高中数学3-2-1复数代数形式的加减运算及其几何意义课件新人教A版
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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
第1讲 描第述三运章动的基数本概系念的扩充与复数的引入
1 |复数加、减法的应用 对复数加、减法运算的五点解读: 1.一种规定:复数的代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算. 特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加、减法法则一致. 2.运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数 集中仍然成立. 3.运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数. 4.适当推广:可以推广到多个复数的加、减运算. 5.虚数单位i:在进行复数加、减运算时,可将虚数单位i看成一个字母,然后去括号, 合并同类项即可.
第1讲 描第述三运章动的基数本概系念的扩充与复数的引入
(★★☆)已知复数z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R,i为虚数单位)分别对应向
量OZ1 、OZ2 (O为原点),若向量 Z1Z2 对应的复数为纯虚数,求a的值. 思路点拨
根据向量减法的几何意义表示出 Z1Z2 对应的复数,根据纯虚数的定义,列满足条件 的关系式,求出a的值.
第1讲 描第述三运章动的基数本概系念的扩充与复数的引入
2 |复数加、减法的几何意义及应用
复数可以用向量来表示,因此复数的加、减法可以利用向量的加、减法来表 示.如果复数对应的向量不共线,那么这些复数的加、减法就可按平行四边形法则 求解. 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧: 1.形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. 2.数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几 何之中.
解析 ∵ Z1Z2 =OZ2 -OZ1 ,
∴ Z1Z2 对应的复数为z2-z1=[a-1+(a2+2a-1)i]-[a2-3+(a+5)i]=-(a2-a-2)+(a2+a-6)i,
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义 课件
（4）若z1=x+2i， z2=3-yi，且 z1+z2=5-6i，求z1-z2
我们知道, 两个向量的和满 足平行四边形法则, 复数可以表示 平面上的向量，那么复数的加法 与向量的加法是否具有一致性呢？
1.复数加法运算的几何意义?
符合向量加法 的平行四边形
法则.
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
例2.已知复数 z 满足 | z 2 3i |1 试求出复数 z 对应点的轨迹方程.
y
x
练习:1、已知复数m=2－3i,若复 数z满足不等式|z－m|=1,则z所对 应的点的集合是什么图形?
以点(2, －3)为圆心,1为半径的圆上
3.2.1复数代数形式的加 减运算及其几何意义
知识回顾
虚数单位: i ，并规定：i 2 1
复数: 形如a+bi(a,b∈R)的数
全体复数所形成的集合叫 做复数集，一般用字母 C 表示 .
z a bi (a R,b R)
实部 虚部
复数的分类：
复数z
a
bi
实数
b 0
纯虚数
(a,b R)
虚数
注:⑴复数的减法是加法的逆运算；
⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z ,z ,z ∈C,有 123
z +z =z +z ,
1221
(z +z )+z =z +(z +z ). 12 31 23
⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
我们知道, 两个向量的和满 足平行四边形法则, 复数可以表示 平面上的向量，那么复数的加法 与向量的加法是否具有一致性呢？
1.复数加法运算的几何意义?
符合向量加法 的平行四边形
法则.
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
例2.已知复数 z 满足 | z 2 3i |1 试求出复数 z 对应点的轨迹方程.
y
x
练习:1、已知复数m=2－3i,若复 数z满足不等式|z－m|=1,则z所对 应的点的集合是什么图形?
以点(2, －3)为圆心,1为半径的圆上
3.2.1复数代数形式的加 减运算及其几何意义
知识回顾
虚数单位: i ，并规定：i 2 1
复数: 形如a+bi(a,b∈R)的数
全体复数所形成的集合叫 做复数集，一般用字母 C 表示 .
z a bi (a R,b R)
实部 虚部
复数的分类：
复数z
a
bi
实数
b 0
纯虚数
(a,b R)
虚数
注:⑴复数的减法是加法的逆运算；
⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z ,z ,z ∈C,有 123
z +z =z +z ,
1221
(z +z )+z =z +(z +z ). 12 31 23
⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
《3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义》PPT课件(黑龙江县级优课)
第三章 3.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订
课前自主预习
第三章 3.2 第1课时
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1．复数加法与减法的运算法则 (1)设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 是任意两个复数，则 z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)I ，z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . (2)对任意 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝z2＋ z1 ，(z1＋z2)＋z3 ＝z1＋ (z2＋z3)
第三章 3.2 第1课时
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2．复数减法的几何意义 复数 z2－z1 是指连接向量O→Z1，O→Z2的终点，并指向被减数 的向量Z→1Z2所对应的复数． 3．对复数加减法几何意义的理解 它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形 的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算 也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
已知复数 z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i 及其对应的向量O→Z1＝ (x1，y1)，O→Z2＝(x2，y2)．以O→Z1和O→Z2为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2， 如图．对角线 OZ 所表示的向量O→Z＝O→Z1＋O→Z2，而O→Z1＋O→Z2所 对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和 z1＋z2 所 对应的有序实数对．
第三章 3.2 第1课时
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2．复数加减法的几何意义
如图：设复数 z1，z2 对应向量分别为O→Z1， O→Z2，四边形
最新人教版高中数学选修3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义 (1)ppt课件
方法2：∵O→A＝(1,2)，O→C＝(－1，－2)， ∴点A与点C关于原点对称． ∴原点O为正方形的中心． 设D(x，y)，则O→D对应的复数为x＋yi， ∵O→D＋O→B＝0， ∴x＋yi＝－(－2＋i)＝2－i. 故正方形的第四个顶点对应的复数为2－i.
方法 3：∵点 A 与 C 点关于原点对称，
(1)A→O表示的复数； (2)C→A表示的复数； (3)B点对应的复数．
解 (1)A→O＝－O→A， ∴A→O表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C， ∴C→A表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)
＝5－2i.
(3)O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C ∴O→B表示的复数为
解 设平行四边形的对角线 AC 与 BD 相交于点 P，由复数
加减法的几何意义，得 D→A＝P→A－P→D＝12C→A－12B→D＝12(C→A－B→D) 12[(－6－8i)－(－4＋6i)]＝12(－2－14i)＝－1－7i.
变式训练2 已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C 对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
练习:已知复数m=2－3i,若复数z满足等式|z －m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?
以点(2, －3)为圆心, 1为半径的圆上
3.过程：如图所示
y
Z2(c,d)
O
设OZ1，OZ
分别与
2
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义(课件)- 高二下学期数学 人教A版 选修2-2
A.1- 2i
B.-1+ 2i
C.3 + 4i
（D ） D.- 3 - 4i
随堂练习
4.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是
-4
(B )
5.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i, x,y为实数, 若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=_____2___.
探究复数加法的运算律
设z1 a bi，z2 c di，z3 e fi；则
(z1 z2 ) z3 (a c) (b d)i (e fi)
(a c e) (b d f )i 相
z1 (z2 z3 ) (a bi) (c e) (d f )i 等
(a c e) (b d f )i
随堂练习
1.满足条件|z -i|=|3 + 4i|的复数z在复平面上
对应的轨迹是
（C）
A.一条直线 B.两条直线 C.圆
D.其他
2.复数z满足|z + 3 - 3i|= 3，则|z|的最大值是_3__3_; 最小值是___3___.
3.在复平面内，向量AB对应的复数是2 +i，向量CB对应的复数
是 -1- 3i，则向量CA对应的负数是
变式训练
已知平行四边形 OABC，顶点 O，A，C 分别 表示 0,3＋2i，－2＋4i，试求： (1)A→O所表示的复数，B→C所表示的复数； (2)对角线C→A所表示的复数； (3)对角线O→B所表示的复数及O→B的长度．
【解】 如图所示， (1)∵A→O＝－O→A，∴A→O所表示的复数为－3－2i. ∵B→C＝A→O，∴B→C所表示的复数为－3－2i.
课件7： 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
4－a2＋4＜ 4＋9， 解得 1＜a＜7. 答案：1＜a＜7
5．已知 z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，求|z＋i|的最小值．
解析：|z＋1|＝|z－i|表示以(－1,0)，(0,1)为端点的线段的垂
直平分线，而|z＋i|＝|z－(－i)|表示直线上的点到(0，－1)
的距离，数形结合知其最小值为
点评：1.|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义 设复数 z，z0 在复平面内分别对应点 A，B，则|z－z0|(z，z0∈C) 的几何意义是点 A 到点 B 的距离． 2．|z－z0|(z，z0∈C)几何意义的应用 (1)判断点的轨迹． (2)利用几何知识解决代数问题．
变式探究 3 设 z1，z2∈C，|z1|＝1，|z2|＝2，求|z1＋2z2|的最大
考点三 |z－z0|(z，z0∈C)几何意义的应用 例 3 已知 z∈C，指出下列等式所表示的几何图形： (1)|z＋1＋i|＝1. (2)|z－1|＝|z＋2i|. (3)|z＋1|＋|z＋1－i|＝2.
解析：(1)表示以点(－1，－1)为圆心，以 1 为半径的圆． (2)以点(1,0)，(0，－2)为端点的线段的垂直平分线． (3)以点(－1,0)和(－1,1)为焦点，长轴长为 2 的椭圆．
解析：由条件知|z－i|＝3，所以点 Z 的轨迹是以点(0,1)为 圆心，以 3 为半径的圆，故其面积为 S＝9π. 答案：9π
4．已知复数 z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若|z1－z2|＜|z1|，则实数 a 的取值范围是__________． 解析：由条件知 z1－z2＝(4－a)＋2i.又因为|z1－z2|＜|z1|，即
例 2 已知平行四边形 ABCD 的顶点 A，B，D 对应的复数分别为 1＋i,4＋3i，－1＋3i.试求： (1)A→D对应的复数； (2)D→B对应的复数； (3)点 C 对应的复数．
5．已知 z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，求|z＋i|的最小值．
解析：|z＋1|＝|z－i|表示以(－1,0)，(0,1)为端点的线段的垂
直平分线，而|z＋i|＝|z－(－i)|表示直线上的点到(0，－1)
的距离，数形结合知其最小值为
点评：1.|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义 设复数 z，z0 在复平面内分别对应点 A，B，则|z－z0|(z，z0∈C) 的几何意义是点 A 到点 B 的距离． 2．|z－z0|(z，z0∈C)几何意义的应用 (1)判断点的轨迹． (2)利用几何知识解决代数问题．
变式探究 3 设 z1，z2∈C，|z1|＝1，|z2|＝2，求|z1＋2z2|的最大
考点三 |z－z0|(z，z0∈C)几何意义的应用 例 3 已知 z∈C，指出下列等式所表示的几何图形： (1)|z＋1＋i|＝1. (2)|z－1|＝|z＋2i|. (3)|z＋1|＋|z＋1－i|＝2.
解析：(1)表示以点(－1，－1)为圆心，以 1 为半径的圆． (2)以点(1,0)，(0，－2)为端点的线段的垂直平分线． (3)以点(－1,0)和(－1,1)为焦点，长轴长为 2 的椭圆．
解析：由条件知|z－i|＝3，所以点 Z 的轨迹是以点(0,1)为 圆心，以 3 为半径的圆，故其面积为 S＝9π. 答案：9π
4．已知复数 z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若|z1－z2|＜|z1|，则实数 a 的取值范围是__________． 解析：由条件知 z1－z2＝(4－a)＋2i.又因为|z1－z2|＜|z1|，即
例 2 已知平行四边形 ABCD 的顶点 A，B，D 对应的复数分别为 1＋i,4＋3i，－1＋3i.试求： (1)A→D对应的复数； (2)D→B对应的复数； (3)点 C 对应的复数．
高中数学新课标人教A版选修2-2《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》课件3
例1.计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
解: (5 6i) (2 i) (3 4i) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
第九页，编辑于星期一：点 二十分。
练例习3、下列命题中正确的是
(1)如果Z1
Z
是实数，则
2
Z1、Z
互为共轭复数
2
(2)纯虚数Z的共轭复数是 Z。
(3)两个纯虚数的差还是纯 虚数
(4)两个虚数的差还是虚数 。
第十页，编辑于星期一：点 二十分。
2.复数的乘法：
(1)复数乘法的法则
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,
但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把 实部合并.即:
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？
第五页，编辑于星期一：点 二十分。
二、问题引入：
我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：
abba (a b) c a (b c)
ab ba (ab)c a(bc)
a(b c) ab ac
那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应
怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z, 即 z a bi
设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z z 2a；z - z 2bi.
z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
4. i的指数变化规律：
i4n 1 ,
i4n1 i ,
i4n2 1 ,
i4n3 i
高中数学新课标人教A版选修2-2《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》课件2
z1 (z2 z3 ) z1z2 z1z3.
例2
第四页，编辑于星期一：点 二十分。
例2.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
解:原式= (6 4i 3i 2i2)(1 3i)
复数的乘法与多项式 的乘法是类似的.
= (8 i)(1 3i)
我们知道多项式的乘法用
= 8 24i i 3i2 = 5 25i
(4)两个虚数的差还是虚数 。
(2)
第十一页，编辑于星期一：点 二十分。
例4、下列命题中的真命题 为：
(A)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
(B)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
(C)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
(D)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
D
第十二页，编辑于星期一：点 二十分。
吻合!
这就是复数加法的几何意义.
类似地
第六页，编辑于星期一：点 二十分。
类似地,复数减法: y
Z2(c,d) OZ1-OZ2
Z1(a,b)
O
x
Z
这就是复数减法的几何意义.
第七页，编辑于星期一：点 二十分。
练习
1.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004;
解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-20022003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i.
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义名师课件 新人教A版选修1-2
A．2－i
B．－3＋i
C．5i－7
D．2＋3i
【解析】 (2－2i)－(－3i＋5)＝(2－5)＋(－2＋3)i＝－3 ＋i.
【答案】 B
2．在复平面内，点 A 对应的复数为 2＋3i，向量O→B对应
的复数为－1＋2i，则向量B→A对应的复数为( )
A．1＋5i
B．3＋i
C．－3－i
D．1＋i
【解析】 ∵B→A＝O→A－O→B，
在复平面内，A，B，C 三点对应的复数分别为 1,2＋i， －1＋2i.
(1)求向量A→B，A→C，B→C对应的复数； (2)判断△ABC 的形状．
解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根 据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复 数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形 法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
1．(2013·潍坊市高二检测)(2－2i)－(－3i＋5)等于( )
3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复 数问题提供了可能．
在题设不变的情况下，计算 z1－z2，并在复平面内作出O→Z1 －O→Z2.
【解】 z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋
2i. O→Z1－O→Z2＝Z→2Z1， 故O→Z1－O→Z2即为图中Z→2Z1.
由复数的几何意义可知，O→Z1＋O→Z2与复数 z1＋z2 对应， ∴O→Z1＋O→Z2＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4)． 作出向量O→Z1＋O→Z2＝O→Z如图所示．
1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算 转化为向量的坐标运算．
高中数学 3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课件 新人教A版选修22
[解题思路探究] 第一步，审题． 一审条件，挖掘题目信息，由x∈[0,2π)，复数z1的对应点 位于第一象限且在直线y＝x的左上方可求得x的取值范围；由z1 与z2的代数(dàishù)形式及复数加法运算法则可求出z1＋z2.
第三十六页，共43页。
二审结论，明确解题方向(fāngxiàng)，求|z1＋z2|的取值范 围，可利用复数运算法则及模的定义转化为求三角函数值域， 要特别注意求值域时x的取值范围不能认定就是[0,2π)．
[解析(jiě xī)] (1)(3＋5i)＋(3－4i) ＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i ＝－7＋7i. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i) ＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.
第二十七页，共43页。
第十八页，共43页。
牛刀小试
3．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
若向量O→A、O→B对应的复数分别是 3＋i、－1＋3i，则C→D对应的
复数是( )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
[答案(dáàn)] D
第十九页，共43页。
[解析] 依题意有C→D＝B→A＝O→A－O→B，而(3＋i)－(－1＋3i) ＝4－2i，
成才之路 ·数学 (shùxué)
人教A版 ·选修(xuǎnxiū)2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一页，共43页。
数系的扩充(kuòchōng)与复数的引入
第三章
第二页，共43页。
3.2 复数(fùshù)代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数(dàishù)形式的加减运算及其几何意 义
第三十六页，共43页。
二审结论，明确解题方向(fāngxiàng)，求|z1＋z2|的取值范 围，可利用复数运算法则及模的定义转化为求三角函数值域， 要特别注意求值域时x的取值范围不能认定就是[0,2π)．
[解析(jiě xī)] (1)(3＋5i)＋(3－4i) ＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i ＝－7＋7i. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i) ＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.
第二十七页，共43页。
第十八页，共43页。
牛刀小试
3．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
若向量O→A、O→B对应的复数分别是 3＋i、－1＋3i，则C→D对应的
复数是( )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
[答案(dáàn)] D
第十九页，共43页。
[解析] 依题意有C→D＝B→A＝O→A－O→B，而(3＋i)－(－1＋3i) ＝4－2i，
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一页，共43页。
数系的扩充(kuòchōng)与复数的引入
第三章
第二页，共43页。
3.2 复数(fùshù)代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数(dàishù)形式的加减运算及其几何意 义
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• [分析] 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始
点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论．
[解析]
→ ＝－OA →， (1)AO
→ 所表示的复数为－3－2i. ∴AO → ＝AO → ，∴BC → 所表示的复数为－3－2i. ∵BC → ＝OA → －OC →. (2)CA → 所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ∴CA → ＝OA → ＋AB → ＝OA → ＋OC →， (3)对角线OB 它所对应的复 数 z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， → |＝ 12＋62＝ 37. |OB
• D．5＋5i
• [答案] D
• [解析] z1－z2＝3＋4i＋2＋i＝5＋5i，
• 故f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i，故选D.
→对 3．在复平面内，点 A 对应的复数为 2＋3i，向量OB → 对应的复数为 应的复数为－1＋2i，则向量BA
• A．1＋5i • C．－3－i • [答案] B B．3＋i D．1＋I
• [点评] 灵活运用复数加减法的运算法则和复数相等的充要
条件．
设 z＝a＋bi(a， b∈R)， 且 4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3 3＋i， 又 ω＝sinθ－icosθ，求 z 的值和|z－ω|的取值范围．
[解析]
∵4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3 3＋i，
∴6a＋2bi＝3 3＋i， 3 a＝ 2 6a＝3 3 ∴ ，∴ 2b＝1 b＝1 2 3 1 .∴z＝ ＋ i， 2 2
[解析]
设对角线 AC 与 BD 交于点 M，因为 ABCD
为平行四边形， zA＋zC zB＋zD 所以 zM＝ ＝ ， 2 2 所以 zD＝zA＋zC－zB＝(－5－2i)＋2－(－4＋5i)＝1－ 7i. → ＝zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i， 因为AC → |＝|7＋2i|＝ 72＋22＝ 53. 所以|AC
[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i • 又z＝13－2i，
5x－3y＝13 ∴ x＋4y＝－2
x＝2 ，解得 y＝－1
.
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i. z2＝(－1×4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.
(
)
[解析]
→ 对应的复 由复数加减法的几何意义可知向量BA
数为 2＋3i－(－1＋2i)＝(2＋1)＋(3－2)i＝3＋i.故应选 B.
• 二、填空题
• 4．已知z＝1＋i，设ω＝z－2|z|－4，则ω＝________.
[答案]
[解析]
－3－2 2＋i
∵z＝1＋i，∴|z|＝ 12＋12＝ 2，
→ ＝zD －zB ＝(1 －7i) －(－ 4 ＋5i)＝ 5－12i ，所以 因为 BD → |＝|5－12i|＝ 52＋(－12)2＝13. |BD 故点 D 对应的复数是 1－7i，对角线 AC 与 BD 的长分 别是 53和 13.
• [ 例 3]
已知 z1 ＝ (3x ＋ y) ＋ (y － 4x)i ， z2 ＝ (4y － 2x) － (5x ＋ 3y)i(x ，
• 3．2 复数代数形式的四则运算
• 3．2.1 复数代数形式的加减运算及其 几何意义
• 掌握复数加法、减法的运算法则及其几何意义，并能熟练地运用
法则解决相关的问题．
• 本节重点：复数代数形式的加减法．
• 本节难点：复数代数形式加减法的几何意义．
• 复数的加法满足交换律、结合律的证明
• 设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i.ai、bi∈R (i＝1、2 、3) • (1)∵z1＋z2＝(a1＋b1i)＋(a2＋b2i)＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i， • z2＋z1＝(a2＋b2i)＋(a1＋b1i)＝(a2＋a1)＋(b2＋b1)i， • 又a1＋a2＝a2＋a1，b1＋b2＝b2＋b1， • ∴z1＋z2＝z2＋z1.
∴|z－ω|＝
＝ 2－ 3sinθ＋cosθ＝ ＝
π 2－2sinθ－6
π ∵－1≤sinθ－6≤1， π ∴0≤2－2sinθ－6≤4
∴0≤|z－ω|≤2， 3 1 故所求得 z＝ ＋ i， 2 2 |z－ω|的取值范围是[0,2]．
• 一、选择题
∴ω＝(1＋i)－2 2－4＝－(3＋2 2)＋i ＝－3－2 2＋i.
5．如图，在复平面内，平行四边形 OABC 各顶点对 a 应的复数分别为 z0＝0，zA＝2＋2i，zB＝－2a＋3i，zC＝－ b＋ai，则实数 a 减去 b 的差为________．
• BC 是平行四边形知OA
• ＝[a1＋(a2＋a3)]＋[b1＋(b2＋b3)]i，
• 又(a1＋a2)＋a3＝a1＋(a2＋a3)，
• (b1＋b2)＋b3＝b1＋(b2＋b3)，
• ∴(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
• 1．复数代数形式的加、减法运算法则
• 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a、b、c、d∈R)，则 • z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ • z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝
• 1．(6－2i)－(3i＋1)等于 • A．3－3i • B．5－5i • C．7＋i • D．5＋5i • [答案] • [ 解析 ] 选B. B (6 － 2i) － (3i ＋ 1) ＝ (6 － 1) ＋ ( － 2 － 3)i ＝ 5 － 5i. 故应 ( )
• 2 ．设 f(z) ＝ z(z∈C) ， z1 ＝ 3 ＋ 4i ， z2 ＝－ 2 － i ，则 f(z1 － z2) 等 于 • A．1－3i • B．－2＋11i • C．－2＋i ( )
• (2)∵(z1 ＋ z2) ＋ z3 ＝ [(a1 ＋ b1i) ＋ (a2 ＋ b2i)]＋ (a3 ＋ b3i) ＝ [(a1 ＋ a2)＋(b1＋b2)i]＋(a3＋b3i) • ＝[(a1＋a2)＋a3]＋[(b1＋b2)＋b3]i， • 而 z1 ＋ (z2 ＋ z3) ＝ (a1 ＋ b1i) ＋ [(a2 ＋ b2i) ＋ (a3 ＋ b3i)] ＝ (a1 ＋ b1i) ＋[(a2＋a3)＋(b2＋b3)i]
• [点评] (1)复数加减运算法则的记忆． • 方法一：复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
• 方法二：把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
• (2)加法法则的合理性： • ①当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致． • ②加法交换律和结合律在复数集中仍成立． • ③符合向量加法的平行四边形法则．
• [点评]
1.根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算
可以转化为点的坐标运算或向量运算． • 2．复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法
则和三角形法则．
• 3．复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中
的应用提供了可能．
• 已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形，顶点A，B，C分别对应复数 －5－2i，－4＋5i,2(如图所示)，求顶点D对应的复数及对角线AC，BD的长．
• (3)复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或混合运
算．
• 计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)； • (2)(－3＋2i)－(4－5i)； • (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)． • [解析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)
• ＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.
• [分析] 直接运用复数的加减法运算法则进行计算．
[解析] ＋2i.
(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3
(2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0. (3)(a＋bi)－(2a －3bi) －3i ＝ (a－2a)＋(b ＋3b － 3)i ＝ －a＋(4b－3)i.
a 故 zA－z0＝zB－zC，即 2＋2i＝(－2a＋3i)－(－b＋ai)＝(－ 2a＋b)＋(3－a)i， －2a＋b＝2， a＝2， 所以 解得 a 3－a＝ ， b＝6， 2 所以 a－b＝－4.
三、解答题 m2＋m 6．设 m∈R，复数 z1＝ ＋(m－15)i，z2＝－2＋ m＋2 m(m－3)i，若 z1＋z2 是虚数，求 m 的取值范围．
[解析] 3)i ，所以
m2＋m 因为 z1＝ ＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－ m＋2
m2＋m －2 z1 ＋ z2 ＝ ＋ [(m － 15) ＋ m(m － 3)]i ＝ m ＋ 2
m2－m－4 ＋(m2－2m－15)i. m＋2 因为 z1＋z2 是虚数，所以 m2－2m－15≠0 且 m≠－2. 所以 m≠5 且 m≠－3 且 m≠－2. 所以 m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2， 5)∪(5，＋∞)．
∴z－ω＝ ＝
3 1 －(sinθ－icosθ) ＋ i 2 2
1 3 ＋ 2＋cosθi － sin θ 2 3 2 1 －sinθ ＋ 2＋cosθ2 2 2－2 3 1 sinθ－ cosθ 2 2
• (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i
• ＝－7＋7i.
• (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i) • ＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.
• [例2]
如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i
，－2＋4i，试求
→ 所表示的复数，BC → 所表示的复数； (1)AO → 所表示的复数； (2)对角线CA → 所表示的复数及OB → 的长度． (3)对角线OB
点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论．
[解析]
→ ＝－OA →， (1)AO
→ 所表示的复数为－3－2i. ∴AO → ＝AO → ，∴BC → 所表示的复数为－3－2i. ∵BC → ＝OA → －OC →. (2)CA → 所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ∴CA → ＝OA → ＋AB → ＝OA → ＋OC →， (3)对角线OB 它所对应的复 数 z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， → |＝ 12＋62＝ 37. |OB
• D．5＋5i
• [答案] D
• [解析] z1－z2＝3＋4i＋2＋i＝5＋5i，
• 故f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i，故选D.
→对 3．在复平面内，点 A 对应的复数为 2＋3i，向量OB → 对应的复数为 应的复数为－1＋2i，则向量BA
• A．1＋5i • C．－3－i • [答案] B B．3＋i D．1＋I
• [点评] 灵活运用复数加减法的运算法则和复数相等的充要
条件．
设 z＝a＋bi(a， b∈R)， 且 4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3 3＋i， 又 ω＝sinθ－icosθ，求 z 的值和|z－ω|的取值范围．
[解析]
∵4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3 3＋i，
∴6a＋2bi＝3 3＋i， 3 a＝ 2 6a＝3 3 ∴ ，∴ 2b＝1 b＝1 2 3 1 .∴z＝ ＋ i， 2 2
[解析]
设对角线 AC 与 BD 交于点 M，因为 ABCD
为平行四边形， zA＋zC zB＋zD 所以 zM＝ ＝ ， 2 2 所以 zD＝zA＋zC－zB＝(－5－2i)＋2－(－4＋5i)＝1－ 7i. → ＝zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i， 因为AC → |＝|7＋2i|＝ 72＋22＝ 53. 所以|AC
[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i • 又z＝13－2i，
5x－3y＝13 ∴ x＋4y＝－2
x＝2 ，解得 y＝－1
.
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i. z2＝(－1×4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.
(
)
[解析]
→ 对应的复 由复数加减法的几何意义可知向量BA
数为 2＋3i－(－1＋2i)＝(2＋1)＋(3－2)i＝3＋i.故应选 B.
• 二、填空题
• 4．已知z＝1＋i，设ω＝z－2|z|－4，则ω＝________.
[答案]
[解析]
－3－2 2＋i
∵z＝1＋i，∴|z|＝ 12＋12＝ 2，
→ ＝zD －zB ＝(1 －7i) －(－ 4 ＋5i)＝ 5－12i ，所以 因为 BD → |＝|5－12i|＝ 52＋(－12)2＝13. |BD 故点 D 对应的复数是 1－7i，对角线 AC 与 BD 的长分 别是 53和 13.
• [ 例 3]
已知 z1 ＝ (3x ＋ y) ＋ (y － 4x)i ， z2 ＝ (4y － 2x) － (5x ＋ 3y)i(x ，
• 3．2 复数代数形式的四则运算
• 3．2.1 复数代数形式的加减运算及其 几何意义
• 掌握复数加法、减法的运算法则及其几何意义，并能熟练地运用
法则解决相关的问题．
• 本节重点：复数代数形式的加减法．
• 本节难点：复数代数形式加减法的几何意义．
• 复数的加法满足交换律、结合律的证明
• 设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i.ai、bi∈R (i＝1、2 、3) • (1)∵z1＋z2＝(a1＋b1i)＋(a2＋b2i)＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i， • z2＋z1＝(a2＋b2i)＋(a1＋b1i)＝(a2＋a1)＋(b2＋b1)i， • 又a1＋a2＝a2＋a1，b1＋b2＝b2＋b1， • ∴z1＋z2＝z2＋z1.
∴|z－ω|＝
＝ 2－ 3sinθ＋cosθ＝ ＝
π 2－2sinθ－6
π ∵－1≤sinθ－6≤1， π ∴0≤2－2sinθ－6≤4
∴0≤|z－ω|≤2， 3 1 故所求得 z＝ ＋ i， 2 2 |z－ω|的取值范围是[0,2]．
• 一、选择题
∴ω＝(1＋i)－2 2－4＝－(3＋2 2)＋i ＝－3－2 2＋i.
5．如图，在复平面内，平行四边形 OABC 各顶点对 a 应的复数分别为 z0＝0，zA＝2＋2i，zB＝－2a＋3i，zC＝－ b＋ai，则实数 a 减去 b 的差为________．
• BC 是平行四边形知OA
• ＝[a1＋(a2＋a3)]＋[b1＋(b2＋b3)]i，
• 又(a1＋a2)＋a3＝a1＋(a2＋a3)，
• (b1＋b2)＋b3＝b1＋(b2＋b3)，
• ∴(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
• 1．复数代数形式的加、减法运算法则
• 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a、b、c、d∈R)，则 • z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ • z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝
• 1．(6－2i)－(3i＋1)等于 • A．3－3i • B．5－5i • C．7＋i • D．5＋5i • [答案] • [ 解析 ] 选B. B (6 － 2i) － (3i ＋ 1) ＝ (6 － 1) ＋ ( － 2 － 3)i ＝ 5 － 5i. 故应 ( )
• 2 ．设 f(z) ＝ z(z∈C) ， z1 ＝ 3 ＋ 4i ， z2 ＝－ 2 － i ，则 f(z1 － z2) 等 于 • A．1－3i • B．－2＋11i • C．－2＋i ( )
• (2)∵(z1 ＋ z2) ＋ z3 ＝ [(a1 ＋ b1i) ＋ (a2 ＋ b2i)]＋ (a3 ＋ b3i) ＝ [(a1 ＋ a2)＋(b1＋b2)i]＋(a3＋b3i) • ＝[(a1＋a2)＋a3]＋[(b1＋b2)＋b3]i， • 而 z1 ＋ (z2 ＋ z3) ＝ (a1 ＋ b1i) ＋ [(a2 ＋ b2i) ＋ (a3 ＋ b3i)] ＝ (a1 ＋ b1i) ＋[(a2＋a3)＋(b2＋b3)i]
• [点评] (1)复数加减运算法则的记忆． • 方法一：复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
• 方法二：把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
• (2)加法法则的合理性： • ①当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致． • ②加法交换律和结合律在复数集中仍成立． • ③符合向量加法的平行四边形法则．
• [点评]
1.根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算
可以转化为点的坐标运算或向量运算． • 2．复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法
则和三角形法则．
• 3．复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中
的应用提供了可能．
• 已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形，顶点A，B，C分别对应复数 －5－2i，－4＋5i,2(如图所示)，求顶点D对应的复数及对角线AC，BD的长．
• (3)复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或混合运
算．
• 计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)； • (2)(－3＋2i)－(4－5i)； • (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)． • [解析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)
• ＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.
• [分析] 直接运用复数的加减法运算法则进行计算．
[解析] ＋2i.
(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3
(2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0. (3)(a＋bi)－(2a －3bi) －3i ＝ (a－2a)＋(b ＋3b － 3)i ＝ －a＋(4b－3)i.
a 故 zA－z0＝zB－zC，即 2＋2i＝(－2a＋3i)－(－b＋ai)＝(－ 2a＋b)＋(3－a)i， －2a＋b＝2， a＝2， 所以 解得 a 3－a＝ ， b＝6， 2 所以 a－b＝－4.
三、解答题 m2＋m 6．设 m∈R，复数 z1＝ ＋(m－15)i，z2＝－2＋ m＋2 m(m－3)i，若 z1＋z2 是虚数，求 m 的取值范围．
[解析] 3)i ，所以
m2＋m 因为 z1＝ ＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－ m＋2
m2＋m －2 z1 ＋ z2 ＝ ＋ [(m － 15) ＋ m(m － 3)]i ＝ m ＋ 2
m2－m－4 ＋(m2－2m－15)i. m＋2 因为 z1＋z2 是虚数，所以 m2－2m－15≠0 且 m≠－2. 所以 m≠5 且 m≠－3 且 m≠－2. 所以 m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2， 5)∪(5，＋∞)．
∴z－ω＝ ＝
3 1 －(sinθ－icosθ) ＋ i 2 2
1 3 ＋ 2＋cosθi － sin θ 2 3 2 1 －sinθ ＋ 2＋cosθ2 2 2－2 3 1 sinθ－ cosθ 2 2
• (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i
• ＝－7＋7i.
• (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i) • ＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.
• [例2]
如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i
，－2＋4i，试求
→ 所表示的复数，BC → 所表示的复数； (1)AO → 所表示的复数； (2)对角线CA → 所表示的复数及OB → 的长度． (3)对角线OB