0}R a R a R =∈≠=，则R 是除环⇔*R 对于R 的乘法构成一个群，称之为除环R 的乘法群．（3）在除环R 中，(0),a R b R ∀≠∈∈，方程ax b =和ya b =都有惟一解．注1 在除环R 中，(0),a R b R ∀≠∈∈，1a b -与1ba -未必相等．若R 是域，则11a b ba --=，统一记为b a，称为b 除以a 的商，易知商具有与普通数相似的一些性质（具体见教材P91）．例8 设01230123{|,,,}H a a i a j a k a a a a =+++∈¡是实数域¡上的四维向量空间，1,,,i j k 为其一组基，规定基元素之间的乘法为：（１）2221i j k ===-； （２）,,ij k jk i ki j ===．将其线性扩张为H 中的元素之间的乘法．则H 关于向量的加法和上面定义的乘法构成一个除环，称之为（Hamilton)四元数除环或四元数体．证 只需证明*H 对于H 的乘法构成一个群，为此只需证明H 中的每个非零元均可逆：事实上，设01230a a i a j a k H α≠=+++∈，则222201230a a a a ∆=+++≠，令 0312a a a a i j k H β=---∈∆∆∆∆，则1αββα==，即α可逆，从而H 为除环．注1 H 还有其他的定义方式，如定义为复数域上的二维向量空间（见教材P92）或复数域上的二阶方阵环2()M £的子环（见N.Jacobson 《Basic Algebra I 》）．注2 爱尔兰数学家W.R.Hamilton 花了十年时间给出了H 的乘法．关于扩大数系的探索研究开辟了代数研究中的一个方向—有限维代数（有兴趣的读者可以查阅相关资料）．利用＂满足满足左、右消去律的有限半群是群＂可知定理3.1.4 一个至少含有两个元素的无零因子的有限环是除环．推论3.1.5 有限整环是除环．例9 模p 的剩余类环p ¢为域p ⇔为素数．证 ()⇒：易知0,1p ≠．若p 为合数，则,,1p ab a b =≠±．于是[]0,[]0a b ≠≠，但[][][]0a b p ==，即p ¢中有零因子，此与p ¢为域矛盾，故p 为素数．()⇐：设p 为素数．若[][]0a b =，则|p ab ，从而|p a 或|p b ，即有[]0a =或[]0b =，故p ¢为一个无零因子环，于是p ¢是一个有限整环，即p ¢为域．附注1附注2 本节中介绍的几种最常见的环之间有如下的关系图：其中，例①可取偶数环2¢；例②可取数域F 上的n 阶方阵环()n M F ；例③可取模n 的剩余类环n ¢(n 是合数)； 环①有单位元环交换环③ 非交换环②④ 整环⑤无零因子环除环⑥ 域⑦*(){0}R R =例④可取四元数除环H 的子环0'1230123{|,,,}H a a i a j a k a a a a =+++∈¢； 例⑤可取整数环¢或数域F 上的一元多项式环[]F x ； 例⑥可取四元数除环H ；例⑦可取¤或¡或£． 作业：Page 89第2题，第5题 Page 93第1题，第3题，第5题。