2014数学高考题型历炼(Word解析版)：7-2 导数的简单应用与定积分

1．(定义新)设D 是函数y ＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f(x 0)＝－x 0，则称x 0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D 上存在次不动点，若函数f(x)＝ax 2

－3x －a ＋5

2在区间[1,4]

上存在次不动点，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，0)

B .⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，12

C .⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞

D .⎝ ⎛

⎦

⎥⎤－∞，12 2．(交汇新) 如图，矩形ABCD 内的阴影部分是由曲线f(x)＝2x 2

－2x 及直线y ＝2x 围成的，现向矩形ABCD 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________．

3．(背景新)设f 1(x)＝cos x ，定义f n ＋1(x)为f n (x)的导数，即f n ＋1(x)＝[f n (x)]′，n ∈N *，若△ABC 的内角A 满足f 1(A )＋f 2(A )＋…＋f 2 013(A )＝0，则sin A 的值是________．

4．(交汇新)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－x 3＋ax 2

＋bx (x ＜1)，

c (e x －1－1)(x ≥1)

在x ＝0，x

＝2

3处存在极值．

(1)求实数a ，b 的值；

(2)函数y ＝f (x )的图象上存在两点A ，B ，使得△AOB 是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围；

(3)当c ＝e 时，讨论关于x 的方程f (x )＝kx (k ∈R )的实根的个数．

[历 炼]

1．解析：设g(x)＝f(x)＋x ，依题意，存在x ∈[1,4]，使g(x)＝f(x)＋x ＝ax 2

－2x －a ＋52＝0.当x ＝1时，g(1)＝1

2≠0；当x ≠1时，由ax 2

－2x －a ＋5

2＝0，得a ＝4x －52(x 2－1).记h(x)＝4x －52(x 2－1)(1＜x ≤4)，则由h ′(x)

＝－2x 2＋5x －2(x 2－1)2＝0，得x ＝2或x ＝1

2(舍去)．当x ∈(1,2)时，h ′(x)

＞0；当x ∈(2,4)时，h ′(x)＜0，即函数h(x)在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x ＝2时，h(x)取得最大值，最大值是h(2)＝12，故满足题意的实数a 的取值范围是⎝ ⎛

⎦

⎥⎤－∞，12.故选D . 答案：D

2．解析：曲线f(x)＝2x 2－2x 与直线y ＝2x 的交点为(0,0)和(2,4)，曲线f(x)＝2x 2－2x 与x 轴的交点坐标为(0,0)和(1,0)，其顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12.因为矩形ABCD 的面积为⎝

⎛

⎭⎪⎫4＋12×2＝9，阴影部分的面积为⎠⎛0

2

(2x －2x 2

＋2x)d x ＝

⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－23x 320＝8

3，所以该点落在阴影部分的概率

为839＝827.

答案：8

27

3．解析：∵f 1(x)＝cos x ，∴f 2(x)＝[f 1(x)]′＝－sin x ，f 3(x)＝[f 2(x)]′＝－cos x ，f 4(x)＝[f 3(x)]′＝sin x ，f 5(x)＝[f 4(x)]′＝cos x ，…，∴f n (x)＋f n ＋1(x)＋f n ＋2(x)＋f n ＋3(x)＝0，∴f 1(A)＋f 2(A)＋…＋f 2 013(A)＝f 2 013(A)＝f 1(A)＝cos A ＝0，又A 为△ABC 的内角．∴sin A ＝1.

答案：1

4．解析：(1)当x ＜1时，f ′(x)＝－3x 2＋2ax ＋b. 因为函数f(x)在x ＝0，x ＝2

3处存在极值，

所以⎩⎨⎧

f ′(0)＝0，f ′⎝ ⎛⎭

⎪⎫

23＝0，

解得a ＝1，b ＝0.

(2)由(1)得f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－x 3＋x 2

(x ＜1)，

c (e x －1－1)(x ≥1)，

根据条件知A ，B 的横坐标互为相反数，不妨设A(－t ，t 3＋t 2)，B(t ，f(t))(t ＞0)．

若t ＜1，则f(t)＝－t 3＋t 2， 由∠AOB 是直角，得OA →·OB →＝0， 即－t 2＋(t 3＋t 2)(－t 3＋t 2)＝0， 即t 4－t 2＋1＝0，此时无解；

若t ≥1，则f(t)＝c(e t －1－1)．由于AB 的中点在y 轴上，且∠AOB 是直角，所以点B 不可能在x 轴上，即t ≠1.同理OA →·OB

→＝0，即－t 2

＋(t 3＋t 2)·c(e t －1－1)＝0，则

c ＝1

(t ＋1)(e t －1－1)

. 因为函数y ＝(t ＋1)(e t －1－1)在t ＞1上的值域是(0，＋∞)， 所以实数c 的取值范围是(0，＋∞)． (3)由方程f(x)＝kx ，

知kx ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－x 3＋x 2(x ＜1)，

e x －e (x ≥1)，

因为0一定是方程的根，所以以下仅就x ≠0时进行研究．

方程等价于k ＝⎩⎨⎧ －x 2

＋x (x ＜1且x ≠0)，

e x －e

x (x ≥1)，

构造函数g(x)＝⎩⎨⎧

－x 2＋x (x ＜1且x ≠0)，

e x －e

x (x ≥1)，

则

对于x ＜1且x ≠0部分，函数g(x)＝－x 2＋x 的图象是开口向下的抛物线的一部分，当x ＝12时取得最大值1

4，其值域是(－∞，0)∪⎝

⎛

⎦

⎥⎤0，14；

对于x ≥1部分，函数g(x)＝e x －e x ，由g ′(x)＝e x (x －1)＋e

x 2

＞0，知函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增且g(1)＝0，则g(x)的值域为[0，＋∞)．

所以，x ≠0时：

①当k ＞1

4或k ≤0时，方程f(x)＝kx 有一个实根； ②当k ＝1

4时，方程f(x)＝kx 有两个实根；