第十七章勾股定理

第十七章勾股定理一、选择题（共18小题；共90分）1. 若直角三角形的三边长分别为，，，则的可能值有 ( )A. 个B. 个C. 个D. 个2. 三角形的三边长，，满足，则此三角形是 ( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形3. 已知的三边长分别为，，，则的面积为 ( )A. B. C. D. 不能确定4. 设，是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为，斜边长为，则的值是 ( )A. B. C. D.5. 下列各组数中是勾股数的是 ( )A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，6. 如果将长为，宽为的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是 ( )A. B. C. D.7. 中，，，高，则的长为 ( )A. B. C. 或 D. 以上都不对8. 三角形的三边长分别为（是自然数），这样的三角形是 ( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角三角形或直角三角形9. 下列各组正数为边长，能组成直角三角形的是 ( )A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，10. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为A. B. C. D.11. 已知，，是的三边长，且满足，则的形状是 ( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形12. 如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是A. B. C. D.13. 如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的长为A. B. C. D.14. 如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有A. 个B. 个C. 个D. 个15. 2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示)，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的短直角边为，较长直角边为，那么的值为A. B. C. D.16. 小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走米，小丽走直线用了分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了分钟，从家到图书馆用了分钟，则以公园、图书馆和小芳家这三个地方为顶点所组成三角形为 ( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定17. 已知的三边为、、，且，，，则是 ( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，点的坐标为，点为斜边上的一动点，则的最小值为A. B. C. D.二、填空题（共20小题；共100分）19. 勾股定理的逆定理是．20. 若直角三角形的两直角边长分别是和，则直角三角形的斜边长是．21. 在中，若其三条边的长度分别为，，，则两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是．22. 在中，，，，则，．23. 如图所示，在矩形中，，交于点，，，则．24. 如图所示，在网格中，小正方形边长为，则图中是直角三角形的是．25. 已知，则以，，为边长的三角形是．26. 如图，中，，，为中点，于，则．27. 已知，，是的三边，且满足，则的形状为．28. 如图，中， , , 的垂直平分线与交于点，与交于点，连接，若，则．29. 腰长为，一条高为的等腰三角形的底边长为．30. 一个三角形三条边的长分别是，，，这个三角形最长边上的高是．31. 若直角三角形的两直角边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边长为．32. 一个三角形的周长为，且三边，，有如下关系：，，则这个三角形的面积为．33. 将一个边长为的正方形截取一个角，剩下的四边形如图所示，则这个四边形的周长是．34. 三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是三角形（直角、锐角、钝角 )．35. 已知，如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积．36. 一个三角形的三边之比为，且周长为，则它的面积是．37. 如图，等腰的直角边长为，以它的斜边上的高为腰作第一个等腰；再以所作的第一个等腰的斜边上的高为腰作第二个等腰，，以此类推，这样所作的第个等腰直角三角形的腰长为．38. 如图 1，是边长为的等边三角形；如图 2，取的中点，画等边三角形；如图 3，取的中点，画等边三角形，连接；如图 4，取的中点，画等边三角形，连接，则的长为．若按照这种规律已知画下去，则的长为．（用含的式子表示）三、解答题（共25小题；共325分）39. 已知在中，，，，所对的边分别为，，．(1) 若，，求；(2) 若，，求．40. 试判断：三边长分别为，，的三角形是不是直角三角形．41. 已知的三边长分别是，，，且，试判断的形状．42. 图、图中的每个小正方形的边长都是，在图中画出一个面积是的直角三角形；在图中画出一个面积是的四边形．43. 古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据．44. 如图所示，在中，是边上的高，，，，根据上述数据，你能求得的面积吗？试试看．45. 阅读理解并解答问题：如果、、为正整数，且满足，那么、、叫做一组勾股数．(1) 例如、、是一组勾股数，请写出一组不同于、、的勾股数；(2) 如果表示大于的整数，且，，，请说明、、为勾股数．46. 直角三角形中两个直角边为，，斜边为，斜边上的高为，那么以，，为三边构成的三角形是什么形状的？说明理由．47. 在数轴上作出的对应点．48. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．49. 操作：剪若干个大小形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为、、 (如图①)，分别用张这样的直角三角形纸片拼成如图②③的形状，图②中的两个小正方形的面积、与图③中小正方形的面积有什么关系？你能得到、、之间有什么关系？50. 如图所示，已知，且，求的度数．51. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点均在格点上，试判断是否为直角三角形？为什么？52. 如图所示，在中， , 厘米，厘米，点从点开始沿边向以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果、分别从、同时出发，几秒钟后、间的距离等于厘米？( 把实际问题转化为几何问题 )53. 在中，，，，在中，，，求的面积．54. 一艘轮船以海里时的速度离开港向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里时的速度向西南方向航行，它们离开港一个半小时后相距多远？55. 据我国古代《周髀算经》记载，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．(1) 观察：，，；，，；，，；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过．计算，与，，并根据你发现的规律，分别写出能表示，，的“股”和“弦”的算式；(2) 根据（1）的规律，用关于（为奇数且）的代数式来表示所有勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间两种相等关系，并对其中一种猜想说明理由；(3) 继续观察，，；，，；，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接写出关于（为偶数且）的代数式来表示它们的“股”和“弦”．56. 已知的三边长分别为，，，且，，，试判断的形状．57. 在中， , , ．若，如图(1)，根据勾股定理，则，若不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．58. 如图，一块四边形的地，已知，，，，，求这块地的面积．59. 如图，四边形中，，，，且，求四边形的面积．60. 已知某开发区有一块四边形空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要元，求一共需要投入多少元．61. 我们学习了勾股定理后，都知道"勾三、股四、弦五"．观察：、、；、、；、、；、、；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过．(1) 请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；(2) 若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么后两个数用含的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．62. 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明．著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．(1) 请根据图中直角三角形叙述勾股定理；(2) 以图中的直角三角形为基础，可以构造出以，为底，以为高的直角梯形（如图2）．请你利用图，验证勾股定理；(3) 利用图中的直角梯形，我们可以证明．其证明步骤如下：，，又在直角梯形中有（填大小关系），即，．63. 在中，，，，设为最长边．当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．(1) 当三边长分别为，，时，为三角形；当三边长分别为，，时，为三角形．(2) 猜想：当时，为锐角三角形；当时，为钝角三角形．(3) 判断当，时，的形状，并求出对应的的取值范围．答案第一部分1. B2. A3. A4. D5. B6. A7. C8. B9. B 10. A11. C 12. D 13. C 14. A 15. C16. B 17. B 18. B第二部分19. 如果三角形的三边长，，，满足，那么这个三角形是直角三角形20.21.22. ；23.24. 和25. 直角三角形26.27. 等腰直角三角形28.29. 或或30.31.32.33.34. 直角35.36.37.38. ；第三部分39. (1) 由勾股定理，得；39. (2) 由勾股定理，得．40. (1) ，，为三角形中的最大边．．三边长分别为，，的三角形是不是直角三角形．41. (1) 设，则联立方程组得解得，即是直角三角形．42. (1) (1)只须画直角边为和的直角三角形即可．这时直角三角形的面积为：；(2)画面积为的四边形，我们可画边长的平方为的正方形即可．如图和图．43. (1) 设相邻两个结点的距离为，则此三角形三边的长分别为，，．因为，所以，，为边长的三角形是直角三角形．44. (1) 因为是边上的高，所以和都是直角三角形．在中，根据勾股定理，得则在中，根据勾股定理，得则所以45. (1) 、、45. (2) 由题意可知： , , , 所以 .所以、、为勾股数．46. (1) 由勾股定理，得．由直角三角形的面积，得，即．，，．以，，为三边构成的三角形是直角三角形．47. (1) 如图，48. (1) 连接．在中，，，，，．在中，，，，．是直角三角形．．四边形的面积．49. (1) 三个小正方形的面积满足，其边长满足分别用张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中的两个小正方形的面积之和等于图③中的小正方形的面积，即，这个结论用关系式可表示为．50. (1) 连接．，设，则，，．，，．，，，．，，，．51. (1) 由勾股定理可得；；，，是直角三角形．52. (1) 在直角三角形中，且的移动速度是的移动速度的倍，, 满足设秒后，则 , ，且，解得或（舍）．秒钟后、间的距离等于．53. (1) ，，，，．，，，，．答：的面积为．54. (1) 轮船离开港一个半小时以后，， .为直角三角形，由勾股定理，得．..．答：它们离开港一个半小时后相距海里．55. (1) 因为，，，，所以，，“股”的算式为“弦”的算式为55. (2) 当为奇数且时，“勾”“股”“弦”的代数式分别为，，．它们之间的相等关系不唯一，例如相等关系①：弦股；相等关系②：勾股弦．对于①：因为弦股，所以①成立．或对于②：因为勾股弦，所以②成立．55. (3) 探索得，当为偶数且时，“股”“弦”的代数式分别为，．（答案不唯一）56. (1) ，．，．，，为直角三角形．57. (1) (1)当是锐角三角形时，过点作，垂足为．设，则有，根据勾股定理得，即，因为 , ，所以．所以；(2)当是钝角三角形时，过点作，交延长线于点，设，则有，根据勾股定理得，即，因为 , ，所以 ,所以．58. (1) 如图，连接．，，，．，，，即为直角三角形，所以这块地的面积为59. (1) 如图，连接．，，，．，，，，四边形四边形的面积为．60. (1) 连接，在中，，，利用勾股定理解得．在中，，，，根据勾股定理的逆定理得．．三角形的面积．四边形的面积是．每平方米草皮需要元，总投入元．61. (1) ，，61. (2) 后两个数表示为和．，，．，且为奇数，由，，三个数组成的数是勾股数．62. (1) 如果直角三角形的两直角边长为，，斜边长为，那么．62. (2) ，；又，，．,梯形..整理得．62. (3) ；，．63. (1) 锐角；钝角63. (2) ；63. (3) ，，①当时，当，即当时，是直角三角形，当时，是锐角三角形，当时，是钝角三角形．②当时，当，即当时，是直角三角形，当时，是钝角三角形，当时，是锐角三角形．。