人教版九年级数学中考尺规作图专项练习及参考答案

(1)只用直尺(没有刻度)和圆规,求作一个点 P,使点 P 同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹,
不必写出作法):
①点 P 到 A,B 两点的距离相等;
②点 P 到∠xOy 的两边的距离相等.
(2)在(1)作出点 P 后,写出点 P 的坐标.
解(1)作图如下,点 P 即为所求作的点.
(2)设 AB 的中垂线交 AB 于点 E,交 x 轴于点 F,
由作图可得,EF⊥AB,EF⊥x 轴,且 OF=3,
∵OP 是∠xOy 的平分线,
∴点 P 的坐标为(3,3).
10.(2018 浙江金华)如图,在 6×6 的网格中,每个小正方形的边长为 1,点 A 在格点(小正方形的顶
点)上.试在各网格中画出顶点在格点上,面积为 6,且符合相应条件的图形.
解符合条件的图形如图所示:
)
答案 B
3.下列各条件中,不能作出唯一三角形的条件是(
)
A.已知两边和夹角
B.已知两边和其中一条边所对的角
C.已知两角和夹边
D.已知两角和其中一角的对边
答案 B
4.
如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,以点 A 为圆心,任意长为半径画弧分别交 AB,AC 于点 M 和 N,
1
再分别以点 M,N 为圆心,大于2MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P,连接 AP 并延长交 BC 于点 D,则下
9
(2)设(1)中所作的☉O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D,若☉O 的直径为 5,BC=4;求 DE 的长.(如
果用尺规作图画不出图形,那么可画出草图完成第(2)问)
解(1)☉O 如图所示;
8
(2)作 OH⊥BC 于点 H.
∵AC 是☉O 的切线,∴OE⊥AC,
∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°,
1
再分别以 E,F 为圆心,大于2EF 的长为半径作圆弧,两弧交于点 P,作射线 AP,交 CD 于点 M,若∠
ACD=110°,则∠CMA 的度数为(
A.30°
)
B.35°
C.70°
D.45°
答案 B
解析 ∵AB∥CD,∠ACD=110°,∴∠CAB=70°,
由题意得 AP 平分∠CAB,∴∠CAM=∠BAM=35°,
②分别以点 A,D 为圆心,AC 长为半径画弧,G 是两弧的一个交点;
③连接 OG.
问:OG 的长是多少?
大臣给出的正确答案应是(
B.(1 +
A.√3r
C.(1 +
√3
)r
2
)
√2
)r
2
D.√2r
答案 D
解析如图连接 CD,AC,DG,AG.
∵AD 是☉O 直径,
∴∠ACD=90°,
在 Rt△ACD 中,AD=2r,∠DAC=30°,
4
11.(2018 广东)如图,BD 是菱形 ABCD 的对角线,∠CBD=75°,
(1)请用尺规作图法,作 AB 的垂直平分线 EF,垂足为 E,交 AD 于 F;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下,连接 BF,求∠DBF 的度数.
解(1)如图所示,直线 EF 即为所求;
1
(2)∵四边形 ABCD 是菱形,∴∠ABD=∠DBC=2∠ABC=75°,DC∥AB,∠A=∠C.
1
大于2CD 长为半径作弧,两弧在∠NAB 内交于点 E;③作射线 AE 交 PQ 于点 F.若 AB=2,∠ABP=60°,则
线段 AF 的长为
.
答案 2√3
解析作 BG⊥AF,∵MN∥PQ,
∴∠NAB=∠ABP=60°,
由题意得,AF 平分∠NAB,
∴∠1=∠2=30°,
∵∠ABP=∠1+∠3,∴∠3=30°,
列说法:①AD 是∠BAC 的平分线;②∠ADC=60°;③点 D 在 AB 的中垂线上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.其中
正确的个数是(
A.1
)
B.2
C.3
D.4
答案 D
5.(2018 浙江湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中.传说拿破仑通过下列尺规作图考他的
大臣:
1
①将半径为 r 的☉O 六等分,依次得到 A,B,C,D,E,F 六个等分点;
2
②作矩形 OA'BC',直线 A'C',满足条件,此时直线 A'C'的解析式为 y=-3x+4.
能力提升
一、选择题
1.(2018 山东潍坊)如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是:
(1)作线段 AB,分别以 A,B 为圆心,以 AB 长为半径作弧,两弧的交点为 C;
(2)以 C 为圆心,仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D;
√3
∴S△BDC= 2 AB2,故 A,B,C 正确,故选 D.
二、填空题ຫໍສະໝຸດ 62.(2018 山西)如图,直线 MN∥PQ,直线 AB 分别与 MN,PQ 相交于点 A,B.小宇同学利用尺规按以下步
骤作图:①以点 A 为圆心,以任意长为半径作弧交 AN 于点 C,交 AB 于点 D;②分别以 C,D 为圆心,以
∴∠1=∠3=30°,∴AB=BF,AG=GF,
1
∵AB=2,∴BG=2AB=1,
∴AG=√3,∴AF=2AG=2√3.
三、解答题
3.(2018 福建莆田)如图是等边三角形 ABC.
(1)求作一点 D,连接 AD,CD,使得四边形 ABCD 为菱形;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)连接 BD 交 AC 于点 O,若 OA=1,求菱形 ABCD 的面积.
∠ABC=90°,△ABC 与△AOC 的面积相等.(作图不必写作法,但要保留作图痕迹)
(2)问:(1)中这样的直线 AC 是否唯一?若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出所有这样的直
线 AC,并写出与之对应的函数表达式.
5
解(1)如图△ABC 即为所求;
(2)这样的直线不唯一.
3
13
①作线段 OB 的垂直平分线 AC,满足条件,此时直线的解析式为 y=-2x+ 2 .
解(1)如图所示,点 D 就是所求作的点.
(2)在菱形 ABCD 中,∠BAC=60°,OB⊥OA,

∴在 Rt△OAB 中,tan∠OAB=tan60°=.
∵OA=1,∴BO=√3,BD=2√3.
又∵AC=2OA=2,
1
∴菱形 ABCD 的面积 S=2BD·AC=2√3.
7
4.(2018 湖北孝感)如图,△ABC 中,AB=AC,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:
由题可得,OF 平分∠AOB,∴∠AOG=∠EOG,又∵AG∥OE,∴∠AGO=∠EOG,
∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO=√5,
∴HG=√5-1,∴G(√5-1,2),故选 A.
7.(2018 江苏南通)如图,AB∥CD,以点 A 为圆心,小于 AC 长为半径作圆弧,分别交 AB,AC 于点 E,F,
∴四边形 ECHO 是矩形,
5
3
∴OE=CH=2,BH=BC-CH=2,
2
2
5
3
在 Rt△OBH 中,OH=√(2) - (2) =2,
∴EC=OH=2,BE=√2 + 2=2√5,
∵∠EBC=∠EBD,∠BED=∠C=90°,


∴△BCE∽△BED,∴ = ,

∴
2
5
= 2√5,∴DE=√5.
∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°,
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°.
5.(2018 四川自贡)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°.
(1)作出经过点 B,圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的☉O(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,
不写作法和证明)
∴AC=√3r.
∵DG=AG=CA,OD=OA,∴OG⊥AD,
∴∠GOA=90°,
2
∴OG=√2 -2 = √(√3) -2 = √2r,故选 D.
6.(2018 河南)如图,已知▱AOBC 的顶点 O(0,0),A(-1,2),点 B 在 x 轴正半轴上.按以下步骤作图:①
1
以点 O 为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边 OA,OB 于点 D,E;②分别以点 D,E 为圆心,大于 DE 的
(3)连接 BD,BC.
下列说法不正确的是(
A.∠CBD=30°
)
√3
4
2
B.S△BDC= AB
C.点 C 是△ABD 的外心
2
2
D.sin A+cos D=1
答案 D
解析由作图可知:AC=AB=BC,
∴△ABC 是等边三角形,
由作图可知:CB=CA=CD,
√3
∴点 C 是△ABD 的外心,∠ABD=90°,BD=√3AB,∴S△ABD= 2 AB2,∵AC=CD,
∴AD 是 BC 的垂直平分线,∴PB=PC,
∵EP 是 AB 的垂直平分线,
∴PA=PB,∴PA=PB=PC.
故答案为 PA=PB=PC.
(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70°,
∴∠BAC=180°-2×70°=40°,
∵AM 平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=20°,
∵PA=PB=PC,
2
长为半径作弧,两弧在∠AOB 内交于点 F;③作射线 OF,交边 AC 于点 G,则点 G 的坐标为
A.(√5-1,2)
B.(√5,2)