第17章 勾股定理
第十七章05节 勾股定理勾股定理的逆定理
s a m pl e e s s a ys , pl e a s e s t a y t une d!
目录
01
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
1、a=15 ，b=8 ，c=17
2、a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
第十七章05节 勾股定理
本编为大家提供各种类型的PPT课件，如数学课件、语文课件、英语
课件、地理课件、历史课件、政治课件、化学课件、物理课件等等，
想了解不同课件格式和写法，敬请下载!
M o r e o v e r, o u r s t o r e p r o v i d e s v a r i o u s t y p e s o f c l a s s i c
3
2.5
1
BC
4
6
1
AC
5
6.25
2
45°
∠A
约36.5°
∠B
∠C
90°
约22.5°
90°
90°
约53.5°
约67.5°
45°
A
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
第17章勾股定理
勾股定理：勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言：在Rt△ABC中，若∠C=90°，则a2+b2=c2。
直角边：a、b斜边：c运算结果：写成最简二次根式的形式1能开方的必须开方2根号里不含分母，分母里不含根号勾股定理的证明：等面积法赵爽外弦图邹元治内弦图总统证法一副三角板勾股定理的应用1设未知数x2用x表示三角形中相关边3根据题意列方程直角边与斜边未定分类讨论1．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（）A．3B．25C．23D．25或23 x斜边x直角边美丽的勾股树1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B的面积分别为5、3，则最大正方形C的面积是（）A．15B．13C．11D．82．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2022B．2021C．2020D．13．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16B．25C．144D．1694．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）A．B．C．D．两直角边的正多边形的面积和=斜边正多边形的面积5．如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为．尺规画实数：1．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（）A．2.2B．5C．1+2D．62．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间注意起点和方向3．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1−5B．1−5C．−5D．﹣1+5注意起点和方向4.尺规作图：在数轴上分别作出表示17，20，−41的点先把被开方数拆成两个完全平方数之和17=1+1620=4+1641=16+25确定两直角边连接斜边以o为圆心，斜边为半径画弧等面积法：求斜边高ch=ab斜边高：h=ab÷c2．已知：如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，求△ABC 的面积．等腰直角三角形：�：�：�含30°角的直角三角形�：�：�方程的思想：设未知数，根据等量关系列方程1．如图，A，B，H是直线上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，HC＝HD，AB＝5，AC＝2，BD＝3，求AH的长．3．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．1.如图，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．（1）图2中A、B两点表示的数分别为，；（2）请你参考以上方法：①把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形，在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a ＝．（注：小正方形边长都是1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参考图2的画法，在数轴上用M表示数a，图中标出必要线段长．2．阅读下列材料并回答问题．画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4，则我们可以量得直角三角形的斜边长为5，并且发现32+42＝52，事实上，在任何个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中两直角边长分别为a，b斜边长为c，则a2+b2＝c2，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论完成下面的活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为1，3，那么这个直角三角形的斜边长为．（2）一个直角三角形的两条边分别为2，3，那么这个直角三角形的另一边长为．（3）如图，在数轴上画一个直角三角形OBC，∠OCB＝90°，且两条直角边OC和BC的长分别是2和1，设原点为O，以O为原点，斜边长OB为半径画圆交数轴于点A，则线段AC的长度是．勾股定理的证明：等面积法：整体求法=局部面积和1．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．D完全平方公式勾股定理：勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
第17章《勾股定理》单元备课
第17章《勾股定理》单元备课第十七章：勾股定理单元备课一、教材分析：新版教材在原有教材的基础上进行了修订，将“勾股定理”作为独立的一章，其主要内容包括勾股定理（直角三角形三边的关系）、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）、以及勾股定理及逆定理的应用。
勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何学中重要的定理之一。
它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征。
通过对勾股定理的研究，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
通过探索勾股定理的活动，学生能够体验由特殊到一般的探索数学问题的方法，尝试用数形结合来解决数学问题的思想。
本章的主要内容包括勾股定理（直角三角形的三边关系）、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法之一）以及勾股定理及勾股定理逆定理的应用。
本章内容的重点是勾股定理及勾股定理逆定理的应用。
勾股定理是解几何题中有关线段计算问题的重要依据，也是以后研究解直角三角形的主要依据之一。
本章的难点是勾股定理的证明。
课本通过构造图形，利用面积相等来证明，但证明思路的获得对学生来说可能较为困难，这涉及到了解决几何问题的方法之一：割补法。
二、教学目标：1）理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边。
2）能验证勾股定理。
3）会运用勾股定理的逆定理，判定直角三角形。
4）通过介绍古今中外对勾股定理的研究，激发学生的爱国热情。
5）能运用勾股定理及勾股定理的逆定理解决简单的实际问题。
三、教学中应注意的问题：1.让学生获得更多与勾股定理有关的知识背景，注重介绍数学文化。
2.让学生体验勾股定理的探索和运用过程。
3.注意引导学生体会数形结合的思想方法，培养应用意识。
4.适当总结与定理、逆定理有关的内容。
四、课时安排：17.1 勾股定理（4课时）17.2 勾股定理的逆定理（3课时）小结与复（1课时）。
最新人教版数学八年级下册第十七章 -勾股定理
第十七章—勾股定理一、勾股定理1. 概念：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a2+b 2=c 2.2. 公式变形： ①：a2=c 2-b 2,b 2=c 2-a 2②:c=22b a + ,a=22b c - ,b=22a c -勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证3.勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题.b acbac cabcab a bccbaED CBA5.勾股定理的常见类型：（1）勾股定理在实际问题中的应用一般情况下，遇到高度、长度、距离、面积等实际问题时，可以构造直角三角形、运用勾股定理求解。
第17章 勾股定理
第十七章 勾股定理知识点回顾：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 知识点一： 勾股定理 1.勾股定理的定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．(注意：前提条件是直角三角形！！！) 例题：1.在Rt △ABC 中， 90=∠C ，中AC=3，BC=4，则AB=（ ）A.5B.7C.12D.25 2.（常考题）在直角三角形ABC 中，斜边AB =1，222AC BC AB ++的值是（ ） A .2 B .4 C .6 D .8 3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ）A.13B.8C.25D.64 4.（易错题）若△ABC 中，AB =13，AC =15，高AD =12，则BC 的长是（ ）A.14B.4C.10或18D.14或4 5.（常考题）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）8.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ） A .4cm B .34cm C . 6cm D . 36cm 9.在直角坐标系中，点P （2，3）到原点的距离是2.勾股定理的图形结合题（难点）例题：1.如图，在△ABC中，三边长a、b、c的大小关系是（）3.（常考题，难）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则所有正方形A、B、C、D、E、F、G的面积之和为2cm.4.（必考题，难）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形。
若大正方形边长是13cm，小正方形边长为7cm，则每个直角三角形较短的一条直角边的长是______cm.（）A.169B.25C.19D.135.（常考题，难）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为第1题第2题第3题第4题第5题6.（常考题）如图，数轴上点A表示的数是.7.8.（必考题）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格点的顶点叫格点，以格点作为顶点分别按下列要求画三角形.(1)使三角形为钝角三角形且面积为4.（在图①中画出一个即可） (2)使三角形的三边长分别为3，22，5；（在图②中画出一个即可）知识点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足22b a +=2c ，那么这个三角形是直角三角形。
八年级数学下册教学课件第17章《勾股定理》小结与复习
A.0
B.1 C.2 D.3
A
B
C
第2题图
第3题图
❖ 4. 如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=90°， AD=4，AB=3，BC=12，
❖ 求正方形DCEF的面积．
❖ 5. 如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得 ∠A=50°，∠B=40°，AB=5 km,BC=4 km， 若每天凿隧道0.3 km，问几天才能把隧道凿通？
A时 B时
图1
图2
4. 如图3所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距 离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子 的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端 B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?
B
B′
O
A′
A
图3
❖ 【学习体会】 ❖ 1.本节课你又那些收获？ ❖ 2.复习时的疑难问题解决了吗？你还有那些困惑？
❖ 【变式练习】
❖ 1. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长 的平方是（ ）
A.25
B.14
C.7 D.7或25
❖ 2. 如图1阴影部分是一个正方形，则此正方形的面 积为 .
❖ 3. 如图2，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又
测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，
则树的高度为_____m.
2、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它
斜边上的高为___6_0_/_1_3___。
❖ 【知识回顾】
❖ 1. 判断下列命题： ①等腰三角形是轴对称图形；②若a>1且b>1， 则a+b>2；③全等三角形对应角的平分线相等； ④直角三角形的两锐角互余,其中逆命题正确的 有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
第17章勾股定理利用勾股定理解决折叠问题(教案)
今天我们在课堂上一起探讨了勾股定理及其在折叠问题中的应用。整体来看，学生们对勾股定理的概念和应用有了更深入的理解，但在教学过程中我也发现了一些需要改进的地方。
首先，我发现有些学生在理解勾股定理时，仍然存在一定的困难。特别是在将定理应用于实际问题时，他们往往不知道如何下手。针对这一点，我考虑在未来的教学中，可以多设计一些直观的例子，让学生通过观察和操作，更直观地感受勾股定理的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
5.培养学生的团队合作精神，通过小组讨论和合作，共同解决折叠问题，提高沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的理解与应用。
-学生需掌握直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方这一数学关系。
-学生需学会如何将勾股定理应用于解决实际问题，特别是折叠问题中的长度计算。
-举例：在折叠问题中，若已知一个直角三角形的两个直角边长度，学生应能迅速计算出斜边长度。
第十七章勾股定理知识归纳总结(教案)
-突破方法：利用实物模型或计算机软件进行三维展示，帮助学生建立空间观念。
本节课的难点与重点是紧密联系的，教学过程中需针对这些难点进行深入讲解和反复练习，确保学生能够透彻理解并掌握勾股定理的精髓和应用。通过具体的例子和多样的教学方法，帮助学生克服难点，提升解题能力。
在实践活动和小组讨论中，我观察到学生们在合作解决问题时表现得非常积极。他们不仅能够运用勾股定理来解决实际问题，还能够将其与其他数学知识结合起来，这显示了他们良好的知识整合能力。但同时，我也注意到有些学生在将理论应用到具体问题中时还存在困难，这需要我在今后的教学中进一步关注和指导。
我也注意到，在小组讨论时，有些学生不够积极，可能是由于害羞或是不够自信。我会在接下来的课程中，更加注重鼓励这些学生发表自己的观点，增强他们的自信心和参与感。
第十七章勾股定理知识归纳总结（教案）
一、教学内容
第十七章勾股定理知识归纳总结
1.勾股定理的概念及表述
-直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的证明
-平面几何法
-代数法
-欧几里得证法
3.勾股定理的应用
-求直角三角形的边长
-计算平面图形的面积
-解决实际问题
4.勾股数及勾股数列
-勾股数的定义及性质
。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过勾股定理的证明过程，使学生掌握严密的逻辑推理方法，提高分析问题和解决问题的能力。
2.强化数学建模素养：引导学生运用勾股定理解决实际问题，建立数学模型，培养学生将现实问题转化为数学问题的生建立空间观念，提高空间想象力和几何直观。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
洋葱数学
2
洋葱主题名称
勾股定理
洋葱视频名称
备注问题
证法最多的定理 勾股定理的证法 几何证法 代数证法 用勾股定理计算边长 用勾股定理计算边长（上） 用勾股定理计算边长（下） 勾股定理与面积法 勾股定理与面积法（上） 勾股定理与面积法（下） 勾股定理与实际问题 狗蛋班的勾股定理 立体图形中的最短路径 利用勾股定理列方程 利用勾股定理列方程（上） 利用勾股定理列方程（下） 勾股定理与折叠问题 勾股定理的逆定理 折叠问题的勾股定理 逆命题与逆定理 勾股定理的逆定理 勾股定理逆定理的应用 证明直角三角形 利用勾股定理作证明
洋葱数学教学进度表——第 17 章勾股定理
节点
17.1 勾股定 理
课时名称
17.1.1 勾股定理及 其证明
知识点及目标1.勾股Βιβλιοθήκη 理的历史洋葱数学 视频名称
勾股定理的引入 证法最多的定理
洋葱备注问题
教材匹配备注问题
2.勾股定理的证法
几何证法 代数证法
教材只要求“赵爽弦图”
3.勾股定理的计算（格式）
用勾股定理计算边长（上） 用勾股定理计算边长（下）
作垂线计算线段长度 构造特殊三角形 勾股定理与将军饮马 利用勾股定理构造图形 真题检测
作垂线计算线段长度 构造直角三角形 勾股定理与构造等边三角形 勾股定理与将军饮马 利用勾股定理构造图形
洋葱数学
4
17.1.2 勾股定理的 实际问题
1. 实际问题
狗蛋班的勾股定理
2. 斜边上的高
勾股定理与面积法（上） 勾股定理与面积法（下）
3. 方程思想
利用勾股定理列方程（上） 利用勾股定理列方程（下）
17.1.3 勾股定理 （3）
1.会用勾股数在数轴上表示 ������ 2.有公共边的直角三角形（方 程） 3.折叠问题
特殊角的应用
特殊角在计算中的应用 已知三角形两边及夹角求第三边
45°，60°，构造 Rt 三角形 不破坏特殊角构造 Rt 三角形
构造特殊直角三角形 含 15°角直角三角形 用勾股定理求高与中线
构造特殊的直角三角形 含 15°角的直角三角形 用勾股定理求三角形的高 用勾股定理求三角形的中线 构造含 30°角的 Rt 三角形 高把一个三角形分成了两个有公共边的 Rt 三角形
用勾股定理计算边长（上）
勾股定理与折叠问题
洋葱数学
1
17.1.4 勾股定理 （4）
1.特殊直角三角形
特殊直角三角形的三边关系 两类特殊三角形的面积
2.方向角 3.平面直角坐标系中任意两点 间距离 4.构造直角三角形（补全） 17.2.1 勾股定理逆 定理 1.互逆命题、定理 2.勾股定理逆定理的证明 3.勾股定理逆定理的符号语言 4.判断三角形的形状 5.勾股数 17.2.2 勾股定理逆 定理的应用 1.航海问题 2.挖掘隐含的直角（作高法） 3.勾股定理与逆定理综合运用 证明直角三角形 利用勾股定理作证明 勾股定理的逆定理 逆命题与逆定理
洋葱数学 3
毕达哥拉斯方法 赵爽弦图，总统证法（叫面积证法更为合适） 计算格式与教案有区别：没有体现出求算根的过程，内容包括根号 n 长的线段问题 简算技巧：勾股数，知道斜边和一条直角边求另一个直角边利用平方差 ab=ch 给两边和第三边上的高需要分类讨论
建议设为金牌提分课
特殊的直角三角形
特殊直角三角形的三边关系 两类特殊三角形的面积