平面直角坐标系中的基本公式与直线方程知识分享
直角坐标系知识点全部讲完
直角坐标系知识点全部讲完一、直角坐标系的基本概念。
1. 数轴。
- 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素。
- 数轴上的点与实数一一对应。
例如，在数轴上表示数2的点，就是从原点向右移动2个单位长度得到的点；表示 - 3的点是从原点向左移动3个单位长度得到的点。
2. 平面直角坐标系。
- 定义：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上为正方向。
两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
- 坐标平面被x轴和y轴分成四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
坐标轴上的点不属于任何象限。
第一象限中的点的横、纵坐标都是正数；第二象限中的点横坐标是负数，纵坐标是正数；第三象限中的点横、纵坐标都是负数；第四象限中的点横坐标是正数，纵坐标是负数。
3. 点的坐标。
- 对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a,b)叫做点P的坐标。
例如，点A(3, - 2)，其中3是点A的横坐标， - 2是点A的纵坐标。
- 坐标的表示方法：先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，并用小括号括起来。
二、直角坐标系中的距离公式。
1. 两点间的距离公式。
- 在平面直角坐标系中，设两点A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，则两点间的距离d(A,B)=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)。
- 例如，已知点A(1,2)，B(4,6)，则d(A,B)=√((4 - 1)^2+(6 - 2)^2)=√(9 +16)=√(25)=5。
2. 点到坐标轴的距离。
- 点P(x,y)到x轴的距离为| y|，到y轴的距离为| x|。
例如，点M( - 3,4)到x轴的距离是4，到y轴的距离是3。
高中数学《平面直角坐标系中的基本公式》如何避免直线问题中的斜率讨论文字素材 新人教B版必修2
1 / 1如何避免直线问题中的斜率讨论直线一定有倾斜角，但不一定有斜率，很多利用直线斜率解决的问题，都要分斜率存在与不存在两种情况讨论．如果你轻视斜率不存在这种特殊情况，往往会导致错误；如果你避免设斜率而求解，有时又可能会出现妙解．下面介绍几种避免对直线斜率讨论的方法.一﹑巧设直线方程如果所求直线可能涉及到斜率不存在的情况，则可以将过点(x 0，y 0)的直线方程设为x －x 0＝m(y －y 0)，则可以避免对斜率的讨论.例1求经过点(5，10)，且与原点的距离为5的直线方程. 解析：设x －5＝m(y －10)，即x －my －5＋10m ＝0，则由点到直线的距离公式，得|－5＋10m|1＋m 2＝5，解得m ＝43或m ＝0, 故所求直线的方程为3x －4y ＋25＝0或x ＝5.点评：从所求出的两个m 的值可以发现m ＝0对应的情形就是所求直线的斜率不存在的情形. 二﹑数形结合法在直线方程的五种基本形式中，如果利用选用点斜式或斜截式方程，则还须对直线不存在的情况进行补充.在解题时能作出图形的尽量作图，使隐含的条件直观显现，解答就会更加完备.例2直线l 经过点P(1，2)，且与两点M(－2，－3)、N(4，5)的距离相等，求直线l 的方程. 解析：因为M 、N 到直线l 的距离相等， 所以l ∥MN 或经过MN 的中点，如图所示.而k MN ＝43，且MN 的中点坐标为(1，1)，当l ∥MN 时，直线l 的方程为4x －3y ＋2＝0， 当l 经过MN 的中点时，直线l 的方程为x ＝1，综上所述，所求直线l 的方程为4x －3y ＋2＝0或x ＝1.点评：本题若按常规解法，则应当考虑所求直线的斜率是否存在，存在时直接设直线的点斜式方程. 三、利用向量垂直的充要条件向量垂直的充要条件坐标形式：若→a ＝(x 1，y 1)，→b ＝(x 2，y 2)，则→a ⊥→b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.对于两条直线互相垂直的问题，如果能根据直线上两点分别确定出所在直线的一个向量，则利用向量垂直的条件可快速求解.例3已知C(a ，b)(ab ≠0)是一定点，过C 作两条互相垂直的直线l 1与l 2，其中l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求证：线段AB 的中点M 在一条定直线上.解析：如图，设点M(x ，y)，由中点坐标公式，得A(2x ，0)，B(0，2y)， 则AC →＝(a －2x ，b)，BC →＝(a ，b －2y)， ∵AC→⊥BC →，∴a(a －2x)＋b(b －2y)＝0， 整理，得2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，即点M 在一条定直线上.点评：由于题设条件中有一已知点C ，则易考虑利用点斜式方程来解决，但考虑对直线l 1与l 2的斜率是否存在进行分类讨论，而利用向量垂直的充要条件解答，奇妙无比.四、利用直线系方程主要的直线系方程：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系为：Ax ＋By ＋λ＝0(λ为参数)；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系为：Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)；(3)过已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系为程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(除去l 2).例4求过点(3，5)且与直线3mx ＋(m ＋5)y ＋3m －7＝0垂直的直线方程. 解析：依题意，设所求直线方程为(m ＋5)x －3my ＋C ＝0，将点(3，5)代入所求方程，得(m ＋5)×3－3m ×5＋C ＝0，解得C ＝12m －15. 故所求直线方程为(m ＋5)x －3my ＋12m －15＝0.点评：解此类问题时，当已知直线的斜率确定时，可根据已知直线的斜率写出所求直线的方程；当已知直线的斜率不确定，方程中含有参数时，为了避开讨论，常常通过利用直线系方程来解决.本题若按利用斜率间关系求解，则必须同时考虑已知直线与所求直线的斜率是否存在的情况，其过程较繁.五﹑利用两条直线平行与垂直的充要条件已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1∥l 2的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1，B 1C 2－B 2C 1中至少一个不等于零；(2) l 1⊥l 2的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.例5已知直线l 1：x ＋2my －3＝0与直线l 2：(3m －1)x －my ＋5＝0互相平行，求实数m 的值.解析：由A 1B 2－A 2B 1＝0，得－m ×1－(3m －1)×2m ＝0，即m(6m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝16.当m ＝0时，A 1C 2－A 2C 1＝5×1－(3m －1)×(－3)＝2≠0，∴l 1∥l 2. 当m ＝16时，B 1C 2－B 2C 1＝5×2m －(－m)×(－3)＝76≠0，∴l 1∥l 2.所以m 的取值为0和16.点评：如果利用两条平行直线之间的斜率关系解答，则须考虑两条直线的斜率是否存在，而利用两条直线平行的充要条件可避开.六、利用“设而不求”法“设而不求”就是指在解题过程中，根据题目的要求设出相关的量对应的未知数，但整个过程中并不需要求出这些未知数就可以使问题顺利解决.例6已知一条直线l 被两条平行直线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y ＋8＝0所截得的线段长为154，且经过点(2，3)，求直线l 的方程.解析：设直线l 1与l 1﹑l 2的交点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ 3x 1＋4y 1－7＝03x 2＋4y 2＋8＝0，两个方程相减，得3(x 2－x 1)＋4(y 2－y 1)＋15＝0，即y 2－y 1＝－34(x 2－x 1)－154，由|AB|＝154，得(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(154)2，所以(x 2－x 1)2＋[34(x 2－x 1)＋154]2＝(154)2，即5(x 2－x 1)2＋18(x 2－x 1)＝0，解得x 2－x 1＝0或x 2－x 1＝－185.由x 2－x 1＝0，得所求直线方程为x ＝2，由x 2－x 1＝－185，得y 2－y 1＝－2120，所以所求直线的斜率为724，直线方程为7x －24y ＋58＝0.综上知，所求直线的方程为x ＝2或7x －24y ＋58＝0.点评：本题通过利用设而不求将x 2－x 1与y 2－y 1作为整体求解，进而确定所求直线的斜率，这种方法是解析几何中常用的手段和技巧.“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用.。
高中数学 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式典题精讲例1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，求线段AB 中点的坐标.思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解.解：设AB 中点为O′(x)，∵O′(x)是AB 的中点，∴AO′=O′B.又∵A(x 1)、B(x 2)，∴AO′=x -x 1，O′B=x 2-x.由x-x 1=x 2-x 得x=212x x +， ∴中点坐标为O′(212x x +). 绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，则线段AB 中点O′的坐标为(212x x +). 变式训练1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点，求点C 的坐标.解:根据中点坐标公式，由题意知C(212x x +), 则D(22112x x x ++),即D(4312x x +). 例2根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义.(1)d(x ，2)＜1；(2)|x-2|＞1；(3)|x-2|=1.思路分析:结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可.解：如图:图2-1-(1,2)-2B(1)、A(2)、C(3)、D(4).(1)d(x ，2)＜1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，∴d(x，2)＜1表示线段BC(不包括端点).(2)|x-2|＞1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合，∴|x -2|＞1表示射线BO 和射线CD(不包括顶点).(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合，∴|x -2|=1表示点B(1)和点C(3).绿色通道：题目给出的是一些不等式，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，从而体会数形结合的思想.变式训练2|x-2|+|x-3|的最小值是_________________.思路解析:|x-2|表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x-2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=1.答案:1例3已知A(-2，3)、B(2，-4)两点，求d(A ，B).思路分析:直接代入两点间距离公式即可.解：∵x 1=-2，x 2=2，∴Δx=x 2-x 1=2-(-2)=4.又∵y 1=3，y 2=-4，∴Δy=y 2-y 1=(-4)-3=-7.∵d(A，B)=,)()(22y x ∆+∆∴d(A，B)=65)7(422=-+.答：d(A ，B)=65.黑色陷阱：套用错误公式d(A,B)=61)()(222211=-+-y x y x .变式训练3已知点A(1，4)、B(4，0)，在x 轴上的点M 与B 的距离等于点A 、B 之间的距离，求点M 的坐标.解：∵点M 在x 轴上，∴设M(a ，0)，则|a-4|=22)40()14(-+-=5.解得a=-1或a=9.∴M(-1，0)或M(9，0).例4 用坐标法证明定理:如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式AM 2+CM 2=BM 2+DM2成立.思路分析:用坐标法证明几何问题时,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便.本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点(如证法一),也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点(如证法二). 证法一:建立如图2-1-(1,2)-3所示的坐标系，设长方形ABCD 的长为a 、宽为b ，图2-1-(1,2)-3则A(0，b)、B(0，0)、C(a ，0)、D(a ，b)，设M(x ，y)，∴AM 2+CM 2=［(y-b)2+(x-0)2］+［(y-0)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2.又∵BM 2+DM 2=［(y-0)2+(x-0)2］+［(y-b)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2，∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.证法二:建立如图2-1-(1,2)-4所示坐标系，图2-1-(1,2)-4设A(a ，b)、B(-a ，b)、C(-a ，-b)、D(a ，-b)、M(x ，y)，则|MA|2+|MC|2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2)，|MB|2+|MD|2=(x+a)2+(y-b)2+(x-a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2),∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.绿色通道：建立坐标系时，应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择，整理过程的复杂程度不同，应该合理选择，以求简化解题过程.变式训练4已知点A(1，1)、B(5，3)、C(0，3)，求证:△ABC 为直角三角形. 证明：∵AB=52)13()15(22=-+-,AC=5)13()10(22=-+-， BC=,5)33()50(22=-+-显然有AB 2+AC 2=BC 2.∴△ABC 为直角三角形.变式训练5如图2-1-(1,2)-5所示平面直角坐标系中,在等腰梯形ABCO 中，底AB=2，腰AO=4，∠AOC=60°，试求:图2-1-(1,2)-5(1)A 、B 、C 三点的坐标；(2)梯形ABCO 的面积S.解：(1)如图2-1-(1,2)-5，过点A 、B 作AE⊥x 轴，BF⊥x 轴，∵AO=4，∠AOC=60°, ∴|AE|=|BF|=|AO|sin60°=32,|OE|=|FC|=|AO|cos60°=2.∴A(2，32)、B(4，32)、C(6，0).(2)∵|AB|=2，|OC|=6，|AE|=32，∴S=21 (2+6)×32=38. 问题探究问题 在一个平面直角坐标系中，给定一个多边形的几个顶点的坐标，怎样判断这个多边形的形状呢?导思:对直线的平行、垂直的判断我们可以根据前节所学内容进行.探究：总结一下前面学过的知识，可以尝试从以下角度进行判断：看两条直线是否平行、看几个顶点间的距离是否相等.。
直角坐标系基本知识点
直角坐标系基本知识点直角坐标系是数学中常用的一个坐标系统，用来描述平面上的点的位置。
它由两个互相垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。
本文将从以下几个方面介绍直角坐标系的基本知识点。
1.坐标轴：直角坐标系中有两条坐标轴，分别为x轴和y轴。
x轴是水平方向的轴，y轴是垂直方向的轴。
它们的交点称为坐标原点，通常用O表示。
2.坐标：直角坐标系中的点可以用一对有序实数(x, y)来表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
这对实数就是该点的坐标。
3.轴向方向：在直角坐标系中，x轴的正方向是从左向右，y轴的正方向是从下向上。
负方向与正方向相反。
4.坐标轴上的点：坐标轴上的点具有特殊的坐标。
在x轴上，坐标为(x,0)，y轴上的点坐标为(0, y)。
x轴上的点的y坐标为0，y轴上的点的x坐标为0。
5.直角：直角坐标系中的x轴和y轴相互垂直，它们的交点是一个直角。
直角的两条边即为坐标轴。
6.象限：直角坐标系将平面分为四个象限，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
第一象限是x轴和y轴的正方向形成的部分，第二象限是x轴的负方向和y轴的正方向形成的部分，第三象限是x轴和y轴的负方向形成的部分，第四象限是x轴的正方向和y轴的负方向形成的部分。
7.距离公式：在直角坐标系中，两点之间的距离可以使用距离公式来计算。
设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则两点之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)。
8.斜率：直角坐标系中，两点之间的斜率可以用斜率公式来计算。
设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则两点之间的斜率k可以通过以下公式计算：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
9.垂直和平行：直角坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率乘积为-1。
两条直线平行的条件是它们的斜率相等且不为无穷大。
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【名师点评】 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不 是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，
要分0，π2 与π2，π 两种情况讨论．由正切函数图象可以 看出当 α∈0，π2时，斜率 k∈[0，＋∞)；当 α＝π2时，斜 率不存在；当 α∈π2，π时，斜率 k∈(－∞，0)．
不包括垂直于 的非零截距，b 是
x 轴和 y 轴及过
直线在 y 轴上的
式
原点的直线
非零截距
Байду номын сангаас
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名 方程的形式
称
已知条件
局限性
一
Ax＋By＋C＝
无限制，可表
___________________
般
0(A2＋B2≠0)
A，B，C 为系数 示任何位置的
___________________
式
直线
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思考探究 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？ 提示：不一定．(1)若x1＝x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方程为x＝x1. (2)若x1≠x2且y1＝y2，直线垂直于y轴，方程为y＝y1. (3)若x1≠x2且y1≠y2，直线方程可用两点式表示．
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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 直线的倾斜角与斜率
例1 直线 2xcosα－y－3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的变化范围 是( )
A．[π6，π3]
B．[π4，π3]
C．[π4，π2]
D．[π4，23π]
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【解析】 直线 2xcosα－y－3＝0 的斜率为 k＝2cosα，由于 α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤ 23，因此 k＝2cosα∈[1， 3]． 设直线的倾斜角为 θ，则有 tanθ∈[1， 3]，由于 θ∈[0，π)， 所以 θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]．
平面直角坐标系中的基本公式如何避免直线问题中的斜率讨论文字素材6人教B版必修2
如何避免直线问题中的斜率讨论直线一定有倾斜角，但不一定有斜率，很多利用直线斜率解决的问题，都要分斜率存在与不存在两种情况讨论．如果你轻视斜率不存在这种特殊情况，往往会导致错误；如果你避免设斜率而求解，有时又可能会出现妙解．下面介绍几种避免对直线斜率讨论的方法.一﹑巧设直线方程如果所求直线可能涉及到斜率不存在的情况，则可以将过点(x 0，y 0)的直线方程设为x －x 0＝m(y －y 0)，则可以避免对斜率的讨论.例1求经过点(5，10)，且与原点的距离为5的直线方程.解析：设x －5＝m(y －10)，即x －my －5＋10m ＝0，则由点到直线的距离公式，得|－5＋10m|1＋m 2＝5，解得m ＝43或m ＝0, 故所求直线的方程为3x －4y ＋25＝0或x ＝5.点评：从所求出的两个m 的值可以发现m ＝0对应的情形就是所求直线的斜率不存在的情形.二﹑数形结合法在直线方程的五种基本形式中，如果利用选用点斜式或斜截式方程，则还须对直线不存在的情况进行补充.在解题时能作出图形的尽量作图，使隐含的条件直观显现，解答就会更加完备.例2直线l 经过点P(1，2)，且与两点M (－2，－3)、N(4，5)的距离相等，求直线l 的方程.解析：因为M 、N 到直线l 的距离相等，所以l ∥MN 或经过MN 的中点，如图所示.而k MN ＝43，且MN 的中点坐标为(1，1)， 当l ∥MN 时，直线l 的方程为4x －3y ＋2＝0，当l 经过MN 的中点时，直线l 的方程为x ＝1，综上所述，所求直线l 的方程为4x －3y ＋2＝0或x ＝1.点评：本题若按常规解法，则应当考虑所求直线的斜率是否存在，存在时直接设直线的点斜式方程.三、利用向量垂直的充要条件向量垂直的充要条件坐标形式：若→a ＝(x 1，y 1)，→b ＝(x 2，y 2)，则→a ⊥→b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0.对于两条直线互相垂直的问题，如果能根据直线上两点分别确定出所在直线的一个向量，则利用向量垂直的条件可快速求解.例3已知C(a ，b)(ab ≠0)是一定点，过C 作两条互相垂直的直线l 1与l 2，其中l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求证：线段AB 的中点M 在一条定直线上.解析：如图，设点M(x ，y)，由中点坐标公式，得A(2x ，0)，B(0，2y)，则AC→＝(a －2x ，b)，BC →＝(a ，b －2y)， ∵AC→⊥BC →，∴a(a －2x)＋b(b －2y)＝0， 整理，得2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，即点M 在一条定直线上.点评：由于题设条件中有一已知点C ，则易考虑利用点斜式方程来解决，但考虑对直线l 1与l 2的斜率是否存在进行分类讨论，而利用向量垂直的充要条件解答，奇妙无比.四、利用直线系方程主要的直线系方程：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系为：Ax ＋By ＋λ＝0(λ为参数)；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系为：Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)；(3)过已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系为程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(除去l 2).例4求过点(3，5)且与直线3m x ＋(m ＋5)y ＋3m －7＝0垂直的直线方程.解析：依题意，设所求直线方程为(m ＋5)x －3m y ＋C ＝0，将点(3，5)代入所求方程，得(m ＋5)×3－3m ×5＋C ＝0，解得C ＝12m －15.故所求直线方程为(m ＋5)x －3m y ＋12m －15＝0.点评：解此类问题时，当已知直线的斜率确定时，可根据已知直线的斜率写出所求直线的方程；当已知直线的斜率不确定，方程中含有参数时，为了避开讨论，常常通过利用直线系方程来解决.本题若按利用斜率间关系求解，则必须同时考虑已知直线与所求直线的斜率是否存在的情况，其过程较繁.五﹑利用两条直线平行与垂直的充要条件已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1∥l 2的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1，B 1C 2－B 2C 1中至少一个不等于零；(2) l 1⊥l 2的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.例5已知直线l 1：x ＋2my －3＝0与直线l 2：(3m －1)x －my ＋5＝0互相平行，求实数m 的值.解析：由A 1B 2－A 2B 1＝0，得－m ×1－(3m －1)×2m ＝0，即m(6m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝16. 当m ＝0时，A 1C 2－A 2C 1＝5×1－(3m －1)×(－3)＝2≠0，∴l 1∥l 2.当m ＝16时，B 1C 2－B 2C 1＝5×2m －(－m)×(－3)＝76≠0，∴l 1∥l 2. 所以m 的取值为0和16. 点评：如果利用两条平行直线之间的斜率关系解答，则须考虑两条直线的斜率是否存在，而利用两条直线平行的充要条件可避开.六、利用“设而不求”法“设而不求”就是指在解题过程中，根据题目的要求设出相关的量对应的未知数，但整个过程中并不需要求出这些未知数就可以使问题顺利解决.例6已知一条直线l 被两条平行直线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y ＋8＝0所截得的线段长为154，且经过点(2，3)，求直线l 的方程. 解析：设直线l 1与l 1﹑l 2的交点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ 3x 1＋4y 1－7＝03x 2＋4y 2＋8＝0， 两个方程相减，得3(x 2－x 1)＋4(y 2－y 1)＋15＝0，即y 2－y 1＝－34(x 2－x 1)－154， 由|AB|＝154，得(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(154)2，所以(x 2－x 1)2＋[34(x 2－x 1)＋154]2＝(154)2， 即5(x 2－x 1)2＋18(x 2－x 1)＝0，解得x 2－x 1＝0或x 2－x 1＝－185.由x 2－x 1＝0，得所求直线方程为x ＝2，由x 2－x 1＝－185，得y 2－y 1＝－2120，所以所求直线的斜率为724，直线方程为7x －24y ＋58＝0.综上知，所求直线的方程为x ＝2或7x －24y ＋58＝0.点评：本题通过利用设而不求将x 2－x 1与y 2－y 1作为整体求解，进而确定所求直线的斜率，这种方法是解析几何中常用的手段和技巧.“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用.。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标ຫໍສະໝຸດ 中的基本公式课程目标1.理解实数与数轴上的点的对应关 系,理解实数与位移的对应关系. 2.掌握数轴上两点间的距离公式,理 解数轴上的向量加法的坐标运算. 3.探索并掌握平面直角坐标系中两 点的距离公式和中点公式. 4.通过对两点的距离求解过程的探 索,进一步体会“坐标法”的基本思 想,学会构造直角三角形解决问题的 基本思路.
思考 4 点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?
提示:点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).
思考 5 教材中的“?”
如果数轴上的单位长取作 1 cm,你能在数轴上标出数 0.001,0.000 1 和 2对应的点吗?你能说明在数轴上确实存在这些点吗?
若 AB∥x 轴或与 x 轴重合,则|AB|=|x2-x1|;若 AB∥y 轴或与 y 轴重合,则 |AB|=|y2-y1|.
思考 3 算术平方根 ������2 + ������2的几何意义是什么?
提示: ������2 + ������2表示点(x,y)到原点的距离.
3.中点公式 (1)直线上的中点坐标公式. 已知数轴上两点 A(x1),B(x2),则线段 AB 的中点 M 的坐标为������1+2������2. (2)平面内的中点坐标公式. 设平面内两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的中点 M(x,y),则 x=������1+2������2,y=������1+2 ������2.
2.平面直角坐标系中的基本公式 平面直角坐标系中两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的距离公
式:d(A,B)= (������2-������1)2 + (������2-������1)2.
讲平面直角坐标系
通过引入极坐标系，可以将曲线用极坐标方程表 示。
06
平面直角坐标系中的函数和图像
函数的基本概念
函数的定义
函数是定义在非空数集之间的一种对 应关系，对于每一个自变量x，都有 唯一确定的因变量y与之对应。
函数的表示方法
通常用解析式、图像和表格来表示函 数。
函数的定义域
函数中自变量的取值范围。
物理学中的应用
质点的运动学
在物理学中，质点的运动轨迹可以描述为时间和空间的关系，这可以通过平面 直角坐标系来实现。
电场和磁场
电场和磁场是物理学中的重要概念，它们都可以通过平面直角坐标系来描述和 计算。
04
平面直角坐标系的扩展
极坐标系
01 02
极坐标系定义
极坐标系是一个二维坐标系统，它由一个极点和一个射线组成，射线被 定义为极轴，极点被定义为原点。在极坐标系中，点的位置由极径和极 角确定。
柱面坐标系的应用
柱面坐标系在物理学、工程学等领域有广泛的应用，例如在物理学中，描述电磁波的传播 时，使用柱面坐标系更为方便。
柱面坐标系与直角坐标系的转换
柱面坐标系和直角坐标系之间可以通过公式进行转换，圆柱面的半径和角度可以转换为x 、y和z坐标，反之亦然。
球面坐标系
球面坐标系定义
球面坐标系是一种三维坐标系统，它由一个球面和一个角度组成。球面的中心是原点，球面的半径是常数。在球面坐标系中，点的位置由球面的半径和角度确 定。
极坐标系的应用
极坐标系在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用，例如在物理 学中，描述带电粒子在磁场中的运动轨迹时，使用极坐标系更为方便。
03
极坐标系与直角坐标系的转换
极坐标系和直角坐标系之间可以通过公式进行转换，极径和极角可以转
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平面直角坐标系中的基本公式与直线方程 精品资料
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 数学必修二第二章第一、二节 平面直角坐标系中的基本公式与直线方程 C卷 一、选择题 1.设点A(2,-3),B(-3,-2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（ ）
2.若直线03)1(:1yaaxl与直线02)32()1(:2yaxal互相垂直，则a的值是( ) A.3 B. 1 C. 0或23 D. 1或3 3.若直线l的倾斜角满足0150，且90，则它的斜率k满足( ) A．303k B．33k
C．03kk或 D．303kk或 4.下列说法正确的是 （ ） A．经过定点Pxy000，的直线都可以用方程yykxx00表示 B．经过定点bA，0的直线都可以用方程ykxb表示
C．不经过原点的直线都可以用方程xayb1表示 D．经过任意两个不同的点222111yxPyxP，、，的直线都可以用方程
yyxxxxyy121121表示 5.设两条直线的方程分别为00,xyaxyb和已知,ab是关于x的方程20xxc的两个实数根，且0≤c≤18，则这两条直线之间距离的最大值和最小值
分别为( )
A.21,42 B. 2,22 C. 12,2 D. 21,22
6.若动点1122(,),(,)AxyBxy分别在直线12:70:50lxylxy和上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( ) A．23 B．33 C．32 D．42 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 7.对于平面直角坐标系内任意两点11(, )Axy，22(, )Bxy，定义它们之间的一种“折线距离”：2121(,)||||dABxxyy．则下列说法正确．．的个数是（ ） ①若1,3A-，1,0B，则(,)5dAB； ②若点C在线段AB上，则(,)(,)(,)dACdCBdAB； ③在ABC中，一定有(,)(,)(,)dACdCBdAB； ④在平行四边形ABCD，一定有(,)(,)(,)(,)dABdADdCBdCD. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.已知两定点A(-3，5)，B(2，15)，动点P在直线3x-4y＋4＝0上，则PA＋PB 的最小值为( ) A．513 B．362 C．155 D．5＋102
二、填空题 9.设直线L过点A（2，4），它被平行线x-y+1=0与x-y-1=0所截是线段的中点在直线x+2y-3=0上，则L的方程是_____________________
10.无论m为何值，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过一定点P，则点P的坐标为 ．
11.原点O在直线L上的射影为点H（-2，1），则直线L的方程为_____________. 12.过点（1，3）作直线l，若l经过点（a，0）和（0，b），且a，b∈N*，则可作出的l的个数为 条． 13.过点A（1，4）且在x、y轴上的截距相等的直线共有 条． 14.如图，平面中两条直线l 1 和l 2相交于点O，对于平面上任意一点M，若x , y分别是M到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对（x , y）是点M的“ 距离坐标 ” 。 已知常数．．p≥0, q≥0，给出下列三个命题：
①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个； ②若pq=0, 且p+q≠0，则“距离坐标”为( p, q) 的点有且只有2个； ③ 若pq≠0则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且只有3个. 上述命题中，正确的有 . (填上所有正确结论对应的序号)
15.在平面直角坐标系中定义两点1122,,,PxyQxy之间的交通距离为1212,dPQxxyy。若,Cxy到点1,3,6,9AB的交通距离相等，其中实
数,xy满足010,010xy，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为 。 16.三条直线x+y+1=0,2x-y+8=0和ax+3y-5=0只有两个不同的交点，则a=______________ 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 三、解答题 17.已知直线l过点1,2P为，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点． （1）当OPl时，求直线l的方程； （2）当OAB面积最小时，求直线l的方程并求出面积的最小值．
18.已知射线l1：y=4x（x≥0）和点P（6，4），试在l1上求一点Q使得PQ所在直线l和l1以及直线y=0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l的方程．
19.如图，已知两条直线l1:x-3y+12=0,l2:3x+y-4=0，过定点P(-1，2)作一条直线l，分别与l1,l2交于M、N两点，若P点恰好是MN的中点，求直线l的方程.
20.一束光通过M(25，18)射入被x轴反射到圆C：x2+(y-7)2=25上. (1)求通过圆心的反射光线所在的直线方程； (2)求在x轴上反射点A的活动范围. 精品资料
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 参考答案 1.A 2.D 3.D 4.D 5.D 6.C 7.C
8.A 9.3x-y-2=0 10.
11. 12.2 由l经过点（a，0）和（0，b）求出l的斜率，写出直线方程的点斜式，代入点（a，0）
可得=1， 求出满足该式的整数对a，b，则答案可求． 解：由题意可得直线L的表达式为y=（x﹣1）+3
因为直线l经过（a，0），可得+3=b 变形得=1， 因为a，b都属于正整数，所以只有a=2，b=6和a=4，b=4符合要求 所以直线l只有两条，即y=﹣3（x﹣1）+3和y=﹣（x﹣1）+3． 故答案为2． 本题考查了直线的图象特征与直线的倾斜角和斜率的关系，训练了代入法，关键是确定整数解，是基础题．
13.2 直线的截距式方程． 探究型；分类讨论． 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 分直线过原点和不过原点两种情况求出直线方程，则答案可求． 解：当直线过坐标原点时，方程为y=4x，符合题意； 当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a， 代入A的坐标得a=1+4=5． 直线方程为x+y=5． 所以过点A（1，4）且在x、y轴上的截距相等的直线共有2条． 故答案为2． 本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题． 14.①②
15.521。
解析：由条件得1369xyxy。 当1,9xy时，无解； 当16,9xy时，无解； 当6,9xy时，无解； 当1,39xy时，8.5y，线段长为1。 当16,39xy时，9.5xy，线段长为52。 当6,39xy时3.5y，线段长为4。 当1,3xy时，无解。 当16,3xy时，无解。 当6,3xy时，无解。 综上所述，点C的轨迹构成的线段的长之和为1524521。 16.3或-6 17.解：（1）由已知2OPk,112lopkk，
由直线方程的点斜式可得直线l的方程为1212yx， 所以直线l的方程为250xy （2）设直线l的方程为10,0xyabab，
因为直线过1,2P，所以121ab 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 ∵ 12212abab，∴ 8ab，
当且仅当1211212abab，即24ab时，取得等号． ∴ 142ABCSab ，即面积的最小值为4 所以，直线l的方程是124xy，即240xy 18.解：设点Q坐标为（a，4a），PQ与x轴正半轴相交于M点． 由题意可得a＞1，否则不能围成一个三角形．
PQ所在的直线方程为：，
令， ∵a＞1，∴，
则=， 当且仅当（a﹣1）2=1取等号．所以a=2时，Q点坐标为（2，8）； PQ直线方程为：x+y﹣10=0．
19.参考答案：设所求直线l的方程为： y=k(x+1)+2
由交点M的横坐标xM=. 由交点N的横坐标xN= ∵P为MN的中点，
∴. 所求直线l的方程为x+2y-3=0. 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8 20.参考答案：(1)M(25，18)关于x轴的对称点为M′(25，-18)依题意，反射线所在直线
过(25，-18)，即. 即x+y-7=0. (2)设反射线所在直线为y+18=k(x-25). 即kx-y-25k-18=0.