2020-2020学年高中复习：(五十八) 合情推理与演绎推理
合情推理练习含答案详解
14．对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体（）
A．各正三角形内的点B．各正三角形的中心
C．各正三角形某高线上的点D．各正三角形各边的中点
15．将1、 、 、 按如图所示的方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左往右第n个数，则（7，5）表示的数是（）
【点睛】
本小题主要考查逻辑推理，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
利用归纳推理就是从个别性知识推出一般性结论的推理，从而可对①②进行判断；由类比推理是由特殊到特殊的推理，从而可对④⑤进行判断；对于③直接据演绎推理即得．
【详解】
所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．
故①对②错；
又所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．
故③对；
类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．
故选C．
【点睛】
本题主要考查推理的含义与作用．所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．演绎推理可以从一般到特殊；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．
A．1 B． C． D．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据“三段论”的排列模式：“大前提” “小前提” “结论”，分析即可得到正确的顺序.
【详解】
根据“三段论”的排列模式：“大前提” “小前提” “结论”，可知：
① 是周期函数是“结论”；
②三角函数是周期函数是“大前提”；
③ 是三角函数是“小前提”；
3．B
【解析】
【分析】
假设甲是真的，结合“只有一人会弹吉他”，判断出会弹吉他的人.
高中政治第二单元第6课掌握演绎推理方法第1框推理与演绎推理概述课件部编版选择性必修3
考点 演绎推理的要求
4．W－12是一种严重危害谷物生长的病毒，每年都造成谷物的大
确的是
()
A．演绎推理是必然推理
B．演绎推理是前提蕴涵结论的必然推理
C．演绎推理中的前提必须是真实的判断
D．掌握演绎推理的方法能够确保人们思维的严密性
【解析】本题考查演绎推理的知识。A、B、C均正确；掌握演绎推
理的方法，对人们保持思维的严密性具有重要作用，但“确保”的说法
过于绝对，D错误。故选D。
【答案】D
(2)意义：它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作 用。这是因为演绎推理保证推理有效的根据并不在于它的内容，而在于 它的形式。演绎推理的最典型、最重要的应用，通常存在于逻辑和数学 证明中。
3．要确保得到真实的结论，演绎推理必须具备两个条件 (1)作为推理根据的前提是真实的判断。如果前提虚假，由前提推出 的结论就不能保证真实可靠。 (2)推理结构正确。如果推理结构不正确，也就是说，前提和结论的 逻辑联系方式是错误的，那么，尽管前提真实，也不能保证推出正确的 结论。 (3)要必然地推出真实的结论，既不能违反形式逻辑的要求，也不能 仅靠形式逻辑的知识，还需要有实践和其他方面的知识。
【思考】请你根据现实生活，正确理解演绎推理。 提示：
2．演绎推理的意义 (1)形式逻辑研究演绎推理，是从推理结构方面揭示其前提与结论之 间的 ___必__然__联__系_____，便于人们掌握正确的演绎推理的方法。 (2)掌握演绎推理的方法，对人们保持思维的 ___严__密__性___具有重要 的作用。
专题卷12合情推理与演绎推理-2020年中考数学复习核心考点专题卷(解析版)
2020年中考数学复习核心考点专题卷专题十二 合情推理与演绎推理本卷共5个大题，17个小题，满分100分，考试时间45分钟． 一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 1．如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（ ）A ．亏损3%B ．亏损8%C ．盈利2%D ．少赚3% 【答案】A【方法点拔】本题虽简单，但隐含着合情推理，“盈利”与“亏损”具有相反意义，由已知“盈利”为正，则类比推理可知“亏损”为负．2．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：b a -，y x -，y x +，b a +，22y x -，22b a -分别对应下列六个字：国、爱、我、中、游、美，现将222222)()(b y x a y x ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱美B ．中国游C ．爱我中国D ．美我中国 【答案】C【方法点拔】对代数式222222)()(b y x a y x ---进行因式分解，对比已知条件中的每一多项式，即可推断出密码信息的含义．这是一种合情推理．3．如图，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，∠B =36°，则∠DCE 等于（ ） A ．18° B ．36° C ．45°D ．54°【答案】A【方法点拔】本题应用了平行线的性质定理和角平分线的性质进行推理，经两步推理即可得出结论．属于演绎推理．4．已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误．．的是（ ）A ．DC=2OEB ．OA=OC C ．∠BOE=∠OBAD ．∠OBE=∠OCE 【答案】D【方法点拔】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A 、B 、C 正确；由OB ≠OC ，得出∠OBE ≠∠OCE ，选项D 错误；即可得出结论．解答过程应用了相关定理性质进行多向、多步推理．5．如图，已知AB =A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4…，若∠A =70°，则∠A n 的度数为（ ）A ．1270-nB ．n 270C ．1270+nD ．2270+n【答案】C【方法点拔】本题属于规律探究问题，主要考查合情推理，根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B 1A 2A 1，∠B 2A 3A 2及∠B 3A 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A n ﹣1A n B n ﹣1的度数．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）6．能够说明x =不成立”的x 的值是 （写出一个即可）． 【答案】﹣17．观察一组数：1，1，2，3，5，m …，根据其规律可知这组数中m 表示的数为 ． 【答案】88．如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）．若线段AD 长为正整数，则AD 长为 ． 【答案】3或49．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是 ．【答案】3310．矩形ABCD 中，AD =2AB =4，点P 在AD 边上，若△PBC 是等腰三角形，则为∠PBC 的度数为 ． 【答案】45°或75°或30°三、（本大题共2小题，每小题7分，共14分）11．如图：点C 是AE 的中点，∠A =∠ECD ，AB=CD ，求证：∠B =∠D ．【答案】∵点C 是AE 的中点，∴AC =CE ，在△ABC 和△CDE 中，,,.AC CE A ECD AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE ，∴∠B =∠D ．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…第n 个三角形数记为x n ． （1）第七个三角形数是 ；（2）求x n +x n +1的值． 【答案】（1）28；（2）∵ 1x +2x =1+3=4=22，2x +3x =3+6=9=23，3x +4x =6+10=16=24，4x +5x =10+15=25=25， 5x +6x =15+21=36=26，……∴n x +1n x + =()21n +．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 13．已知关于x 的方程x 2+mx+m ﹣2=0． （1）若此方程的一个根为1，求m 的值；（2）求证：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）根据题意，将x =1代入方程x 2+mx +m ﹣2=0， 得：1+m +m ﹣2=0，解得：m =12； （2）∵△=m 2﹣4×1×（m ﹣2）=m 2﹣4m +8=（m ﹣2）2+4＞0， ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．14．某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析．相关数据的统计图、表如下：根据以上信息解决下列问题：（1）在统计表中，a 的值为 ，b 的值为 ；（2）在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为 度；（3）若该校三个年级共有2000名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数．【答案】解：（1）由题意和扇形统计图可得，a=200×40%﹣20﹣24﹣8=80﹣20﹣24﹣8=28，b=200×30%﹣24﹣14﹣7=60﹣24﹣14﹣7=15，故答案为：28，15；（2）由扇形统计图可得，八年级所对应的扇形圆心角为：360°×（1﹣40%﹣30%）=360°×30%=108°，故答案为：108；（3）由题意可得，2000×200758++=200人，即该校三个年级共有2000名学生参加考试，该校学生体育成绩不合格的有200人．五、（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15．在□ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB 的长．【答案】①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC=BE+CF=2AB﹣EF=8，∴AB=5；②在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC =BE +CF =2AB +EF =8，∴AB =3；综上所述：AB 的长为3或5．16．如图，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴正半轴上，OB 的长度为2m ，以OB 为边向上作等边三角形AOB ，抛物线l ：y =ax 2+bx +c 经过点O ，A ，B 三点．（1）当m =2时，a = ，当m =3时，a = ； （2）根据（1）中的结果，猜想a 与m 的关系，并证明你的结论．【答案】解：（1）如图1，∵点B 在x 轴正半轴上，OB 的长度为2m ，∴B （2m ，0）， ∵以OB 为边向上作等边三角形AOB ， ∴AMm ，OM =m ，∴A （mm ）， ∵抛物线l ：y =ax 2+bx +c 经过点O ，A ，B 三点∴22(2)200a m bm c am bm c c ⎧⨯++=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，∴0a m b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩当m =2时，2a =-，当m =3时，3a =-，故答案为：2-3-； （2）a =． 理由：如图1，∵点B 在x 轴正半轴上，OB 的长度为2m ，∴B （2m ，0）， ∵以OB 为边向上作等边三角形AOB ， ∴AMm ，OM =m ，∴A （mm ）．∵抛物线l ：y =ax 2+bx +c 经过点O ，A ，B 三点，∴22(2)200a m bm c am bm c c ⎧⨯++=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，∴0a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴a =．17．△ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF ，连接CF ． 观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时， ①BC 与CF 的位置关系为： ．②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上） 数学思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． 拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若已知AB=CD=14BC ，求GE 的长．【答案】观察猜想①正方形ADEF 中，AD =AF ， ∵∠BAC =∠DAF =90°， ∴∠BAD =∠CAF ．在△DAB与△F AC中，AD AFBAD CAF AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB≌△F AC．∴∠ABD=∠ACF．∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；故答案为：CF⊥BD；②△DAB≌△F AC，∴CF=BD．∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD．故答案为：BC=CF+CD；数学思考当点D在CB的延长线上时，结论①成立，结论②不成立，②的正确结论是：BC=CD－CF 理由如下：∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF．在△DAB与△F AC中，AD AFBAD CAF AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB≌△F AC．∴∠ABD=∠ACF=135°，CF=BD．∴∠DCF=∠ACF－∠ACB=135°－45°=90°．∴CF⊥BD．∵BC= CD－BD，∴BC= CD－CF．拓展延伸解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BCAB=4，AH=12BC=2．∴CD=14BC=1，CH=12BC=2．∴DH=3．由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=DE，∠ADE=90°．∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°．∴∠ADH=∠DEM．在△ADH与△DEM中，ADH DEMAHD DME AD DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADH≌△DEM．∴EM=DH=3，DM=AH=2．∴CN=EM=3，EN=CM=3．∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°．∴△BCG是等腰直角三角形．∴CG=BC=4．∴GN=1．∴EG。
2020高中数学 第二章 推理与证明 2. 数学归纳法讲义 2-2
2.3 数学归纳法1．数学归纳法的内容如下:一个错误!与正整数有关的命题，如果(1）错误!当n取第一个值n0（例如n0＝1或n0＝2等）时结论正确,(2）错误!假设当n＝k（k∈N*，且k≥n0)时结论正确,能够证明当n＝k＋1时结论也正确,那么可以断定错误!这个命题对n∈N＊且n≥n0的所有正整数都成立．2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是错误!递推的基础，第二步的作用是错误!递推的依据．3．数学归纳法实质上是错误!演绎推理法的一种，它是一种错误!严格的证明方法，它只能错误!证明结论,不能发现结论，并且只能证明错误!与正整数相关的命题．4．常把归纳法和数学归纳法结合起来,形成错误!归纳—猜想-证明的思想方法，既可以错误!发现结论，又能错误!给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法．5．用数学归纳法证明命题时，两步错误!缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用错误!归纳假设，否则不是数学归纳法．对数学归纳法本质的理解数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然,知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．(1）有n个骨牌排成如图所示的一排,现推倒第一张骨牌，会有什么现象?（2）要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度）（3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果?(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下）（4）如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？(5）能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可以得到的结论是:①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下）错误!错误!错误!错误!错误!错误!…运用类比的方法,我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华,进而得到数学归纳法证明的步骤：（1)当n＝1时，结论成立；（2)假设当n＝k时结论成立,证明n＝k＋1时结论也必定成立．错误!错误!错误!错误!错误!错误!…1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×")（1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．（)(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.（)（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )答案(1)×(2）×(3）√2．做一做（1)已知f（n）＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则f（n）共有________项，f(2)＝________。
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修1-2)教师用书：第2章 2.1.1 合情推理
2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理1.了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理.(重点、易混点)2.能用归纳和类比进行简单的推理.(难点)3.了解合情推理在数学发现中的作用.[基础·初探]教材整理1 归纳推理和类比推理阅读教材P26～P27及P30例3以上内容，完成下列问题.1.归纳推理2.类比推理判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)，使用的是类比推理.( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( )(3)归纳推理是由个别到一般的推理.( )【解析】(1)错误.它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理.(2)错误.类比推理不一定正确.(3)正确.由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 合情推理阅读教材P26，完成下列问题.1.含义前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号).①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.【答案】①②③[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1an ＋1，则a 2 017等于( ) A.2 B.－12 C.－2D.1(2)根据图2-1-1中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.【导学号：37820008】图2-1-1【解析】 (1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 017＝672×3＋1，∴a 2 017＝a 1＝1.(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1＝22－3，5＝23－3，13＝24－3，29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.【答案】 (1)D (2)5091.由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律.(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征.(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点.(4)运用归纳推理得出一般结论.2.归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：[再练一题]1.(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图2-1-2的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图2-1-2A.26B.31C.32D.36(2)把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图2-1-3)，试求第七个三角形数是________.图2-1-3【解析】(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 【答案】 (1)B (2)28如图2-1-4所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，pb ，pc ，可以得到结论pa ha ＋pb hb ＋pchc ＝1.图2-1-4证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】 pa ha ＝12BC·pa 12BC·ha ＝S △PBCS △ABC ，同理，pb hb ＝S △P AC S △ABC ，pc hc ＝S △P AB S △ABC . ∵S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB ＝S △ABC ，∴pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＝S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB S △ABC ＝1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＋pdhd ＝1.证明如下：pa ha ＝13S △BCD·pa 13S △BCD·ha＝VP-BCDVA-BCD ，同理，pb hb ＝VP-ACD VA-BCD ，pc hc ＝VP-ABD VA-BCD ，pd hd ＝VP-ABCVA-BCD . ∵V P BCD ＋V P ACD ＋V P ABD ＋V P ABC ＝V A BCD ， ∴pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＋pd hd＝VP-BCD ＋VP-ACD ＋VP-ABD ＋VP-ABCVA-BCD＝1.1.一般地，平面图形与空间图形类比如下：2.(1)找出两类事物之间的类似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.[再练一题]2.在上例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b ·cos C ＋c ·cos B 可类比四面体的什么性质？【解】 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小. 猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[探究共研型]探究1 ”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】 类比推理. 探究2在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n∈N ＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则成立的等式是什么？【提示】 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1， 又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋). 若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n (n <17，n ∈N ＋). 相应地，在等比数列{b n }中有： b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋).已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)具有类似特征的性质，并加以证明.【精彩点拨】 双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明【自主解答】 类似性质：若M ，N 为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则 N (－m ，－n ).因为点M (m ，n )是双曲线上的点， 所以n 2＝b2a2m 2－b 2.同理y 2＝b2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值).1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.[再练一题]3.在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和.可类比得到的结论是________.【导学号：37820009】【解析】 因为等差数列{a n }的公差d ＝3， 所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300. 【答案】 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300[构建·体系]1.我们把1，4，9，16，25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图2-1-5).图2-1-5则第n 个正方形数是( ) A.n (n －1) B.n (n ＋1) C.n 2D.(n ＋1)2【解析】 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 【答案】 C2.如图2-1-6所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )【导学号：37820010】图2-1-6A.a n ＝3n －1B.a n ＝3nC.a n ＝3n －2nD.a n ＝3n －1＋2n －3【解析】 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 【答案】 A3.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为()A.r22B.l22C.lr 2D.无法确定【解析】 扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.【答案】 C4.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】 1∶85.已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3anan ＋3. (1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2)猜想a n.【解】(1)a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a3＝3a2a2＋3＝38，a4＝39，a5＝310.(2)由a2＝32＋5，a3＝33＋5，a4＝34＋5，a5＝35＋5，可猜想a n＝3n＋5.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
2020-2021学年高中政治 第二单元 遵循逻辑思维规则 第六课 第3课时 复合判断的演绎推理方法
2020-2021学年高中政治第二单元遵循逻辑思维规则第六课第3课时复合判断的演绎推理方法课时练习新人教版选择性必修3年级：姓名：复合判断的演绎推理方法(15分钟·30分)一、选择题(每小题5分,共15分)1.如果选购了股票,则不能投资期货;只有投资期货,才能投资邮票;或者投资邮票,或者投资外汇;但是最近投资外汇风险太大,不能操作。
据此,可以推知( )A.选购股票B.不选购股票C.不投资邮票D.不投资期货【解析】选B。
本题中有关联词如果……那么;只有……才。
根据规则选购股票不能投资期货、只有投资期货才能投资邮票。
或者投资邮票,或者投资外汇中至少有一种情况存在,也就是说投资邮票就不投资外汇,投资外汇就不投资邮票。
还有两种情况都有可能存在即投资邮票又投资外汇。
这就是选言判断的一个考点相容选言。
而题干中提到最近投资外汇风险太大,不能操作,也就是不投资外汇。
根据概念选言判断至少有一种情况存在,那么就是投资邮票。
根据推理得出:投邮票就投期货,投期货就不投股票。
所以选择B选项。
2.除非播种许多稻谷种子,通过辛勤耕耘,等待时机成熟,否则不能收获一箩筐稻谷。
根据以上陈述,下列不能推出的是:( )A.播种一粒稻谷种子,不能收获一箩筐稻谷B.播种许多稻谷种子,但不通过辛勤耕耘,不能收获一箩筐稻谷C.没有播种许多稻谷种子,虽然等待时机成熟,也不能收获一箩筐稻谷D.只要播种许多稻谷种子,通过辛勤耕耘,等待时机成熟,就能收获一箩筐稻谷【解析】选D。
题干为除非…否则不…联结的必要条件假言命题,推出关系为:收获一箩筐稻谷——播种许多稻谷种子,通过辛勤耕耘且等待时机成熟,必要条件为三个支命题组成的联言命题,其逆否命题为否后推否前,联言命题的特性为:一假则假,A,B,C,均为否定后件推否定的前件,可以推出,D项只要…就…,前推后,推出关系为:播种许多稻谷种子且通过辛勤耕耘且等待时机成熟——收获一箩筐稻谷,混淆了充分必要条件,推不出。
高考理科数学一轮复习合情推理与演绎推理专题练习题
课时作业39 合情推理与演绎推理一、选择题1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( A )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为( A ) A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝2n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋1D ．S n ＝2n n ＋2解析：S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1.故选A. 3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( C )A ．n (n ＋1)B ．n n －12C ．n n ＋12D ．n (n －1)解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( B )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.5．(2019·山西孝义调研)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y＋2z ＋3＝0的距离为( B )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5解析：类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.6．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝( A )A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)解析：由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．7．(2019·惠州市调研考试)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( B ) A ．33 B ．34 C ．36D ．35解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.二、填空题8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为f (2n )≥n ＋22(n ∈N *)．解析：本题考查归纳推理．由归纳推理可得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)．9．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是33.解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝3n ＋1个．当3n ＋1＝100时，解得n ＝33.10．在正项等差数列{a n }中有a 41＋a 42＋…＋a 6020＝a 1＋a 2＋…＋a 100100成立，则在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.解析：结合等差数列和等比数列的性质，类比题中的结论可得，在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.11．(2019·安徽界首模拟)埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单分数和的形式．例如25＝13＋115可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145……按此规律，211＝16＋166；2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12(n ＝5,7,9,11，…)． 解析：27＝14＋128表示两个面包分给7个人，每人13，不够，每人14，余14，再将这14分成7份，每人得128，其中4＝7＋12，28＝7×7＋12；29＝15＋145表示两个面包分给9个人，每人14，不够，每人15，余15，再将这15分成9份，每人得145，其中5＝9＋12，45＝9×9＋12，按此规律，211表示两个面包分给11个人，每人15，不够，每人16，余16，再将这16分成11份，每人得166，所以211＝16＋166，其中6＝11＋12，66＝11×11＋12.由以上规律可知，2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12.12．(2019·潍坊市统一考试)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、……、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，……、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( C )A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年解析：由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．13．(2019·福建宁德一模)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有( C )A ．58B ．59C ．60D ．61解析：小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故选C.14．(2019·安徽质量检测)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( C )A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇解析：若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·益阳、湘潭调研考试)《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S＝14[c2a2－c2＋a2－b222]，现有周长为22＋5的△ABC满足sin A sin B sin C＝(2－1)5(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC的面积为( B )A.32B.34C.52D.54解析：由正弦定理得sin A sin B sin C＝a b c＝(2－1)5(2＋1)，可设三角形的三边分别为a＝(2－1)x，b＝5x，c＝(2＋1)x，由题意得(2－1)x＋5x＋(2＋1)x＝(22＋5)x＝22＋5，则x＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC的面积S＝1 4[2＋122－12－3＋22＋3－22－522]＝34，故选B.16．(2019·重庆市质量调研)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各科课时数满足以下三个条件：①数学课时数多于物理课时数；②物理课时数多于体育课时数；③体育课时数的两倍多于数学课时数．则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为12.解析：解法1：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x，y，z ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，y －z ≥1，2z －x ≥1，x ，y ，z ∈N *，则该学生的素质拓展课课表中的课时数为x ＋y ＋z .设x ＋y ＋z ＝p (x －y )＋q (y －z )＋r (2z －x )＝(p －r )x ＋(－p ＋q )y ＋(－q ＋2r )z ，比较等式两边的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧p －r ＝1，－p ＋q ＝1，－q ＋2r ＝1，解得p ＝4，q ＝5，r ＝3，则x ＋y ＋z ＝4(x －y )＋5(y－z )＋3(2z －x )≥4＋5＋3＝12，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为12.解法2：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x ，y ，z ，则2z >x >y >z .由题意，知z 的最小值为3，由此易知y 的最小值为4，x 的最小值为5，故该学生的素质拓展课课表中的课时数x ＋y ＋z 的最小值为12.。
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：2.1.1合情推理
【解题探究】写出前4项，通过观察，发现相应的规律．
【解析】(1)由已知，可得 a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想 an＝2n＋1－1，n∈N*.
(2)由已知，可得a1＝a，a2＝2－1a1＝2－1 a， a3＝2－1 a2＝32－－2aa，a4＝2－1 a3＝34－－23aa. 猜想an＝n－n－1－n－n1－a2a(n∈N*)． (3)∵2 Sn＝an＋1，∴2 S1＝a1＋1，即2 a1＝a1＋1. ∴a1＝1.又2 S2＝a2＋1，∴2 1＋a2＝a2＋1. ∵对一切的n∈N*，an>0，∴a2＝3. 同理可求得a3＝5，a4＝7.猜想出an＝2n－1(n∈N*)．
【答案】（1）C （2）f3(x)＝1－x4x fn(x)＝1－2xn－1x 【解析】（1）利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1 ＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18， a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝ 76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为 前两组结果的和．
长，h是该边上的高，则三角形的面积是 12 ah，如果把扇形的弧
长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积
为
1 2
lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…
＋(2n－1)＝n2.(1)(2)两个推理过程分别属于( )
A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、类比推理
a.在正四面体ABCD内有
2019-2020学年高中政治人教版选修4学案：专题二 第5框 掌握演绎推理的方法(上) Word版含解析
第5框掌握演绎推理的方法(上)[情景导入]“一切鸡蛋都是圆的”与“一切圆的都是鸡蛋”《伊索寓言》中有一则《狗与海螺》的寓言，大意是说：有一只狗习惯于吃鸡蛋，久而久之，它意识到“一切鸡蛋都是圆的”。
一天，它看见一个圆圆的海螺，认为是鸡蛋，于是张大了嘴，一大口就把海螺吞了下去。
后来觉得肚子难受，很是痛苦，说道：“我真是活该，相信一切圆的都是鸡蛋。
”[请您思考]请你从逻辑角度指出这只狗所犯的错误。
[温馨提示]这只狗从“一切鸡蛋都是圆的”推出“一切圆的都是鸡蛋”，在运用换位法推理时违背推理规则。
错误地运用换位法进行推理，违反了换位推理必须遵守的规则。
因为从“一切鸡蛋都是圆的”这种全称肯定判断的前提，我们只能推出“有的圆的是鸡蛋”这种特称肯定判断的结论。
一、把握演绎要义1．从一个或几个已有的判断推出一个新判断的思维过程就是推理。
2．一个正确的演绎推理必须具备两个条件。
一是作为推理根据的前提必须是真实的判断。
二是推理结构必须正确。
3．正确的演绎推理结构能够保证从真实的前提推出真实的结论。
二、巧用换质换位1．换质推理是通过改变已知直言判断的“质”而得出一个新判断的推理。
2．换位推理是通过改变已知直言判断的主项和谓项的位置而得出一个新判断的推理。
三、练熟直言三段论1．直言三段论是以两个已知的直言判断为前提，借助一个共同的项推出一个新的直言判断的推理。
2．从三段论推理的一般性规则来看，中项在前提中至少周延一次，否则会犯中项不周延的错误。
教材P33“探究问题”提示这就是著名的古典逻辑故事“猜匣定亲”。
正确答案是：肖像放在银盒子里。
因为已知三个盒子中只有一个盒子上面写的是真话，而由于金、铅盒子上写的话是互相矛盾的，经过推理，二者必有一真，因而银盒子上写的是假话，既然银盒子上写的话是假话，那么肖像就一定在此盒子中了。
教材P35“探究问题1”提示该探究活动旨在指导学生进行有效的换位推理。
从逻辑角度看，甲不能说“有些相声演员不是人”，因为前提“有些人不是相声演员”中的“人”，是指人的部分对象，如果换位，结论“有些相声演员不是人”中的“人”，就是指人的全部对象，扩大了概念的外延。
2020高考数学刷题首秧第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试36合情推理与演绎推理文含解析
考点测试合情推理与演绎推理高考概览考纲研读.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理．了解合情推理和演绎推理的联系和差异一、基础小题．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于，因为是实数，所以的绝对值大于”，你认为这个推理( )．大前提错误．小前提错误．推理形式错误．是正确的答案解析大前提是任何实数的绝对值大于，显然是不正确的．故选.．一个蜂巢里有只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了个伙伴；第二天，只蜜蜂飞出去各自带回了个伙伴；……，如果这个过程继续下去，那么第天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂( )只．只．只．只答案解析根据题意可知，第一天共有蜜蜂＋＝只；第二天共有蜜蜂＋×＝只；第三天共有蜜蜂＋×＝只；……；故第天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂＋×＝只．故选.．已知数列{}的前项和＝(≥)，而＝，通过计算，，，猜想＝( )答案解析由＝，可得＋＝，即＝，同理可得＝，＝，故选.．()已知是三角形一边的长，是该边上的高，则三角形的面积是，如果把扇形的弧长，半径分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为；()由＝，＋＝，＋＋＝，可得到＋＋＋…＋－＝.则()()两个推理过程分别属于( )．类比推理、归纳推理．类比推理、演绎推理．归纳推理、类比推理．归纳推理、演绎推理答案解析()由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；()由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选.．观察下列各式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则＋＝( )．．．．答案解析记＋＝()，则()＝()＋()＝＋＝；()＝()＋()＝＋＝；()＝()＋()＝.通过观察不难发现()＝(－)＋(－)(∈*，≥)，则()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝.所以＋＝.．下面几种推理过程是演绎推理的是( )．某校高三有个班，班有人，班有人，班有人，由此推各班人数都超过人．由三角形的性质，推测空间四面体的性质．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分．在数列{}中，＝，＝，由此归纳出{}的通项公式答案解析，是归纳推理；是类比推理；运用了“三段论”是演绎推理．．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第个图形中小正方形的个数是( )．(＋)．(－)答案解析由题图知第个图形的小正方形个数为，第个图形的小正方形个数为＋，第个图形的小正方形个数为＋＋，第个图形的小正方形个数为＋＋＋，…，则第个图形的小正方形个数为＋＋＋…＋＝.．法国数学家费马观察到＋＝，＋＝，＋＝，＋＝都是质数，于是他提出猜想：任何形如＋(∈*)的数都是质数，这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第个费马数＋＝＝×不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明( )．归纳推理的结果一定不正确．归纳推理的结果不一定正确．类比推理的结果一定不正确．类比推理的结果不一定正确答案解析法国数学家费马观察到＋＝，＋＝，＋＝，＋＝都是质数，于是他提出猜想：任何形如＋(∈*)的数都是质数，这是由特殊到一般的推理过程，所以属于归纳推理，由于得出结论的过程没有给出推理证明，所以结果不一定正确．．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生，已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )．甲是教师，乙是医生，丙是记者．甲是医生，乙是记者，丙是教师．甲是医生，乙是教师，丙是记者．甲是记者，乙是医生，丙是教师答案解析由于“甲的年龄和记者不同”，则甲不是记者，又“记者的年龄比乙小”，则乙也不是记者，从而丙是记者，而“丙(记者)的年龄比医生大”，且“记者的年龄比乙小”，所以乙不是医生，而是教师，从而甲是医生，故选.．已知结论：“在正△中，若是边的中点，是△的重心，则＝”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体－中，若△的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等”，则＝( )．．．．答案解析如图设正四面体的棱长为，则易知其高＝，此时易知点即为正四面体内切球的球心，设其半径为，利用等积法有××＝××，＝，故＝－＝－＝，故∶＝∶＝.．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标，点(，)处标，点(，－)处标，点(，－)处标，点(－，－)处标，点(－，)处标，点(－，)处标，点(，)处标，依此类推，则标签为的格点的坐标为．答案(，)解析因为点(，)处标＝，点(，)处标＝，点(，)处标＝，点(，)处标＝，依此类推得点(，)处标.．对于命题：如果是线段上一点，则·＋·＝；将它类比到平面的情形是：若是△内一点，有△·＋△·＋△·＝；将它类比到空间的情形应该是：若是四面体－内一点，则有．答案－·＋－·＋－·＋－·＝解析由线段到平面，线段的长类比为面积，由平面到空间，面积可以类比为体积，由此可以类比得一命题为：是四面体－内一点，则有－·＋－·＋－·＋－·＝.二、高考小题．(·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )．乙可以知道四人的成绩．丁可以知道四人的成绩．乙、丁可以知道对方的成绩．乙、丁可以知道自己的成绩答案解析由题意可知，“甲看乙、丙的成绩后，不知道自己的成绩”，说明乙、丙两人中一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选.．(·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．乙盒中红球不多于丙盒中红球．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案解析解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，错误．故选.解法二：设袋中共有个球，最终放入甲盒中个红球，放入乙盒中个红球．依题意知，甲盒中有(－)个黑球，乙盒中共有个球，其中红球有个，黑球有(－)个，丙盒中共有(－)个球，其中红球有(－－)个，黑球有(－)－(－－)＝个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选.．(·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有和，和，和.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是.”则甲的卡片上的数字是．答案和解析由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是和.若丙的卡片上的数字是和，则乙的卡片上的数字是和，甲的卡片上的数字是和，满足题意；若丙的卡片上的数字是和，则乙的卡片上的数字是和，此时，甲的卡片上的数字只能是和，不满足题意．故甲的卡片上的数字是和.．(·北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，＝，，.()记为第名工人在这一天中加工的零件总数，则，，中最大的是；()记为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则，，中最大的是．答案() ()解析设线段的中点为(，)．()由题意知＝，＝，，，由题图知最大，所以，，中最大的是.()由题意知＝＝，＝，，.的几何意义为点(，)与原点连线的斜率．比较，，的斜率，由题图可知的斜率最大，即最大．．(经典陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数()顶点数()棱数()三棱柱五棱锥立方体猜想一般凸多面体中，，所满足的等式是．答案＋－＝解析因为＋－＝，＋－＝，＋－＝，故可猜想＋－＝.．(·福建高考)一个二元码是由和组成的数字串…(∈*)，其中(＝，，…，)称为第位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由变为，或者由变为)．已知某种二元码…的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：⊕＝，⊕＝，⊕＝，⊕＝.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了，那么利用上述校验方程组可判定等于．答案解析因为⊕⊕⊕＝⊕⊕⊕＝⊕⊕＝⊕＝≠，所以二元码的前位码元都是对的；因为⊕⊕⊕＝⊕⊕⊕＝⊕⊕＝⊕＝，所以二元码的第、位码元也是对的；因为⊕⊕⊕＝⊕⊕⊕＝⊕⊕＝⊕＝≠，所以二元码的第位码元是错的，所以＝.三、模拟小题．(·河南郑州二模)平面内凸四边形有条对角线，凸五边形有条对角线，以此类推，凸边形对角线的条数为( )．．．．答案解析可以通过列表归纳分析得到．凸多边形…多角线条数＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋…∴凸边形有＋＋＋…＋＝＝条对角线．故选.．(·山西孝义模拟)我们知道：在平面内，点(，)到直线＋＋＝的距离公式＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(，，)到平面＋＋＋＝的距离为( )．．．答案解析类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(，，)到平面＋＋＋＝的距离公式为＝，则所求距离＝＝，故选.．(·福建月质检)某校有，，，四件作品参加航模类作品比赛．已知这四件作品中恰有两件获奖．在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：甲说：“，同时获奖．”乙说：“，不可能同时获奖．”丙说：“获奖．”丁说：“，至少一件获奖．”若以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是( )．作品与作品．作品与作品．作品与作品．作品与作品答案解析选项，若作品与作品获奖，则甲、乙、丁的预测正确，丙的预测错误，不符合题意；选项，若作品与作品获奖，则乙、丙、丁的预测正确，甲的预测错误，不符合题意；选项，若作品与作品获奖，则乙、丙、丁的预测正确，甲的预测错误，不符合题意；选项，若作品与作品获奖，则乙、丁的预测正确，甲、丙的预测错误，符合题意，所以选.．(·河北石家庄二中联考)老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为，则＝( )．．．．答案解析由题意得，根据甲、乙、丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个操作的次数(－)要多，比四个操作的次数(－)要少，相当于操作三个的时候，最上面的那个挪动了几次，就会增加几次，故选.．(·郑州质检三)将标号为，，…，的张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片．选出每列标号最小的卡片，将这些卡片中标号最大的数设为；选出每行标号最大的卡片，将这些卡片中标号最小的数设为.甲同学认为有可能比大，乙同学认为和有可能相等，那么甲、乙两位同学的说法中( )．甲对、乙不对．乙对、甲不对．甲、乙都对．甲、乙都不对答案解析一定是所有数中最小的，不妨设每一列的最小值从小到大排列分别为，，，，，故<<<<；一定是所有数中最大的，不妨设每一行的最大值从小到大排列分别为，，，，故<<<.若>，则一定不在所在的行，则只能在或或所在的行，又因为是它这一列的最小值，所以所在的这行对应所在这列的数字一定比大，不妨设其为，即>，而是这行的最大值，故>，所以>，与>矛盾，故≤.故甲不对、乙对，故选.．(·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第关收税金，第关收税金为剩余的，第关收税金为剩余的，第关收税金为剩余的，第关收税金为剩余的，关所收税金之和，恰好重斤，问原本持金多少？”若将“关所收税金之和，恰好重斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为，按此规律通过第关”，则第关所收税金为.答案解析第关收税金：；第关收税金：－＝＝；第关收税金：－－＝＝；…第关收税金：＝.．(·山东青岛模拟)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成个小三角形，共得到个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成个小三角形，共得到个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到个小三角形，则需要操作的次数是．答案解析由题意可知，第一次操作后，三角形共有个；第二次操作后，三角形共有＋＝个；第三次操作后，三角形共有＋＋＝个……由此可得第次操作后，三角形共有＋(－)＝＋个．当＋＝时，解得＝.．(·安徽淮北二模)分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特( ·)在世纪年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第行的空心圆的个数是．答案解析由题意可知，一个实心圆连接下一行的一个实心圆和一个空心圆，一个空心圆连接下一行的一个实心圆，故第行为：实心圆，空心圆；第行为：实心圆，空心圆；第行为：实心圆，空心圆；第行为：实心圆，空心圆．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题．(·福建质检)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①°＋°－°°；②°＋°－°°；③°＋°－°°；④(－°)＋°－(－°)°；⑤(－°)＋°－(－°)°.()试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；()根据()的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解()选择②式，计算如下：°＋°－°°＝－°＝－＝.()三角恒等式为α＋(°－α)－α(°－α)＝.证明如下：α＋(°－α)－α(°－α)＝α＋(°·α＋°α)－α(°α＋°α)＝α＋α＋αα＋α－αα－α＝α＋α＝.．(·北京海淀模拟)设是由×个实数组成的行列的数表，如果某一行(或某一列)各数之和为负数，则改变该行(或该列)中所有数的符号，称为一次“操作”．()数表如表所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可)；表－－()数表如表所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值．表－－－－－－解()解法一：－－－－－解法二：－－－－－－解法三：－－－－－－()每一列所有数之和分别为，，－，，每一行所有数之和分别为－，.①如果首先操作第三列，则－－－－－则第一行之和为－，第二行之和为－，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以≤或≥.当≤时，则接下来只能操作第一行，则－－－－－－此时每列之和分别为－，－，－，，必有－≥，解得＝，－.当≥时，则接下来操作第二行，则－－－－－－此时第列和为负，不符合题意．②如果首先操作第一行，则－－－－－则每一列之和分别为－，－，－，，当＝时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉；当≠时，－，－至少有一个为负数，所以此时必须有－≥，即－≤≤，所以＝或＝－，经检验，＝或＝－符合要求．综上＝，－.。
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2020年精品试题
芳草香出品
课时达标检测（五十八） 合情推理与演绎推理
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 合情推理
1．(1)已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是12ah，如果把扇
形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr；(2)由1＝12,1
＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则(1)(2)两个推理过程分别属于
( )
A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、演绎推理
C．归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理
解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；
(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.
2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则
a10＋b10＝( )
A．121 B．123
C．231 D．211
解析：选B 令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，
从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.
3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图
形中小正方形的个数是( )
A．n(n＋1) B.nn－12
C.nn＋12 D．n(n－1)
解析：选C 由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为
1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，
则第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.
4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，
则52 018的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选B 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，可得
59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，
又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.
5．(2018·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离
公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z
＋3＝0的距离为( )
A．3 B．5
C.5217 D．35
解析：选B 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x0，y0，z0)到直线Ax＋
By＋Cz＋D＝0的距离公式为d＝|Ax0＋By0＋Cz0＋D|A2＋B2＋C2，则所求距离d＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝
5，故选B.
6.如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，
称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4
个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一
个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，
称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是
________．
解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4
＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n次操作后，三角
形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.
答案：33
7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨
辉三角形”.
1 2 3 4 5 …
3 5 7 9 …
8 12 16 …
20 28 …
2 013 2 014 2 015 2 016
4 027 4 029 4 031
8 056 8 060
16 116
……
该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表
中最后一行仅有一个数，则这个数为____________．
解析：观察数列，可以发现规律：每一行都是一个等差数列，且第一行的公差为1，第
二行的公差为2，第三行的公差为4，第四行的公差为8，…，第2 015行的公差为22 014，