郴州市一中2016届高二第二次月考
数学专题三 以函数、不等式与导数相结合的综合问题为解答题
专题三 压轴解答题以函数、不等式与导数相结合的综合问题为解答题【名师综述】1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 2．本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用类型一 用导数研究函数的性质典例1 已知函数()2ln f x x x x =--.（1）求函数()f x 的极值；（2）若1x ， 2x 是方程()2ax f x x x +=-（0a >）的两个不同的实数根，求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<.【解析】（1）依题意， ()212121x x f x x x x ='--=-- ()()211x x x+-=故当()01x ∈，时， ()0f x '<，当()1x ∈+∞，时， ()0f x '> 故当1x =时，函数()f x 有极小值()10f =，无极大值.（2）因为1x ， 2x 是方程()2ax f x x x +=-的两个不同的实数根.∴()()112201{ 02ax lnx ax lnx -=-=两式相减得()2121ln 0x a x x x -+=，解得2121lnx x a x x =-要证： 12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证： 1221x x a<，即证： ()2211221ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭，即证()222122111212ln 2x x x x x x x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 不妨设12x x <，令211x t x =>.只需证21ln 2t t t<-+. 设()21ln 2g t t t t=--+，∴()22111ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎝'⎪⎭； 令()12ln h t t t t =-+，∴()22211110h t t t t ⎛⎫=--=--< ⎪⎝⎭'，∴()h t 在()1+∞，上单调递减，∴()()1h t h < 0=，∴()0g t '<，∴()g t 在()1+∞，为减函数，∴()()10g t g <=. 即21ln 2t t t<-+在()1+∞，恒成立，∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<. 【名师指点】利用导数可以研究函数的单调性、函数图像、极值点、最值、零点等性质，常用的到的方法为：1、利用对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解不等式'()0f x >和定义域求交集得单调递增区间；解不等式'()0f x <和定义域求交集得单调递减区间.2、对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断.3、求函数的极值，先求'()0f x =的根0x ，再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑0x 两侧导数是否异号，从而判断是否有极值.4、求函数的最值和求极值类似，先求'()0f x =的根0x ，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑0x 两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值.【举一反三】已知函数()()ln 1f x x a x =+-， a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当12a =-时，令()()212g x x f x =--，其导函数为()'g x ，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()'g x 的零点？并说明理由.【解析】（1）依题意知函数()f x 的定义域为()0+∞，，且()1f x a x'=-.①当0a ≤时， ()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，上单调递增. ②当0a >时，由()0f x '=得： 1x a=， 则当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时()0f x '>；当1x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时()0f x '<. 所以()f x 在10a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. （2）122x x +不是导函数()g x '的零点. 证明如下：由（Ⅰ）知函数()22ln g x x x x =--. ∵1x ， 2x 是函数()g x 的两个零点，不妨设120x x <<， ∴22111111222222222ln 02ln {{2ln 02ln x x x x x x x x x x x x --=-=⇒--=-=，两式相减得：()()()12121212ln ln x x x x x x -+-=-即： ()1212122ln ln 1x x x x x x -+-=-又()221g x x x-'=-. 则()1212121212122ln ln 4412x x x x g x x x x x x x x -+⎛⎫=+--=- ⎪+-+⎝⎭' ()()1212121222ln ln x x x x x x x x ⎡⎤-=--⎢⎥-+⎣⎦.设12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<， 令()()21ln 1t t t t ϕ-=-+， ()()()()22211411t t t t t t ϕ-=-=+'+.又01t <<，∴()0t ϕ'>，∴()t ϕ在()0,1上是増函数， 则()()10t ϕϕ<=，即当01t <<时， ()21ln 01t t t --<+，从而()()1212122ln ln 0x x x x x x ---<+，又121200x x x x <<⇒-<所以()()1212121222ln ln 0x x x x x x x x ⎡⎤--->⎢⎥-+⎣⎦， 故1202x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭'，所以122x x +不是导函数()g x '的零点. 类型2 导数、函数与不等式典例2 已知函数()2ln ,f x x ax x a R =+-∈．（1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令()()2g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由； （3）当(]0,x e ∈时，证明：()2251ln 2e x xx x ->+． 【答案】（1（2）存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3；（3）详见解析．综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3．当0x e <≤时，()0x ϕ'≥，()h x 在(]0,e 上单调递增【名师指点】证明不等式()()f x g x ≥成立，可以构造函数()()()H x f x g x =-，通过证明函数()H x 的最小值大于等于零即可，可是有时候利用导数求函数()H x 最小值不易，可以通过特例法，即证明()f x 的最小值大于等于()g x 的最大值即可．【举一反三】【湖南省郴州市一中2018届高三十二月月考理科】设函数()()1ln 2f x a x x a R x=+-∈. （1）当3a =时，求()f x 的极值； （2）当1a =时，证明： ()122x ef x x e->-+. 【解析】（1）当3a =时， ()13ln 2f x x x x=+-， ()231'2f x x x=--= ()()222211231(0)x x x x x x x ---+-=->，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'0f x <， ()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时， ()'0f x >， ()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当()1,x ∈+∞时， ()'0f x <， ()f x 在()1,+∞上单调递减. 所以，当12x =， ()f x 取得极小值113ln22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 当1x =时， ()f x 取得极大值()11f =-.（2）证明：当1a =时， ()()()11ln 1211f x x x x -=-+---， 1x >， 所以不等式()122x e f x x e ->-+可变为()1ln 11x ex x e-+>-.要证明上述不等式成立，即证明()()()11ln 11xe x x x e---+>.设()()()1ln 11g x x x =--+，则()()'1ln 1g x x =+-， 令()'0g x =，得11x e=+， 在11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上， ()'0g x <， ()g x 是减函数；在11,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上， ()'0g x >， ()g x 是增函数.所以()1111g x g e e⎛⎫≥+=- ⎪⎝⎭. 令()()1xe x h x e-=，则()()2'xe x h x e-=，在()1,2上， ()'0h x >， ()h x 是增函数；在()2,+∞上， ()'0h x <， ()h x 是减函数， 所以()()1121h x h e e≤=<-， 所以()()h x g x <，即()()()11ln 11xe x x x e-<--+，即()()()11ln 11xe x x x e---+>，由此可知()122x ef x x e->-+.类型三、恒成立及求参数范围问题典例3 【安徽省蚌埠市2018届高三上学期第一次教学质量检查】已知函数()ln f x x =，()()2g x a e x b =-+（其中e 为自然对数的底数， ()f x ）.（1）若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象相切于1x e=处，求,a b 的值； （2）当2b e a =-时，若不等式()()f x g x ≤恒成立，求a 的最小值. 【解析】（1）2a e =， 1b =-．（过程略）（2）令()()()()()ln h x f x g x x e a x e a =-=+---，则()()1h x e a x+'=-， 当a e ≤时， ()h x 单调递增，而()10h =， ∴()1,x ∈+∞时， ()0h x >不合题意 当a e >时，令()0h x '=，则1x a e=-， ∵()h x '为减函数， ∴10,x a e ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时， ()0h x '>， ()h x 单调递增， 1,x a e ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭时， ()0h x '<， ()h x 单调递减，∴()max 1h x h a e ⎛⎫==⎪-⎝⎭()()ln 10a e e a -----≤， 即()()ln 1a e a e -≥--．（△）但0,ln 1x x x ∀>≤-，等号成立当且仅当且1x =． 故（△）式成立只能1a e -= 即1a e =-．【名师指点】将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则．常用方法有参变分离法和构造函数法．【举一反三】已知函数1ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f ，． (1)求()f x 的单调区间；(2)若x x a x g ln )2()(--=,)()(x g x f ≥在区间),[+∞e 恒成立,求a 的取值范围． 解析：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞.2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+== ，（i ）若11a -=即2a =,则2'(1)()x f x x-=故()f x 在(0,)+∞单调增加. (ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <;当(0,1)x a ∈-或(1,)x ∈+∞时，'()0f x >；故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加. (iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调递增.（2）由题意得21()()ln 202f xg x x a x x -=+-≥恒成立.设21F()()()ln 22x f x g x x a x x =-=+-，则'F ()220ax x x=+-≥> ，所以F()x 在区间+∞[e,）上是增函数，只需21F(e)202e a e =+-≥即2122a e e ≥- .【精选名校模拟】1．【山东省济南市2018届高三上学期期末考试数学】已知函数()()ln R f x ax x a =-∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明12112ln ln x x +>. 【解析】1）()()110ax f x a x x x-=-=>' 当0a ≤时， ()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时， ()0f x '=，得1x a=10,x a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭都有()0f x '<， ()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,x a ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭都有()0f x '>， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上单调递减，无单调递增区间； 当0a >时， ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）函数()f x 有两个零点分别为12,x x ，不妨设12x x <则11ln 0x ax -=， 22ln 0x ax -=()2121ln ln x x a x x -=-要证：12112ln ln x x +> 只需证：12112a x x +>只需证： 12122x x a x x +> 只需证：12211221ln ln 2x x x x x x x x +->-只需证： 22212121ln 2x x xx x x ->只需证： 2211121ln2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln 2t t t t φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()222102t t t t φ'--=<， 即函数()t φ在()1,+∞单调递减 则()()10t φφ<= 即得12112ln ln x x +> 2． 已知函数()()28ln f x x x a x a R =-+∈（Ⅰ）当1x =时， ()f x 取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，且11x ≠时，总有()11ln 21a x m x >-- ()21143x x +-成立，求m 的取值范围.【解析】（Ⅰ） ()228'(0)x x af x x x-+=>， ()'10f =，则6a = 检验6a =时， ()()()213'(0)x x f x x x--=>，所以()0,1x ∈时， ()'0f x >， ()f x 为增函数；()1,3x ∈时， ()'0f x <， ()f x 为减函数，所以1x =为极大值点（Ⅱ）()f x 定义域为()0,+∞，有两个极值点1212,()x x x x <，则()2280t x x x a =-+=在()0,+∞上有两个不等正根所以()6480{00 20a t a x ∆=->=>=>，所以08a <<1212124{ 20x x ax x x x +==<<.所以()211211124{224 0x x a x x x x x x =-==-<<，所以102x << 这样原问题即102x <<且11x ≠时，()()21111ln 2431a x m x x x >-+--成立 即()()()()11111124ln 2411x x x m x x x ->--+-即()()11112ln 211x x m x x >-+-即()()11112ln 2101x x m x x --+>-，即()()211111212ln 01m x x x x x ⎡⎤--⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦且1111110101{1201x x x x x x <-<<<-时时设()()()2212ln (02)m x h x x x x--=+<<()()()22222'(02)m x x m h x x x -++-=<<①2m =时， ()2'0h x x=>， 所以()h x 在()0,2上为增函数且()10h =， 所以， ()1,2x ∈时， ()0h x >不合题意舍去. ②2m >时， ()'0h x >同①舍去 ③2m <时（ⅰ）0∆≤，即1m ≤时可知()'0h x ≤，在()0,2上()h x 为减函数且()10h =， 这样01x <<时， ()0h x >， 12x <<时()0h x <，这样()()2212ln 01m x x x x x⎡⎤--⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦成立（ⅱ）0∆>，即2l m <<时()'h x 分子中的一元二次函数的对称轴112x m=>-开口向下，且1的函数值为()210m -> 令1min ,22a m ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，则()1,x a ∈时， ()'0h x >， ()h x 为增函数， ()10h =所以， ()0h x >故舍去 综上可知： 1m ≤3． 已知函数()ln 1af x x x=+-， a R ∈. （1）若关于x 的不等式()112f x x ≤-在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数()()f x g x x=，若()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负.【解析】（Ⅰ）由()112f x x ≤-，得11112a nx x x +-≤-．即2112a x nx x ≤-+在[)1,+∞上恒成立设函数()2112m x x nx x =-+， 1x ≥．则()'11m x nx x =-+-． 设()11n x nx x =-+-．则()1'1n x x=-+．易知当1x ≥时， ()'0n x ≥．∴()n x 在[)1,+∞上单调递增，且()()10n x n ≥=．即()()''10m x m ≥=对[)1,x ∈+∞恒成立．∴()m x 在[)1,+∞上单调递增． ∴当[)1,x ∈+∞时， ()()()min 112m x m x m >==． ∴12a ≤，即a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（Ⅱ）()2ln 1x a g x x x x=+-， 21,x e ⎡⎤∈⎣⎦． ∴()22111'nx g x x x -=+ 332212a x x nx ax x ---=． 设()212h x x x nx a =--，则()()'21111h x nx nx =-+=-． 由()'0h x =，得x e =．当1x e ≤<时， ()'0h x >；当2e x e <≤时， ()'0h x <． ∴()h x 在[)1,e 上单调递增，在(2,e e ⎤⎦上单调递减．且()122h a =-， ()2h e e a =-， ()22h e a =-． 显然()()21h h e >．结合函数图象可知，若()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，则()()0{10h e h ><或()()210{h h e≥<．（ⅰ）当()()0{10h e h ><，即12ea <<时，则必定212,1,x x e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()120h x h x ==，且2121x e x e <<<<．当x 变化时， ()h x ， ()'g x ， ()g x 的变化情况如下表：∴当12e a <<时， ()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值为()()12,g x g x ，且()()12g x g x <． ∵()11211111nx a g x x x x =+- 111211x nx x ax -+=． 设()1x x nx x a ϕ=-+，其中12ea <<， 1x e ≤<． ∵()'10x nx ϕ=>，∴()x ϕ在()1,e 上单调递增， ()()110x a ϕϕ≥=->，当且仅当1x =时取等号．∵11x e <<，∴()10g x >． ∴当12e a <<时， ()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值()()210g x g x >>． （ⅱ）当()()210{h h e ≥<，即01a <≤时，则必定()231,x e ∃∈，使得()30h x =．易知()g x 在()31,x 上单调递增，在(23,x e ⎤⎦上单调递减．此时， ()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的极大值是()3g x ，且()()22340a e g x g ee+>=>．∴当01a <≤时， ()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值为正数．综上所述：当02e a <<时， ()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，且极值都为正数． 注：也可由()'0g x =，得221a x x nx =-．令()21h x x x nx =-后再研究()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值问题．4． 已知函数()()21ln f x a x x =-+， a R ∈.（1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.【解析】（1）当2a =时， ()()221ln f x x x =-+ 224ln 2x x x =-++.当1x =时， ()10f =，所以点()()1,1P f 为()1,0P ， 又()1'44f x x x=-+，因此()'11k f ==. 因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-. （2）当1a =-时， ()22ln g x x x m =-+，则()()()2112'2x x g x x x x -+-=-=. 因为1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当()'0g x =时， 1x =，且当11x e<<时， ()'0g x >；当1x e <<时， ()'0g x <； 故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-. 又2112g m e e⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()22g e m e =+-，()221122g e g m e m e e ⎛⎫-=+--++ ⎪⎝⎭24e =-+ 210e <，则()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()g e ，故()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的条件是 ()2110{ 1120g m g m e e =->⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭2112m e ⇒<≤+， 所以实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+⎥⎝⎦. 5．【湖北省武昌2018届元月调研考试数学】已知a 的实常数，函数()2x f x e ax -=-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1212,()x x x x <， （ⅰ）求实数a 的取值范围； （ⅱ）证明： 122x x +>.【解析】试题解析：（1）()2e xf x a -='-.当0a ≤时， ()0f x '≥，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时，由()2e0x f x a --'==，得2ln x a =+.若2ln x a >+，则()0f x '>，函数()f x 在()2ln ,a ++∞上单调递增； 若2ln x a <+，则()0f x '<，函数()f x 在(),2ln a -∞+上单调递减. （2）（ⅰ）由（1）知，当0a ≤时， ()f x 单调递增，没有两个不同的零点. 当0a >时， ()f x 在2ln x a =+处取得极小值. 由()()ln 2ln e2ln 0af a a a +=-+<，得1a e >.所以a 的取值范围为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（ⅱ）由2e 0x ax --=，得()2ln ln ln x ax a x -==+，即2ln ln x x a --=. 所以11222ln 2ln ln x x x x a --=--=. 令()2ln g x x x =--，则()11g x x'=-. 当1x >时， ()0g x '>；当01x <<时， ()0g x '<. 所以()g x 在()0,1递减，在()1,+∞递增，所以1201x x <<<. 要证122x x +>，只需证2121x x >->.因为()g x 在()1,+∞递增，所以只需证()()212g x g x >-.因为()()12g x g x =，只需证()()112g x g x >-，即证()()1120g x g x -->. 令()()()2h x g x g x =--， 01x <<，则()()()11222h x g x g x x x ⎛⎫=--=-+-''⎝'⎪⎭. 因为()1111122222x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+=+-+≥ ⎪⎣⎦--⎝⎭，所以()0h x '≤，即()h x 在()0,1上单调递减.所以()()10h x h >=，即()()1120g x g x -->， 所以122x x +>成立.6．【山西省吕梁市2018届高三上学期第一次模拟考试】已知函数()()ln xe f x a x x x=--. （1）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在()0,1内有极值，试求a 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）()()2e 111x xf x a x x -⎛⎫=-- ⎝'⎪⎭()()2e 11x x ax x x ---=，()()2e 1xax x x--=．当0a ≤时，对于()0,x ∀∈+∞， e 0xax ->恒成立，所以 ()0f x '> ⇒ 1x >； ()0f x '< ⇒ 01x <<0. 所以 单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1 ．（Ⅱ）若()f x 在()0,1内有极值，则()f x '在()0,1x ∈内有解．令()()()2e 10xax x f x x --==' ⇒e 0xax -= ⇒ e xa x= .设()e xg x x= ()0,1x ∈,所以 ()()e 1x x g x x='-, 当()0,1x ∈时， ()0g x '<恒成立，所以()g x 单调递减.又因为()1e g =，又当0x →时， ()g x →+∞, 即()g x 在()0,1x ∈上的值域为()e,+∞, 所以 当e a >时，()()()2e 10xax x f x x --==' 有解.设()e xH x ax =-，则 ()e 0xH x a ='-< ()0,1x ∈， 所以()H x 在()0,1x ∈单调递减. 因为()010H =>， ()1e 0H a =-<,所以()e xH x ax =-在()0,1x ∈有唯一解0x .所以有：所以 当e a >时， ()f x 在()0,1内有极值且唯一.当e a ≤时，当()0,1x ∈时， ()0f x '≥恒成立， ()f x 单调递增，不成立． 综上， a 的取值范围为()e,+∞．7．【四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动理科数学试题】已知函数()ln xf x e x =+.（1）求函数()'y f x =在[)1,x ∈+∞上的最小值；（2）若对任意[)1,x ∈+∞恒有()()1f x e m x ≥+-，求实数m 的取值范围. 【解析】（1）由于()()1'x y h x f x e x ===+，则()21'x h x e x=-， 则当()1,x ∈+∞时， 21,1x e e x ><， 所以()'0h x >，即()h x 在()1,+∞上是增函数， 于是y 在[)1,+∞上的最小值为()11h e =+．（2）考虑函数()()()1g x f x e m x =---，即为()0g x ≥对任意[)1,x ∈+∞恒成立， 且发现()10g =，于是()1'xg x e m x=+-， 由(1)知：当1m e ≤+时， ()'0g x ≥，此时()g x 单调增，于是()()10g x g ≥=，成立； 若1m e >+，则存在()1,t ∈+∞使得：当()1,x t ∈时()'0g x <，当(),x t ∈+∞时()'0g x >， 此时()0min g g t ≥<，矛盾，综上， 1m e ≤+．8．【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数()()2232ln 42f x x x x x x =--+. （1）若()f x 在(),1a a +上递增，求a 的取值范围； （2）证明： ()'24f x x >-.【答案】（1）0a =或a e ≥（2）详见解析【解析】试题分析：（1）要使()f x 在(),1a a +上递增，只需()0f x '≥，且不恒等于0，所以先求得函数的增区间， (),1a a +是增区间的子区间。
2009湖南数学奥赛一等奖名单
长沙市宁乡一中
高三
45
110
155
41
龚澜希
男
常德市澧县一中
高三
65
90
155
42
曾洁
女
长沙市雅礼中学
高三
85
70
155
43
张朝恩
男
湖南师大附中
高二
43
110
153
44
贺泳霖
男
湘潭市湘潭县一中
高三
83
70
153
45
曹雄
男
长沙市宁乡一中
高三
82
70
152
46
孙奥
男
湖南师大附中
高二
51
100
151
47
198
方泽世
男
长沙市同升湖中学
高三
61
30
91
199
曾祥泽
男
长沙市雅礼中学
高一
40
50
90
200
彭欣亮
男
长沙市雅礼中学
高一
50
40
90
201
龚志坚
男
永州市宁远县舜德学校
高三
30
60
90
202
黄河锦
男
湘潭市湘潭县一中
高三
50
40
90
203
杨磊
男
益阳市桃江四中
高三
70
20
90
204
侯宇翔
男
株洲市二中
高三
高三
46
40
86
218
郑江赞
男
岳阳市汨罗市一中
2024届湖南省郴州市一中化学高一上期中监测试题含解析
2024届湖南省郴州市一中化学高一上期中监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(共包括22个小题。
每小题均只有一个符合题意的选项）1、下列过程中没有发生氧化还原反应的是A．森林着火B．醋除水垢C．食物腐败变质D．爆竹爆炸2、“纳米材料”是粒子直径为1～100nm（纳米）的材料，纳米碳就是其中的一种。
若将纳米碳均匀地分散到蒸馏水中，所形成的物质①是溶液②是胶体③是浊液④不能透过滤纸⑤能透过滤纸⑥能产生丁达尔效应⑦静置后，会析出黑色沉淀A．②⑤⑥B．②⑥⑦C．①⑤D．③④⑦3、实验室制Cl2反应4HCl（浓）+MnO2 MnCl2+ Cl2↑+2H2O，下列说法不正确的是A．还原剂是HCl，氧化剂是MnO2B．每有2molHCl被氧化，转移电子的物质的量为2molC．每消耗1mol MnO2，起还原剂作用的HCl消耗4molD．转移电子的物质的量为1mol时，生成标准状况下Cl2的体积为11.2L4、下列电离方程式书写正确的是( )A．H2CO3CO32-+2H+B．KClO3=K++Cl5++3O2-C．H2O2H++O2-D．NH3·H2O NH4++OH-5、下列物质间不能发生离子反应的是（）A．Na2SO4溶液与BaCl2溶液B．铝片插入Hg(NO3)2溶液C．NaNO3溶液与KCl溶液D．Na2CO3溶液与稀盐酸6、下列属于氧化还原反应的是A．2NaHCO3Na2CO3+CO2↑+H2O B．Na2O+H2O=2NaOHC．2KI+Br2=2KBr+I2D．MgO+2HCl=MgCl2+H2O7、下列事实与胶体性质无关的是( )A．向熟豆浆中加入盐卤做豆腐B．江河入海口有三角洲C．用激光笔照射硫酸铜水溶液在侧面看不到光的通路D．用半透膜和水可以分离淀粉和氯化钠的混合物8、目前市场上有一种专门为婴幼儿设计的电解质饮料，适合在婴幼儿感冒、发烧时快速补充体内流失的电解质成分。
2016年湖南省中学数学教师解题大赛高中组获奖光荣榜
2016年湖南省中学数学教师解题大赛高中组获奖光荣榜特等奖市 学校 姓名 娄底 双峰县一中 熊建平 娄底市 娄星区一中 谢伦驾 永州 新田一中 廖信亮 长沙市 长沙市一中 王清明 常德市 常德澧县二中 陈晶晶 常德市 石门县一中 陈锦鑫 岳阳 教科院 卢军 长沙市 湖南师大附中 杨章远 长沙市 长沙市一中 李鑫 长沙市 长沙市雅礼中学 申东壹等奖市 学校 姓名 永州 祁阳一中 唐双石 湘潭 湘乡县一中 沈成友 株洲 攸县明阳学校 李振乐 益阳 益阳南县一中 李光荣 常德市 石门县一中 刘瑜莉常德市 常德澧县二中 毛晓春 娄底市 娄星区三中 吴科文 长沙市 麓山国际实验学校 周政 湘潭 湘钢一中 李祥 长沙市 宁乡一中 朱学军 永州 祁阳一中 郑孝军 衡阳 常宁县二中 王小国 株洲 株洲市南方中学 颜伟 益阳 益阳南县一中 卢万佳 长沙市 明德中学 邓朝发 株洲 株洲市十八中 郭纪要 衡阳 衡阳市第八中学 彭韬 岳阳 岳阳市湘阴一中 徐金波 湘西 花垣边高 覃孟龙 长沙市 周南中学 杨振新 株洲 株洲市二中 吴娟 常德市 石门县一中 袁永芳 常德市 常德鼎城区一中 粟志芳 娄底 双峰县二中 朱寿田 长沙市 长郡中学 陈家烦 长沙市 长郡梅溪湖中学 段宏杰 永州 永州四中 唐卫华湘潭 湘乡县树人学校 贺朝辉 长沙市 广益中学 伍泰锦 长沙市 长郡中学 吴华华 岳阳 岳阳市岳阳中学 曹阳 常德市 常德鼎城区一中 李全兵 娄底 双峰县一中 王建阳 长沙市 麓山国际实验学校 李操 岳阳 岳阳市十四中 肖益群 郴州 郴州市二中 李晓彪 益阳 益阳赫山区箴言中学 江孟科 长沙市 芙蓉区火星二小 邓金平 衡阳 衡南区一中 李佳 长沙市 长沙县一中 袁立新 株洲 株洲市二中 欧阳普贰等奖市 学校 姓名 益阳 益阳南县立达中学 张江红 株洲 株洲市南方中学 李中明 长沙市 浏阳市田家炳实验中学 雷春 长沙市 湖南师大附中梅溪湖中学 胡华 益阳 益阳赫山区箴言中学 周志斌湘潭市 湘乡县东山学校 陈志洪 衡阳 耒阳县第二中学 谷建成 岳阳 岳阳市十四中 胡艳辉 永州市 永州一中 杨迪虹 常德市 桃源县第一中学 熊彦琪 永州 祁阳一中 桂安生 郴州 郴州市一中 雷震宇 常德市 桃源县第一中学 谌兴明 长沙市 长沙市一中 何最祥 郴州 郴州市二中 曹石林 长沙市 长沙市十一中 阳娟 衡阳市 衡南区二中 王雅丽 长沙市 长沙新东方培训学校 刘威 永州 东安一中 易和好 永州市 祁阳一中 刘俊宏 郴州 郴州市二中 张寿元 长沙市 广益中学 王忠富 长沙市 长郡中学 田茂清 娄底 双峰县一中 贺永铁 株洲 株洲市北师大株洲附校 叶良广 永州 永州四中 张明明 长沙市 长沙县一中 陶双喜长沙市 浏阳五中 田志坚 益阳 益阳市第十五中学 肖立群 郴州 郴州市嘉禾县一中 何发军 湘潭 十一中学 宾红霓 娄底 双峰县一中 陈正喜 衡阳 衡阳市第一中学 胡鸿军 益阳 益阳市第十五中学 陈 敏 娄底市 娄星区三中 李铁建 益阳 益阳第十三中学 温晓春 常德市 常德市外国语学校 王丽平 益阳 益阳赫山区箴言中学 陈友良 长沙市 湖南师大附中 黄钢 长沙市 浏阳市田家炳实验中学 李永久 株洲 醴陵县二中 钟雪军 长沙市 广益中学 刘杨 湘潭 市一中 秦述平 长沙市 浏阳市九中 张家红 娄底市 娄星区三中 周雄 常德市 常德市外国语学校 周顺 株洲 株洲市一中 彭红龙 株洲 株洲市二中 王凡 衡阳 衡东区进修中学 胡冬成常德市 石门县一中 丁亚军 衡阳 衡阳市第八中学 吕建设 衡阳 衡阳市第八中学 曾小权 永州 新田一中 唐春晖 长沙市 长沙新东方培训学校 孔令然 张家界 张家界市民族中学 向敏慎 张家界 张家界桑植县一中 曹红保 益阳 益阳市第十六中学 朱伟仙 长沙市 宁乡一中 邓晨亮叁等奖市 学校 姓名 长沙市 湖南师范大学 田尚 永州 永州四中 冯小军 株洲 株洲市十八中 肖卫民 湘西 花垣边高 谭爱军 益阳 益阳赫山区箴言中学 孙介勋 娄底 双峰县七中 刘青红 株洲 醴陵县二中 刘小林 衡阳市 衡东区第一中学 罗爱忠 岳阳 岳阳汨罗二中 徐德仲 株洲 攸县一中 何正腾湘潭 湘钢一中 曾宪礼 株洲 株洲市十八中 周喜元 株洲 株洲市二中 黄秀良 常德市 石门县一中 覃四化 娄底 双峰县一中 戴朝晖 长沙市 浏阳市九中 张在强 株洲 株洲市二中 王林 郴州 郴州市二中 王 勇 株洲 株洲市九方中学 华文彬 长沙市 湖南师范大学 谢丽倩 常德市 石门县一中 严文豪 长沙市 浏阳二中 李先红 株洲 株洲市炎陵县第一中学 彭国超 常德市 常德津市市第一中学 唐朝晖 永州 永州四中 刘鹏 株洲 醴陵县四中 李彬 郴州 郴州市二中 廖 娟 株洲 株洲市十三中 周见舟 常德市 常德津市市第一中学 黄东清 株洲 株洲市炎陵县第一中学 潘新平 张家界 张家界市民族中学 金海山 永州市 新田二中 刘大仁株洲 醴陵县一中 龙 芳 郴州 郴州市二中 陈鹏辉 衡阳 耒阳县正源中学 徐松洋 郴州 郴州市二中 曾小丽 长沙市 长沙市一中开福中学 符长现 永州市 祁阳一中 张 洁 株洲 株洲市十三中 吴雄军 株洲 株洲市北师大株洲附校 胡晓雷 长沙市 湘府中学 刘银军 衡阳市 衡南区二中 周乾耀 娄底 双峰县曾国藩学校高中部 肖云和 张家界 张家界慈利县二中 黎震宙 郴州 郴州市二中 黎红祎 郴州 郴州市二中 肖贤统 常德市 常德鼎城区九中 易劲松 娄底 双峰县一中 朱况成 永州 永州一中 眭小军 益阳 益阳第十三中学 周立夫 常德市 桃源县第一中学 曾雪梅 益阳 益阳赫山区箴言中学 何证明 郴州 郴州市桂东县一中 罗杰雄 永州 道县一中 何勇仕株洲 株洲市炎陵县第一中学 邓佑和 常德市 石门县一中 徐超云 株洲 醴陵县一中 文红波 衡阳 常宁县二中 吴中桂 益阳 益阳赫山区箴言中学 孙卫英 岳阳 岳阳市湘阴一中 冯 元 衡阳 衡南区一中 冯源 永州市 永州一中 周友明 益阳 益阳赫山区箴言中学 曾志粱 常德市 常德澧县二中 宋强 常德市 石门县一中 申丽华 长沙市 长郡中学 田勇华 长沙市 长沙市明达中学 周石桥 湘西 花垣民中 向秋红 常德市 石门县一中 王继伟 郴州 郴州市桂东县一中 李玉琴 郴州 郴州市二中 曹美莲 衡阳 衡山区岳云中学 曹林松 常德市 常德津市市第一中学 张成红 株洲 醴陵县四中 朱国辉 衡阳市 衡山区岳云中学 姚孝军 常德市 常德津市市第一中学 刘友志郴州 郴州市桂东县一中 黄亚勇 常德市 石门县第六中学 王艳菊 岳阳 岳阳市五中 颜雯 常德市 常德津市第一中学 杨歆 常德市 石门县第六中学 唐海涛湖南省教育学会中学数学教学专业委员会2016/11/20。
填空题的解法大全
填空题的解法1.填空题的特征：填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．从历年高考成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．2．解填空题的基本原则：解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等．3．【方法要点展示】方法一直接法：直接法就是从题干给出的条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解填空题最常用的策略．这类填空题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1【湖南省怀化市2019届3月第一次模拟】已知双曲线：的左、右焦点分别为、，第一象限内的点在双曲线的渐近线上，且，若以为焦点的抛物线：经过点，则双曲线的离心率为_______．【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，焦点为，，可得，①又，可得，即为，②由，联立①②可得，，由为焦点的抛物线：经过点，可得，且，即有，即，由，可得，解得例2 【江西省南昌市2019届第一次模拟】若对任意，函数总有零点，则实数的取值范围是__________．【解析】∵函数总有零点，∴对任意恒成立，∴，记在上单调递减，∴，∴，故答案为：例3 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )【解析】 由椭圆方程知c ＝4－3＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32. 设P (x 1，y 1)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 2A →＝(0，y 0)，所以F 1P →·F 2A →＝y 1y 0，因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3，F 1P →·F 2A →的最大值为332.答案 332例4已知12,F F 分别是双曲线22221x y a b -= (0,0)a b >>的左、右焦点，过()17,0F -的直线l 与双曲线分别交于点,A B （点A 在右支上），若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的方程为__________．【规律总结】直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．【举一反三】1. 【贵州省遵义航天2019届第七次模拟】 已知等比数列，是方程的两实根，则等于____【解析】，为的两根，，则．故答案为：4． 3 .已知复数z ＝a ＋(a －1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则复数z i 在复平面上所对应的点的坐标为________．解析 因为复数z ＝a ＋(a －1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，所以a －1＝0，解得a ＝1.所以复数z ＝1，所以z i ＝i.所以复数z i 在复平面上所对应的点的坐标为(0,1)．方法二 特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例1已知函数（a R ∈）为奇函数，则=a .【解析】试题分析：函数()f x 的定义域为R ，又因为()f x 为奇函数，所以(0)0f =，即，解得2a =-.例3 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.【解析】 把四边形ABCD 看成正方形，则P 点为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18.答案 18【规律总结】求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．本题中的发现函数过一个定点是本题的运用特值法的前提条件，从而减少了计算量．【举一反三】练习 1 若，则被3除的余数是______．【解析】令，得．分别令和，将得到的两式相加，得．所以．练习 2 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝________.【解析】不妨取|BD →|＝2，则|BC →|＝23，∠ADB ＝π3，∴AC →·AD →＝(BC →－BA →)·AD →＝BC →·AD →－BA →·AD →＝23×1×cos π3＋0＝ 3.练习 3 cos 2α＋cos 2(α＋120°)＋cos 2(α＋240°)的值为________________．【解析】令α＝0°，则原式＝cos 20°＋cos 2120°＋cos 2240°＝32.练习 4 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.【解析】 此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化．根据函数特点取f (x )＝sin π4x ，再由图象可得(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝(－6×2)＋(2×2)＝－8.答案 －8方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．例1已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(2－x)≤f(1)的解集为________．【解析】函数y＝f(x)的图象如图，由不等式f(2－x)≤f(1)知，2－x≤2＋1，从而得到不等式f(2－x)≤f(1)的解集为[－1，＋∞)．例2【浙江省温州市2019届2月测试】已知，若对任意的 a∈R，存在∈[0，2] ，使得成立，则实数k的最大值是_____【解析】当0时，即a≤0时，在[0，2]恒成立，∴，此时在[0，2]上单调递增，∴max f（x）max＝f（2）＝22﹣2a＝4﹣2a，∴k≤4-2a对任意的a≤0成立，∴k≤4；当2时，即a≥4，在[0，2]恒成立，∴，此时在[0，2]上单调递减，∴max f（x）min＝-f（2）＝-22+2a＝-4+2a，∴k≤-4+2a对任意的a≥4成立，∴k≤4；当0时，即0＜a≤2时，此时在[0，]上单调递减，在[，2] 上单调递增，且在[0，a]恒成立，在[a，2]恒成立，∴max,又-=+2a-4≥0时，即时，max，∴k≤对任意的成立，∴k≤；时，max ，∴k≤对任意的成立，∴k≤；当2时，即2＜a ＜4时，f （x ）max ＝＝，∴k≤对任意的2＜a ＜4成立，∴k≤1； 综上所述： k≤；故答案为.例4 【湖南省郴州市一中2009届高三二月月考】点M N 、分别是函数()f x 、()g x 图像上的点，若M N 、关于原点对称，则称M N 、是一对“关联点”.已知()242f x x x =-+-， ()24g x x x =--，则函数()f x 、()g x 图像上的“关联点”有__________ 对．【规律总结】图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．【举一反三】1. 【山东省潍坊市2019届一模】已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线及其准线依次相交于、、三点（其中在、之间且在第一象限），若，，则__________．【解析】如图，过M 作MH ⊥l ＝H ，由|MN |＝2|MF |，得|MN |＝2|MH |，∴MN 所在直线斜率为，MN 所在直线方程为y （x ），联立，得12x 2﹣20px +3p 2＝0．解得：，则|GF |，即p ＝2．故答案为：2．2 设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域．区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】 作不等式组表示的平面区域，如图所示(△OAB 及其内部)，易观察知，所求最小值为点P (1,0)到2x －y ＝0的距离d ＝|2×1－0|22＋(－1)2＝255. 3 已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是________________________________________________________________________．【解析】 画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，∴d 2min ＝(|3－0－1|12＋(－1)2)2＝(2)2＝2. 最大值为点Q 到点A 的距离的平方，∴d 2max ＝16.∴取值范围是[2,16]．方法四 构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．例1 【重庆市第一中学2019届3月模拟】设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______.【解析】令g （x ）＝e x f （x ）﹣e x ，则g ′（x ）＝e x f （x ）+e x f ′（x ）﹣e x ＝e x （f （x ）+f ′（x ）﹣1），∵f （x ）+f ′（x ）<1，∴f （x ）+f ′（x ）﹣1<0，∴g ′（x ）<0，g （x ）在R 上为单调递减函数，∵g （0）＝f （0）﹣1＝2018﹣1＝2017,∴原不等式可化为g （x ）＞g （0），根据g （x ）的单调性得x <0, ∴不等式（其中为自然对数的底数）的解集为,故答案为．例2 如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．【解析】 (1)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.例3 e 416，e 525，e 636(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是________． 【解析】 由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e xx 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e 636. 而f ′(x )＝(e x x 2)′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2－2x )x 4，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636.例4 已知奇函数()f x 定义域为()()(),00,,'f x -∞+∞为其导函数,且满足以下条件①0x >时,()()3'f x f x x <；②()112f =；③()()22f x f x =,则不等式()224f x x x <的解集为 .【解析】0x >时，令()()()343()()0f x xf x f x g x g x x x '-'=⇒=<，又()f x 为奇函数，所以()g x 为偶函数，因为()()22f x f x =，所以()11111142248f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31()14814()4f g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而()2112()8(||)()||444f x x g x g x g x x <⇒<⇒<⇒>⇒解集为【举一反三】1.设函数为自然对数的底数），当x R ∈时， ()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【解析】由题意可得：恒成立，令，则，令可得：，绘制函数的图像如图所示，满足题意时， 212xy x e =的图像不在的图像的下方，设切点坐标为()00,P x y ，切线方程为：，即：，切线过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，则：，解方程可得： 00x =或01x =或043x =-，结合函数图像可得：，即06m e ≤≤.表示为区间形式即[]0,6e .2 已知a ＝ln 12 013－12 013，b ＝ln 12 014－12 014，c ＝ln 12 015－12 015，则a ，b ，c 的大小关系为________．【解析】 令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－x x .当0<x <1时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1>12 013>12 014>12 015>0，∴a >b >c .3 . 已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．【解析】 用正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．方法五 归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．1 观察下列算式：13＝1,23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若某数m 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 015”这个数，则m ＝________.解析 由题意可得第n 个算式的左边是n 3，右边是n 个连续奇数的和，设第n 个算式的第一个数为a n ，则有a 2－a 1＝3－1＝2，a 3－a 2＝7－3＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)，以上n －1个式子相加可得a n －a 1＝(n －1)[2＋2(n －1)]2，故a n ＝n 2－n ＋1，可得a 45＝1 981，a 46＝2 071，故 2 015在453的展开式中，故m ＝45. 2 .图中是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图，我们彩用 “坐标”来表示图乙各行中的白圈黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）比如第一行记为()0,1，第二行记为()1,2，第三行记为()4,5，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为_________．【解析】有图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为2个黑圈1个白圈，记某行白圈x 个，黑圈y 个为(),x y ，则第一行记为()0,1，第二行记为()1,2，第三行记为()4,5，第四行白圈数为，黑圈数为，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为()13,14，故答案为()13,14．【规律总结】这类问题是近几年高考的热点．解决这类问题的关键是找准归纳对象．如本题把函数的前几个值一一列举出来．观察前面列出的函数值的规律，归纳猜想一般结论或周期，从而求得问题．【举一反三】1.所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、完美数）.如：6123=++；28124714=++++；4961248163162124248=++++++++.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如12622=+，23428222=++，……，按此规律，8128可表示为 ．【答案】6712222+++…【解析】因为681282127=⨯，又由1212712n-=-，解得7n =．所以6681282(122)=⨯+++…＝6712222+++…．2. 【山东省淄博市2019届3月模拟】古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得＋.形如(n ＝2，3，4，…)的分数的分解：，按此规律，＝_____(n ＝2，3，4，…)．【解析】通过分析题目所给的特殊项，的分解是由两个部分构成，第一个部分是，第二部分是，故＝.2 (1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.【解析】 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n ， ∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.3 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．【解析】观察题图①，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即构成首项为8，公差为6的等差数列，所以，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n ＋2.方法六 正反互推法多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．例 已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[0,1)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，给出下列命题：①f (2 013)＋f (－2 014)的值为0；②函数f (x )在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y ＝x 与函数f (x )的图象有1个交点；④函数f (x )的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有________．【解析】 根据题意，可在同一坐标系中画出直线y ＝x 和函数f (x )的图象如下：根据图象可知①f (2 013)＋f (－2 014)＝0正确，②函数f (x )在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f (x )的值域是(－1,1)，正确．答案 ①③④练习 ①双曲线y 22－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x ；②命题p ：“∀x ∈R ＋，sin x ＋1sin x ≥2”是真命题；③已知线性回归方程为y ^＝3＋2x ，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝0.2，则P (－1<ξ<0)＝0.6；⑤已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为n n －4＋8－n(8－n )－4＝2(n ≠4)．则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)．答案 ①③⑤知识方法总结 六招拿下填空题：(一)直接法 (二)特例法 (三)数形结合法 (四)构造法(五)归纳推理法 (六)正反互推法从考试的角度来看，解填空题只要做对就行，不需要中间过程，正因为不需要中间过程，出错的概率大大增加.我们要避免在做题的过程中产生笔误，这种笔误很难纠错，故解填空题要注意以下几个方面：(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确.(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论.(3)要重视对所求结果的检验.(4)注意从不同的角度分析问题，从而比较用不同的方法解决题目的速度与准确度，从而快速切题，达到准确解题的目的.填空题的主要特征是题目小，跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力.近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了.。
2019年上海市第五十二中学高考数学选择题专项训练(一模)
2019年上海市第五十二中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题：来源：高中数学第二章统计本章整合试卷及答案新人教A版必修3某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人．现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样【答案】D第 2 题：来源：黑龙江省双鸭山市第一中学2019届高三数学上学期第一次月考试题理（含解析）函数其中（）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）A. 向右平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向左平衡个长度单位【答案】A【详解】由函数其中（）的部分图象可得A=1，，求得ω=2．再根据五点法作图可得，．故把的图象向右平移个长度单位，可得的图象，第 3 题：来源：广西南宁市2016_2017学年高一数学下学期第一次月考试题试卷及答案在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为( )A. B. C.D.【答案】D 提示：在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线,垂足为E,连接BE.⇒C1E⊥平面BDD1B1,∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.∵BC1=,C1E=,∴sin∠C1BE=.第 4 题：来源：山东省泰安市2019届高三数学一轮复习质量检测试卷理（含解析）若复数的实部与虚部互为相反数，则实数A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.第 5 题：来源：甘肃省兰州市2016_2017学年高一数学下学期期末考试试题试卷及答案若，则是第几象限角（）A．一或二B．二或三C．三或四D．四或一第 6 题：来源：湖北省宜昌市2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案已知集合，则= A.B. C. D.【答案】B第 7 题：来源：广东省天河区普通高中2017_2018学年高一数学10月月考试题试卷及答案08若奇函数在上为增函数，且有最小值0，则它在上A.是减函数，有最小值0B.是增函数，有最小值0C.是减函数，有最大值0D.是增函数，有最大值0【答案】D第 8 题：来源：湖南省怀化三中2018_2019学年高一数学上学期期中试题．函数在上是增函数，在上是减函数，则（）A． B． C． D．的符号不确定【答案】B第 9 题：来源：重庆市万州三中2018_2019学年高二数学下学期期中试题理函数的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )A. B.C. D.第 10 题：来源：四川省崇州市2016-2017学年高一数学下学期开学考试试题设，则的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】A第 11 题：来源：河北省衡水中学2018届高三数学上学期一轮复习周测试题理试卷及答案已知命题有解，命题，则下列选项中是假命题的为（）A．B． C.D．【答案】B第 12 题：来源：广东省天河区普通高中2017_2018学年高二数学11月月考试题04 试卷及答案若，，则下列不等式成立的是A. B. C. D.【答案】．A第 13 题：来源： 2019高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性与周期性分层演练文若函数f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，则a的值为( )A．1 B．－1C．±1 D．0【答案】C.因为f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0.即ln(－ax＋)＋ln(ax＋)＝0恒成立，所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，第 14 题：来源：福建省泉州市2017届高考数学模拟试卷（文科）含答案解析若，则=（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【答案】D【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解： ===i，则=1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．第 15 题：来源：山东省武城二中2017届高三数学下学期第一次月考试题试卷及答案理若直角坐标平面内两点P，Q满足条件①P、Q都在函数y＝f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则对称点（P，Q）是函数y＝f（x）的一个“伙伴点组”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”）．则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是＿＿＿（填空写所有正确选项的序号）①；②；③；④.【答案】②③第 16 题：来源： 2015-2016学年广东省东莞市高二数学下学期期末试卷a 理（含解析）用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【答案】A【考点】反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．第 17 题：来源：江西省上饶市玉山县第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理（10_19班）若函数的导函数的图像关于原点对称，则的解析式可能为（）A．B．C．D．【答案】A第 18 题：来源：重庆市六校联考高一（上）期末数学试卷（含答案解析）若区间[x1，x2]的长度定义为|x2﹣x1|，函数f（x）=（m∈R，m≠0）的定义域和值域都是[a，b]，则区间[a，b]的最大长度为（）A． B． C． D．3【答案】A【解答】解：函数f（x）=（m∈R，m≠0）的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．f（x）==﹣在区间[a，b]上时增函数，则有：，故a，b是方程f（x）=﹣=x的同号相异的实数根，即a，b是方程（mx）2﹣（m2+m）x+1=0同号相异的实数根．那么ab=，a+b=，只需要△＞0，即（m2+m）2﹣4m2＞0，解得：m＞1或m＜﹣3．那么：n﹣m==，故b﹣a的最大值为，第 19 题：来源： 2017年湖北省宜昌市长阳县高一数学3月月考试题试卷及答案在△ABC中，，c=2，C=600，则A等于（） A．1500 B．750 C．1050 D．750或1050【答案】 B第 20 题：来源：湖南省郴州市湘南中学2019届高三数学上学期期中试题理函数的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）【答案】B第 21 题：来源：河北省石家庄市2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案函数的零点所在区间为( )A． B． C． D．【答案】 C第 22 题：来源：河南省安阳市2017_2018学年高二数学上学期第二次月考试题试卷及答案已知等差数列中，，公差，则使前项和为取最小值的正整数的值是（）A．4和 5 B．5和 6 C．6和7 D．7和8【答案】C第 23 题：来源： 2015-2016学年广东省东莞市高二数学下学期期末试卷a 理（含解析）对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）A．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好【答案】D【分析】可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．【解答】解：若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，b=0.52＞0，则y与x具有正相关关系，正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确；可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故正确；相关指数R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故不正确．故选：D．第 24 题：来源：新疆维吾尔自治区阿克苏市2017_2018学年高二数学上学期第二次月考试题试卷及答案理已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“”，则，即.所以,充分性成立；若“”，则，有或.必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件.故选A.第 25 题：来源：宁夏石嘴山市2018届高三数学上学期期中试题理用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（）A. B.C. D.【答案】D第 26 题：来源：河北省石家庄市2016_2017学年高一数学下学期学情反馈试题（一）理试卷及答案在中，角、、的对边分别为、、，则以下结论错误的为（）A．若，则B．C．若，则；反之，若，则D．若，则【答案】D【解析】试题分析：∵，∴由正弦定理，，又∵，为的内角，∴，故，A正确；∵由正弦定理可得，∴，故B正确；在，设外接圆的半径为，若，则，由正弦定理可得，即；若，即有，即，即．则在中，，故C正确；∵，∴，∴或，∴或，∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故D错误．故选：D．第 27 题：来源：湖南省长沙市雅礼中学2019届高三数学上学期月考试题二理现有四个函数：①，②，③，④的图像（部分）如下，但顺序打乱了，则按照从左到右将图象对应的序号排列正确的组是A．①③②④ B．②①③④ C．③①④② D．①④②③【答案】D第 28 题：来源： 2017届宁夏银川市高三第二次模拟考试理科数学试卷含答案已知是定义在R上的偶函数，且对恒成立，当时，，则A. B.C. D.【答案】B第 29 题：来源：贵州省思南中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理复数z满足，则复数的虚部是（）A．1 B．－1 C． D．【答案】C第 30 题：来源：辽宁省沈阳市2018届高三数学11月阶段测试试题理试卷及答案下列判断错误的是（）SX010202A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“”的否定是“”C．若为真命题，则均为假命题D．命题“若，则”为真命题，则“若，则”也为真命题【答案】C第 31 题：来源：山西省芮城县2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题理试卷及答案已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且,，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的半径为A. 3B.1C.2D.4【答案】C第 32 题：来源： 2016_2017学年福建省厦门市高二数学试卷及答案下学期期中试题理设a=，b=，，则a、b、c间的大小关系是（）A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．a>c>b【答案】D第 33 题：来源：高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义自我小测新人教B版选修1_120171101235曲线y＝x3＋2在点处切线的倾斜角为( )A．30° B．45° C．135° D．60°【答案】B第 34 题：来源：广东省深圳市耀华实验学校2018_2019学年高一数学下学期入学考试试题（国际1班）若函数是定义域为上的减函数，则函数的图像大致是 ( )．A. B.C . D.【答案】D第 35 题：来源：湖北省宜昌市2017_2018学年高二数学上学期期中试题理试卷及答案若圆的半径为1，圆心在第二象限，且与直线和轴都相切，则圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】B第 36 题：来源：黑龙江省哈尔滨市2016_2017学年高二数学6月月考试题试卷及答案理.离散型随机变量X的分布列为，则与依次为( )和和和和【答案】D第 37 题：来源： 2017届吉林省长春市朝阳区高三数学下学期第八次模拟考试试题试卷及答案理若，则＝（A）（B）1 （C）5 （D）25【答案】B第 38 题：来源：广东省江门市第二中学2017_2018学年高二数学11月月考试题（含解析）数列前项的和为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】数列前项的和故选B．第 39 题：来源： 2017年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科）含答案解析在区间上任选两个数x和y，则y＜sinx的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【考点】几何概型．【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：在区间上任选两个数x和y，区域的面积为，满足y＜sinx的区域的面积为=（﹣cosx）=1，∴所求概率为．故选C．第 40 题：来源：江西省南康中学2018_2019学年高二数学二下学期期中（第二次大考）试题理已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为为椭圆上一动点,面积的最大值为，则椭圆的离心率为（）A. B.1 C. D.【答案】A。
2016年全国高中数学联赛湖南赛区省级奖获奖名单
序号 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116
姓名 肖 峰 何开远 宋子健 张 林 陈钦耘 欧志刚 罗彩琳 周鹏飞 郑宇峰 胡哲慈 夏俊文 康宇轩 谢 涛 谢沛林 戴望洋
性别 男 男 男 男 男 男 女 男 男 女 男 男 男 男 男
年级 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高一 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高二 高三 高三 高三 高三 高二 高三 高三 高三 高三 高二 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三
陈子俊 易迎澳 袁 彭 蕾 磊 唐砺恒 粟兆旺 劉耿豪 刘俊杰 张雪缘 陈 陈 钢 德
姓名 李 吴 邱 帅 照 琦 李智伟 吴晶滢
性别 男 男
所在学校 耒阳市正源学校 怀化市湖天中学 宁乡县第一中学 长沙市广益中学
年级 高三 高三 高三 高三 高一 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高二 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三 高三
余江南 张佳豪 张臻荣 陈 杰 陈怀远 陈浩坤 陈敏芝 罗宇轩 郑 胡 一 琪
胡雷毅 娄思成 洪伟航 姚子瀚 贺 郭 熙 攀
黄科臻 黄宣植 黄镓登 曹诚汶 彭晓涛 蒋 鲁 谢 詹 熙 明 全 鹏 舒华章
谭雨莎 潘彦妮 穆清风 刘晨琛
序号 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204
专题13 以数列求和或者通项公式为背景的填空题-2017年高考数学培优系列(教师版)
专题二 压轴填空题第六关 以数列求和或者通项公式为背景的填空题【名师综述】1.数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点，根据an 与Sn 的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公式也是常考的热点.2.数列的求和问题多以考查等差、等比数列的前n 项和公式、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点. 1．求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．(2)已知Sn 与an 的关系，利用an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n≥2求an.(3)累加法：数列递推关系形如an ＋1＝an ＋f(n)，其中数列{f(n)}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．(4)累乘法：数列递推关系形如an ＋1＝g(n)an ，其中数列{g(n)}前n 项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)． 2．活用数列求和的四种方法(1)公式法：适合求等差数列或等比数列的前n 项和．对等比数列利用公式法求和时，注意q ＝1或q≠1两种情况． (2)错位相减法：这是推导等比数列的前n 项和公式时常用的方法，主要用于求数列{anbn}的前n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)裂项相消法：把数列的各项分别裂开后，前后抵消从而计算和的方法，适用于求通项为1anan ＋1的数列的前n 项和，其中{an}为等差数列，则1anan ＋1＝1d )11(1+-n n a a . (4)分组求和法：一个数列如果既不是等差数列又不是等比数列，但它可以拆成两个数列，而这两个数列是等差或等比数列，那么就可分组求和，这种方法叫分组求和法． 类型一 将递推式转换为项间的关系式处理的问题典例1 【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，16】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()413n n S a =-，则()216411n n a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为 ．【答案】4【名师指点】本题主要考查数列前n 项和、等比数列；3、基本不等式，属于较难题型.使用基本不等式公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.【举一反三】【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，16】已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142,n n S S n n n N -++=≥∈，若对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是_____________ . 【答案】()3,5 【解析】试题分析：∵214n S S n n =+-，()2114+=++n S S n n ，∴4811+=--+n S S n n ，即481+=++n a a n n ，即12812+=+++n a a n n ，故82=-+n n a a ，由1a a =知16212=+a a ，∴a a a 21621612-=-=，()a a a 242164283+=--+⨯=，a a 2244-=；若对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，只需使4321a a a a <<<，即a a a a 22424216-<+<-<，解得53<<a ，故答案为53<<a .类型二 可转化为前n 项和间的递推式的问题典例2 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =．当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2015S =（ ） 【答案】1008【解析】当2n ≥时，由12n n a S n -+=得112n n n S S S n ---+=，即1n n S S n -+=……① ，所以11n n S S n ++=+……②，由②－①得111n n S S +--=，又11a =即11S =，所以数列{}21n S -构成等差数列，从而()201511008111008S =+-⨯=．【名师指点】由已知条件，将已知递推式利用1n n n a S S -=-转化为1,n n S S -间的递推式，通过对递推式的处理知数列{}21n S -是等差数列，进而利用等差数列通项公式求2015S ．【举一反三】数列{}n a 中，11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对2n ∀≥，都有221nn n na a S S =-，则数列{}n a 的通项公式n a = ．【答案】1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩类型三 通过若干项观察归纳总结的问题 典例3 数列{}n a 的通项为(1)(21)sin 12n n n a n π=-+⋅+，前n 项和为n S ，则100S = ． 【答案】200【解析】由已知可得13sin122a π=-+=-；25sin 11a π=+=；337sin182a π=-+=；49sin 211a π=+=；5511sin 1102a π=-+=-；613sin 311a π=+=；7715sin 1162a π=-+=；分析可知偶数项均为1，所以前100项中偶数项的和为15050⨯=． 分析可知相邻两项奇数项的和为6，所以前100项中奇数项的和为5061502⨯=． 10050150200S ∴=+=．【名师指点】通过计算数列前几项,得出该数列所具有的特殊性质，然后利用该性质作为一般规律去解题，是数学中常用的方法，体现了从特殊到一般的数学思想方法． 【举一反三】．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，其前n 项积为n T ，则2015T = ．【答案】3 【解析】由1111n n n a a a ++-=+可得111n n n a a a ++=-，因为12a =，所以2345113,,,223a a a a =-=-==，，所以数列{}n a 是周期为4的周期数列，且12341a a a a =，又因为201545033=⨯+，所以201512(3)()32T =⨯-⨯-=．【精选名校模拟】1．【四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测,6】设数列{}n a 满足1a a =，2121n n n a a a +-=+（*n N ∈），若数列{}n a 是常数列，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．(1)n-【答案】A【解析】因为数列{}n a 是常数列，所以221212211a a a a a a --===++，即2(1)2a a a +=-，解得2a =-，故选A.2．【云南大理2017届高三第一次统测，16】若数列{}n a 的首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈；令()3log 1n n b a =+，则123100b b b b ++++=_____________．【答案】50503．【江西抚州七校2017届高三上学期联考，10】若数列{}n a 满足()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++⎪⎝⎭，且15a =，则数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为（ ） A ．2 B ．3 C ．1lg99+ D ．2lg99+ 【答案】B 【解析】试题分析：由()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++⎪⎝⎭可得：)11lg(32521nn a n a n n +=+-++，记32b +=n a n n ，有)11lg(b 1n b n n +=-+，由累加法得：1lgn b n +=，数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为31100lg =+，故选B.4．【河南百校联盟2017届高三11月质检，5】已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，222112n n n a a a -+=+（2n ≥），11n n n b a a +=+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则33S 的值是（ ）A.99B.33C.42D.3 【答案】D5．【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，15】已知数列{}n a 中，()*1222,1,2n n n a n a a a n N a n ++⎧===∈⎨⎩是奇数，是偶数，则数列{}n a 的前20项和为____________． 【答案】1123【解析】由题意可知，数列{}2n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}21n a -是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{}n a 的前20项和为101(12)10910121123122⨯-⨯+⨯+⨯=-. 6．【福建厦门一中2017届上学期期中，15】n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()()()*0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈．则{}n a 的通项公式n a =_____________．【答案】21n +【解析】由()()134-+=n n n a a S 得3242-+=n n n a a S ①，当1=n 时，3241211-+=a a a ，即032121=--a a ，由0>n a 得31=a ，当2≥n 时，3241211-+=---n n n a a S ②，由两式相减得：1212224---+-=n n n n n a a a a a ，即()()0211=--+--n n n n a a a a 得21=--n n a a ，则12+=n a n ，故答案为21n +.7．【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，16】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()112nn n nS a =--，则2a = ；1352017S S S S ++++= ．【答案】14 201811-132（） 【解析】由n n n n a S 21)1(--=，当1=n 时，有21)1(11--=a a ，得411=a ．当2≥n 时，111121)1(21)1(---------=-=n n n n n n n n n a a S S a ，即n n n n n n a a a 21)1()1(1+-+-=-，若n 为偶数，则)2(,211≥-=-n a n n ．121+-=∴n n a （n 为正奇数）；)212121()(20173201731201731+++----=+++ a a a S S S)212121()212121(20173201842+++-+++=）（）（）（）（）（1-213121-132-21-13141-141-121-41-141-14120182018201810091009===. 8．【江西抚州七校2017届高三上学期联考，16】 在数列{}n a 及{}n b中，11111,1n n n n n n a a b b a b a b ++=++=+==．设112nn nn c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前n项和为_____________． 【答案】224n +-【解析】nn n nn n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a a 2)11(212112222221+-+=+-+=+++=+,同理易得：nn n nn n n n n n n n nn n n n b a b a b a b a b a b a b a b a 2)11(212-1b 12222221+++=+++=++=+，两式相加得：n n n n b a b 111a 111+=+++，故}1a 1{n nb +为常数列，所以1n n n 222c +=⨯=，所以数列{}n c 的前n 项和为224n +-.9. 【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考数学（理）试题】1111111111111n ++++个之和是____________.【答案】11091081n n +--10．在数列{}n a 中，112a = ，12141n n a a n +-=-，则该数列的通项公式n a = ． 【答案】4342n n --． 【解析】因为121111()4122121n n a a n n n +-==---+，所以运用累加法即可得到：1122111111111()()()[(1)()()](1)23352321221n n n n a a a a a a n n n ----+-++-=-+-++-=----，所以11143(1)22142n n a a n n -=+-=--，故应填4342n n --． 11．【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】已知数列1234,,,a a a a 满足()1411111,1,2,322n n n na a a a n a a ++=-=-=，则1a 所有可能的值构成的集合为（ ） A ．1,12⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭ B ．{}1,2±± C ．1,22⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭ D ．1,1,22⎧⎫±±±⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】当1n a =时，111,2n a +=或；当12n a =时， 112,4n a +=或；当2n a =时， 111,2n a +=或，当14n a =时， 11n a +≠.所以12341,1,1,1a a a a ====符合题意，排除C ；12342,1,1,1a a a a ====符合题意，排除A ；12341,2,1,12a a a a ====符合题意，排除B ，故选D. 12．【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试数学（理）试题】在数列{}n a 中，12a =，22a =，且21(1)()n n n a a n N ++-=+-∈，则100S =（ ）A ．0B ．1300 C.2600 D ．2602 【答案】C13．【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试数学（理）试题】若数列{}n a 是正2123n a a a n n +=+，则12231na a a n +++=+ __________. 【答案】226n n +【解析】令1n =，得4a 1=，所以16a 1=．当2n ≥时，)1(3)1(a a a 21-n 21-+-=+++n n ．与已知式相减，得22)1(3)1()3(22+=----+=n n n n n a n ，所以2)1(4+=n a n ，1n =时，1a 适合n a ．所以2)1(4+=n a n ，所以441+=+n n a n ，∴12231n a a an +++=+n n n n 622)448(2+=++-． 14．【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考数学（理）试题】已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a =__________. 【答案】12- 【解析】试题分析:由题意设三个零点分别为2,,xq xq x ,由正弦曲线的对称性可知ππ3,2=+=+xq xq xq x ,由此可得4,3π==x q ,故224sin==πa ,所以2log a =21-,故应填12-. 15．【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测数学（理）试题】设()S n ，()T n 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且()32()45S n n T n n +=+.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且143a a AP AB ACb λ+=+，则实数λ的值为__________. 【答案】325-16. 【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第二次联考数学（理）试题】已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，)1(34-=n n a S ，则数列}{2na 的前n 项和=n T . 【答案】1516161-+n【解析】 试题分析：()134-=n n a S ,2≥∴n 时,()13411-=--n n a S ,两式相减得:()1134---==-n n n n n a a a S S ,即()241≥=-n a a n n ,所以{}n a 是首项为4,公比为4的等比数列,通项公式为n n n a 4441=⋅=-,n na 162=∴,前n 项和()=--=16116116n n T 1516161-+n ,故填1516161-+n .。
湖南省郴州市永兴一中、桂阳三中2020学年高二数学上学期期中联考试题(答案不全)
湖南省郴州市永兴一中、桂阳三中2020学年高二数学上学期期中联考试题（答案不全）（满分 150分 时间 120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1． 设集合M=｛0,1,3｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( )A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2．命题[0,1]m ∀∈，则12m x x +≥的否定是 A. [0,1]m ∀∈，则12m x x +< B.[0,1]m ∃∈，则12m x x +≥C. (,0)(1,)m ∃∈-∞+∞U ，则12m x x +≥D.[0,1]m ∃∈，则12mx x +<3．已知函数f(x)＝6x －，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )A ．(0,1)B ． (3,9)C ．(1,3)D ．(9，＋∞)4．△ABC 的面积是12，∠B 是钝角，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A. 5B. 2C. 5D. 15．已知向量,a b ，其中2,2==a b ，且()-⊥a b a ，则向量a 与b 的夹角是（） A ．4π B ． 6πC ．2πD ．3π 6．设四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 24B. 16+C. 40D. 308．双曲线22221x y a b -=的渐近线方程与圆相切，则此双曲线的离心率为( )A. 5B. 2C. 3D.29．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若m 1，且a m-1+a m+1-a m 2=0,S 2m-1=38则m 等于（ ）A. 38B. 20C. 10D. 910．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数 z ＝ax ＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2 5 时，a 2＋b 2 的最小值为( )A. 5B. 4C. 5D. 211．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若的最大值为5，则b 的值是（ ） A. 1 B. C. D.12．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B. 98 C ．2 D. 94二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13．在数列{}n a 中，n n a a 21=-，若45=a ，则=654a a a ________.14．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．15．下边程序运行后，输出的值为________．S＝1i＝1WHILEi<＝5S＝S*ii＝i＋1WENDPRINTSEND16．抛物线28y x=的准线与x轴相交于点P，过点P作斜率为()0k k>的直线交抛物线于A、B两点，F为抛物线的焦点，若||2||FA FB=，则k= .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）17．（本题满分10分）已知两个命题p: Rx∈∀，sinx+cosx m恒成立，为增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．（本题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ) 设PD＝AD＝1，求直线PC与平面ABCD所成角的正切值．19．（本题满分12分）在△ABC中，设.(Ⅰ)求B 的值(Ⅱ)求的值20．（本题满分12分）设等差数列｛an ｝的前项和为Sn，且a2=2,S5=15，数列｛bn｝的前项和为Tn ,且b1=,2nbn+1=(n+1)bn(n∈N*)(Ⅰ)求数列｛an ｝通项公式an及前项和Sn；(Ⅱ) 求数列｛bn ｝通项公式bn及前项和Tn.21．（本题满分12分）某种商品原来每件售价25元，年销售量8万件。
以数学文化史为背景的专题训练
专题1 以数学文化史为背景的专题训练题型一渗透数学文化的数列题1.【2017届安徽省池州市东至县高三12月联考】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为（）钱A. B. C. D.2.【2017届甘肃天水一中高三理12月月考】《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．829尺 B．1629尺 C．3229尺 D．12尺3.【2017届湖南长沙一中高三月考五】“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”（［注释］三升九：3.9升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（）A.1.9升 B.2.1升C.2.2升D.2.3升4.【2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上学期第五次联考】在我刚明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（）A. 盏灯B. 盏灯C. 盏灯D. 盏灯5.【2017届湖北孝感市高三上学期第一次统考试】《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍）,小鼠日自半（以后每天减半）.问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是： .6.【2017届河南漯河高级中学高三12月月考】“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a，则此数列的项数为_____________．7.【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则（Ⅰ）__________；（Ⅱ）若，则__________．（用表示）8.【2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式__________．题型二渗透数学文化的立体几何题9.【2017届福建省漳州市七校高三联考】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式3169d V人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断,下列近似公式中最精确的一个是（）A．3169d V B．32d V C．3300157d V≈D．32111d V≈10.【2017届河北唐山市高三理上学期期末】《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A.4B.642+C.442+D.211.【2017届湖南郴州市高三理第二次质监】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =++下下上上•）. A ． 2寸 B ．3寸 C. 4寸 D ．5寸12.【2017届湖南长沙雅礼中学高三文月考】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体. 它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣和（牟和）在一起的方形伞（方盖）. 其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线. 其实际直观图中四边形不存在，当正视图和侧视图完全相同时，它的的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．b a ,B ．c a ,C. b c , D ．d b ,13.【2017届湖南师大附中高三理上学期月考四】《九章算术》是我国古代内容记为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔（圆柱体）的体积112V=⨯（底面的圆周长的平方⨯高），则该问题中圆周率π的取值为．题型三渗透数学文化的程序框图题14.【2017届三省高三上学期百校大联考】下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《数书九章》中的“秦九韶算法”求多项式的值.执行程序框图，若输入01a=，11a=，20a=，31a=-，则输出u的值为（）A．2 B．1 C．0 D．-115.【2017届云南大理州高三理上学期统测一】下边程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入,m n分别为225、135，则输出的m=（）A．5 B．9C．45 D．9016.【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的分别为，若，根据该算法计算当时多项式的值，则输出的结果为（）A. 248B. 258C. 268D. 278题型四 渗透数学文化的函数题17.【2017届甘肃天水一中高三理12月月考】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题：①(())1f f x =；②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ， 33(,())C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形．其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1题型五 渗透数学文化的复数题18.【2017届四川双流中学高三文必得分训练8】欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 题型六 渗透数学文化的概率题19.【2017届重庆巴蜀中学高三12月月考】“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A. 31 343- 3 20.【2017届广东潮阳黄图盛中学高三月考】数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 .题型七 渗透数学文化的推理题21.【2017届四川成都市高三理一诊】我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理（祖恒原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖恒原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[]0,3上的任意值时，直线y t =被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 ____________．22.【2017届湖南省长沙市雅礼中学高三月考】如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点()1,0处标数字1，点(1)1-，处标数字2，点(0)1-，处标数字3，点(11)--，处标数字4，点(10)-，处标数字5，点()11-，处标数字6，点(0)1，处标数字7，…以此类推：记格点坐标为()m n ，的点（m n ，均为正整数）处所标的数字为()f m n =，，若n m >，则()f m n =， ．题型七 渗透现代科技或数学时事的创新题23.【2017福建莆田二十四中高三理月考】把11化为二进制数为( ).A.1 011(2)B.11 011(2)C.10 110(2)D.0 110(2)。
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郴州市一中2014年下期高二年级第三次阶段性考试化学试题总分：100分 时量：90分钟一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题3分，共54分）1、NA 表示阿伏伽德罗常数，下列说法正确的是A 1 mol Na 与足量O 2 反应，生成Na 2O 和Na 2O 2的混合物，钠失去N A 个电子B 25℃时，1L pH ＝13的Ba(OH)2溶液中含有的OH －数目为0.2N AC 常温常压下，0.1 mol Fe 在0.1 mol Cl 2中充分燃烧，转移的电子数为0.3N AD 0.1m ol·L －1 Mg(NO 3)2溶液中含有0.2N A 个NO 3－2、在体积可变的密闭容器中，反应mA(g) ＋nB(s)pC(g)达到平衡后，压缩容器的体积，发现A 的转化率随之降低。
下列说法中，正确的是A. m ＋n 必定小于pB. m ＋n 必定大于pC. m 必定小于pD. m 必定大于p3、结构如右某有机物在一定条件下可以用于合成植物的生长素。
下列关于该有机物的说法错误的是A 、 该有机物的化学式为C 11H 12N 2O 2B 、 该有机物能够与强酸和强碱反应C 、 一定条件下可发生加成和酯化反应D 、一定条件下会发生加聚反应生成蛋白质4、硫代硫酸钠可作为脱氯剂，已知25.0mL 0.100mol·L -1Na 2S 2O 3溶液恰好把224mL （标准状况下）Cl 2完全转化为 Cl －离子，则S 2O 32-将转化成A ．S 2-B ．SC ．SO 32-D ．SO 42-5、某密闭容器中充入等物质的量的气体A 和B ，一定温度下发生反应A(g)+xB(g) 2C(g)，达到平衡后，只改变反应的一个条件，测得容器中物质的浓度、反应速率随时间变化的如下图所示。
下列说法中正确是A ．8min 前A 的平均反应速率为0.08mol/(L·s)B ．30min 时扩大容器的体积，40min 时升高温度C ．反应方程式中的x ＝1，正反应为吸热反应D ．30min 和54min 的反应的平衡常数相等6、在稀硫酸中加入铜粉，铜粉不溶，再加入下列固体粉末：①FeCl 2 ②Fe 2O 3 ③Zn ④KNO 3 铜粉可以溶解的是A ．①② B.②④ C.②③ D.①④ 7、常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是A ．pH=1的溶液中：2+Fe 、3NO -、24SO -、Na +B ．由水电离的()141H 110mol L c +--=⨯⋅的溶液中：2+Ca 、K +、Cl -、3HCO -C ．()()12H /OH 10c c +-=的溶液中：4NH +、3Al +、3NO -、Cl - D ．()31Fe 0.1mol L c +-=⋅的溶液中：K +、ClO -、24SO -、SCN -8、人体血液内的血红蛋白(Hb)易与O 2结合生成HbO 2, 因此具有输氧能力，CO 吸入肺中发生反应：CO+HbO 2O 2+HbCO ，37 ℃时，该反应的平衡常数K=220。
HbCO 的浓度达到HbO 2浓度的0.02倍，会使人智力受损。
据此，下列结论错误的是A ．CO 与HbO 2反应的平衡常数K=B ．人体吸入的CO 越多，与血红蛋白结合的O 2越少C ．当吸入的CO 与O 2浓度之比大于或等于0.02时，人的智力才会受损D ．把CO 中毒的病人放入高压氧仓中解毒，其原理是使上述平衡向左移动 9、已知：HCN(aq)与NaOH(aq)反应的ΔH= -12.1KJ/mol ；HCl(aq)与NaOH(aq)反应的ΔH= -55.6 kJ/mol ，则HCN 在水溶液中电离的ΔH 等于A.+43.5 kJ/molB.-43.5 kJ/molC.-67.7kJ/molD.+67.7 kJ/mol 10、将甲醇蒸气转化为氢气的两种反应原理是①CH 3OH(g)+H 2O(g)=CO 2(g)+3H 2(g)； △H= + 49．0 kJ·mol －1②CH 3OH(g)+1/2O 2(g)=CO 2(g)+2H 2(g)；△H= -192．9 kJ·mol －1下列说法正确的是A ．CH 3OH 的燃烧热为192．9 kJ·mol －1B ．CH 3OH 转变成H 2的过程一定要吸收能量C ．反应①中的能量变化如右图所示D ．根据②推知反应：CH 3OH(l)+1/2O 2(g)=CO 2(g)+2H 2(g)的△H>－192．9 kJ/mol11、硫酸是一种重要的化工产品，硫酸的消耗量常被视为一个国家工业发达水平的一种标志。
反应2SO 2+O 22SO 3是工业制硫酸的主要反应之一，以下说法不正确的是A ．该反应为可逆反应，故在一定条件下二氧化硫和氧气不可能全部转化为三氧化硫B ．达到平衡后，反应就停止了，故正、逆反应速率相等且均为零C ．一定条件下，向某密闭容器中加入2 mol SO 2和1 mol O 2，则从反应开始到达到平衡的过程中，正反应速率不断减小，逆反应速率不断增大，某一时刻，正、逆反应速率相等D ．在利用上述反应生产三氧化硫时，要同时考虑反应所能达到的限度和化学反应速率两方面的问题12、工业上从含硒的废料中提取硒的方法之一是：用硫酸和硝酸处理废料，获得亚硒酸和少量硒酸，再与盐酸共热， 硒酸转化为亚硒酸（2HCl + H 2SeO 4 == H 2SeO 3 + Cl 2 + H 2O ），通SO 2于亚硒酸溶液中，有单质硒析出。
据此，下列说法 正确的是A 、H 2SeO 4氧化性弱于Cl 2B 、亚硒酸氧化性强于亚硫酸C 、SeO 2还原性强于SO 2D 、析出1molSe ，需H 2SeO 3、SO 2、H 2O 各1mol 13、在一定温度下，向aL 密闭容器中加入1mol X 气体和2mol Y 气体，发生如下反应：X(g)＋2Y(g) 2Z(g)，此反应达到平衡的标志是（ ）A ．容器内压强随时间变化而变化B ．容器内各物质的浓度不随时间变化C ．容器内X 、Y 、Z 的浓度之比1:2:3D ．单位时间消耗0.1mol X 的同时生成0.2mol Z14、根据键能数据估算CH 4 (g ）+4F 2 (g) ＝CF 4+4HF(g ）的反应热ΔH 为A ．485 kJ · mol －115、若A 原子与两个氯原子及两个碘原子结合，形成ACl 2I 2分子。
以下推理中正确的是A 、.如果ACl 2I 2分子呈正方形结构，则有三个同分异构体 B.、如果ACl 2I 2分子呈正方形结构，则没有同分异构体 C 、.如果ACl 2I 2分子呈四面体结构，则有两个同分异构体 D.、如果ACl 2I 2分子呈四面体结构，则没有同分异构体 16、下列事实能说明醋酸是弱电解质的是①醋酸与水能以任意比互溶②醋酸溶液能导电③醋酸溶液中存在醋酸分子④1mol/L 醋酸的pH 比0.1mol/L 盐酸pH 大⑤醋酸能和碳酸钙反应放出CO 2 ⑥0.1mol/L 醋酸钠溶液pH ＝8.9⑦大小相同的锌粒与相同物质的量浓度的盐酸和醋酸反应，醋酸产生H2速率慢A．②⑥⑦B．③④⑥⑦ C．③④⑤⑥ D．①②③17、液氨与水相似，存在着微弱的电离：2NH 3NH4+＋NH2-。
-50℃时，两种离子的平衡浓度均为1×10-15mol/L，下列有关液氨的离子积及其电离平衡的叙述中正确的是A．此温度下，液氨的离子积等于1×10-15B．在液氨中放人NaNH2，则液氨的离子积数值将增大C．此温度下，在液氨中加人NaNH2，则液氨中c(NH4+)<1×10-15mol/LD．在液氨中加入NH4Cl，则液氨中c(NH4+)将小于c(NH2-)18、25℃时，某强酸溶液pH＝a，强碱溶液pH＝b，且a＋b＝12，酸碱溶液混合后溶液的pH＝7，则酸溶液体积V1与碱溶液体积V2的正确关系是A．V1＝102V2B．V2＝102V1C．V1:2V2D．V2＝2V1二、填空题（毎空2分，共46分）19、工业上一般在密闭容器中采用下列反应合成甲醇：CO(g)+2H 2(g) CH30H(g)（1）不同温度下的平衡转化率与压强的关系如图所示。
该反应△H O, (填“>”或“<”)，该反应自发进行（填“一定能”、“一定不能”、“不一定”）（2）某温度下，将2molCO和6mOlH2充入2L的密闭容器中，充分反应后，达到平衡时测得c(CO)=O.l mol·L -1。
①该反应的平衡常数K= ：②在其他条件不变的情况下，将容器体积压缩到原来的1/2，与原平衡相比，下列有关说法正确的是（填序号）。
a．氢气的浓度减少b．正反应速率加快，逆反应速率也加快c．甲醇的物质的量增加 d．重新平衡时n(H2)/n(CH30H)增大③若保持同一反应温度将起始物质改为a mol CO、b mol H2、c mol CH30H，欲使平衡混合物中各组成与原平衡相同，则a、b应满足的关系为，且欲使开始时该反应向逆反应方向进行，c的取值范围是。
20、500℃时，将SO2和O2置于一容积固定为2 L的密闭容器中发生反应。
反应过程中SO2、O2和SO3物质的量变化如右图所示，请回答下列问题：（1）反应10 min至15 min，O2的平均反应速率比反应开始时前10 min速率（填“快”、“慢”或“相等”），可能的原因是。
（2）从曲线变化可以看出，反应进行至25min时，采取了使得平衡向方向移动，达到新平衡后SO2的体积分数比原平衡小。
21、某实验小组欲制取氧化铜并证明氧化铜能加快氯酸钾的分解，进行了如下实验：（一）制取氧化铜①称取2 gCuSO4·5H2O研细后倒入烧杯，加10 mL蒸馏水溶解；②向上述CuSO4溶液中逐滴加入NaOH溶液，直到不再产生沉淀，然后将所得混合物转移到蒸发皿，加热至沉淀全部变为黑色；③将步骤②所得混合物过滤、洗涤，晾干后研细备用。
回答下列问题：⑴步骤①、③中研磨固体所用仪器的名称是___________________；⑵步骤③中洗涤沉淀的操作是________________________________________________。
（二）证明氧化铜能加快氯酸钾的分解并与二氧化锰的催化效果进行比较用右图装置进行实验，实验时均以生成25 mL气体为准，其它可能影响实验的因素均已忽略，相关数据见下表：⑶上述实验中的“待测数据”指_____________；⑷为探究CuO 在实验⑤中是否起催化作用，需补做如下实验（无需写出具体操作）： a ．_______________________________，b ．CuO 的化学性质有没有改变。