5-6--5.7二重积分

《二重积分计算》课件

探索二重积分在几何问题中的应用，如面积和体积计算。
二、计算方法
1
1. 积分区域为矩形或直角梯形
学习如何计算矩形或直角梯形形状的积
2. 积分区域为一般图形
2
分区域。
掌握将一般图形的积分区域化为标准形
式来计算二重积分。
3
3. 二重积分的性质
了解二重积分的线性性质、区域可加性质、乘性质和区域可减性质。
七、问题解答
回答大家在学习过程中遇到的问题，确保所有疑惑都得到解答。
八、结束语
恭喜您完成了本次《二重积分计算》的课程！希望本课件对您的学习有所帮助，继续努力，探索更多数学的奥秘！
作业练习
通过练习题检验你对二重积分计算的理解和掌握程度。
五、实践案例
工程实践中的二重积分
了解工程实践中如何应用二重积分解决实际问题。
统计学中的二重积分
探索统计学中如何利用二重积分分析数据和概率分布。
建筑设计中的二重积分
了解建筑设计中如何应用二重积分计算面积和体积。
六、扩展阅读
进一步探索二重积分的相关知识和应用领域，拓宽你的数学视野。
三、应用
质心和重心
探索如何利用二重积分计算物体的质心和重心坐标。
面积和弧长
了解如何通过二重积分计算图形的面积和曲线的弧长。
积分坐标变换
学习如何应用坐技巧
总结二重积分的计算方法，掌握其中的技巧和要点。
小结
回顾课程的重点内容，帮助你巩固所学知识。
《二重积分计算》PPT课件
欢迎大家来到《二重积分计算》的课件！本课程将带您深入了解二重积分的基本概念、几何意义和计算方法。让我们一起开始探索吧！
一、概述
什么是二重积分

《微积分二》二重积分

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例例2. 1 计算二重积分 e x y d x d y 其中区域 D 是由 x0
x1 y0 y1围成的矩形
D
解矩形区域D可表示为 D{(x y)| 0x1 0y1} 且exyexey 所以

D
e
1 0
x y
d x d y d x e x e y d y
§8.7 二重积分
一、二重积分的基本概念二、二重积分的计算
《微积分》(第三版) 教学课件
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一、二重积分的基本概念
我们仿照求曲边梯形的面积的方法来求曲顶柱体的体积
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二重积分的计算 (1)区域D为X型区域
A(x0)
2 ( x0 )
设 f ( x, y ) 0 D{(x y)| axb 1(x)y2(x)}
f (x0, y) d y
对于x0[a b] 曲顶柱体在xx0的截面面积为
A(x0)
2 ( x0 )
设 f ( x, y ) 0 D{(x y)| axb 1(x)y2(x)}
f (x0, y) d y
对于x0[a b] 曲顶柱体在xx0的截面面积为
1( x0 )
曲顶柱体体积为
V A(x) d x
a b
[
a
b
2 2 2
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二重积分

s 1 ds ds
D D
这个性质的几何意义是:高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积．
9
性质5
如果在 D 上，f ( x , y ) ( x , y ) ，则有不等式
f ( x , y )ds ( x , y )ds
D D
特殊的，由于
f ( x, y)ds
D
b
a
b
2 ( x ) f ( x, y )dydx . 1 ( x )
dx
2 ( x ) 1 ( x )
f ( x, y )ds
D
a
f ( x , y )dy
计算时，先把x看作常量,把 f(x,y) 只看作y的函数,并对y计算从 1 ( x ) 到 2 ( x ) 的定积分,然后把算得的结果再对x计算在区间[a,b]上的定积分.这种连续的积分计算称为：累次积分
y (x, 1) 1 y=x
1 1 2 (1 x y ) dx 3 1 x 3 1 1 ( x 1)dx 1 3 1 2 1 3 ( x 1)dx 3 0 1 2
3 2 2
1
O ( x, x) 1
1
x
25
解法(2) 画出区域D，可把D看成是Y型区域：
16
d
d y
c
d
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x , y )dx
3. 计算公式及方法：
当 D 为X型区域时： y
y=2(x)
y=1(x)
y
y=2(x) y=1(x)
O a
b
x
O a
b

积分学小结——二重积分、三重积分,线积分、面积分

2 (1 r ) 3
2 3
另由几何意义：
D
31 2 2 0
1 2 1 x y d (单位球体积) 2 3
2 2
重积分的应用
(1)体积
以曲面 z f ( x, y) 为顶，以区域 D 为底的柱体的体积为
V f ( x , y )dxdy.

D
曲线积分当 R2上平面曲线L时, f ( M )d f ( x , y )ds.

L
曲线积分当 R 上空间曲线时, f ( M )d f ( x , y, z )ds. 3

曲面积分
当 R3上曲面S时, f ( M )d f ( x , y , z )dS .

1 1 xa dx ln | | C x2 a2 2a xa
(18)
tan xdx ln | cos x | C
(19)
cot xdx ln | sin x | C
积分概念的联系

f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
定积分当 R1上区间 [a, b]时, f ( M )d f ( x )dx.

a
b
二重积分当 R2上区域D时, f ( M )d f ( x , y )d . 三重积分当 R3上区域时, f ( M )d f ( x , y, z )dv
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y 2 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则 D : y x 2
I

2

二重积分(1)(1)

1 2
yx2]
2
y
dy
D

1 2
2 y(4 y2 )dy 9
1
8
18
例5. 计算 xydxdy 其中D 由 y2 x, y x 2 所围.
D
y
解:画草图 D: (x, y) 1 y 2, y2 x y 2 2
(4,2)
D
xyd
2 D
x 2y
o
x
4
16
例3. 交换积分次序
1 2y
3 3 y
I dy f (x, y)dx + dy f (x, y)dx
00
10
解 D D1 D2
y 3 x 3 y
D1 :(x, y) 0 y 1,0 x 2y D2 :(x, y) 1 y 3,0 x 3 y
12
说明
1).积分区域D为矩形 D: (x, y) a x b , c y d
bd
db
f (x, y)dxdy a dxc f (x, y)dy c dya f (x, y)dx
D
2).若被积函数 f (x,y) = f1(x) f2(y) ,
积分区域D为矩形 D: (x, y) a x b , c y d
x
D
D1
D2
性质4:不等性若在 D上,恒有 f (x, y) g(x, y),
则有 f (x, y)d g(x, y)d
D
D
特别地 f (x, y)d f (x, y) d
D
D
7
性质5 若在D上, f (x, y) 1, A为区域D的面积.

二重积分概念及计算

x
( 2) f ( x , y ) f ( x , y ), 则 D f ( x , y ) d 0
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果.
在第一象限部分, 则有
D ( x y) d x d y 0
4 ( x 2 y 2 ) d x d y
则有
D f ( x, y) dx d y
b
y
d x
a
2 ( x)
1 ( x)
d
y 2 ( x) x 2 ( y)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
D y y 1 ( x) c o a x bx
则可按如下二次积分计算：
x

D
f ( x, y) d

[
c
d c
d
2 ( y)
1( y)
f ( x, y ) d x ]d y
f ( x, y ) d x
dy
2 ( y)
1 ( y)
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【注】 ④ 若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域
x 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2 , , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
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2)―常代变” 在每个 k 中任取一点 ( k ,k ),则第 k 小块的质量
3)―近似和”
y
( k , k ) k

二重积分的计算

图 9-7
一、在直角坐标系下计算二重积分
在区间a,b上任意取定一点x0，过x0作垂直于x轴的平面x=x 0与曲顶柱体相交，截面是一个以区间［φ1(x0),φ2(x0)］为底，曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形，因此，该截面的面积
由于x0的任意性，过区间a,b上任意一点x，且垂直于x轴的平面与曲顶柱体相交得到的截面面积为
二、在极坐标下计算二重积分
在平面解析几何中我们知道，平面上任意一点的极坐标(r,θ)与它的直角坐标(x,y)的变换公式为
x=rcos θ，y=rsin θ, 其中r≥0,0≤θ≤2π或－π≤θ≤π. 下面介绍在极坐标下二重积分的计算公式.
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例12】
一、在直角坐标系下计算二重积分
(2)用曲线y=－x3将积分
域D分成D1和D2两部分(见图
9-17).显然D1关于y轴对称，
函数φ(x,y)
x是奇函数；
D2关于x轴对称，函数φ(x,y) 关于y是奇积分
二、在极坐标下计算二重积分
二重积分的计算
二重积分的计算
第一节讨论了二重积分的概念，按照二重积分的定义来计算二重积分对少数特别简单的情况是可行的，但对一般的被积函数和积分区域来说，这不是一种切实有效的方法.为此，我们首先对曲顶柱体的体积进行分析，从而导出二重积分的计算方法，即把二重积分化为两次定积分来计算，这种方法称之为累次积分法.
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例4】
图 9-9
一、在直角坐标系下计算二重积分
解法2如图9-10所示，也可把D看成是Y—型区域，即D可用不等式1≤y≤2,y≤x≤2来表示.
图 9-10

二重积分计算法PPT

6
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
设f(x, y)0, D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}.
j j 对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为 A ( x 0 ) 1 2 ( ( x x 0 0 ) ) f ( x 0 , y ) d . y
曲顶柱体体积为
ac
c
b
D
若 f(x ,y ) g (x )h (y )
g ( x ) h ( y ) d x d y = b d x d g ( x ) h ( y ) d y = [a g ( x ) d x ] [d h ( y ) d y ]acb来自cD11
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
x0
直线 xx0(ax0b)与D的边界至多有两个交点
3
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1(y)x1(y),
cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 yy0(cx0d)与D的边界至多有两个交点 4
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
5
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
即 f ( x , y ) d f ( c , s o ) d d i . s n
DD
❖在极坐标系下二重积分的计算
如果积分区域可表示为 D j1(q)j2(q), aqb, 则
D f( cq, o sq s ) i d n d q a bd q j j 1 2 ( q ( q ) )f( cq, o sq s ) i d n .

13 第二节二重积分的计算

x 1( y)
c
D
x 1( y) x 2( y)
c
D
x 2( y)
x 轴的直线与区域边界相交不多于两
个交点.
f ( x, y)d
d
[
2( y) f ( x, y)dx ]dy
D
c 1( y)
D
:
1
(
y)
x
2(
y) ,
c y d
D
f ( x, y)d
d
dy
2( y) f ( x, y)dx.
确定表示积分区域D的不等式组, 常采用下述步骤：
step1 画出积分区域D的图形, 结合积分域和被积函数考虑先对哪个变量积分更方便些.
step2 若先对y积分, 则找出D在x轴上的投影区间[a,b].
过任一点 x[a,b]作平行于y轴的直线与区域D相交,
从下往上看: 该直线进入D的边界曲线 y=1(x) 作为
计算积分 I
1
dy 2
cos x 1 cos2 x dx.
0 arcsin y
被积函数为分段函数的二重积分如何计算?
一般是将积分区域适当分块, 使被积函数在各个子块上都表示为初等函数形式, 然后分别计算各个子块上的积分并求和.
例9 计算 | y x2 |dxdy. 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
c
1( y)
先对x, 后对y 的二次积分.
例2 计算 y2 sin xydx dy , D由 y 0, y x , x 1 所围.
D
解
D
:
y 0
x y
1 1
y 1
xydxdy
1
0
dy

微积分第八章第七节二重积分

求用若干个小平顶柱体
和体积之和近似表示曲
o
顶柱体的体积，
n
x
D
•
V f (i ,i ) i ，
i
i 1
极
限
曲顶柱体的体积 V lim 0
n
f (i ,i ) i .
i 1
y
(i ,i )
3
2.二重积分的定义
设二元函数 z f ( x, y) 是有界闭区域 D 上的有界
函数,若将 D任意分割成 n个小闭区域 1,2,,n,
0
2 x2
2
(1, 3 )
3
y2 2
dy
2
0
f ( x, y)dx
2
x2 y2 4
2
4 y2
o
x
dy
3
0
f ( x, y)dx .
26
利用对称性简化二重积分的计算
设积分区域D关于y 轴对称，
(1) 若f(x,y)关于 x 是奇函数，则有
y y f (x)
f ( x, y)d 0 ;
D
P( x, y)
D4 o
x
(xy cos x sin y)dxdy
D
29
(A) 2 cos x sin y dxdy
(B) 2 xy dxdy
D1
D1
y
(C) 4 ( xy cos x sin y)dxdy (D) 0
D1
D2 D1
解如图将 D 分为四部分 D1, D2 , D3 , D4 ,则: D3
(xy cos x sin y)dxdy
AD
10
二、二重积分的计算 1.在直角坐标系下计算二重积分如果积分区域为D ：1( x) y 2( x), a x b,