圆的方程(提高)专题训练
高二数学圆的方程练习-(附答案)
高二数学圆的方程练习【同步达纲练习】A 级一、选择题1.若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7B.-6＜a ＜4C.-7＜a ＜3D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y+3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y=r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B.1C.2D.25.直线x-y+4=0被圆x 2+y 2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.42二、填空题6.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .7.设集合m={(x,y)x 2+y 2≤25,N={(x,y)｜(x-a)2+y 2≤9}，若M ∪N=M ，则实数a 的取值范围是 .8.已知P(3，0)是圆x 2+y 2-8x-2y+12=0内一点则过点P 的最短弦所在直线方程是 ，过点P 的最长弦所在直线方程是 .三、解答题9.已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ(O 是原点)，求m 的值.10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C ：y=1+24x 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围.AA 级一、选择题1.圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( )A.(x+3)2+(y-4)2=2B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)=2D.(x-3)2+(y-4)2=22.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( )A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜1313.关于x,y 的方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( )A.B=0，且A=C ≠0B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 4.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0)D.(5，-1)5.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( )A.-51＜k ＜-1 B.-51＜k ＜1 C.- 31＜k ＜1D.-2＜k ＜2二、填空题6.圆x 2+y 2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标和半径分别是 .7.若方程a 2x 2+(2a+3)y 2+2ax+a+1=0表示圆，则实数a 的值等于 .8.直线y=3x+1与曲线x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是 . 三、解答题9.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.10.光线l 从点P(1，-1)射出，经过y 轴反射后与圆C ：(x-4)2+(y-4)2=1相切，试求直线l 所在的直线方程.【素质优化训练】一、选择题1.直线3x+y-23=0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角为(全国高考题)( )A.6πB.4π C.3π D.2π 2.对于满足x 2+(y-1)2=1的任意x,y ，不等式x+y+d ≥0恒成立，则实数d 的取值范围是( )A.［2-1，+∞］B.(-∞，2-1)C.［2 +1,+∞］D.(-∞, 2 +1)3.若实数x ，y 满足x 2+y 2=1,则12--y y 的最小值等于( )A.41 B.43C.23 D.24.过点P(1，2)的直线l 将圆x 2+2-4x-5=0分成两个弓形，当大、小两个弓形的面积之差最大时，直线l 的方程是( )A.x=1B.y=2C.x-y+1=0D.x-2y+3=05.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A.1.8米B.3米C.3.6米D.4米 二、填空题6.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是 .7.若集合A={(x 、y)｜y=-｜x ｜-2}，B={(x,y)｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A ∩B= ，则实数a 的取值范围是 .8.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题9.令圆x 2+y 2-4x-6y+12=0外一点P(x,y)向圆引切线，切点为M ，有｜PM ｜=｜PO ｜,求使｜PM ｜最小的P 点坐标.10.已知圆C ：(x+4)2+y 2=4和点A(-23，0)，圆D 的圆心在y 轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D 与y 轴交于点M 、N ，求证：∠MAN 为定值.11.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.12.自点A(-3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线l 与m 所在直线方程.13.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜=2a,M 是圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜=｜MN ｜，求点P 的轨迹.参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B2.C3.B4.D5.C6.x=2或3x-4y-2=07.-2≤a ≤28.x+y-3=0，x-y-3=09.m=3 10.(125,43) AA 级1.B2.D3.D4.D5.B6.(- 2a ,0), 2a7.-18.(- 103，101)9.(x-2)2+(y-1)2=10 10.3x+4y+1=0或4x+3y-1=0【素质优化训练】1.C2.A3.B4.D5.C6.107.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)8.θ=arccot22 或π-arccot22, 89.P(1312,1318) 10.60° 11.M 的轨迹方程为(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(1+4x 2)=0，当λ=1时，方程为直线x=45. 当λ≠1时，方程为(x-1222-λλ)2+y 2=222)1(31-+λλ它表示圆，该圆圆心坐标为(1222-λλ,0)半径为13122-+λλ12.l 的方程为：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 M 的方程为3x-4y-3＝0或4x-3y+3＝0 13.x 2+(y ±2a )2=(2a )2轨迹是分别以CO ，CD 为直径的两个圆.。
高中试卷-专题08 圆的方程(含答案)
专题08 圆的方程一、单选题1．（2020·湖南省高二月考）曲线方程表示一个圆的充要条件为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】表示圆的充要条件是，即.故选：C ．2．（2019·浙江省高二期中）圆心在上，半径为3的圆的标准方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】圆心在上，半径为3的圆的标准方程为：故选： B3．（2020·北京高三一模）设则以线段为直径的圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】的中点坐标为：，圆半径为，圆方程为.故选：.2240x y Ex y ++-+=15E >15E ³215E >215E ³()221440E +--´>215E >(2)1-，22(2)(1)3x y -++=22(2)(1)9x y -++=22(2)(1)3x y -+-=22(2)(1)9x y -+-=(2)1-，22(2)(1)9x y -++=()()2141A B -，，，，AB 22(3)2x y -+=22(3)8x y -+=22(3)2x y ++=22(3)8x y ++=AB ()3,02AB r ===22(3)2x y -+=A4．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）圆心为且过原点的圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.5．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）已知点，，，则外接圆的圆心坐标为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】线段中点坐标为，线段斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即.线段中点坐标为，线段斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即.由.所以外接圆的圆心坐标为.故选：A6．（2020·陕西省陕西师大附中高一期末）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ ）()1,1()()22111x y -+-=()()22111x y +++=()()22112x y +++=()()22112x y -+-=()()2211(0)x y m m -+-=>()()220101(0)m m -+-=>2m =()()22112x y -+-=()3,6A ()1,4B ()1,0C ABC D ()5,2()5,2-()2,5()5,2-AB ()2,5AB 64131-=-AB 1-AB ()52y x -=--7y x =-+AC ()2,3AC 60331-=-AC 13-AC ()1323y x -=--11133y x =-+75111233y x x y y x =-+ì=ìïÞíí==-+îïîABC D ()5,2C 430x y -=xA ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】设圆心坐标为（a ，b ）（a ＞0，b ＞0），由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=，化简得：|4a-3b|=5①，又圆与x 轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1．故选A7．（2020·江苏省王淦昌中学高一开学考试）已知圆M 与直线和都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】到两直线及的距离都相等的直线方程为，联立方程组，解得.两平行线之间的距离为，所以，半径为，从而圆的方程为. 选.8．（2020·广东省高三月考（理））已知圆，点，内接于圆，且，当，在圆上运动时，中点的轨迹方程是（ ）22(2)(1)1x y -+-=227(3)13x y æö-+-=ç÷èø22(1)(3)1x y -+-=223(1)12x y æö-+-=ç÷èø4315a b r -==12340x y -=34+100x y -=4y x =--M 22(3)(1)1x y ++-=22(3)(1)1x y -++=22(3)(1)1x y +++=22(3)(1)1x y -+-=340x y -=34100x y -+=3450x y -+=3450{4x y y x -+==--3{1x y =-=-21M ()()22311x y +++=C 221x y +=()1,0A ABC D 60BAC Ð=°B C BCA ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设中点为，圆心角等于圆周角的一半，，，在直角三角形中，由，故中点的轨迹方程是：，如图，由的极限位置可得，.故选：D9．（2020·全国高三月考（理））已知圆过点，点在圆上，则面积的最大值为（ ）A ．100B ．25C ．50D．【答案】D 【解析】设圆的方程为，将代入可得，2212x y +=2214x y +=221122x y x æö+=<ç÷èø221144x y x æö+=<ç÷èøBC D Q 60BAC Ð=°60BOD \Ð=o BOD 1122OD OB ==D 2214x y +=BAC Ð14x <C ()()()4,6,2,2,5,5--,M N C CMN D 252C 220x y Dx Ey F ++++=()()()4,6,2,2,5,5--，解得.故圆的一般方程为，即，故的面积.面积的最大值为.故选：.10．（2019·全国高三二模（文））已知2，，成等差数列，则圆：上的点到点距离的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．5D ．【答案】C 【解析】因为2，，成等差数列，所以，可得，所以点的轨迹方程为，圆心，则圆上的点到点的最大值为.故选：C 二、多选题11．（2019·辽宁省高二期末）圆（ ）A ．关于点对称B ．关于直线对称C ．关于直线对称D ．关于直线对称【答案】ABC 【解析】，所以圆心的坐标为.A ：圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，所以本选项正确；52460822050550D E F D E F D E F +++=ìï--+=íï+++=î2,4,20D E F =-=-=-C 2224200x y x y +---=()()221225x y -+-=CMN D 11125sin 55sin 5512222S CM CN MCN MCN =Ð=´´Ð£´´´=CMN \D 252D 2m n +6-C (()2214x y -++=(),M m n 2m n +6-()2226m n +=-220m n ++=M 220x y ++=()1-C M max 325d =+=22410x y x +--=()2,00y =320x y +-=20x y -+=22224102)5(x y x x y +--=Þ+=-()2,0()2,0B ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；C ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；D ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以本选项不正确.故选：ABC12．（2019·福建省南安第一中学高二月考）已知点，直线，下列结论正确的是（ ）A ．恒过定点B ．（为坐标原点）C ．到直线的距离有最小值，最小值为3D ．到直线的距离有最大值，最大值为5【答案】ABD 【解析】直线，当时，，故A 正确；，故B 正确；点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，直线过定点，位置如图：由图可知，点到直线的距离最小值为0，当直线与轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为4，所以到直线的距离有最大值，最大值为5.故C 错误，D 正确.故选：ABD.13．（2019·福建省高一期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波0y =320x y +-=20x y -+=()()cos ,sin P R q q q Î:40l x my +-=l ()4,01OP =O P l P l :40l x my +-=0y =4x =1OP ==P ()0,0()4,0P l x P l ,A B ()1l l ¹罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系中,点.设点的轨迹为,下列结论正确的是（ ）A ．的方程为B ．在轴上存在异于的两定点,使得C ．当三点不共线时,射线是的平分线D ．在上存在点,使得【答案】BC 【解析】设点，则，化简整理得，即，故A错误；当时，，故B 正确；对于C 选项，，,要证PO 为角平分线，只需证明，即证，化简整理即证，设，则，，则证，故C 正确；对于D 选项，设,由可得，而点M 在圆上，故满足，联立解得，无实数解，于是D 错误.故答案为BC.三、填空题14．（2019·江苏省南京师大附中高三一模）圆关于直线的对称圆的方程为_____.xOy ()()2,0,4,0,A B -12PA P PB=满足P C C ()2249x y ++=x ,A B ,D E 12PD PE=,,A B P PO APB ÐC M 2||MO MA =(),P x y 12PA PB=2280x y x ++=()22416x y ++=()()1,0,2,0,D B -12PDPE =222cos =2AP PO AO APO AP PO+-Ð×222cos =2BP PO BO BPO BP PO +-Ð×cos =cos APO BPO ÐÐ22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO +-+-=××2228PO AP =-(),P x y 222PO x y =+()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+cos =cos APO BPO ÐÐ()00,M x y 2||MO MA =220003316+160x y x ++=2280x y x ++=0=2x 0y 22:(1)(2)4C x y ++-=21y x =-【答案】【解析】的圆心为，关于对称点设为，则有: ，解得，所以对称后的圆心为，故所求圆的方程为.故答案为：15．（2020·广东省红岭中学高二期末）方程表示圆C 中，则圆C 面积的最小值等于________.【答案】【解析】当故答案为16．（2020·全国高三月考（理））已知点，，是圆上一点，则的最小值为_________【答案】【解析】设点，则又因为，则，22(3)4x y -+=22:(1)(2)4C x y ++-=(1,2)-21y x =-(,)x y 2121222112y x y x +-ì=´-ïïí-ï=-ï+î30x y =ìí=î(3,0)22(3)4x y -+=22(3)4x y -+=22230x y x my m +-+--=3p ()222222301424m m x y x my m x y m æö+-+--=\+++=++ç÷èø()222142344m R m m =++=++2m =-23R p p =3p(0,0)O (4,0)A M 22:(2)1C x y -+=||||OM AM 13(,)M x y 222222||||(4)OM x y AM x y +=-+22(2)1x y -+=221(2)y x =--故，，易得函数在上单调递增.则的最小值为，故的最小值为.故答案为：17．（2019·山东省高三期中）已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，且截轴所得的弦长为，则圆的方程为______，则点到圆上动点的距离最大值为______.【答案】 8 【解析】设圆的方程为由题意可得，解得，所以圆的方程为；设点到圆心的距离为，则点到圆上动点的距离最大值为.故答案为：；8四、解答题18．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））求过点A (0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．【答案】(x －3)2＋(y －3)2＝18.【解析】设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．由题意得解得∴圆的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.22||43101||413413OM x AM x x -==-+-+-+[1,3]x Î101413y x =-+-+[1,3]22||||OM AM 19||||OM AM 131330x y -=C y x C ()6,5P C Q ()()22319x y -+-=222()()x a y b r -+-=(0,0)a b >>22308a b a r b r -=ìï=íï+=î313a b r =ìï=íï=î()()22319x y -+-=()6,5P (3,1)C 5d ==()6,5P C Q 538d r +=+=()()22319x y -+-=222222(6)a b r a b r a b ì+=ï+-=íï=î点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．19．（2019·吉林省东北师大附中高一月考）已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，求此圆的方程.【答案】，【解析】设圆的方程为：，则：，，所以或，因此圆的方程为：，. 20．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）已知圆：，圆关于直线对称，圆心在第二象限，半径为.（1）求圆的方程；（2）直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.或【解析】分析：(,)a b r ,,a b r ,,a b r y y x =30x y -=22(3)(1)9x y -+-=22(3)(1)9x y +++=222()()x a y b r -+-=||a r =30a b -==313a b r =ìï=íï=î313a b r =-ìï=-íï=î22(3)(1)9x y -+-=22(3)(1)9x y +++=（1）通过圆关于直线对称，可知圆心在直线上，再结合半径为，得到关于的方程组，求解方程组，选择在第二象限中的根，即可求得圆的方程；（2）分截距为零和不为零两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径求解直线方程。
圆的方程练习及答案
考点四十 圆的方程知识梳理1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．2. 圆的标准方程(1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F4. (1) 当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形． 4. 点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2. 5. 解决与圆有关的最值问题的常用方法(1) 形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2) 形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3) 形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．典例剖析题型一 求圆的方程例1 若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为 ． 答案 (x －2)2＋(y ±3)2＝4解析 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(1－2)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3．变式训练 (1)圆心在y 轴上且经过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是 ．(2) 已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________． 答案 (1) x 2＋y 2－10y ＝0 (2) (x －2)2＋y 2＝10解析 (1)设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3，1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得：b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.(2) 设圆心坐标为(a,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2， 解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.解题要点 求圆的方程一般用待定系数法，根据题意，可以选择标准方程或一般方程求解． 题型二 点与圆的位置关系例2 已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3，2)满足 ． 答案 在圆内解析 因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，故点P (3，2)在圆内．变式训练 点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是________. 答案 在圆C 外部解析 将点P (1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m 2－2＋m 2＝2m 2＋3>0， ∴点P 在圆C 外部．题型三 二次方程表示圆的条件例3 方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件的是 ． 答案 m <14或m >1解析 由(4m )2＋4－4×5m >0，得m <14或m >1.变式训练 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是 ． 答案 一个点解析 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0，可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1，－2)．解题要点 1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是D 2＋E 2－4F ＞0． 2.二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF >0.，即方程中不含xy 项， x 2，y 2前系数相同，且D 2＋E 2－4AF ＞0． 题型四 与圆有关的最值问题例4 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解析 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx＝k ，即y ＝kx ， 则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3，∴k max ＝3，k min ＝－ 3.(也可由平面几何知识，得OC ＝2，CP ＝3，∠POC ＝60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°)(2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3.解题要点 (1)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解．否则可转化为函数求最值．(2)①形如u ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．当堂练习1．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，则圆的方程为．答案(x－2)2＋(y－1)2＝2解析所求圆与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，故线段AB的垂直平分线x＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x－3y－1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2，1)，进一步可求得半径为，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y －1)2＝2．2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为．答案(x－2)2＋(y＋2)2＝1解析圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1，1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.3. 圆的圆心和半径分别．答案解析将圆配方得：，故知圆心为(2，－1)，半径为.4．若坐标原点在圆(x－m)2+(y+m)2=4的内部，则实数m的取值范围是．答案－解析∵原点O在圆(x－m)2+(y+m)2=4的内部，∴(0－m)2+(0+m)2＜4，得2m2＜4，解得－＜m＜,即实数m的取值范围为：－＜m＜．5．方程x2+y2－x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是．答案m＜解析∵方程x2+y2－x+y+m=0即表示一个圆，∴－m＞0，解得m＜．课后作业一、填空题1．以点A(－5，4)为圆心且与x轴相切的圆的标准方程是．答案(x+5)2+(y－4)2=16解析∵所求的圆以点A(－5，4)为圆心，且与x轴相切，∴所求圆的半径R=4，∴圆的标准方程为(x+5)2+(y－4)2=16．2．若一圆的标准方程为，则此圆的的圆心和半径分别为．答案解析圆的标准方程为，表示圆心为，半径为的圆．3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是．答案(x－2)2＋(y－1)2＝1解析设圆心坐标为(a，b)，由题意知a>0，且b＝1.又∵圆和直线4x－3y＝0相切，∴＝1，即|4a－3|＝5，∵a>0，∴a＝2.所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.4．点(2a，a－1)在圆x2+y2－2y－4=0的内部，则a的取值范围是．答案－＜a＜1解析由题意，4a2+(a－1)2－2(a－1)－4＜0，即5a2－4a－1＜0,解之得：－＜a＜1．5．圆的圆心坐标是．答案(2，－3)解析将方程化为圆的标准方程得，所以圆心是(2，－3).6．圆x2+y2=16上的点到直线x－y=3的距离的最大值为．答案4+解析圆心即原点到直线的距离，所以直线与圆相交，则圆上的点到直线的最大距离为.7．若方程x2+y2－x－2y+c=0(c∈R)是一个圆的一般方程，则c的范围是．答案c＜解析化为标准方程为：，由题意得，，∴．8．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是．答案(x－2)2＋(y－1)2＝1解析由已知设所求圆的圆心坐标为：C(a，b)(a>0且b>0)，由已知有：，所以所求圆的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝1．9．圆的方程过点和原点，则圆的方程为．答案解析设圆的一般方程为，将三点代入得：，解得，所以圆的方程为.10．方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．答案(3，0)，3解析(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.11．从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为答案解析把圆的方程化为标准式后，找出圆心坐标和圆的半径，利用图形可知，当圆心A与直线x－y＋3＝0垂直时，过垂足作圆的切线，切线长最短，连接AB，根据圆的切线垂直于过切点的直径可得三角形ABC为直角三角形，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x －y＋3＝0的距离即为|AC|的长，然后根据半径和|AC|的长，利用勾股定理即可求出此时的切线长．由于圆心(2，2)，半径为1，那么可知圆心到直线的距离为，那么利用勾股定理可知切线长的最小值为二、解答题12．求下列各圆的标准方程：(1)圆心在y=－x上且过两点(2，0)，(0，－4)(2)圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y－1=0切于点(2，－1)解析(1)设圆心坐标为()，则所求圆的方程为，∵圆心在上，∴，①又∵圆过(2，0)，(0，－4)∴，②，③由①②③联立方程组，可得.∴所求圆的方程为.(2)∵圆与直线相切，并切于点M(2，－1)，则圆心必在过点M(2，－1)且垂直于的直线：上，，即圆心为C(1，－2)，r=，∴所求圆的方程为：13．求经过三点A(－1，－1)，B(－8，0)，C(0，6)的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标.解析设所求圆的方程为点A(－1，－1)，B(－8，0)，C(0，6)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得解得：D=8，E=－6，F=0 .于是得所求圆的方程为：,圆的半径r=,圆心坐标是.。
人教课标版高中数学必修2《圆的标准方程》提升训练
《圆的标准方程》提升训练一、选择题1.[2017宁夏银川一中月考]设圆C 的方程是()()()22110+++=≠x a y a ，则原点与圆C 的位置关系是（ ） A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不能确定2.[2018江西吉安一中高一月考]若直线=+y ax b 经过第一、二、四象限，则圆()()221+++=x a y b 的圆心位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.[2018安徽蚌埠二中高一月考]方程1-=x ） A.—个圆 B.两个圆 C.半个圆 D.两个半圆 二、填空题4.[2018江苏太仓高二（上）期中考试]已知圆心为()23-，，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是 .5.[2017四川成都树德中学高一（上）月考]已知圆O 的方程为()()223425-+-=x y ，则点()2,3M 到圆上的点的距离的最大值为 .三、解答题6.[2017福建福州一中质检]已知圆P 过点()()1,0,4,0A B .(1)若圆P 还过点()6,2-C ，求圆P 的标准方程； (2)若圆心P 的纵坐标为2，圆P 的标准方程.7.[2017山东省实验中学高一（上）月考]已知圆C 的圆心坐标为()00,x x ，且过点()4,2P .(1)求圆C 的标准方程（用含0x 的方程表示）.(2)当0x 为何值时，圆C 的面积最小？并求出此时圆C 的标准方程.8.[2017江苏南京一中期中考试]已知圆()()221:314++-=C x y ，直:148310+-=l x y ，求圆1C 关于直线l 对称的圆2C 的方程.参考答案一、选择题 1. 答案：B解析:由已知得圆心坐标为(),1C a --，则1OC =>，所以原点在圆外，故选B. 2. 答案：D解析：由题意，知(),a b --为圆()()221x a y b +++=的圆心.由直线y ax b =+ 经过第一、二、四象限，得0,0a b <>，即0,0a b ->-<，故圆心位于第四象限. 3. 答案：D解析：由题意，知110x x ⎧-=⎪⎨-≥⎪⎩()()()()222211111111x y x y x x ⎧⎧-+-=++-=⎪⎪⎨⎨≥≤-⎪⎪⎩⎩或，所以原方程表示两个半圆. 二、填空题 4.答案：()()222313x y -++=解析：方法一、因为直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，所以半径为()()222313x y -++=.方法二、设直径的两个端点的坐标分别为()()0,,,0A a B b ，则由中点坐标公式，得02=2032ba +⎧⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，解得64ab =-⎧⎨=⎩，所以圆的半径12r ==，所以圆的方程为()()222313x y -++=.5.答案：5解析：由题意,知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点()2,3M 的距离55=+三、解答题 6.答案：见解析解析：(1)设圆P 的标准方程是()()222x a y b r -+-=，则()()()()2222222221462a b r a b r a b r ⎧-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+--=⎪⎩，解得5272a b r ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，故圆P 的标准方程为225729.222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)由圆的对称性，可知圆心P 的横坐标为145=22+，故圆心5,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，故圆P 的半径52r ==，故圆P 的标准方程为()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.7.答案：见解析解析：(1)由题意，设圆C 的标准方程为()()()222000x x y x r r -+-=>. 圆C 过点()4,2P ，()()22222000042,21220.x x r r x x ∴-+-=∴=-+∴圆C 的标准方程为()()222000021220.x x y x x x -+-=-+(2)()()()22220000021220=232x x y x x x x -+-=-+-+，∴当0=3x 时，圆C 的半径最小，即面积最小，此时圆C 的标准方程为()()22332x y -+-=. 8.答案：见解析解析：设圆2C 的圆心坐标为(),m n .因为直线l 的斜率74k =-，圆()()221314C x y ++-=的圆心坐标为()3,1-，半径2r =，所以，由对称性知14373114831022n m m n -⎧=⎪⎪+⎨-++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得45m n =⎧⎨=⎩.所以圆2C 的方程为()()22454x y -+-=.。
高考数学提分专练圆专项训练
圆一、圆的标准方程和一般方程1.方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________.【解析】由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.2.圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为____________．【解析】设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得222222(2)(3),(2)(5),230.a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩解得21, 2,10.a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.3.圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为。
4.圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆方程为 。
【解析】设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，y 22(2)1x y +-=22(2)1x y ++=22(1)(3)1x y -+-=22(3)1x y +-=(0,)b 12b =22(2)1x y +-=则有⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－4a ，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 5.已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是__________．【解析】设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2， 解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2. 二、与圆有关的轨迹问题6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.求圆心P 的轨迹方程；【解析】 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.7.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．【解析】设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，⇒⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.8.已知P(5,0)和圆1622=+y x ,过P 任意作直线l 与圆交于A 、B 两点,则弦AB 的中点M 的轨迹为 ．解：M 是弦的中点，可利用垂径定理。
高考数学专题《圆与方程》训练试题含答案
高考数学专题《圆与方程》一、单选题1．若,,a b c 是ABC ∆的三边，直线0ax by c 与圆221x y +=相离，则ABC ∆一定是 A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形2．直线210kx y -+=与圆22(1)1y x +-=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 3．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．8- 4．圆22460x y x y ++-=和圆2260x y x +-=交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．3590x y ++=B ．3590x y --=C ．3590x y -+=D ．3590x y +-= 5．已知圆C ：()()22114x y -+-=，过直线l ：()0y m m =>上一点Р作圆C 的切线，切点依次为A ，B ，若直线l 上有且只有一点Р使得2PC AC =，O 为坐标原点．则OP PC ⋅=（ ） A ．-20 B ．20或12 C ．-20或-12 D ．12 6．已知圆C ：221x y +=，则圆上到直线l ：34120x y +-=距离为3的点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个 7．已知圆C ：()()22261x y ++-=，直线l ：3450x y -+=，则圆C 关于直线对称的圆是（ ） A ．()()22421x y ++-=B ．()()22421x y -+-= C ．()()22421x y +++= D ．()()22421x y -++= 8．已知点(1,0)P -，过点(1,0)Q 作直线2()20ax a b y b +++=(a ，b 不同时为0)的垂线，垂足为H ，则PH 的最小值为A B 1 C ．1 D 9．已知圆22:9O x y +=，过点()2,1C 的直线l 与圆O 交于,A B 两点，则当OAB 的面积最大时，直线l 的方程为（ ）A ．30x y --=或7150x y --=B ．30x y ++=或7150x y +-=C ．30x y +-=或7150x y -+=D ．30x y +-=或7150x y +-= 10．若过点()4,3A 的直线l 与曲线22231x y 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭11．若圆224x y +=上恰有2个点到直线y =x +b 的距离等于1，则b 的取值范围是A ．((2,22-B ．(()2,32-C ．(D ．(-12．若直线y x b =+与曲线2y =b 的取值范围是A ．2⎡⎤--⎣⎦B ．(2⎤--⎦C ．(-D ．2,⎡⎣ 13．若直线l ：1y kx =+被圆22:230C x y x +--=截得的弦最短，则直线l 的方程是 A ．0x = B ．1y = C ．10x y +-= D ．10x y -+= 14．在Rt ABO 中，90BOA ∠=︒，8OA =，6OB =，点P 为Rt ABO 内切圆C 上任一点，则点Р到顶点A ，B ，O 的距离的平方和的最小值为（ ）A ．68B ．70C ．72D ．7415．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．16．已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（ ）A ．2B ．1C ．D 17．已知直线:10l x y -+=，则“21a =”是“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．圆22(2)(3)9x y ++-=上到直线0x y +=的距离等于2的点有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个19．已知两圆相交于()()A 1,3B ,1m -，，两圆的圆心均在直线0x y c -+=上，则2m c +的值为A ．1B ．1-C ．3D ．020．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE xAD y AP x y =+∈R ，则2x y +的最小值为（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．321．设定点()3,4M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以,OM ON 为领边作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹为（ ）A ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆B ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆C ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22．在平面直角坐标系中，已知定点()0,4A ，()2,0B ，若在圆22:245M x y x y m ++++=上存在点P ，使得APB ∠为直角，则实数m 的最大值是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4523．(2016·葫芦岛高一检测)已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－D ．14＋24．若直线l 将圆22(2)(1)9x y ++-=平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（ ）A ．10x y +-=B ．10x y ++=C ．20x y -=或10x y +-=D ．20x y +=或10x y ++=25．如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，120BAD ∠=︒，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AM BD ⋅的最大值是（ ）A ．3B ．3C ．5+D ．5+26．若圆22:5C x y m +=-与圆22:(3)(4)16E x y -+=-有三条公切线，则m 的值为A ．2BC ．4D ．627．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路程是（ ）A．4 B ．5 C ．1 D ．28．曲线1:sin 20C ρθ-=，曲线2:4cos 0C ρθ-=，则曲线12C C 、的位置关系是 A ．相交 B ．相切 C ．重合 D ．相离29．已知(),,0A B C ABC ≠成等差数列，直线0Ax By C ++=与圆22260x y tx ty +++-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．随着t 的变化而变化 30．已知直线:3l y x =+与x 轴的交点为()30A -,，P 是直线l 上任一点，过点P 作圆()22:14E x y -+=的两条切线，设切点分别为C ､D ，M 是线段CD 的中点，则AM 的最大值为（ ）A ．B ．CD ．31．直线3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是A ．相切B ．相离C ．相交但不过圆心D ．相交且过圆心32．圆221:(1)(3)1C x y ++-=，圆222:(5)(5)4C x y -+-=，M ，N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值（ ）A ．6B ．C ．7D ．1033．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点．以12F F 为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P ，且以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切，若18PF =，则双曲线的焦距等于（ ）A．B ．6 C ．D ．334．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆()22:21T x y -+=上的动点，则PF PQ 的最小值是（ ）A ．12 B ．27 C ．23 D 35．已知圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线方程为（ ） A ．1y x =-+B ．1y x =+C ．2y x =-+D ．2y x =+36． 实数,a b 满足22220a b a b +++=，实数,c d 满足2c d +=，则22()()a c b d -+-的小值是A ．2BC ．8D ．37．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，棱1DD 中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，点Q 使得异面直线1A Q 、BC 所成角正弦值为定值，点R 使得134A RB π∠=．当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面11CDD C 内时，则多面体1RMPC Q 体积最小值为（ ）A B C D 38．在平面内，6AB AC BA BC CA CB ⋅=⋅=⋅=，动点P ，M 满足2AP =，PM MC =，则BM 的最大值是() A ．3 B ．4 C ．8D ．16 39．已知点P 为直线1y x =+上的一点，,M N 分别为圆1C ()()22:414x y -+-=与圆2C ：()2221x y +-=上的点,则PM PN -的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 40．过点()1,2总可以作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A ．()()32,-∞-+∞，B ．()8332,⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，C ．()32,⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．8332,⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题41．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 与圆O ：225x y +=有公共点(1,2)P -，且圆O 在点P 处的切线与双曲线C 的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为________． 42．已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，曲线C 上两点(),A m n ，(),B s p ，（m 、n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，则s p m n -=______.43．平面区域321047020y x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩的外接圆的方程是____________.44．圆C 经过点(3,1)M -与圆22(1)(3)5x y ++-=相切于点(1,2)N ,则圆C 的方程为____________．45．过圆2225x y +=上一点P 作圆222(05)x y m m +=<<的两条切线，切点分别为A 、B ，若120AOB ∠=︒，则实数m 的值为______.46．已知圆C ：22810x y x m ++-+=与直线10x +=相交于A ，B 两点．若2AB =，则实数m 的值为______．47．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______．48．已知圆E ：2220x y x +-=，若A 为直线l ：0x y m ++=上的点，过点A 可作两条直线与圆E 分别切于点B ，C ，且ABC 为等边三角形，则实数m 的取值范围是________. 49．如图，在多面体ABC DEF -中，已知棱,,AE BD CF 两两平行，AE ⊥底面DEF ，DE DF ⊥，四边形ACFE 为矩形，23AE DE DF BD ====，底面△DEF 内(包括边界)的动点P 满足,AP BP 与底面DEF 所成的角相等.记直线CP 与底面DEF 的所成角为θ，则tan θ的取值范围是___________.50．在平面直角坐标系xoy 中，已知点(3,0)P 及圆22:24270C x y x y +---=，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ,B 两点，则ABC ∆的面积的最大值为________.51．对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是________. 52．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：2220x y y +-=与圆2C：220x y ax ++-=上分别存在点P ，Q ，使POQ △为以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为实数a 的值为___________.53．若圆22211()()x y R -++=上有且仅有三个点到直线4311x y +=的距离等于1，则半径R 的值为______．54．已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为__________．55．22sin )x dx -+=⎰___________56．若直线y x t =+被圆228x y +=，则实数t 的取值范围为______． 57．直线20ax y +-=与圆22:4C x y +=相交于,A B 两点，若2CA CB ⋅=-，则a =__________． 58．设0m >，点(4,)A m 为抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为焦点，以A 为圆心||AF 为半径的圆C 被y 轴截得的弦长为6，则圆C 的标准方程为__________．59．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．60．若直线l ：2y x =+与圆C ：224x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 中点的坐标为_____．61．把半椭圆()221043x y x +=≥与圆弧22(1)4(0)x y x -+=<合成的曲线称作“曲圆”，其中F 为半椭圆的右焦点，A 是圆弧22(1)4(0)x y x -+=<与x 轴的交点，过点F 的直线交“曲圆”于P ，Q 两点，则APQ 的周长取值范围为______62．动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C 与直线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积的取值范围为__________.63．在平面直角坐标系xOy 中，若与点A （2，2）的距离为1且与点B （m ，0）的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为______．64．在平面直角坐标系xOy 中，定点()2,0F -，已知点P 是直线2y x =+上一动点，过点P 作圆()22:24C x y -+=的切线，切点分别为A ，B ．直线PC 与AB 交于点R ，则线段FR 长度的最大值为______．65．已知,A B 为直线l ：y x =-上两动点，且4AB =，圆C ：226620x y x y +--+=,圆C 上存在点P ，使22PA PB 10+=，则线段AB 中点M 的横坐标取值范围为__________.三、解答题66．已知()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点，点P 在圆224x y +=上运动，求222PA PB PC ++的最大值和最小值．67．已知抛物线2:2C y x =，过点()1,0的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）若||AB =AOB 外接圆的方程；（2）若点A 关于x 轴的对称点是A '(A '与B 不重合)，证明：直线A B '经过定点.68．已知椭圆C ：22221y x a b+=(0)a b >>过点P ，上、下焦点分别为1F 、2F ， 向量12PF PF ⊥．直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 中点为13(,)22M -． （1）求椭圆C 的方程；（2）求直线l 的方程；（3）记椭圆在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ，若曲线 2222440x mx y y m -+++-=与区域D 有公共点，试求m 的最小值．69．已知直线过点，并与直线和分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分．求：（Ⅰ）直线的方程；（Ⅱ）以O 为圆心且被l 截得的弦长为的圆的方程．70．如图，已知圆22:4O x y +=和点()2,2A ，由圆O 外一点(),P a b 向圆O 引切线PQ ，Q 为切点，且PQ PA =．（1）求证：3a b +=；（2）求PQ 的最小值；（3）以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．71．已知直线:220l ax by -+=(0,0)a b >>，圆22:2410C x y x y ++-+=. （1）若1,2a b ==，求直线l 被圆C 截得的弦长；（2）若直线l 被圆C 截得的弦长为4，求14a b+的最小值.72．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率e =O 为坐标原点，圆224:5O x y +=与直线AB 相切. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD 内接于椭圆,//E AB DC .记直线,AC BD 的斜率分别为12,k k ，试问12k k ⋅是否为定值？证明你的结论.73．已知直线l 过点()1,1且与直线210x y ++=垂直.（1）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，求AB ；（2）求圆心在直线l 上且过两点()()1,1,3,1M N 的圆的标准方程.74．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 是参数，0απ≤<），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）当4πα=时，曲线1C 和2C 相交于M 、N 两点，求以线段MN 为直径的圆的直角坐标方程.75．从圆C :22(2)(2)4-++=x y 外一动点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，且PM PO =(O为坐标原点)，求PM 的最小值和PM 取得最小值时点P 的坐标．76．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3=0与直线x ＋2y －3=0的两个交点为P 、Q ，求以PQ 为直径的圆的方程．77．已知直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣ρsin θ+3=0，圆M 的极坐标方程为ρ=4sin θ．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）写出直线l 与圆M 的直角坐标方程；（2）设直线l 与圆M 交于A 、B 两点，求AB 的长．78．已知圆C 过两点()3,3M -， ()1,5N -，且圆心C 在直线220x y --=上． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点()2,5-且与圆C 有两个不同的交点A ， B ，若直线l 的斜率k 大于0，求k 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线l 使得弦AB 的垂直平分线过点()3,1P -，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．79．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.80．已知圆C 的圆心坐标为(2,2)C -，且圆C 的一条直径的两个端点M ，N 分别在x 轴和y 轴上．（1）求圆C 的方程；（2）过点(2,2)P 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且ABC 为直角三角形，求直线l 的方程．81．已知圆22:80C x y y +-=与动直线:22l y kx k =-+交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）已知点()2,2P ，当OP OM =时，求l 的方程及POM 的面积.82．已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －8)2＝4，直线y x ＋b 在两圆之间穿过且与两圆无交点，求实数b 的取值范围．83．如图，已知圆2212x y +=与抛物线()220x py p =>相交于A 、B 两点，点B 的横坐标为F 为抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为1P 、2P 、3P 、4P ，求：①13PP ；②1324PP P P -的值．84．已知定点F （3，0）和动点P （x ，y ），H 为PF 的中点，O 为坐标原点， （1）求点P 的轨迹方程；（2）过点F 作直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，点C （2，0）．连接AC ，BC 分别交于点M ，N ．试证明：以MN 为直径的圆恒过点F ．85．求半径为2，圆心在直线12:l y x =上，且被直线2l ：10x y --=所截弦的长为圆的方程.86．已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋22(y )+＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅取得最小值时点Q 的坐标；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．87．已知圆C 方程为228(62)610(,0)x y mx m y m m R m +--+++=∈≠，椭圆中心在原点，焦点在x 轴上.（1）证明圆C 恒过一定点M ，并求此定点M 的坐标；（2）判断直线4330x y +-=与圆C 的位置关系，并证明你的结论；（3）当2m =时，圆C 与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M ，求此时椭圆方程；在x 轴上是否存在两定点A ，B 使得对椭圆上任意一点Q （异于长轴端点），直线QA ，QB 的斜率之积为定值？若存在，求出A ，B 坐标；若不存在，请说明理由.88．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程：()222411211k x k k y k ⎧=-+⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程；（2）过曲线2C 上一点P 作直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，中点为D，AB =求PD 的最小值.89．已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线l ：10mx y m -+-=. ①求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； ②设l 与圆C 交于A 、B两点，若AB l 的倾斜角； ③当实数m 变化时，求直线l 被圆C 截得的弦的中点的轨迹方程.90．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于,M N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>.（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点.（i ）2OA AB =，求直线l 的方程；（ii ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案1．D 【详解】试题分析：因为直线0ax by c 与圆221x y +=1>，即222222,cos 02a b c a b c C ab+-+<=<，角C 为钝角，ABC ∆一定是锐角三角形,故选D.考点：1、点到直线的距离公式；2、余弦定理的应用.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而判断其为钝角三角形. 2．A 【分析】确定直线过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，点在圆内，得到答案.【详解】210kx y -+=过定点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且2211(110)24+-=<，故10,2⎛⎫⎪⎝⎭在圆内，故直线和圆相交. 故选：A 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，确定直线过定点是解题的关键. 3．B 【详解】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径r =d =．因为圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以222,4a a =-∴=-．故选B ． 4．D 【分析】求出两圆的连心线所在直线的方程，即为AB 的垂直平分线的方程. 【详解】圆22460x y x y ++-=的标准方程为()()222313x y ++-=，圆心为()2,3M -，圆2260x y x +-=的标准方程为()2239x y -+=，圆心为()3,0N ，由于两圆关于直线MN 对称，所以，A 、B 两点也关于直线MN 对称， 所以，AB 的垂直平分线为直线MN ， 直线MN 的斜率为303235MN k -==---，则直线MN 的方程为()335y x =--，即3590x y +-=. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查两圆相交弦的垂直平分线所在直线的方程，解题的关键就是由两圆关于连心线所在直线对称，进而得出相交弦被连心线垂直平分，解题时应充分分析圆的几何性质，结合几何性质来解题. 5．A 【分析】由题设易知PC l ⊥且||PC 为C 到直线l 的距离，再根据圆心坐标及半径、2PC AC =即可确定m 的值，进而可得()1,5P ，应用向量数量积的坐标运算求OP PC ⋅. 【详解】∵这样的点P 是唯一的，则PC l ⊥，即||PC 为C 到直线l ：()0y m m =>的距离，而圆C 的半径为2且(1,1)C ，∴要使2PC AC =，则4PC =，又0m >，即5m =， ∴()1,5P ，故()()1,50,420OP PC ⋅=⋅-=-． 故选：A ． 6．C 【分析】根据题意，求出圆C 的圆心与半径，求出圆心到直线的距离125=，分析可得3r d +>，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆C ：221x y +=，圆心为()0,0，半径1r =，则圆心()0,0C 到直线l ：34120x y +-=距离1215d r ==>=， 圆的半径为1，有12135+>，即3r d +>， 则圆上到直线l ：34120x y +-=距离为3的点有2个. 故选C ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析圆心到直线的距离，属于基础题． 7．D【分析】对称圆的圆心C '与C 关于l 对称，且CC '所在直线垂直于直线l ，据此求解出对称圆的圆心C '坐标，再根据圆对称半径不变即可求解出对称圆的方程. 【详解】设对称圆的圆心(),C a b '，()2,6C -，所以CC '中点为26,22a b -+⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2634502263124a b b a -+⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪+⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩，所以圆C 关于直线对称的圆的方程为：()()22421x y -++=. 故选：D. 【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的方程，难度一般.求解圆关于直线的对称圆的方程从两方面入手：(1)两圆圆心连线的中点在已知直线上；(2)两圆圆心的连线垂直于已知直线. 8．B 【详解】直线()220ax a b y b +++=整理得()()220a x y b y +++= 可知直线过定点T ()1,2-，所以点H 落在以QT 为直径的圆上，点H 的轨迹为()()22111x y -++=，圆心为C ()1,1-半径为1，PH的最小值为r 1PC -;故选B.点睛：本题关键是分析出直线过定点，从而利用垂直关系找到垂足的轨迹方程，最后点点距离的最小值转化到点到圆心的距离减掉半径，重点是转化的思想. 9．D 【分析】当直线l的斜率不存在时，易求得OAB S =l 的斜率存在时，设l 的方程为11(2)2y k x k ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，进而得弦长AB =,A B的距离dOAB S ∆=.【详解】当直线l 的斜率不存在时， l 的方程为2x =，则,A B 的坐标分别为在时，所以122OABS=⨯⨯=当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为11(2)2y k x k ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，则圆心到直线,A B 的距离d =由平面几何知识得AB =119222OABS AB d ∆=⨯⋅=⨯， 当且仅当229d d -= ，即292d =时， OAB S ∆取得的最大值为92，因为92，所以OAB S ∆的最大值为92.此时292=，解得1k =-或7k =-， 此时直线l 的方程为: 30x y +-=或7150x y +-= 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式求最值，考查分类讨论思想和运算能力，是中档题. 10．C 【分析】先由题意，设直线l 的方程为()34y k x -=-，根据直线与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-= 曲线22231x y 表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，1≤，即2k -≤，解得k ≤故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，判断直线与圆的位置关系用几何法—圆心到直线的距离d 与圆的半径r 比较，d r =相切；d r 相离；d r <相交，考查学生的运算求解能力，属于一般题. 11．B 【分析】问题转化为圆心到直线的距离大于1，小于3，再求出圆心到直线的距离后列出不等式可解得． 【详解】依题意可得圆心到直线的距离()1,3d ∈.∵d =3<，解得b -<b <B . 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于一般题． 12．B 【分析】由2y =()()22224x y -+-=，且22y =<，即2y =()2,2为圆心，2为半径的圆位于直线2y =下方的部分， 直线y x b =+表示斜率为1的直线系， 如图所示，考查满足题意的临界条件： 当直线经过点()4,2A 时：24,2b b =+∴=-，当直线与圆相切时，圆心()2,2到直线0x y b -+=的距离等于半径2，即：2=，解得：b =±B 时，b =-结合题中的临界条件可知：实数b 的取值范围是(2⎤--⎦. 本题选择B 选项.【详解】 13．D 【详解】因为直线l ：1y kx =+过定点()0,1M ，而点()0,1M 在圆22:230C x y x +--=内，根据圆的几何性质可知，当直线l 与MC 垂直时,直线l ：1y kx =+被圆22:230C x y x +--=截得的弦最短，由圆的方程可得()1,0C ，于是可得101,101MC k k -==-=-，直线l 的方程是1,y x =+化为10x y -+=，故选D. 14．C 【分析】利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p 的坐标，表示出，222||||||S PA PB PO =++，利用x 的范围确定S 的范围，则最小值可得 【详解】解：如图，ABO 是直角三角形，设ABO 的内切圆圆心为O '，切点分别为D ，E ，F ，则1(1086)122AD DB EO ++=++=．但上式中10AD DB +=，所以内切圆半径2r EO ==，如图建立坐标系，则内切圆方程为：22(2)(2)4x y -+-= 设圆上动点P 的坐标为(,)x y ， 则222||||||S PA PB PO =++222222(8)(6)x y x y x y =-+++-++22331612100x y x y =+--+223[(2)(2)]476x y x =-+--+34476884x x =⨯-+=-．因为P 点在内切圆上，所以04x ，所以881672S =-=最小值故选：C15．C【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r +≥-即可求解.【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --，由图得AC BC AP r +≥-==故选：C.【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解. 16．D【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC r MPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案.【详解】 结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值， 而sin MC r MPC PC PC∠==， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值.故PC 的最小值为点C 到该直线的距离，故d ==故1sin 302r PC ==︒=，解得r =故选：D .【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 17．B【分析】根据“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”求出1a =-，由211a a =⇒=±，然后根据必要不充分条件的概念进行判断.【详解】因为直线l 与圆22210x y ay +--=相切，所以圆心到直线的距离等于半径，又因为圆心()0,a=1a =-，又211a a =⇒=±，所以“21a =”是“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”的必要不充分条件.故选：B.18．A【分析】首先判断出圆心到直线的距离，然后判断2d +，2d -与r 的关系，从而确定点的个数.【详解】圆的圆心为()2,3-，半径为3圆心到直线的距离d ==可知23<，232+<由上图可知，圆上到直线距离等于2的点共有4个本题正确选项：A【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，由位置关系判断到直线距离为定值的点的个数，解题关键在于确定圆心到直线的距离，再进一步判断.19．A【详解】由圆的性质知：AB 与直线0x y c -+=垂直且被平分，所以3111AB k m+==--，解得5m =，又AB 中点(3,1)在直线上，代入可求得2c =-，所以21m c +=故选A.20．B【分析】建立平面直角坐标系，设00(,)P x y ，利用坐标法将,x y 用P 点坐标表示，即可求出2x y +的最小值.【详解】以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设2AB =，00(,)P x y ，则(0,0)A ，(0,2)D ，(2,1)E ，半圆的方程为22(1)1(0)x y y -+=≥，所以(2,1)AE =，(0,2)AD =，00(,)AP x y =，因为(,)AE xAD y AP x y =+∈R ，即00(2,1)(0,2)(,)x y x y =+，所以00212yx x yy =⎧⎨=+⎩，即0002221y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以001212y x y x -+=+⋅，又00(,)P x y 是半圆上的任意一点， 所以01cos x θ=+，0sin y θ=，[0,]θπ∈， 所以1sin 2121cos θx y θ-+=+⋅+，所以当2πθ=时，2x y +取得最小值1. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查二元变量的最值求法，关键是根据已知把几何图形放在适当的坐标系中，把有关点与向量用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.21．C【分析】 首先设()()00,,,P x y N x y ，根据平行四边形的性质，求得003,4.x x y y =+⎧⎨=-⎩，代入圆的方程，求得点P 的轨迹，同时注意去掉不能满足平行四边形的点.【详解】设()()00,,,P x y N x y ，则线段OP 的中点坐标为,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，线段MN 的中点坐标为0034,22x y -+⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于平行四边形的对角线互相平分，所以003,22422x x y y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，从而003,4.x x y y =+⎧⎨=-⎩又点()3,4N x y +-在圆224x y +=上，所以()()22344x y ++-=.当点P 在直线OM 上时，22443x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，解得：912,55x y =-=或2128,55x y =-=. 因此所求轨迹为以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭，.故选：C.22．D【分析】根据题意将所求问题转化为两个圆有交点的问题解决.【详解】以()0,4A ，()2,0B 两点为直径的圆的方程为()()22125x y -+-=，设圆心为N ，所以()1,2N若在圆22:245M x y x y m ++++=上存在点P ，使得APB ∠为直角，则圆M 与圆N 有公共点，又圆22:245M x y x y m ++++=，所以()1,2M --)0m >，所以MN =≤545m ≤≤，所以m 的最大值为45.故选：D23．D【解析】圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(32＝14＋故选D.24．D【分析】由题意可得直线l 过圆心(2,1)-，分直线l 过原点和直线l 不过原点，分别求得其直线方程.【详解】解：由题意可得直线l 过圆心(2,1)-，当直线l 过原点时，其方程为20x y +=；当直线l 不过原点时，设l ：x y a +=，则211a =-+=-，此时方程为10x y ++=. 故选：D.25．A【分析】先求出AC AB ⊥，然后以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，求出圆C 的方程丹凤 出M 点坐标，用坐标表示向量积，结合三角函数性质可得最大值．【详解】 由题意3ABC π∠=，所以22212212cos 33AC π=+-⨯⨯=，即222AC AB BC +=，所以2CAB π∠=，以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(1,0)B ，C ，(D -．直线BD 方程为111x -=--20y +-=，所以圆C 半径为7r ==C 方程为223(7x y +=，设()77M αα，21()AM αα=，(BD =-，所以3AM BD αα⋅=+，33=．故选：A ．26．C【分析】由两圆有三条公切线，可知两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和，列出式子即可求出m 的值．【详解】由题意可知两圆外切，圆C 的圆心为()0,0，圆E 的圆心为()3,4，半径为4，4，解得4m =.故答案为C.【点睛】本题考查了两圆的公切线，考查了圆与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题． 27．A【解析】【详解】由题意可得圆心(2,3)C ,半径为1r =,点A 关于x 轴的对称点(1,1)A -'-,求得5A C =',则要求的最短路径的长为514A C r -=-=',故选A.28．B【详解】将sin 20ρθ-=化为直角坐标方程得，20y -= ，由4cos 0ρθ-=可得，24cos ρρθ=化为直角坐标方程可得，()2224x y -+= ，圆心()2,0 到直线20y -=的距离为2 ，等于圆的半径，所以直线20y -=与()2224x y -+=相切，即曲线1:sin 20C ρθ-=，曲线2:4cos 0C ρθ-=，则曲线12C C 、的位置关系是相切，故选B.29．A【分析】若,,A B C 公差为d ，结合直线方程可得(1)(2)0A x y d y ++++=，即可确定所过的定点坐标，再判断定点与圆的位置关系即可.【详解】若,,A B C 公差为d ，则()(2)(1)(2)0Ax A d y A d A x y d y ++++=++++=，∴直线恒过定点(1,2)-，将代入圆中，可得522610t t +--=-<，∴(1,2)-在圆22260x y tx ty +++-=内，故直线与圆相交.故选：A30．B【分析】先求出M 点的轨迹为圆，然后问题转化为圆外的点到圆上的点的距离最大问题求解即可【详解】设点M 坐标为(),x y ，P 点坐标为()00,x y ，因为P ，M ，E 共线所以//PE ME ，得()()0011y x y x -=-因为003y x =+，得0033141y x x y x y y y x +-⎧=⎪-+⎪⎨⎪=⎪-+⎩① CD 的直线方程为()()00114x x y y --+=②将①代入②得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以M 点的轨迹是以N 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，AM的最大值为2AN r +=+=故选：B31．C【详解】圆心到直线的距离()90,25d ==∈， 据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心. 本题选择C 选项.32．C【详解】圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标C 3（﹣1，﹣3），半径为1， 圆C 2的圆心坐标（5，5），半径为2， |PM|+|PN|的最小值为圆C 3与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，31037=-=． 故选C ．33．A【分析】设以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切于点N ，圆心为M ，则1MN PF ⊥，因此121Rt PF F Rt NF M ∽，所以1212||F M NM PF F F =，由此可求出223cPF =，而12PF PF ⊥，再由勾股定理可得1PF =18PF =，从而可求出c 的值 【详解】依题意知12PF PF ⊥，设以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切于点N ，圆心为M ，则1MN PF ⊥，因此121Rt PF F Rt NF M ∽，所以1212||F MNM PF F F =． 设双曲线的焦距为2c ，则23222c cPF c=，解得223cPF =，由勾股定理可得1PF =8=，c =2c = 故选：A 【点睛】此题考查圆与双曲线的性质的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题 34．B 【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PF PQ的最小值.【详解】 如下图所示：。
高考数学(文)热点题型和提分秘籍：专题36圆的方程(含答案解析)
1．掌握确立圆的几何因素，掌握圆的标准方程与一般方程。
2．初步认识用代数方法办理几何问题的思想。
热门题型一求圆的方程例 1、(1)若圆心在x 轴上、半径为5的圆O′位于y 轴左边，且与直线x＋2y＝ 0 相切，则圆O′的方程是()A ． (x－ 5)2＋ y2＝ 5 或 (x＋ 5)2＋ y2＝ 5B． (x＋5)2＋ y2＝5C． (x－ 5)2＋ y2＝ 5D． (x＋ 5)2＋ y2＝ 5(2)假如一个三角形的三边所在的直线方程分别为x＋ 2y－5＝ 0，y－ 2＝0，x＋ y－ 4＝ 0，则该三角形的外接圆方程为________。
由于 AB 的垂直均分线方程为x＝3， BC 的垂直均分线方程为：x－ y－1＝ 0，233x＝2解方程组x＝2得1x－ y－ 1＝ 0，y＝2，即圆心坐标为3，1 ，22半径 r＝3 2 1 2101－2＋2－2＝2，3 2125所以，所求圆的方程为x－2＋y－2＝2。
即 x2＋ y2－ 3x－ y＝ 0。
【提分秘笈】1．求圆的方程的两种方法(1)直接法：依据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，从而写出方程。
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 相关，则设圆的标准方程，依照已知条件列出对于a， b， r 的方程组，从而求出a，b， r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依照已知条件列出关于 D， E， F 的方程组，从而求出D， E，F 的值。
2．确立圆心地点的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上。
(2)圆心在圆的随意弦的垂直均分线上。
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线。
提示：解答圆的相关问题，应注意数形联合，充足运用圆的几何性质。
【贯通融会】若圆 C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－ 3y＝ 0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是 ()A． ( x－ 2)2＋(y－ 1)2＝ 1B．( x－ 2)2＋ (y＋1) 2＝ 1C．( x＋ 2)2＋ (y－1) 2＝ 1D． ( x－ 3)2＋(y－ 1)2＝ 1【答案】 A热门题型二与圆相关的最值问题例 2、已知实数x， y 知足 x2＋ y2－ 4x＋ 1＝0，求：y(1) 的最大值；(2)y－ x 的最小值；(3)x2＋ y2的最值。
圆的方程(提高)-学案
32第12讲---圆的方程① 掌握圆的标准方程会求圆的标准方程;教学目标②圆的一般方程和代入法的掌握、应用.体系搭建知识点一：圆的标准方程（X -a ）2 +（y -b ）2 = r 2，其中（a, b ）为圆心，r 为半径.圆的标准方程（X-a ）2 +（y-b ）2 =『=圆心为（a, b ），半径为r ，它显现了圆的几何特点知识点二：点和圆的位置关系知识点三：圆的一般方程当D 2+E 2—4F AO 时，方程X 2+y 2+Dx + Ey + F =0叫做圆的一般方程W D 2+E 2 -4F 为半径.2要点诠释：由方程 x 2+y 2 +Dx +Ey + F =0得2 2DE（1）当D +E -4F =0时，方程只有实数解.它表示一个点（―授课主题 授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结授课日期及时段T (Textbook-Based )司步课堂如果圆的标准方程为(X -a)2 +(y -b)2 = r 2圆心为C （a, b ），半径为r , 则有(1)右点 M (X o , y 诳圆上U | CM (X o2+ (yo -b )(2)若点 M (X o , y o 诳圆外u | CM (X o 2-a ) 2+ (y o —b )(3)若点 M (X o , y o(X o 2-a ) 2+(y o —b )< r 2D 2 +E 2 -4F2 2⑵当D +E -4F c O 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.⑶当D 2+E 2-4F >0时，可以看出方程表示以I 22丿知识点四：几种特殊位置的圆的方程知识点五：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程， 实质上就是利用题设中的几何条件， 通过 坐标法”将其转化为关于 变量X, y 之间的方程. 1.当动点满足的几何条件易于 坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定 义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关 点法）.2•求轨迹方程时，一要区分 轨迹”与 轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.3•求轨迹方程的步骤:1 --2---2 --- *-J D 2+ E 2 -4F 为半径的圆.2为圆心,建立适当的直角坐标系，用(X, y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标;(1)(2) 列出关于X, y的方程;把方程化为最简形式;(4) 除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)作答.典例分析考点一：圆的标准方程例1、求满足下列条件的各圆的方程:(1)圆心在原点，半径是 3;⑵圆心在点C(3,4 )上，半径半径是屈;⑶已知圆C经过A(5,1), B(1,3)两点，圆心在X轴上;⑷经过点P(5,1 )，圆心在点C(8,—3 )•例2、求经过点A(10,5)、B( — 4,7)，半径为10的圆的方程.考点二：圆的一般方程例3、已知方程X2 + y2+ 2mx — 2y+m2+ 5m = 0表示圆，求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.例4、求过点C(— 1,1)和D(1,3)且圆心在直线y = X上的圆的一般方程.例5、也ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,5 ),B(-2,—2),C(5,5 )，求其外接圆的方程.考点三：圆有关的计算例6、判断点 M (6, 9), N (3, 3), Q (5, 3)与圆(x — 5)2+(y — 6^=10 的位置关系.例7、自圆X2+ y2 = 4上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求弦AB的中点轨迹方程.1例8、已知一曲线是与两个定点O (0, 0), A (3, 0)距离的比为-的点的轨迹，求这条曲线的方程，并2画出曲线.实战演练课堂狙击A •在圆内P(P ractice-Oriented) 实战演练B .在圆外X2+ y2= 1的位置关系是( )i2t_1点叫+ t2，1 +C .在圆上D .与t 有关2、圆(X + 2)2 + y 2= 5关于原点(0,0)对称的圆的方程是( (X — 2)2 + y 2= 5 X 2+ (y — 2)2= 5(X + 2)2 + (y+ 2)2= 5x 2+ (y+ 2)2= 5 2X 2 + 2y 2— 4x + 8y + 10= 0 表示的图形是( )3、方程 一个点 B •一个圆 一条直线D .不存在4、已知点P 是圆C ： x 2+y 2+ 4X + ay — 5= 0上任意一点, P 点关于直线2x + y — 1= 0的对称点在圆C 上,则实数a 等于( ) 10 B . — 105、 6、 7、 9、 20 D . — 20 过点 A(1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为 ( (X — 1)2 + (y — 1)2= 1 或(X — 5)2 + (y — 5)2= 25(X — 1)2 + (y — 3)2= 2(X — 5)2 + (y — 5)2= 25(X — 1)2 + (y — 1)2= 1 圆(X + 3)2 + (y — 1)2= 25上的点到原点的最大距离是 ( A . 5-低 B . 5 + 710 C.低 D . 10 一束光线从点A( — 1,1)出发经X 轴反射到圆C: x+ y — 4X — 6y + 12 = 0上的最短路程是( )B . 5 D .池经过原点，圆心在 X 轴的负半轴上，半径等于 伍的圆的方程是 经过两点P(— 2,4)、Q(3, — 1),且在x 轴上截得的弦长为 6的圆的方程. 10、(1)过点 A(2, —3), B( —2,-5)且圆心在直线 X —2y —3 = 0上; (2)与X 轴相切，圆心在直线 3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2丿7 .11、（ 1）求过A（2,2）, B（5,3）, C（3,-1）的圆的方程，及圆心坐标和半径;（2）求经过点A（—2, V）且与直线X+ 3y —26 = 0相切于点（8, 6）的圆的方程.课后反击 1、圆心是（2,—1拼且过点（3,0 ）的圆的方程是（2 , 2A、(X —2 ) +(y +1 )=22 22、X +y —x + y+R=0表示一个圆，则R的取值范围是（A、严,2】B、（二,2 ）C、匕〕, 2 2 B、(x+2) +(y-1 )C(X -2 卄(y +1 } =42, 2 2D、(x+2) +(y-1)2 23、点P （5a + 1,12a j 在圆（x —1）+y =1的内部，则a 的取值范围是（）（1 1）D 、I ——,- I 5 5丿222m4、直线X -5y + 3=0经过圆x + y —mx + 2y + ----- 1=0的圆心，贝U m 等于（）46、过点P （ —8,—1 ）,Q （5,12）,R （17,4 ）三点的圆的圆心坐标为（B 、（5,1）D 、（5,-1）7、已知动点M 到定点（8,0 ）的距离等于M 至”2,0 ）的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是（ ）A 、（―1,1 ）C J-丄,丄〕V 13 13丿A 、 -16B 、16C 、0或16D 、0 或-165、已知A （Y —5）B （6,—1 ），则以线段 AB 为直径的圆的方程是（2 2A 、（x +1 ） +（y —3）=292 2c 、（x +1）+（y —3）2 2D 、（X —1 ） += 116C 、（0,0） A 、x 2+y 2=32B 、X 2+ y 2 =162 2C 、（X-1 ） +y2 =16D 、x 22+ （y —1）8、过点（2,1 ）并与两坐标轴都相切的圆的方程是（2 2A 、（X T ） +（y T ）2 2 2 2B 、（X —1） +（y —1） =1 和（X —5 ） +（y -2 2 2 2 2 2C （X —5） +（y -5） =5D 、（x T ） +（y -1 ） =1 和（x -5） +（y —5）9、如果直线l 将圆X 2+y 2- 2x -4y = 0平分，且不通过第四象限，那么丨的斜率的取值范围是（C 、 0,2】10、求圆心在直线2x —y —3 =0上，且过点（5,2 ）和点（3,—2 ）的圆的方程。
圆的方程练习题
圆的方程练习题一、选择题1. 已知圆心在(2,-3)，半径为5的圆的方程是：A. \((x-2)^2+(y+3)^2=25\)B. \((x+2)^2+(y-3)^2=25\)C. \((x-2)^2+(y-3)^2=25\)D. \((x+2)^2+(y+3)^2=25\)2. 圆 \(x^2+y^2=9\) 与直线 \(y=x\) 相切，那么圆心到直线的距离是：A. 1B. 3C. \(\sqrt{2}\)D. \(\sqrt{3}\)3. 圆 \((x-1)^2+(y+2)^2=25\) 与 \(x\) 轴相交于两点，这两点的坐标分别是：A. (1, 2) 和 (1, -2)B. (6, 0) 和 (-4, 0)C. (4, 0) 和 (-2, 0)D. (3, 0) 和 (-2, 0)二、填空题4. 圆心在原点，半径为4的圆的方程是________。
5. 已知圆 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) 与 \(y\) 轴相切，圆心在 \(x\) 轴上，且半径为1，求D和E的值。
6. 若圆 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) 经过点 (1,1)，则a和b的值分别是________。
三、简答题7. 求经过点A(2,3)和B(-2,-3)的圆的方程。
8. 已知圆 \(x^2+y^2-4x-6y-10=0\)，求该圆的圆心和半径。
9. 若圆 \(x^2+y^2-6x-8y+m=0\) 与 \(x\) 轴相切，求m的值。
四、解答题10. 已知圆 \(x^2+y^2-2x-4y-10=0\)，求圆心、半径，并判断圆与直线 \(y=2x\) 是否相交。
11. 圆 \(x^2+y^2=9\) 内有一点P(1,1)，求过点P的所有圆的切线方程。
12. 已知圆 \((x-3)^2+(y+1)^2=25\)，求该圆上所有到直线\(2x+3y-5=0\) 距离为 \(\sqrt{2}\) 的点的坐标。
相似圆形提高练习题(培优)
相似圆形提高练习题(培优)1. 练题1给定两个相似的圆形，大圆半径为$r_1$，小圆半径为$r_2$。
已知$r_2 = 4$，求$r_1$的值。
解答：由相似圆形的性质可知，相似的两个圆形的半径之比等于它们对应线段之比。
即：$r_1 : r_2 = AB : CD$已知$r_2 = 4$，代入得：$r_1 : 4 = AB : CD$根据比例关系，可以得到等式：$r_1 : 4 = \frac{AB}{4} : 1$将已知数据代入等式，得：$r_1 : 4 = \frac{AB}{4} : 1$解方程，得出$r_1 = AB$所以，$r_1$的值为$AB$。
2. 练题2已知圆A和圆B相似，且它们的比例因子为$k$。
圆A的半径为$r$，求圆B的半径。
解答：由相似圆形的性质可知，相似的两个圆形的半径之比等于它们对应线段之比。
即：$r_A : r_B = AB : CD$已知圆A的半径为$r$，代入得：$r : r_B = AB : CD$根据比例关系，可以得到等式：$r : r_B = \frac{AB}{r} : 1$将已知数据代入等式，得：$r : r_B = \frac{AB}{r} : 1$解方程，得出$r_B = \frac{AB}{r}$所以，圆B的半径为$\frac{AB}{r}$。
3. 练题3已知两个相似圆形的半径比为$1:3$，小圆的半径为$5$，求大圆的周长。
解答：由相似圆形的性质可知，相似的两个圆形的半径之比等于它们对应线段之比。
即：$r_1 : r_2 = AB : CD$已知两个相似圆形的半径比为$1:3$，代入得：$1 : 3 = AB : CD$根据比例关系，可以得到等式：$1 : 3 = \frac{AB}{5} : 1$将已知数据代入等式，得：$1 : 3 = \frac{AB}{5} : 1$解方程，得出$AB = 5$大圆的周长为$2\pi \times AB = 2\pi \times 5 = 10\pi$所以，大圆的周长为$10\pi$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全国名校高考数学复习优质专题、学案汇编（附详解）
圆的方程
【巩固练习】
1.方程29yx表示的曲线是( )
A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆
2.圆的方程为(1)(2)(2)(4)0xxyy，则圆心坐标是( )
A.(1,1) B.1(,1)2 C.(1,2) D.1(,1)2
3.若方程224250xyxyk表示圆，则实数k的取值范围是( )
A.R B.(,1) C.(,1] D.[1,)
4.(2015 黑龙江高考)过三点1,0,0,3,2,3ABC则ABC的外接圆的圆
心到原点的距离为( )
A.53 B. 213 C. 253 D. 43
5.过点(1,1)A、(1,1)B且圆心在直线20xy上的圆的方程是( )
A.22(3)(1)4xy B.22(3)(1)4xy
C.22(1)(1)4xy D.22(1)(1)4xy
6.设(,)Pxy是圆22(4)4xy上任意一点，则22(1)(1)xy的最大值为
( )
A.262 B.26 C.5 D.6
7.若直线10(0,0)axbyab过圆222210xyxy的圆心，则ab
的最大值为( )
A.116 B.14 C.4 D.16
8.圆222410xyxy关于直线220axby()abR、对称，则ab的
取值范围是
A．1,4 B．10,4 C．1,04 D．1,4
9.圆22:2440Cxyxy的圆心到直线3440xy的距离
d=________．
全国名校高考数学复习优质专题、学案汇编（附详解）
10.若圆经过点A(a，0)、B(2a，0)、C(0，a)(a≠0)，则这个圆的方程是
_________________.
11.(2015 河池一模)在平面直角坐标系xoy中，设直线:10lkxy与圆C：
22
0xy
相交于A、B两点，以OA，OB为领边作平行四边形OAMB，
若点M在圆C上，则实数k= .
12.直线3x+4y-12=0和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是
________________.
13.设P为圆221xy上的动点，则点P到直线34100xy的距离的最小
值是________________.
14.两圆交于点A（1，3）和B（m，1），两圆的圆心都在直线02cxy上，
则mc的值等于________．
15.点P是圆22:42110Cxyxy上的任一点，PC的中点是M，试求动
点M的轨迹方程.
16.在平面直角坐标系xoy中，曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆
C
上.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线0xya交于,AB两点，且OAOB，求a的值.
17.（2015 盐城校级模拟）已知圆O的方程为x2+y2=13，直线l：x0x+y0y=13，
设点A（x0，y0）．
（1）若点A在圆O外，试判断直线l与圆O的位置关系；
（2）若点A在圆O上，且x0=2，y0＞0，过点A作直线AM，AN分别交圆O
于M，N两点，且直线AM和AN的斜率互为相反数．
①若直线AM过点O，求tan∠MAN的值；
②试问：不论直线AM的斜率怎么变化，直线MN的斜率是否为定值？若是，
求出该定值；若不是，说明理由．
【参考答案与解析】
1.D 解析：方程29yx化为229(0)xyy，所以方程29yx表
示圆229xy位于x轴上方部分，是半个圆.故选D.
2.D 解析：由题意得圆的直径的两个端点是(1，2)和(-2，-4)，所以圆心是
1
(,1)2
.故选D.
3.B 解析：由题意得164200k，解得1k.故选B.
4.【答案】B
【解析】因为ABC的外接圆圆心在直线BC的垂直平分线上，即直线x=1上，
全国名校高考数学复习优质专题、学案汇编（附详解）
可设圆心1,Pp由PA=PB得213pp解得233p
圆心坐标为231,3P
所以圆心到原点的距离223122111393OP故选B.
5.C 解析：AB的垂直平分线方程是0xy，解方程组20xyxy，得
1,1.xy
所以圆心坐标是(1，1)，仅有选项C中的圆心是(1，1).故选C.
6.A 解析：如图，设A(1，1)，22(1)(1)||xyPA，则|PA|的最大值为
|AC|+r262.故选A.
7.B
解析：圆心为(-1，-1)，所以10ab.则1ba.则
22
11
(1)()24abaaaaa
.
由于0a，所以当12a时，ab取得最大值为14.故选B.
8. A
解析：∵ 直线过圆心，∴ -2a-2b+2=0，即a+b=1，
∴ 2221()24abaabbab，
∴ 14ab．
9. 3
解析：∵ 222440xyxy，
全国名校高考数学复习优质专题、学案汇编（附详解）
∴ 22(1)(2)1xy．
圆心（1，2）到3440xy的距离为22|31424|334d．
10.x2+y2-3ax-3ay+2a2=0 解析：本题给出了三个点，所以可设圆的一般方
程x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三个点的坐标代入就可以求得圆的方程.
11.【答案】0
【解析】直线10kxy于圆224xy相交于AB两点
联立两方程得：221230kxkx
22
22,211ABABABk
xxyykxxkk
AB
中点C的坐标为221,11kkk
依题意2OMOAOBOC 2222,11kMkk
M在圆上，代入方程化简得2210kk解得k=0
12.425)23()2(22yx 解析：直线与两坐标轴的交点是A、B，AB为
圆的直径，即AB的中点为圆心，AB长的一半为圆的半径.
13.1
解析：圆221xy的圆心是O(0，0)，圆心O到直线34100xy的距离
是22|10|234d，
所以点P到直线34100xy的距离的最小值是211dr.故填1.
14. 3
解析：由题意，AB与直线02cxy垂直，且AB中点在02cxy上，
∴ 1311ABkm，m=3，12022mc，∴ c=0，∴ m+c=3．
15.分析：由于动点M的变化是由点P的变化引起的，点P在圆上，所以用中
间量法求点M的轨迹方程.
解：设(,)Mxy，由已知圆心(2,1)C，则(22,21)Pxy.
又点P在圆22:42110Cxyxy上，
全国名校高考数学复习优质专题、学案汇编（附详解）
所以动点M的轨迹方程22(22)(21)4(22)2(21)110xyxy，
即224210xyxy.
16. 解析：（1）曲线261yxx与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为
(322,0)，(322,0)．故可设C的圆心为(3,)t，则有22223(1)(22)tt
，
解得1t．则圆C的半径为223(1)3t，所以圆C的方程为
22
(3)(1)9xy
．
（2）设1122(,),(,)AxyBxy，其坐标满足方程组：
22
0,(3)(1)9.xyaxy
消去y，得到方程222(28)210xaxaa
由已知可得，判别式2561640aa
因此21,2(82)561644aaax，从而21212214,2aaxxaxx（1）
由于OAOB，可得12120,xxyy又1122,yxayxa，所以
2
1212
2()0,(2)xxaxxa
由（1）（2）得1a，满足0,故1a．
17.【解析】（1）∵点A在圆O外，∴x02+y02 ＞13，
由于圆心（0，0）到直线l：x0x+y0y=13的距离d=＜=r，
故直线和圆相交．
（2）∵点A在圆O上，且x0=2，y0＞0，可得y0=3，∴点A（2，3）．
①若直线AM过点O，则AM的斜率为 KAM=，∴KAN=﹣，
tan∠MAN=||=||=．
②记直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为：y=kx+3﹣2k．
将y=kx+3﹣2k代入圆O的方程得：x2+（kx+3﹣2k）2=13，