2018年高考数学分类汇编：专题十三极坐标与参数方程

合集下载

2014--2018年高考数学极坐标与参数方程及答案解析汇编

2014--2018年全国高考试题极坐标与参数方程汇总1、（2014年高考数学全国卷I ）已知曲线C ：x ²4＋y ²9＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋ty ＝2－2t (t 为参数）⑴写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；⑵过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值。

【解析】：⑴曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-=⑵在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=.当()sin 1θα+=-时，||PA当()sin 1θα+=时，||PA 2、（2015年高考数学全国卷I ）在直角坐标系xOy 中.直线C 1:x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ⑴求C 1，C 2的极坐标方程； ⑵若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积。

解：⑴因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。

⑵将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ=12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12。

3、（2016年高考数学全国卷I ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos t ，y ＝1＋asin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cosθ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a 。

2018年极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+(良心出品必属精品)

第11页共18页 1极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义:在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标X、y都是某个变数t的函数，即｛X ：；（；并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x , y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系X 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. （二）常见曲线的参数方程如下：1•过定点（X 0, y 。

），倾角为a 的直线: X =X o t tCOS a y = y 0 k tsin a其中参数t 是以定点P （X 0, y 。

）为起点，对应于t 点M （X ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离. 根据t 的几何意义，有以下结论.①.设A B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t A 和t B ，贝U AB = |tB-1J (t B T A )~—4tA 寸B -中心在点（X0,y0 ）焦点在平行于X 轴的直线上的椭圆的参数方程《 4. 中心在原点，焦点在X 轴（或y 轴）上的双曲线:X = x 0 t r cos 日 y = y 0 *r sin 日②.线段AB 的中点所对应的参数值等于t A +t B22.中心在（X 0， y 。

），半径等于r 的圆:（0为参数）3.中心在原点, 焦点在X 轴（或y 轴）上的椭圆: X =acos 日y =bsin 日（日为参数）x=bcos9、 (或 ^asine )（t 为参数）X = X 。

+ a co 护, 厂y0+bs g ®为参数)10 第2页共18页5. 顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线:直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （X 0, y 0），倾斜角为a 的直线的参数方程是fx^x o IfosG （t 为参数）.— y 。

十tsina（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点 0,叫做极点，引一条射线 Ox 叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

2018年高考数学专题13.1 极坐标与参数方程试题文

极坐标与参数方程【三年高考】1. 【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=．当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-．（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =4a ≥-时，d=所以8a =；当4a <-时，d．=所以16a =-．综上，8a =或16a =-．2. 【2017课标II ，文22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。

（2）设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>,由题设知2,4cos B OA ρα==,于是OAB △面积1sin 4cos sin 2sin 22233B S OA AOB ππρααα⎛⎫⎛⎫=⋅⋅∠=⋅-=-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当12πα=-时，S取得最大值2。

所以OAB △面积的最大值为2。

3．【2017课标3，文22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+ . 设(),p x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠.所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.4. 【2016高考新课标1卷】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足ta n 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【解析】⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①， ∴1C 为以()01，为圆心,a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-=，∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-=即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②， 3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C ，∴210a -=,∴1a =5. 【2016高考新课标2】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【解析】（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =23cos,tan 8αα==，所以l或6. 【2016高考新课标3】在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+= （I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【解析】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. （Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-. 当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.7.【2015高考新课标2】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．8.【2015高考福建】在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty t ì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l sin()m,(m R).4pq -=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．9.【2015高考新课标1】在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2CM N的面积o 11sin 452⨯=12. 【2017考试大纲】1.坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2.参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对参数方程和极坐标的考查，主要考查直线和圆的参数方程，椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，结合解析几何中有关曲线的图形及性质、三角函数、平面向量等在求点的坐标、参数的值或范围、曲线的方程、有关线段的长度或最值等方面命制题目，考查学生的转化能力，分析问题、解决问题的能力，以及数形结合思想、方程思想等思想方法的应用．该知识点为高考选考内容之一，试题以解答题形式为主，难度一般中档偏下.【2018年高考复习建议与高考命题预测】《坐标系与参数方程》包括坐标系和参数方程两部分内容．坐标系应着重理解用极坐标系和平面直角坐标系解决问题的思想，以及两种坐标的关系与互化；极坐标系只要求能够表示给出简单图形的极坐标方程；参数方程只要求能够选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程，能进行普通方程与参数方程的互化，并会选择适当的参数，用参数方程表示某些曲线，解决相关问题．参数方程与普通方程的互化是高考对本部分知识考查的一个重点．预测2018年高考仍然考查参数方程与普通方程，极坐标方程与普通方程互化，重点是直线和圆的参数方程，极坐标方程，考查学生的转化与化归能力．题型主要为解答题形式，侧重考查参数方程和普通方程的互化，极坐标系与普通坐标系的互化.复习建议：复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主；紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.【2018年高考考点定位】高考对坐标系的考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题；考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定【考点1】极坐标【备考知识梳理】1．极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．(2)极坐标：设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；∠叫做点M的极角，记为θ.有序数对(),ρθ称以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOMMρθ．为点M的极坐标，记作(),ρ≥，θ可取任意实数．一般地，不做特殊说明时，我们认为02．极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如ρ≥），于图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(),x y和(),ρθ（0是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：若圆心为00,M ，半径为r 的圆方程为()2220002cos 0r ρρρθθρ--+-=.4.注意：（1）在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．（2）在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．极坐标(),ρθ ，()(),2k k Z ρθπ+∈，()(),2k k Z ρπθπ-++∈表示同一点的坐标．【规律方法技巧】1. 确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．极坐标与直角坐标的互化(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正向重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，进行整体代换． (3)直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤①运用()222tan 0x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩②在[)0,2π内由()tan 0yx xθ=≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． (4)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行． 3.求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设(),P ρθ是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．4.注意： (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．5.曲线的极坐标方程的应用：解决极坐标方程问题一般有两种思路．一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【考点针对训练】1.【湖北武汉市2017届高三第三次模拟】圆锥曲线C 的极坐标方程为： ()221sin 2ρθ+=. （1）以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，并求曲线C 在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；（2）直线l 的极坐标方程为若曲线C 上的点M 到直线l 的距离最大，求点M 的坐标（直角坐标和极坐标均可）.【解析】（Ⅰ）曲线C 直角坐标方程： ()()121,0,1,0F F - 焦点极坐标： ()()121,,1,0F F π2.【武汉市汉阳一中2017届高三第五次模拟】在直角坐标系中，圆：＝1经过伸缩变换后得到曲线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线L 的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程及直线L 的直角坐标方程；（2）设点M 是上一动点，求点到直线L 的距离的最小值．【解析】（1）由＝经过伸缩变换，可得曲线的方程为：，即将极坐标方程两边同乘可的直线的直角坐标方程．（2）因为椭圆的参数方程为（为参数），所以可设点，由点到直线的距离公式，点到直线的距离为（其中），由三角函数性质知，当时，取最小值为【考点2】参数方程【备考知识梳理】 1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标,x y 都是某个变量的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (),x y 都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数,x y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点()000,P x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段0P P 的数量．(2)圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的参数方程为sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩ (ϕ为参数)．抛物线px y 22=的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩ (t 为参数)．3.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系，例如()x f t =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t =，那么，()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩就是曲线的参数方程．【规律方法技巧】1.在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意,x y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．2.直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； (2)定点0M 是弦12M M 的中点⇒120t t +=； (3)设弦12M M 中点为M ，则点M 对应的参数值122M t t t +=(由此可求12M M 及中点坐标)． 3.圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．4.化参数方程为普通方程的方法: 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④恒等式(三角的或代数的)消元法．参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围，这一点最易忽视． 5．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点()000,P x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)．若,A B为直线l 上两点，其对应的参数分别为12,t t ，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到： (1) 1202t t t +=；(2) 1202t t PM t +==；(3) 21AB t t =-；(4) 12PA PB t t ⋅=⋅.【考点针对训练】1. 【四川省雅安市2017届高三第三次诊断】平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为3{ (x cos y sin ααα==为参数)，在以原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；(2)设点()0,2P ，直线l 和曲线C 交于A ， B 两点，求【解析】 (1)由3{x cos y sin αα==消去参数α，得，即曲线C的普通方程为得s i n c o s 2ρθρθ-=，(*) 将{x cos y sin ρθρθ==代入(*)，化简得2y x =+，所以直线l 的倾斜角为(2)由(1)知，点()0,2P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为 (t为参数)，(t 为参数)，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t，则10t ∴<， 20t <，所以2.【宁夏石嘴山市2017届高三第三次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，的直线l 的参数方程为1{x tcos y tsin αα=+=（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,0P .若点M 的极坐标为直线l 经过点M 且与曲线C 相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求.【解析】（1）∵直线的参数方程为1{x tcos y tsin αα=+=（为参数），∴直线的普通方程为()tan ?1y x α=-．由2cos 4sin 0ρθθ-=，得22cos 4sin 0ρθρθ-=，即240x y -=，∴曲线的直角坐标方程为24x y =．（2）∵点的直角坐标为()0,1．∴tan 1α=-，直线的倾斜（为参数）．代入24x y =，得．设,A B 两点对应的参数为12,t t ．∵Q 为线段AB 的中点，∴点Q 对应的．又点()1,0P ，则【应试技巧点拨】 1.极坐标与直角坐标的互化(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正向重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，进行整体代换． 2.求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设(),P ρθ是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． 3.参数方程与普通方程的互化在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x ，y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线． 4.直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； (2)定点0M 是弦12M M 的中点⇒120t t +=； (3)设弦12M M 中点为M ，则点M 对应的参数值122M t t t += (由此可求12M M 及中点坐标)． 5.圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．1.【江西省新余市2017届高三高考全真模拟】已知直线l 在直角坐标系xOy 中的参数方程为{(x a tcos t y tsin θθ=+=为参数， θ为倾斜角)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为2cos 4cos 0ρρθθ--=. (1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)点(),0Q a ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求使为定值的a 值.2.【河北省武邑中学2017届高三第四次模拟】将圆2{(2x cos y sin θθθ==为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C. (1)求出C 的普通方程；(2)设直线l ： 220x y +-=与C 的交点为1P ， 2P ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设()11,x y 为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(),x y ，则有11{12x x y y == 1122{({(2x cos x cos y sin y sin θθθθθθ==∴==为参数）为参数）∴ 2214x y += (2) 221{4220x y x y +=+-= 解得： 20{{01x x y y ====或所以()()122,0,0,1,p p 则线段12p p 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，所求直线的斜率2k =，于是所求直线方程为()121,4x-2y 302y x -=--=即.化为极坐标方程得： 4cos 2sin 30ρθρθ--=，即34cos 2sin ρθθ=- 3. 【四川省成都市2017届高三6月1日高考热身】在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1{(x cos y sin ϕϕϕ=+=为参数)，以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求.【解析】(1)圆C 的普通方程是()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=.(2)设()11,P ρθ，则有()1121cos ,,Q ρθρθ=，则有，因为1tan 0θ>，所以4. 【四川省遂宁市2017届高三三诊考试】在直角坐标系xOy 中，以o 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线{2x t y t ==+的参数方程为{2x ty t ==+，（ t 为参数），曲线22420x x y y -+-=的普通方程为22420x x y y -+-=，点P 的极坐标为（1）求直线l 的普通方程和曲线22420x x y y -+-=的极坐标方程；（2）若将直线l 向右平移2个单位得到直线'l ，设'l 与22420x x y y -+-=相交于,A B 两点，求PAB 的面积．【解析】（1）根据题意，直线()R ρ∈的普通方程为2y x =+，曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+（2）'l 的普通方程为y x =，所以其极坐标方程为因为'OP l ⊥，所以点P 到直线'l 的距离为5. 【广西桂林等五市2017届高三5月联合】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(Ⅱ)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 【解析】（Ⅰ）因为直线l 的极坐标方程为曲线C 的参数方程为（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α，可得为曲线C 上任意一点，则点P 到直线l 的距离d 取最6. 【辽宁省沈阳市2017届高三第九次模拟】平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标，射线OM 的极坐标方程为()00θαρ=≥. (1)写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若射线OM 平分曲线2C ，且与曲线1C 交于点A ，曲线1C 上的点B 满足求7.【吉林省实验中学2017届高三第八次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线（α为参数），在以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A B 、两点，求点M 到A B 、两点的距离之积．【解析】（Ⅰ）曲线C 化为普通方程为：cos sin 2ρθρθ-=-，所以直线l 的直角坐标方程为 20x y -+=.（Ⅱ）直线1l 的参数方程为（t 为参数），，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，8.【福建省莆田2017届高三第二次模拟】以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为（ t 为参数， 0θπ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ραα-=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ， B 两点，当θ变化时，求. 【解析】（I ）由2sin 2cos 0ραα-=由，得22sin 2cos .ραρα=曲线 C 的直角坐标方程为22y x =（II ）将直线l 的参数方程代入22y x =，得22sin 2cos 10.t t θθ--=设,A B 两点对应的参数分别为12,t t 则2.9.【湖南省长沙市2017届高三5月模拟】在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为：（其中θ为参数）.（1）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程为： {x tcosa y tsina==（其中t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,A B 两点，，求直线l 的斜率. 【解析】（1得()2235x y +-=，即22640x y y +-+=所以曲线C 的极坐标方程为： 26sin 40p p θ-+= （2）直线l 的参数方程为： {x tcosa y tsina==（其中t 为参数）代入22640x y y +-+=，得26sin 40t t a -+=，设其方程的两根为1t ， 2t ，∴2121236sin 160{64a t t sinat t ∆=-≥+==∴直线l 的斜率为10.【江西省南昌市2017届高三第三次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程为1{(x cos y sin θθθ=+=为参数).(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线C 向左平移一个单位,再经过伸缩变换2{x xy y=''=得到曲线C '，设(),M x y 为曲线C '上任一点，求M 的直角坐标.【解析】（I ）由 1{x cos y sin θθ=+=（θ为参数）得曲线C 的普通方程为()2211x y -+=，得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（Ⅱ）()2211x y -+=，向左平移一个单位再经过伸缩变换2{x xy y=''=得到曲线C '的直角坐标，设()2cos ,sin M αα，则，的最小值为2-，此时点M 的坐标为11. 【2016年湖北八校高三四次联考】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．【解析】（Ⅰ）因为直线过点(1,2)P ，倾斜角为6π，所以直线l 的参数方程为1cos ,62sin ,6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为6cos()6sin 2πρθθ=-=.（Ⅱ）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +-=，127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅=12.【2016年安徽安庆二模】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数,α为直线的倾斜角）．（I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（II ）若直线l 与曲线C 有唯一的公共点,求角α的大小．13. 【2016年山西榆林高三二次模考】已知极坐标的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 正半轴重合，且长度单位相同，直线的极坐标方程为5sin 3ρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()2cos ,2sin 2P αα+，（参数[]0,2απ∈）. （1）求点P 轨迹的直角坐标方程；（2）求点P 到直线l 距离的最大值.。

专题13-1 坐标系与参数方程-2018年高三数学文一轮总复习名师伴学含解析精品

1.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为错误！未找到引用源。

（θ为参数），直线l的参数方程为错误！未找到引用源。

．（1）若错误！未找到引用源。

，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

．【答案】（1）错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

；（2）错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

．（2）直线错误！未找到引用源。

的普通方程为错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

上的点错误！未找到引用源。

到错误！未找到引用源。

的距离为错误！未找到引用源。

．当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

的最大值为错误！未找到引用源。

．由题设得错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

；当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

的最大值为错误！未找到引用源。

．由题设得错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

．综上，错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

．2.【2017课标II，文22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线错误！未找到引用源。

的极坐标方程为错误！未找到引用源。

（1）M为曲线错误！未找到引用源。

上的动点，点P在线段OM上，且满足错误！未找到引用源。

,求点P的轨迹错误！未找到引用源。

的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为错误！未找到引用源。

，点B在曲线错误！未找到引用源。

上，求错误！未找到引用源。

面积的最大值。

【答案】(1)错误！未找到引用源。

；(2) 错误！未找到引用源。

（2）设点B的极坐标为错误！未找到引用源。

,由题设知错误！未找到引用源。

,于是错误！未找到引用源。

面积错误！未找到引用源。

当错误！未找到引用源。

时，S取得最大值错误！未找到引用源。

所以错误！未找到引用源。

面积的最大值为错误！未找到引用源。

3.【2017课标3，文22】在直角坐标系xOy中，直线错误！未找到引用源。

2018年全国3卷省份高考模拟文科数学分类汇编--参数方程极坐标

2018年全国3卷省份高考模拟文科数学分类汇编---参数方程极坐标1.（2018成都树德中学模拟）在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.【答案】（1）点到直线的距离的最大值为；（2）取值范围为.【解析】【试题分析】（1）可先将直线的极坐标化为直角坐标方程，再借助曲线参数方程得到形式运用点到直线的距离公式建立目标函数，通过求函数的最值使得问题获解；（2）先将问题进行等价转化为不等式恒成立，然后再借助不等式恒成立建立不等式进行求解：解：(1)由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离，当，即时，，故点到直线的距离的最大值为.(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，，恒成立，即（其中）恒成立，，又，解得，故取值范围为. 点睛：求解第一问时，可先将直线的极坐标化为直角坐标方程，再借助曲线的参数方程的形式，运用点到直线的距离公式建立目标函数，通过求函数的最值使得问题获解；求解第二问时先将问题进行等价转化为不等式，恒成立，然后再借助不等式恒成立建立不等式使得问题获解。

2.（2018雅安市模拟）在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为：（为参数）.（1）求圆和直线的极坐标方程；（2）点的极坐标为，直线与圆相交于，，求的值.【答案】（1），.（2）.【解析】试题分析：（1）先根据圆心与半径写出圆标准方程，根据加减消元法得直线的直角坐标系，再根据将直角坐标方程化为极坐标方程（2）先化P点极坐标为直角坐标，再将直线参数方程代入圆直角坐标方程，利用韦达定理以及直线参数几何意义求的值.试题解析：圆的直角坐标方程为代入圆得：化简得圆的极坐标方程：由得∴的极坐标方程为(2)由得点的直角坐标为∴直线的参数的标准方程可写成（为参数）代入圆得：化简得：∴∴3.（2018云南省模拟）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l 的交点为Q，求线段PQ的长．（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C 的参数方程为参数）化为（x ﹣1）2+y 2=1，∴ρ2﹣2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ．（II ）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q 的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ |=|ρ1﹣ρ2|=2． ∴|PQ |=2．4.（2018广西模拟）已知点()sin ,cos P θθ是角α终边上的一点，其中23πθ=，则与角α终边相同的最小正角为．116π5.（2018广西模拟）在直角坐标系xoy 中，以为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程为，（为参数），曲线的普通方程为，点的极坐标为．（I ）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；（II ）若将直线向右平移2个单位得到直线，设与相交于两点，求的面积．（I ）根据题意，直线的普通方程为，．．．．．．．．．2分曲线的极坐标方程为．．．．．．．．．．．5分(II)的普通方程为，所以其极坐标方程为，所以，故，．．．．．．7分因为，所以点到直线的距离为，．．．．．．．9分所以．．．．．．．．10分6.（2018贵州模拟）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2acos θ(a ＞0)，过点P(－2，－4)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a 的值．解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2acos θ，得y 2＝2ax(a ＞0)， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2＝2ax(a ＞0)，x －y －2＝0. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a)t ＋8(4＋a)＝0. 设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a)，t 1·t 2＝8(4＋a)， ∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，∴a ＝1.7.（2018四川模拟）已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线。

极坐标系与参数方程(高考题和模拟题汇编)

极坐标系与参数方程1．极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎨⎧x ＝□01ρcos θ，y ＝□02ρsin θ；⎩⎨⎧ρ2＝□03x 2＋y 2，tan θ＝□04y x(x ≠0).3.常见曲线的参数方程和普通方程高考真题和模拟题讲解(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，曲线C 1的方程为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≥0，－kx ＋2，x <0.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点. 综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.条件探究把举列说明中曲线C 1的极坐标方程改为“θ＝α(0≤α≤2π)”，曲线C 2的极坐标方程改为“ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＋3＝0”，若C 1与C 2有且仅有两个公共点，求α的取值范围．解由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＋3＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝1，由题意知α≠π2，可设曲线C 1的直角坐标方程为y ＝kx ，k ＝tan α，当曲线C 1与曲线C 2相切时，|k －3|k 2＋12＝1，解得k ＝33，即tan α＝33，又0≤α≤2π，所以α＝π6.结合图形可知，若C 1与C 2有且仅有两个公共点，则 α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.解题方法1．极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧． 2．极角的确定由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角． (1)当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．(2)当x ＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；当x ＝0，y >0时，可取θ＝π2；当x ＝0，y <0时，可取θ＝3π2. 例2.已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.题型三极坐标方程的应用角度1 极径几何意义的应用1．(2019·日照一模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解 (1)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α，消去参数α得x 2＋y 2－4x －12＝0，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12，∴曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝12.(2)设A ，B 两点的极坐标方程分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6，由⎩⎨⎧ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6，消去θ得ρ2－23ρ－12＝0，根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根，∴ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12， ∴|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝215.角度2 用极坐标解最值和取值范围问题例3．(2019·南平二模)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为x 22＋y 2＝1.曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，曲线C 3的方程为y ＝x tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，x >0，曲线C 3与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点． (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程； (2)求|OP |2·|OQ |2的取值范围．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ2＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝21＋sin 2θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，消去φ，即得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1；将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入化简，可得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)曲线C 3的极坐标方程为θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0，0<α<π2，由(1)得|OP |2＝21＋sin 2α；|OQ |2＝4sin 2α，即|OP |2·|OQ |2＝8sin 2α1＋sin 2α＝81sin 2α＋1，因为0<α<π2，所以0<sin α<1，所以|OP |2·|OQ |2∈(0,4)．极坐标方程及其应用的类型及解题策略(1)求极坐标方程．可在平面直角坐标系中，求出曲线的方程，然后再转化为极坐标方程．(2)求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．(3)求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．例3．(2019·南宁模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，直线l 的直角坐标方程为y ＝33x .(1)求曲线C 1和直线l 的极坐标方程；(2)已知直线l 分别与曲线C 1，曲线C 2相交于异于极点的A ，B 两点，若A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．解 (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，其普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，极坐标方程为ρ＝2sin θ.因为直线l 的直角坐标方程为y ＝33x ，故直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 的极坐标方程为θ＝π6，将θ＝π6代入C 1的极坐标方程得ρ1＝1，将θ＝π6代入C 2的极坐标方程得ρ2＝4， ∴|ρ2－ρ1|＝3.例4．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为 ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.例5．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)． (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.1．设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，直线的参数方程在交点问题中的应用(1)若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→||M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝(t 2＋t 1)2－4t 1t 2.(2)若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22.(3)若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0. 2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．提醒：对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．例6．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2，在以极点为直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝35＋22t(t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知曲线W ：⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数)，若M 为曲线W 上任意一点，求点M 到直线l 的最小距离．解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝35＋22t(t 为参数)消去参数t ，得y ＝x ＋3 5.即直线l 的普通方程为x －y ＋35＝0. 因为ρ2＝x 2＋y 2，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. (2)由已知可设M (cos α，2sin α)(α为参数)，则点M 到直线l 的距离 d ＝|cos α－2sin α＋35|2＝|5cos (α＋β)＋35|2(其中tan β＝2)，所以点M 到直线l 的距离的最小值为35－52＝10.例7．(2019·河北“五个一名校联盟”二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求实数a 的值．解(1)∵曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数，a ∈R )，∴曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.∵曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t得t 2－22t ＋2－8a ＝0.Δ＝(－22)2－4(2－8a )>0，即a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2－8a ，根据参数方程中参数的几何意义可知 |AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝8－8(1－4a )＝32a ＝8，∴a ＝2.题型三极坐标方程和参数方程的综合应用例7.(2020·贵州联考)已知在一个极坐标系中，点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解 (1)如图，设圆C 上任意一点 A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ. 由余弦定理得， 4＋ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.(2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α (α为参数)， ∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解．(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解 (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧ y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.。

2018年全国1卷省份高考模拟文科数学分类汇编--参数方程极坐标

2018年全国1卷省份高考模拟文科数学分类汇编---极坐标参数方程1.（2018江西模拟）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程是6=y ，圆C 的参数方程是⎩⎨⎧+==ϕϕsin 1cos y x （ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别求直线l 与圆C 的极坐标方程；（2）射线OM :θα=（02πα<<）与圆C 的交点为O ，P 两点，与直线l 交于点M ．射线ON :2πθα=+与圆C 交于O ，Q 两点，与直线l 交于点N ，求ONOQOM OP ⋅的最大值．解：（1）直线l 的方程是6y =，可得极坐标方程：sin 6ρθ= ………………（2分）圆C 的参数方程是cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），可得普通方程：22(1)1x y +-=展开为2220x y y +-=．化为极坐标方程：22sin 0ρρθ-=即2sin ρθ= …………（5分）（2）由题意可得：点P ，M 的极坐标为：(2sin ,)αα，),sin 6(a a． ∴2sin OP α=,|OM|=asin 6，可得3sin 2a OM OP =．同理可得：3)2(sin 2π+=a ON OQ =3cos 2a．∴361362sin 2≤=⋅a ON OQ OM OP ．当4π=a 时，取等号． ∴的最大值为361………………（10分） 2.（2018湖南师大附中模拟）选修4－4：坐标系与参数方程ON OQ OM OP ⋅在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋rcos φ，y ＝1＋rsin φ(r>0, φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，若直线l 与曲线C 相切．(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成△MON ，且满足∠MON ＝π6，求△MON面积的最大值．【解析】(Ⅰ)由题意可知直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋2,曲线C 是圆心为()3，1，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：r ＝||3·3－1＋22＝2；可知曲线C 的方程为()x －32＋()y －12＝4,所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)不妨设M(ρ1，θ)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π6，(ρ1>0，ρ2>0)，S △MON ＝12||OM →||ON →sin π6，＝14ρ1·ρ2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2sin θcos θ＋23cos 2 θ ＝sin 2θ＋3cos 2θ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋3，当θ＝π12时， S △MON ＝2＋3，所以△MON 面积的最大值为2＋ 3.(10分)3.（2018长沙模拟）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin cos 33y x (θ为参数)。

2018届高考数学二轮复习极坐标、参数方程、直角坐标方程的互化课件(全国通用)

【解析】 (1)曲线C 的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,将
代入方程
x2+y2-4x=0,化简得ρ =4cosθ .所以,曲线C的极坐标方程为ρ =4cosθ .
(2)∵直线l 的直角坐标方程为x+y-4=0,由坐标为(2,2),(4,0),所以直线l被曲线C截得的弦长为得直线l与曲线C的交点
.
【答案】
(θ 为参数) 【解析】曲线C的直角坐标方程是 (θ 为参数).
(x-1)2+y2=1,其参数方程为
10.已知曲线C1的参数方程为 ( ρ =2cosθ +6sinθ .
θ 为参数),曲线C2的极坐标方程为
将曲线C1的参数方程化为普通方程,将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程.
【解析】由 (
θ 为参数),得(x+2)2+y2=10.∴曲线C1的普通方程为
(x+2)2+y2=10.∵ρ =2cosθ +6sinθ ,∴ρ 2=2ρ cosθ +6ρ sinθ .∴x2+y2=2x+6y,即(x1)2+(y-3)2=10.∴曲线C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-3)2=10.
7.参数方程(Βιβλιοθήκη 为参数)所表示的曲线的普通方程为
.
【答案】
y=-2x2+1(-1≤x≤1) 【解析】由于cos2θ =1-2sin2θ ,故y=1-2x2,即
y=-2x2+1(-1≤x≤1).
9.(广东高考)已知曲线C的极坐标方程为ρ =2cosθ .以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为

(完整word版)极坐标与参数方程(近年高考题和各种类型总结)

极坐标与参数方程（近年高考题和各种类型总结）一、最近8年极坐标与参数方程题型归纳（2018）【点差法】在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数) (1)求C 和l 的直角坐标方程(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率（2017）【极坐标求轨迹问题】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16=⋅OP OM ，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为)3,2(π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值.（2016）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB =,求l 的斜率.(2015）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.（2014）【根据极角范围求轨迹】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.（2013）【轨迹问题】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．（2012）【参数坐标求最值、范围】已知曲线1C 的参数方程是)(3s i n y 2c o s x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1
《2018年高考数学分类汇编》
第十三篇：极坐标与参数方程
一、填空题
1. 【2018北京卷10
】在极坐标系中，直线cossin(0)aa与圆=2cos相切，

则a=__________．

2.【2018天津卷12】)已知圆2220xyx的圆心为C，直线21,2232xtyt(t为参数)
与该圆相交于A，B两点，则ABC△的面积为 .

二、解答题
1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2ykx.以坐标原点为
极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30.

（1）求2C的直角坐标方程；
（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程.

2.【2018全国二卷22
】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），

直线的参数方程为

（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；

xOy
C

2cos4sinxθyθ，
θ

l
1cos2sinxtαytα，
t

C
l
2

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），
过点且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．

4.【2018江苏卷21C】在极坐标系中，直线l的方程为πsin()26，曲线C的方程为
4cos
，求直线l被曲线C截得的弦长．

参考答案
一、填空题
1.21 2.21
二、解答题
1.解：（1）由cosx，siny得2C的直角坐标方程为22(1)4xy．
（2）由（1）知2C是圆心为(1,0)A，半径为2的圆．

C
l(1,2)l

xOy
O⊙

cossinxy，



02，

l
O⊙
AB，


ABP
3

由题设知，1C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为1l，
y
轴左边的射线为2l．由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与
2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2
C
有两

个公共点．

当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故
4
3
k
或0k．

经检验，当0k时，1l与2C没有公共点；当43k时，1l与2C只有一个公共点，
2

与2C有两个公共点．

当2l与2C只有一个公共点时，A到2l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故
0k
或43k．
经检验，当0k时，1l与2C没有公共点；当43k时，2l与2C没有公共点．
综上，所求1C的方程为4||23yx．

2.解：（1）曲线C的直角坐标方程为116422yx．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①

cos0
l

tan2tanyx

cos0l1x
l
C
t
22
(13cos)4(2cossin)80tt
4

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则
．

又由①得221cos31)sincos2(4tt，故，
于是直线的斜率．
3.解：（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当
，解得或，即或．

综上，的取值范围是．
（2）的参数方程为为参数，．
设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足
．
于是，．又点的坐标满足

Cl(1,2)C
1
t

2
t

12
0tt

2cossin0
l
tan2k
O
22
1xy

2



l
O

2



tank
l2ykxl

2
2
||11k


1k1k

(,)42
(,)24


(,)



l
cos,(2sinxttyt













)

ABP
AtBtPt2ABPtttAtB

2
22sin10tt

22sinABtt2sinPt
P

(,)xy

cos,2sin.PPxtyt









5

所以点的轨迹的参数方程是为参数，．
4.解：因为曲线C的极坐标方程为=4cos，
所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为πsin()26，
则直线l过A（4，0），倾斜角为π6，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=π6．
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，
所以π4cos236AB．
因此，直线l被曲线C截得的弦长为23．

P
2
sin2,222cos222xy











(44)