学案4：1.2.2 第2课时 直线与平面平行~1.2.2 第3课时 平面与平面平行
2018版高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.2 第1课时 平行直线、直线与平面平行学案(含解析
1.2.2 第1课时 平行直线、直线与平面平行1.能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理.(重点)2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题.(重点)3.利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 公理4及等角定理阅读教材P 39～P 39“例题”以上内容，完成下列问题. 1.公理4文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.这一性质叫做空间平行线的传递性. 符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .2.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，若∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于( ) A.30° B.30°或150° C.150°D.以上结论都不对【解析】 因为AB ∥PQ ，BC ∥QR ， 所以∠PQR 与∠ABC 相等或互补.因为∠ABC ＝30°，所以∠PQR ＝30°或150°. 【答案】 B教材整理2 直线与平面的平行阅读教材P 42～P 43的内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行.( )(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行.( )(3)直线l上有无数多个点，在平面α外，则l∥α.( )(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行.( )【解析】(1)错误.若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行.(2)错误.当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2)错.(3)错误.直线l也可能与平面α相交.(4)错误.在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×教材整理3 直线与平面平行的判定及性质阅读教材P42～P43的内容，完成下列问题.下列条件中能确定直线a与平面α平行的是( )A.a⊄α，b⊂α，a∥bB.b⊂α，a∥bC.b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥cD.b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD【解析】由直线与平面平行的判定定理知选A.【答案】 A[小组合作型]11111A1D1的中点.图1215(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【精彩点拨】(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明.【自主解答】(1)∵ABCDA1B1C1D1为正方体.∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)法一由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1.空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.2.求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.[再练一题]1.如图1216，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.图1216(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.【证明】(1)在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.同理FG∥BD，则EH∥FG.故E，F，G，H四点共面.(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.【导学号：45722042】A.如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面B.如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线C.如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥bD.如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α【精彩点拨】解答本题要牢牢地抓住直线和平面三种位置关系的特征，结合相关图形，依据位置关系的定义作出判断.【自主解答】如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故选项A不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故选项B不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以选项C不正确；选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即选项D正确.故选D.【答案】 D空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.,在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断.[再练一题]2.下列说法中，正确的个数是( )①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行.A.0B.1C.2D.3【解析】易知①正确，②正确.③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误.选C.【答案】 C[探究共研型]探究1 如图1217，一块矩形木板ABCD 的一边AB 在平面α内，把这块木板绕AB 转动，在转动过程中，AB 的对边CD (不落在α内)是否都和平面α平行？图1217【提示】 平行.探究2 若直线l ∥平面α，则l 平行于平面α内的所有直线吗？ 【提示】 不是.探究3 若a ∥α，过a 与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a 有什么关系？【提示】 若a ∥α，则过a 且与α相交的平面有无数个.这些平面与α的交线与直线a 之间相互平行.如图1218，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DNNB，求证：MN ∥平面SBC .图1218【精彩点拨】 要证MN ∥平面SBC ，只需证明MN 与平面SBC 内的一条直线平行即可，证明时注意平行线分线段成比例定理及其逆定理的应用.【自主解答】 法一 连接AN 并延长交BC 于G ，连接SG ，由题意AD ∥BC ，所以DN NB ＝ANNG.因为DN NB ＝AM SM ，所以AN NG ＝AMSM，则MN ∥SG .又因为MN ⊄平面SBC ，SG ⊂平面SBC ， 所以MN ∥平面SBC .法二 过M 作ME ∥AB 交SB 于E ， 过N 作NF ∥CD 交BC 于F ，连接EF ，由于AB ∥CD ， 有ME ∥NF .(*)又由ME ∥AB 知SM SA ＝MEAB， 由NF ∥CD 知BN BD ＝NFCD，又因为AM SM ＝DN NB，得SM SA ＝BNBD，所以ME AB ＝NFCD.因为AB ＝CD ，所以ME ＝NF .由(*)式知，四边形MNFE 为平行四边形， 所以MN ∥EF ，因MN ⊄平面SBC ，EF ⊂平面SBC ， 所以MN ∥平面SBC .1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.2.证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.[再练一题]3.求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.【导学号：45722043】【解】 已知直线a ，l ，平面α，β满足α∩β＝l ，a ∥α，a ∥β.求证：a∥l.证明如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c，则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.1.下列命题中，正确的结论有( )①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】由公理4及等角定理知，只有②④正确.【答案】 B2.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交【解析】直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.【答案】 D3.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.【解析】由等角定理可知β＝135°.【答案】135°4.若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________.【解析】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取EF，BC1，BC为b时，均满足a与b异面，于是b∥α，b∩α＝B，b⊂α(其中E，F为棱的中点).【答案】平行或相交或b在α内5.若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行.【解】已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.证明如图所示，∵a∥b，b⊂β，∴a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.。
原创1：1.2.2 空间中的平行关系（三）（讲授式）
C'
观察：观察右边的长方体，平面B′D′与平面BD
平行，平面ABCD内的直线BD与平面B′D′内的直线
有哪些位置关系呢？它们满足什么条件时平行？
D'
A'
B'
C
B
D
A
观察猜想：平面B′D′与平面BD内的直线只有两种位置关系：平行或异面.
平面B′D′∩平面CD′ = C′D′ ，平面BD∩平面CD′=CD，由长方体的性质可知，
平面相交.
④夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.
第
一
章
立
体
几
何
初
步
例2 如图,在长方体 − ′′′′中,
求证:平面′//平面’’.
分析：只要证明一个平面内有两条相交直线
和另一个平面平行即可．
− ′ ′ ′ ′ 是正方体，
证明： ∵
∴AB//DC//D’C’且AB=DC=D’C’.
⟹ 是平行四边形.
⟹ BC′//AD′.
线平行的转化策略.
课堂练习
一．判断下列命题的真假；
1．如果两个平面不相交，那么它们就没有共公点；
2．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
3．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
4．已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，
则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行；
面面平行⇌线线平行
典例精讲
平面与平面平行判定定理的应用
例5 已知三个平行平面α、β、γ与两条异面直线l,m分别交于
A、B、C 和D、E、F.求证：
学案4：1.2.3 第2课时 平面与平面垂直
1.2.3 第2课时平面与平面垂直学习目标核心素养1.了解面面垂直的定义．(重点)2.掌握面面垂直的判定定理和性质定理．(重点)3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题．(难点)1.通过平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养.2.借助线面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养.【自主预习】[新知初探]1．平面与平面垂直的判定(1)平面与平面垂直①定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．②画法：记作：.(2)判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的一条，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥β⇒α⊥β2.平面与平面垂直的性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在垂直于它们交线的直线于另一个平面符号语言 ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l⇒a ⊥β 图形语言思考：若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？[基础自测]1．△ABC 所在的平面为α，直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，直线m ⊥BC ，m ⊥AC ，则直线l ，m 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．不确定2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则( )A ．直线a 必垂直于平面βB ．直线b 必垂直于平面αC ．直线a 不一定垂直于平面βD ．过a 的平面与过b 的平面垂直3．空间四边形ABCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，那么有( )A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC4．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，直线m ⊥α，则直线m 与n 的位置关系是________．【合作探究】类型一平面与平面垂直的判定【例1】如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面P AC⊥平面PBC.[规律方法]证明面面垂直的方法1．判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；2．性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．[跟踪训练]1．如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB.类型二面面垂直性质定理的应用【例2】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB ＝60°，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面P AD ；(2)求证：AD ⊥PB .[思路探究] (1)菱形ABCD ，∠DAB ＝60°―→△ABD 为正三角形―→BG ⊥AD ―――――――――→面P AD ⊥底面ABCD BG ⊥平面P AD(2)要证AD ⊥PB ，只需证AD ⊥平面PBG 即可．[规律方法]1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直．2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．[跟踪训练]2.如图所示，四棱锥V ABCD 的底面是矩形，侧面VAB ⊥底面ABCD ，又VB ⊥平面VAD .求证：平面VBC ⊥平面VAC .类型三垂直关系的综合应用[探究问题]1.如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PD ＝a ，P A ＝PC ＝2a ，你能证明PD ⊥平面ABCD 吗？2．如图所示，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，P 为母线SA 上的点，其在底面圆O 上的正投影为点D ，求证：P A ⊥CD .3．试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．【例3】 如图，在四棱锥P ABCD 中，侧面P AD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底 面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，N 是PB 的中点，过A ，D ，N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点．求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.[思路探究](1)证明EN∥DM；(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.[规律方法]垂直关系的相互转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：提醒：应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．[跟踪训练]3．如图，在三棱锥PABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：P A⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面P AC.【课堂小结】1．本节课的重点是掌握两个平面互相垂直的定义和画法，理解并掌握两个平面垂直的判定定理与性质定理，并能解决有关面面垂直的问题．难点是综合利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理解决关于垂直的问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)利用线面垂直的性质证明平行问题．(2)应用面面垂直的判定与性质证明垂直问题．(3)掌握垂直关系的转化．3．本节课的易错点是垂直关系转化中易出现转化混乱错误.【当堂达标】1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β2．下列四个命题中，正确的序号有________．①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.3．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．参考答案【自主预习】[新知初探]1．(1) ②α⊥β.(2) 垂线l⊂α2. 一个平面内垂直a⊂αa⊥l思考：[提示]相交或平行．[基础自测]1．【答案】C【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.]2．【答案】C【解析】当α⊥β，在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β，因此，垂直于平面β内的一条直线b的直线不一定垂直于β，故选C.]3．【答案】D【解析】∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.4．【答案】平行【解析】因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.【合作探究】类型一平面与平面垂直的判定【例1】[证明]连接AC，BC，则BC⊥AC，又P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，又BC⊂平面PBC，∴平面P AC⊥平面PBC.[跟踪训练]1．[证明]∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，∴AC⊥平面PDB.又∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.类型二面面垂直性质定理的应用【例2】[证明](1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)如图，连接PG.∵△P AD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.[跟踪训练]2. [证明]∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB.∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA⊂平面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.类型三垂直关系的综合应用[探究问题]1. [提示]∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC，同理可证PD⊥AD，∵AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.2．[提示]连接CO(图略)，由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，由3AC＝BC知，∠CAB＝60°，∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴PD ⊥CD ，由PD ∩AO ＝D 得，CD ⊥平面P AB ，又P A ⊂平面P AB ，∴P A ⊥CD .3．[提示] 垂直问题转化关系如下所示：【例3】[证明] (1)∵AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，∴AD ∥平面PBC .又∵平面ADMN ∩平面PBC ＝MN ，∴AD ∥MN .又∵BC ∥AD ，∴MN ∥BC .又∵N 是PB 的中点，∴点M 为PC 的中点．∴MN ∥BC 且MN ＝12BC ， 又∵E 为AD 的中点，∴MN ∥DE ，且MN ＝DE .∴四边形DENM 为平行四边形．∴EN ∥DM ，且EN ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC .∴EN ∥平面PDC .(2)∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠BAD ＝60°，∴BE ⊥AD .又∵侧面P AD 是正三角形，且E 为AD 中点，∴PE ⊥AD ，BE ∩PE ＝E ，∴AD ⊥平面PBE .又∵AD ∥BC ，∴BC ⊥平面PEB .(3)由(2)知AD ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴AD ⊥PB .又∵P A ＝AB ，N 为PB 的中点，∴AN ⊥PB .且AN ∩AD ＝A ，∴PB ⊥平面ADMN .又∵PB ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ADMN .[跟踪训练]3．[证明] (1)因为P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，所以P A⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC，所以P A⊥BD.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知，P A⊥BD，又AC∩P A＝A，所以BD⊥平面P AC.因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面P AC.【当堂达标】1．【答案】D【解析】如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．2．【答案】①②【解析】③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．3．[解](1)由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM. 因此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.。
学案4：2.2.3 直线与平面平行的性质~ 2.2.4 平面与平面平行的性质
2.2.3 直线与平面平行的性质~ 2.2.4 平面与平面平行的性质问题导学一、直线与平面平行的性质定理的应用活动与探究1求证：若一条直线分别和两个相交平面平行，则这条直线必与它们的交线平行．迁移与应用1．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，则直线BB1与EE1的关系是________．2．如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG．求证：EH∥BD．名师点津运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．二、面面平行的性质定理的应用活动与探究2如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A点和D，C点，M，N 分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α．迁移与应用1．如图所示，已知平面α∥平面β，A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，则线段AD与BC的长度关系是__________．2．如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)．直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D．(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．名师点津面面平行的性质定理的几个有用推论：(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．三、平行关系的综合应用活动与探究3如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．迁移与应用在三棱锥S－ABC中，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，G是AB上任意一点．求证：SG∥平面DEF．名师点津在平行关系中，线线、线面、面面平行关系经常交替使用，相互转化，特别是一些复杂的题目，在线线、线面、面面平行关系中，判定了一个成立，接着可以利用性质转化成另一个也成立，其关系可用下图示意．当堂检测1．如果直线a∥平面α，则()A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内有无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a垂直的直线D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线2．如果一条直线和一个平面平行，两端点分别在直线和平面上的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．皆有可能3．若α∥β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线4．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．5．如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AC∩α＝M，BD∩α＝N，其中M 是AC的中点．AB＝4，CD＝6，则MN＝________．参考答案问题导学活动与探究1【解析】先写出已知与求证，再利用线面平行的性质定理及判定定理证明．解：已知：a∥α，a∥β，α∩β＝b．求证：a∥b．证明：设A∈α，且A∉b，过直线a和点A作平面γ交平面α于直线c，如图，∵a∥α，a⊂γ，α∩γ＝c，∴a∥c(直线和平面平行的性质定理)．再设B∈β，且B∉b，同样，过直线a和点B的平面δ交平面β于直线d．同理a∥d(直线和平面平行的性质定理)．∴d∥c．又∵d⊂β，c⊄β，∴c∥β(直线与平面平行的判定定理)．又∵c⊂α，α∩β＝b，∴c∥b(直线与平面平行的性质定理)．从而a∥b．迁移与应用1．BB1∥EE12．证明：因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD．因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD．活动与探究2【解析】利用三角形的中位线及面面平行的性质证明．证明：过点A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC．∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC．则平面AEDC∩平面α＝DE，平面AEDC∩平面β＝AC，∵α∥β，∴AC∥DE．又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥DE．PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α．又M，P分别为AB，AE的中点，∴MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α，∴MP∥α．∴平面MPN∥平面α．又MN⊂平面MPN，∴MN∥α．迁移与应用1．AD＝BC2．(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．又α∥β，∴AC∥BD．(2)解：由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD．∴45＝3CD．∴CD＝154．∴PD＝PC＋CD＝274(cm)．活动与探究3【解析】充分利用A′B′C′D′的平行关系及AA′，BB′，CC′，DD′间的平行关系，先得出线面平行，再得面面平行，最后再由面面平行的性质定理得线线平行．证明：∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′．∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，∴A′D′∥平面BB′C′C．同理AA′∥平面BB′C′C．∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C．又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D、平面BB′C′C的交线，故AD∥BC．同理可证AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．迁移与应用证明：∵D，E分别是AC，BC的中点．∴DE∥AB．又DE⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，∴DE∥平面SAB．同理可证EF∥平面SAB．∵DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面SAB．∵SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF．当堂检测1．B2．D 3．D4．l∥A1C15．5。
《1.2.3 直线与平面的位置关系——1.直线与平面平行》教学案
《1.2.3直线与平面的位置关系(1)》教学案教学目标：1．了解空间中直线与平面的位置关系及分类标准；2．掌握直线与平面平行的判定定理及性质定理，会应用它证明有关的问题；3．在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间直线与平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念．教材分析及教材内容的定位：直线与平面的位置关系是高考重点考查内容之一，解决问题的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与平面．通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的思想，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力．本节课的主要内容是直线与平面平行的判定定理和性质定理的探究与发现、概括与证明、练习与应用．欲证线面平行，需转化为线线平行，故线面平行判定是线线平行判定的上位知识，需要认真复习初中平几中线线平行的有关内容；而已知线面平行时需要构造辅助平面与已知平面相交，则得出线线平行．线面平行判定是三大平行判定(线线平行、线面平行、面面平行)的核心，也是高考的高频考点之一，学好线面平行对后续学习面面平行及三大垂直的判定与性质等内容，具有良好的示范作用．学习这些内容是培养学生的数学表述与交流能力(用集合符号语言进行数学表达与交流)，直感思维与逻辑思维，推理论证能力及空间想象能力等的重要载体．线面平行的判定蕴含的数学思想方法主要有数形结合、化归与转化思想．教学重点：直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定定理以及性质定理．教学难点：直线和平面平行的判定定理以及性质定理的正确运用．教学方法：探究发现式、合作讨论式教学过程：一、问题情景1.复习异面直线的定义2.思考并回答问题：异面直线是说两条直线不在任一平面内，即a 与b 是异面直线，若,α⊂a 则α⊄b .从这句话可知，直线与平面有哪几种位置关系？二、学生活动1．观察教室，概括空间直线和平面的三种位置关系； 2．观察长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，说出棱AB 所在的直线与长方体六个面所在平面的位置关系，并说明理由；3．总结、概括空间直线和平面的三种位置关系的定义．三、建构数学1．直线与平面的位置关系．2．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言：//a b b a αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭//a α⇒ 图形语言：简记为：线线平行⇒线面平行注意：要证明线面平行关键在于在平面内找到一条线与已知直线平行； 3．直线和平面平行的性质定理．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪=⎭//l m ⇒ 图形语言:BB 1AD C D 1C 1A 1a bααmβl简记为：线面平行⇒线线平行注意：线面平行性质定理的运用关键在于过平面外的直线构造辅助平面与已知平面相交，则有已知直线与交线平行；四、数学运用1．例题．例1如图，已知E 、F 分别是三棱锥A -BCD 的侧棱AB 、AD 的中点， 求证：EF ∥平面BCD ．解后反思：通过本题的解答，你可以总结出什么解题思想和方法？反思1：要证明直线与平面平行可以运用判定定理；线线平行⇒线面平行； 反思2：能够运用定理的条件是要满足六个字：“面外、面内、平行”；反思3：运用定理的关键是找平行线；找平行线又经常会用到三角形中位线定理． 例2如图是一四面体ABCD ，用平行于一组对棱AC 、BD 的平面截此四面体得截面PQMN ，求证：四边形PQMN 是平行四边形．2．练习．(1)如果两直线a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是 ． (2)过平面外一点，与这个平面平行的直线有 条．(3)P 是两条异面直线a 、b 外一点，过点P 可作 个平面与a 、b 都平行．(4)如图所示，P 是ABCD 所在平面外一点，E ，F 分别在P A ，BD 上，且PE ∶E A =B F ∶F D ．求证：EF ∥平面P BC ．A DBCE FCBADM N Q P五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行；2．线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行；3．线面平行判定定理在使用时通常要在平面内找到一条线与已知直线平行；而线面平行的性质定理在使用时则需要构造辅助面找到交线，从而得到线线平行．。
直线与平面平行、平面与平面平行的判定 说课稿 教案 教学设计
点教法教学学法手段教学程序设计教学设计意图1.直线和平面平行的判定定理.平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号表示：例1已知：空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点.求证:EF ∥平面BCD .2．平面与平面平行的判定例2 给定下列条件①两个平面不相交②两个平面没有公共点③一个平面内所有直线都平行于另一个平面④一个平面内有一条直线平行于另一个平面⑤一个平面内有两条直线平行于另一个平面以上条件能判断两个平面平行的有 ①②③平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面 平行符号表示：,,,a b a b p a ββαβα⊂⊂=⇒例3 已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1 证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD . 证明：因为ABCD – A 1B 1C 1D 1为正方体，所以D 1C 1∥A 1B 1，D 1C 1 = A 1B 1又A B ∥A 1B 1，AB = A 1B 1所以D 1C 1BA 为平行四边形.所以D 1A ∥C 1B .又1D A ⊄平面C 1BD ，1C B ⊂平面C 1BD由直线与平面平行的判定定理得11D B D 平面AB 1D 11．如图，长方体ABCD–A′B′C′D′中，（1）与AB平行的平面是.（2）与AA′平行的平面是.（3）与AD平行的平面是4．如图，正方体ABCD–A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点. 求证：平面AMN∥平面EFDB.归纳总结1．直线与平面平行的判定2．平面与平面平行的判定3．面面平行⇐线面平行⇐线线平行。
原创1：1.2.2 空间中的平行关系（二）（讲授式）
m
β
新课讲授
直线与平面平行的性质定理的证明
已知： l // α ，l β且 ∩ β =m.
求证： l // m．
l
β
m
证明：因为l//α，所以直线l与平面α没有公共点.
又因为α∩β=m，所以m α 且m β.
所以直线 l 与直线 m 没有公共点.
又因为l β且m β，
所以l//m.
例题2：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′．
（1）要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P
和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
（2）所画的线和面AC有什么关系？
分析：经过木料表面A’C’内一点P和棱BC将木料锯开，实际上是经过BC
及BC外一点P作截面，也就是找出平面与平面的交线.我们可以由直线
与平面平行的性质定理和公理4、公理2作出.
两直线平行的定义是什么？
在同一平面内没有公共点的两条直线.
本质：线面平行⟹线线平行
典例精讲
直线与平面平行判定定理的应用
例题1 已知空间四边形 ABCD，E，F 分别是 AB，AD 的中点．
A
求证：EF // 平面 BCD．
证明：连结 BD，在 △ABD 中，
因为 E，F 分别是 AB，AD 的中点，
E
所以 EF // BD．
又因为 BD 是平面 ABD 与平面 BCD的交线,
EF 平面 BCD，
所以 EF // 平面 BCD．
F
D
B
总结：直线与平面平行的判定定理应用
（1）定理的实质是：线线平行 线面平行；
（2）关键是在面内找一条直线和已知直线平行．
C
典例精讲
直线与平面平行的性质定理的应用
高中数学第一章立体几何初步1.2.2第2课时直线与平面平行bb高一数学
12/13/2021
梳理 直线与平面平行的判定定理
文字语言
符号表示 图形表示
如果不在一个平面内 平一面条内直线和 平行
的一条直线 ，
那么这条直线和这个平
面平行
12/13/2021
__l⊄__α_ _m_⊂__α_ ⇒l∥α l∥m
知识点三 直线与平面平行的性质 思考1 如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？ 为什么？
证明 因为AB∥平面MNPQ， 平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC， 所以由线面平行的性质定理知，AB∥MN. 同理AB∥PQ， 所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四边形.
12/13/2021
证明
引申探究 1.若本例条件不变，求证：PBDP＝MAMC. 证明 由例 1 知：PQ∥AB，∴PBDP＝QAQD. 又 QM∥DC，∴QAQD＝MAMC，
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3.利用直线与平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找面内 与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公 理等. 4.利用线面平行的性质定理解题的步骤： (1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面. (2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面. (3)确定交线，由性质定理得出结论.
解析 ∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE， ∴A1C1∥平面ACE.
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解析 答案
4.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，
C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则 3
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1.2.2 第2课时 直线与平面平行 ~1.2.2 第3课时 平面与平面平行 【学习目标】 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理； 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题. 【知识梳理】 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面
a⊄α，b⊂α， a∥b⇒a∥α
性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b
2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b
【微点提醒】 平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( ) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( ) 【教材衍化】 2.下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( ) A.直线a上有无数个点不在平面α内 B.直线a与平面α内的所有直线平行 C.直线a与平面α内无数条直线不相交 D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交 3.下列命题中正确的是( ) A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α 【真题体验】 4.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A.m∥α，n∥α，则m∥n B.m∥n，m∥α，则n∥α C.m⊥α，m⊥β，则α∥β D.α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 5.(2019·济宁月考)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( ) A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线 6.(2019·北京十八中开学考试)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.
【考点聚焦】 考点一 与线、面平行相关命题的判定 【例1】 (1)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是( ) A.若a⊥c，b⊥c，则a∥b B.若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b C.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b D.若α∥β，a⊂α，则a∥β (2)列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是( ) 【规律方法】 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项. 2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断. (2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确. 【训练1】 (1)下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行 C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝23BD1，则下面说法正确的是________(填序号). ①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC. 考点二 直线与平面平行的判定与性质 角度1 直线与平面平行的判定 【例2－1】 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.
(1)证明：EF∥平面PDC； (2)求点F到平面PDC的距离. 角度2 直线与平面平行性质定理的应用 【例2－2】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.
(1)求三棱锥B1－A1BE的体积； (2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.
【规律方法】 1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线. 2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反. 【训练2】 如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 考点三 面面平行的判定与性质 【例3】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1
的中点，
求证：(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
【迁移探究1】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”
变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
【迁移探究2】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”
变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求ADDC的值.
【规律方法】 1.判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理. (2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). 2.面面平行条件的应用 (1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行. (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 【提醒】 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线. 【训练3】 (2019·南昌二模)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.
(1)确定点E，F的位置，并说明理由； (2)求三棱锥F－DCE的体积.
【规律方法】 1.转化思想：三种平行关系之间的转化 其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化. 2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β. 【易错防范】 1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误. 2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件. 3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交. 4.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”. 【参考答案】 【疑误辨析】 1.【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 【解析】 (1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误. (2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误. (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误. 【教材衍化】 2. 【答案】 D 【解析】 因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D. 3.【答案】 D 【解析】 根据线面平行的判定与性质定理知，选D. 【真题体验】 4.【答案】 C 【解析】 A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n⊂α，B不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交，D错. 5.【答案】 A 【解析】 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A. 6.【答案】 平行四边形 【解析】 ∵平面ABFE∥平面DCGH， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG， ∴EF∥HG，同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形. 【考点聚焦】 考点一 与线、面平行相关命题的判定 【例1】 【答案】 (1)D (2)B 【解析】 (1)对于A，若a⊥c，b⊥c，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题； 对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；