专题02 函数零点问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题二 函数零点问题

函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐． 模块1 整理方法 提升能力

对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．

对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见．

分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数()f x 的图象与x 轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数． 函数的凸性

1．下凸函数定义

设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有()()121222f x f x x x f ++??≤ ???

，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的下凸函数． 2．上凸函数定义

设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有()()121222f x f x x x f ++??≥ ???

，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的上凸函数．

3．下凸函数相关定理

定理：设函数()f x 为区间(),a b 上的可导函数，则()f x 为(),a b 上的下凸函数?()

f x '

为(),a b 上的递增函数?()0f x ''≥且不在(),a b 的任一子区间上恒为零．

4．上凸函数相关定理

定理：设函数()f x 为区间(),a b 上的可导函数，则()f x 为(),a b 上的上凸函数?()f x '为(),a b 上的递减函数?()0f x ''≤且不在(),a b 的任一子区间上恒为零．

例1 已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．

【解析】（1）()()()()22e 2e 12e 1e 1x x x x f x a a a '=+--=+-，2e 10x +>．

①当0a ≤时，e 10x a -<，所以()0f x '<，所以()f x 在R 上递减．

②当0a >时，由()0f x '>可得1ln x a >，由()0f x '<可得1ln x a

<，所以()f x 在1,ln a ??-∞ ???上递减，在1ln ,a ??+∞ ???

上递增． （2）法1：①当0a ≤时，由（1）可知，()f x 在R 上递减，不可能有两个零点．

②当0a >时，()min 11ln 1ln f x f a a a ????==-+ ?????

，令()()min g a f x =????，则()2110g a a a

'=+>，所以()g a 在()0,+∞上递增，而()10g =，所以当1a ≥时，()()min 0g a f x =??≥??，从而()f x 没有两个零点．

当01a <<时，1ln 0f a ??< ???，()22110e e e a a f -=++->，于是()f x 在11,ln a ??- ??

?上有1个零点；因为()2

333333ln 1121ln 11ln 10f a a a a a a a a ??????????????-=-+----=---> ? ? ? ? ? ? ???????????????，且31ln 1ln a a ????-> ? ?????，所以()f x 在1ln ,a ??+∞ ???

上有1个零点． 综上所述，a 的取值范围为()0,1．

法2：()2222e e 2e 0e e 2e e e x x x x x x

x x x a a x a a x a ++--=?+=+?=+．令()22e e e x x x x g x +=+，则()()()()()

()()()

()2222222e 1e e 2e 2e e e 2e 1e 1e e e e x x x x x x x x x x x x x x x g x ++-++++-'==-++，令

()e 1x h x x =+-，则()e 10x h x '=+>，所以()h x 在R 上递增，

而()00h =，所以当0x <时，()0h x <，当0x >时，()0h x >，

于是当0x <时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<，所以()g x

在(),0-∞上递增，在()0,+∞上递减．()01g =，当x →-∞时，

()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x +→．若()f x 有两个零点，则y a =与()g x 有两个交点，所以a 的取值范围是()0,1．

法3：设e 0x t =>，则ln x t =，于是()22e 2e 02ln x x a a x at at t t +--=?+=+?

22ln t t a t t +=+，令()22ln t t G t t t +=+，则()()()()()

222122ln 21t t t t t t G t t t ??++-++ ???'==+ ()()

()22211ln t t t t t +-+-+，令()1ln H t t t =-+，则()110H t t

'=+>， 所以()H t 在()0,+∞上递增，而()10H =，所以当01t <<时，

()0H t <，()0G t '>，当1t >时，()0H t >，()0G t '<，所以

()G t 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减．()11G =，当0t +→时，()G t →-∞，当t →+∞时，()0G t +→．若()f x 有两个零点，则y a =与()G t 有两个交点，所以a 的取值范围是()0,1．

法4：设e 0x t =>，则ln x t =，于是()22e 2e 02ln 0x x a a x at at t t +--=?+--=?

()ln 12t a t t +-=

．令()()12k t a t =+-，()ln t t t

?=，则()f x 有两个零点等价于()y k t =与()y t ?=有两个交点．因为()21ln t t t

?-'=，由()0t ?'>可得0e t <<，由()0t ?'<可得e t >，所以()t ?在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，()1e e ?=，当x →+∞时，()0t ?+→．()y k t =是斜率为a ，过定点()1,2A --的直线．

当()y k t =与()y t ?=相切的时候，设切点()00,P t y ，则有

()00000020

ln 121ln t y t y a t t a t ?=???=+-??-?=??，消去a 和0y ，可得()000200ln 1ln 12t t t t t -=+-， 即()()00021ln 10t t t ++-=，即00ln 10t t +-=．令()ln 1p t t t =+-，

显然()p t 是增函数，且()10p =，于是01t =，此时切点()1,0P ，斜率1a =．所以当()y k t =与()y t ?=有两个交点时，01a <<，所以a 的取值范围是()0,1．

法5：()()20e e 2e x x x f x a x =?+=+，令()()

2e e x x M x a =+，()2e e x x m x =+，()2e x n x x =+，则()f x 有两个零点?()M x 与()n x 的图象有两个不同交点．

()()002m n ==，所以两个函数图象有一个交点()0,2．令

()()()2e e x x T x m x n x x =-=--，则()()()

22e e 12e 1e 1x x x x T x '=--=+-，由()0T x '>可得0x >，由()0T x '<可得0x <，于是()T x 在(),0-∞上递减，在 ()0,+∞上递增，而()00T =，所以()()m x n x ≥，因此()m x 与()n x

相切于点()0,2，除切点外，()m x 的图象总在()n x 图象的上方．

由（1）可知，0a >．

当1a >时，将()m x 图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的a 倍，就得到了()M x 的图象，此时()M x 与()n x 的图象没有交点．当1a =时，()m x 的图象就是()M x 的图象，此时()M x 与()n x 的图象只有1个交点．当01a <<时，将()m x 图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的a 倍，就得到了()M x 的图象，此时()M x 与()n x 的图象有两个不同交点．

综上所述，a 的取值范围是()0,1．

法6：()()()20e e 2e e 12e x x x x x

x f x a x a =?+=+?+-=，令()()e 12x p x a =+-，()e x

x q x =，则()f x 有两个零点?()p x 与()q x 的图象有两个不同交点． ()1e

x x q x -'=，由()0q x '>可得1x <，由()0q x '<可得1x >，所以()q x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减，当x →+∞时，()0q x +→．

由（1）可知，0a >，所以()p x 是下凸函数，而()q x 是

上凸函数．当()p x 与()q x 相切时，设切点为()00,P x y ，则有

()00000000e 12e 1e e x x x x y a x y x a ?=+-???=??-?=??，消去a ，0y 可得()0000021e 12e e x x x x x -+-=，即()()

0002e 1e 10x x x ++-=，即00e 10x x +-=．令()e 1x W x x =+-，显然()W x 是增函数，而()00W =，于是00x =，此时切点()0,0P ，1a =．所以当()p x 与()q x 的图象有两个交点时，01a <<，所以a 的取值范围是()0,1．

【点评】函数零点问题，其解题策略是转化为两个函数图象的交点，三种方式中（一平一曲、一斜一曲、两曲）最为常见的是一平一曲．法1是直接考虑函数()f x 的图象与x 轴的交点情况，法2是分离参数法，法3用了换元，3种方法的本质都是一平一曲，其中法3将指数换成了对数，虽然没有比法2简单，但是也提示我们某些函数或许可以通过换元，降低函数的解决难度．法4是一斜一曲情况，直线与曲线相切时的a 值是一个重要的分界值．法5和法6都是两曲的情况，但法6比法5要简单，其原因在于法5的两曲凸性相同而法6的两曲凸性相反．

函数零点问题对函数图象说明的要求很高，如解法2当中的()g x 是先增后减且极大值()01g =，但x →-∞和x →+∞的状态会影响a 的取值范围，所以必须要说清楚两个趋势的情况，才能得到最终的答案．

例2

设函数设()21n n f x x x x =++

+-，n ∈*N ，2n ≥．

（1）求()2n f '； （2）证明：()n f x 在20,3?? ???

内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233n n a ??<-< ???． 【解析】（1）因为()112n n f x x nx -'=+++，所以()121222n n f n -'=+?++?…①．由 ()2222222n n f n '=+?++?…②，①-②，得()21212222n n n f n -'-=++++-?=