17章勾股定理小结

第17章《勾股定理小结》教学设计

济源市北海中学张瑛

学习目标：

1．回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知

识结构；

2．思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在

解决数学问题中的作用.

学习重点：

勾股定理及其逆定理的应用．

学习过程：

一、创设情境引入课题

（一）问题1：同学们，你还记得的这幅图的名称吗？看到这幅图你会产生怎样的数学联想？

启发学生回答：勾股定理，勾股定理的

证明，古代数学家赵爽等。

师:1、叙述勾股定理的内容。

（提问学生回答）

2、赵爽如何证明勾股定理的？

（学生口述思路）

师多媒体展示：

证明：∵S大正方形=c2

S大正方形=S小正方形+4S三角形=（b—a）2+4×ab

2

―1―

=b2—2ab+a2+2ab=a2+b2

∴a2+b2=c2

3、总结：勾股定理的证明采用的是“面积法（拼图+公式）”。

（二）问题2 如图，这是矗立在萨摩斯岛

上的雕像，你知道这个雕像的意义吗？

（背景介绍：我们知道，在国外最早发现勾

股定理的是古希腊数学家毕达哥拉斯。在西

方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定”．人们为

了纪念这位伟大的科学家，在他的家乡建了这

个雕像．）

师：1、你还记得毕达哥拉斯如何证明勾股

定理的吗？

（多媒体展示相关图形，生简述思路）

―2―

2、总结：勾股定理证明方法很多，但著名的有赵爽、毕达哥拉斯和总统证法。（多媒体展示总统证法的图形，不再要求学生口述）。这些证明都用的是面积法（拼图+公式）。

（三）问题3 我们知道任何一个命题都有逆命题，勾股定理的逆命题成立吗？你能叙述这个逆命题吗？

（提问学生口答）

师强调：原命题正确，它的逆命题不一定正确。

二、理清脉络构建框架

（多媒体动画展示本章知识结构图）

―3―

师强调：两个定理蕴含着重要的数学思想：数形结合。

三、基础训练巩固知识

练习1. 在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c的长为．

变式在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c的长为．

（学生口答完成，并简述思路）

师强调：分类讨论思想

练习2. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：①3，4，5；

②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6．其中能构成直角三角形的有__________．

师指出：此题主要考察同学们对勾股数的记忆与理解。

问：常见勾股数有哪些？（生答，多媒体展示）

常见勾股数:

3、4、5； 6、8、10； 5、12、13；

7、24、25； 8、15、17；

常见勾股比：

：2 ②1：1

③1：2

练习3. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）．

A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m

―4―

（学生用2-3分钟的时间，在练习本上做题，然后提问学生口答完成，并简述思路）

师强调：方程思想。

四、综合运用解决问题

例1. 如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求四边形ABCD的面积与周长；（2）∠BCD是直角吗？

（提名学生到讲台上讲解思路）

师强调：1、网格图中求不规则图形

面积的方法：割补法

2、网格图中求斜线段的方法：把它

放到对应的直角三角形中，利用勾股定理求。

例2. 如图所示，测得长方体的木块长4 cm，宽3 cm，高4 cm．一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛究竟应该沿着怎样的

路线爬上去，所走的路程会最短，并求最短路

径．

师指出：立体图形求最短距离的方法：展

开。（多媒体动画演示展开过程）

长方形有三种不同的展开方试，怎样展开

才是真正的最短路径？

―5―

（学生讨论，并求出最短路径）

例3. 已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2.

求（1）BC 的长；（2）S△ABC .

1、先让学生思考，小组交流。

2、提问学生说出解题思路。

3、学生板演,其余同学练习本上做题.

4、师生共同纠错。

师强调：三角形中出现特殊角的时候，常

常通过做高的方法构造直角三角形。

五、课堂小结：

这节课马上就要结束了，让我们一起再来回顾一下本节课所学内容，我们仍然从数学知识、数学方法、数学思想三个方面进行回顾：（以提问的方式进行，可以互相补充。）

数学知识：（1）两个定理

（2）常用勾股数

数学方法：（1）勾股定理拼图+面积的证明方法

（2）网络图中求面积、斜线段长的方法

（3）通过作高把普通三角形转化为直角三角形数学思想：（1）数形结合

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（2）分类讨论

（3）方程思想

六、布置作业：

教科书第38页复习题17第1，2，5，6，

7，10，14题．

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

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