2021届山东省日照市高考数学模拟试卷(3月份) (解析版)
2021年山东省德州市高考数学(一模)模拟试卷(解析版)
2021年山东省德州市高考数学模拟试卷（一模）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|lg（x﹣2）≤1}，则A∩B＝（）A．（2，3]B．[﹣4，4]C．[2，4）D．（2，4]2．复数z＝的共轭复数的虚部为（）A．﹣B．C．D．3．已知a，b∈R，则a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率（）A．B．C．D．5．已知sinα＝sin（α+）+，则cos（α+）的值为（）A．B．C．D．6．已知向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．7．设函数f（x）＝xe x﹣a（x﹣1），其中a＜1，若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜a，则a 的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣，）C．[，）D．[，1）8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x n}满足x n+1＝x n﹣，则称数列{x n}为牛顿数列．如果函数f（x）＝x2﹣x﹣2，数列{x n}为牛顿数列，设a n＝ln且a1＝1，x n＞2，数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．22021﹣1B．22021﹣2C．（）2021﹣D．（）2021﹣2二、多选题（共4小题）.9．2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（）A．过去的6年，“甲”的极差小于“乙”的极差B．过去的6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值C．过去的6年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数D．过去的6年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为B．g（x）在区间[，]上单调递增C．g（x）的图象关于直线x＝对称D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），A、B分别为双曲线的左，右顶点，F1、F2为左、右焦点，|F1F2|＝2c，且a，b，c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．当PF2⊥x轴时，∠PF1F2＝30°B．双曲线的离心率e＝C．k1k2为定值D．若I为△PF1F2的内心，满足S＝S+xS（x∈R），则x＝12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点）且BE＝BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A、C两点重合于点A1，则下列结论正确的有（）A．A1D⊥EFB．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的外接球体积为πC．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的体积为D．当BE＝BF＝BC时，点A1到平面DEF的距离为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若二项式（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有x3项的系数为．14．已知抛物线C：y2＝4x，点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若•＝5，则直线AB过定点．15．已知三棱锥P﹣ABC中，AP、AB、AC三条棱两两垂直，且长度均为2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为．16．设定义在D上的函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＜0在D内恒成立，则称P点为函数y＝f（x）的“类对称中心点”，则函数h（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①a sin C＝c sin（A+），②b＝a cos C+c sin A，③a cos B+b cos A＝2c cos A．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆面积为π，sin B ＝2sin C，且_____，求△ABC的面积．18．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：T n＜．19．2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如表所示：（表一）了解情况Y N人数14060（表二）男女合计Y80N40合计（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表（表二），并判断是否有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P1，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P2，试求出P1与P2，并比较P1与P2的大小．附：临界值参考表的参考公式P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（K2＝，其中n＝a+b+c+d）20．如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E、F．（1）求证：EF⊥DA；（2）在棱DN上（不含端点）是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为﹣1，以椭圆E的短轴为直径的圆过点（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过F2的直线交椭圆E于A、B两点，过F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB ⊥CD，求四边形ACBD面积的取值范围．22．已知函数f（x）＝xe3x﹣（a+1）lnx+﹣1，g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+．定义新函数d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|min．（1）当a≤﹣2时，讨论函数g（x）的单调性；（2）若新函数d（f，g）的值域为[0，+∞），求a的取值范围．参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|lg（x﹣2）≤1}，则A∩B＝（）A．（2，3]B．[﹣4，4]C．[2，4）D．（2，4]解：∵A＝{x|16﹣x2≥0}＝{x|﹣4≤x≤4}，B＝{x|0＜x﹣2≤10}＝{x|2＜x≤12}，∴A∩B＝（2，4]．故选：D．2．复数z＝的共轭复数的虚部为（）A．﹣B．C．D．解：z＝＝＝＝，∴＝，∴复数z＝的共轭复数的虚部为，故选：D．3．已知a，b∈R，则a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由a＜b，当a＝0时，不能够推出a2（e a﹣e b）＜0，故a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的不充分条件，由a2（e a﹣e b）＜0⇒e a﹣e b＜0⇒e a＜e b⇒a＜b，故a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的必要条件，综上所述：a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的必要不充分条件．故选：B．4．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率（）A．B．C．D．解：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．设田忌的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，齐王的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，所有的基本事件有6种，分别为：（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cb），（Ab，Bc，Cb），（Ac，Bb，ca），（Ac，Ba，Cb），比赛结束时，田忌得2分的基本事件为：（Ab，Bc，Ca），只有1种，∴比赛结束时，田忌得2分的概率P＝．故选：C．5．已知sinα＝sin（α+）+，则cos（α+）的值为（）A．B．C．D．解：∵sinα＝sin（α+）+，∴sinα＝sinα+cosα+，∴sinα﹣cosα＝，即﹣cos（α+）＝，∴cos（α+）＝﹣．故选：B．6．已知向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．解：向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，可得＝＝＝7，＝＝16+4＝20，cos＜，＞＝＝＝．故选：A．7．设函数f（x）＝xe x﹣a（x﹣1），其中a＜1，若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜a，则a 的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣，）C．[，）D．[，1）解：函数f（x）＝xe x﹣a（x﹣1），其中a＜1，设g（x）＝xe x，y＝ax，∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜a，∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y＝ax的下方，∵g′（x）＝（x+1）e x，∴当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，∴当x＝﹣1时，[g（x）]min＝g（﹣1）＝﹣．当x＝0时，g（0）＝0，当x＝﹣2时，g（﹣2）＝﹣，直线y＝ax恒过（0，0），斜率为a，故﹣a＞g（﹣1）＝﹣，且g（﹣2）＝﹣≥﹣2a，解得≤a＜，∴a的取值范围是[，）．故选：C．8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x n}满足x n+1＝x n﹣，则称数列{x n}为牛顿数列．如果函数f（x）＝x2﹣x﹣2，数列{x n}为牛顿数列，设a n＝ln且a1＝1，x n＞2，数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．22021﹣1B．22021﹣2C．（）2021﹣D．（）2021﹣2解：∵f（x）＝x2﹣x﹣2，∴f′（x）＝2x﹣1，又∵x n+1＝x n﹣＝x n﹣，∴x n+1+1＝x n﹣+1＝，x n+1﹣2＝x n﹣2﹣＝，∴＝＝（）2，∵a n＝ln且a1＝1，x n＞2，∴a n+1＝ln＝ln（）2＝2ln＝2a n，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴S2021＝＝22021﹣1，故选：A．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（）A．过去的6年，“甲”的极差小于“乙”的极差B．过去的6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值C．过去的6年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数D．过去的6年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率解：对于A，甲的极差为42﹣36＝6，乙的极差为41﹣34＝7，所以“甲”的极差小于“乙”的极差，A正确；对于B，甲的平均数是×（36+37+37+38+40+42）＝，乙的平均数为×（34+36+38+39+40+41）＝，所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值，B错误；对于C，甲的中位数是×（37+38）＝37.5，乙的中位数是×（38+39）＝38.5，所以，“甲”的中位数小于“乙”的中位数，C正确；对于D，过去6年甲的平均增长率为：﹣1；乙的平均增长率为：﹣1，且＜，所以“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率，D正确．故选：ACD．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为B．g（x）在区间[，]上单调递增C．g（x）的图象关于直线x＝对称D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称解：根据函数的图象：周期，解得T＝π，故ω＝2．进一步求得A＝2．当x＝时，f（）＝2sin（+φ）＝﹣1，由于|φ|＜π，所以φ＝．所以f（x）＝2sin（2x+），函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝2sin（3x+）的图象，故对于A：函数的最小正周期为T＝，故A正确；对于B：由于x∈[，]，所以，故函数g（x）在区间[，]上单调递减，故B错误；对于C：当x＝时，g（）＝2sin（）＝﹣2，故函数g（x）的图象关于直线x＝对称，故C正确；对于D：当x＝时，g（）＝2，故D错误．故选：AC．11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），A、B分别为双曲线的左，右顶点，F1、F2为左、右焦点，|F1F2|＝2c，且a，b，c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．当PF2⊥x轴时，∠PF1F2＝30°B．双曲线的离心率e＝C．k1k2为定值D．若I为△PF1F2的内心，满足S＝S+xS（x∈R），则x＝解：因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，A中，PF2⊥x轴时，P的坐标为：（c，）即P（c，c），所以tan∠PF1F2＝＝＝，所以∠PF1F2≠30°，所以A不正确；B中，因为b2＝ac，所以可得c2﹣a2＝ac，可得e2﹣e﹣1＝0，又e＞1，解得：e＝，所以B正确；C，设P（x0，y0），则﹣＝1，所以y02＝b2•，由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），所以k1k2＝＝＝，由b2＝ac，可得k1k2＝＝，所以C正确；D中因为S＝S+xS，所以|PF1|•r＝|PF2|•r+x•|F1F2|•r，可得x＝＝＝＝，所以D正确；故选：BCD．12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点）且BE＝BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A、C两点重合于点A1，则下列结论正确的有（）A．A1D⊥EFB．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的外接球体积为πC．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的体积为D．当BE＝BF＝BC时，点A1到平面DEF的距离为解：取EF的中点O，连接OA1，OD，由题意可得DE＝DF，A1E＝A1F，所以OD⊥EF，A1O⊥EF，DO∩A1O＝O，所以EF⊥平面A1OD，所以EF⊥A1D，故A正确；当BE＝BE＝BC＝2时，A1E＝A1F＝2，EF＝2，可得A1E⊥A1F，又A1E⊥A1D，A1F⊥A1D，可把三棱锥A1﹣EDF放到以A1D，A1E，A1F为相邻棱的长方体中，可得长方体的对角线长为＝2，故外接球的半径为，体积为π×（）3＝8π，故B错误；当BE＝BF＝BC＝1时，EF＝，cos∠EA1F＝＝，所以sin∠EA1F＝＝，S＝A1E•A1F•sin∠EA1F＝×3×3×＝，V＝V＝S•A1D＝××4＝，故C正确；当BE＝BF＝1时，设A1到面DEF的距离为h，则V＝S△DEF h＝×（4×4﹣2××4×3﹣×1×1）h＝×h＝，解得h＝，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若二项式（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有x3项的系数为80．解：∵（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，∴2n＝32，解得n＝5，∴该二项式展开式中含有x3项的系数为•23＝80，故答案为：80．14．已知抛物线C：y2＝4x，点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若•＝5，则直线AB过定点（5，0）．解：设直线AB的方程为x＝my+b，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：y2﹣4my﹣4b＝0，所以y1y2＝﹣4b，x1x2＝＝b2，因为•＝5⇒x1x2+y1y2＝6，所以b2﹣4b＝5，可得b＝5或b＝0，因为点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，直线AB不过原点，所以b＝5，所以直线恒过点（5，0），故答案为：（5，0）．15．已知三棱锥P﹣ABC中，AP、AB、AC三条棱两两垂直，且长度均为2，以顶点P 为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为3π．解：如图，AP＝，PN＝4，则AN＝2，∠APN＝，∴∠NPM＝，∴，同理，，，故球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于，故答案为：3π．16．设定义在D上的函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＜0在D内恒成立，则称P点为函数y＝f（x）的“类对称中心点”，则函数h（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标为（，1）．解：h′（x）＝+，h（x0）＝+lnx0，（x0＞0），即函数h（x）的定义域为D＝（0，+∞），所以函数h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为：y﹣（+lnx0）＝（+）（x﹣x0），则g（x）＝（+）（x﹣x0）++lnx0，设F（x）＝h（x）﹣g（x）＝+lnx﹣[（+）（x﹣x0）++lnx0]，则F（x0）＝0，所以F′（x）＝h′（x）﹣g′（x）＝+﹣（+）＝+﹣＝+＝（﹣），当x0＜，即0＜x0＜时，F（x）在（x0，）上单调递减，所以F（x）＜F（x0）＝0，所以＜0，＞0，当x0＞，即x0＞时，F（x）在（，x0）上单调递增，所以F（x）＞F（x0）＝0，所以＜0，＞0，所以y＝F（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”，若x0＝，即x＝时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，所以＞0，＜0，综上，可得y＝h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标，又h（）＝+ln＝1，故答案为：（，1）．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①a sin C＝c sin（A+），②b＝a cos C+c sin A，③a cos B+b cos A＝2c cos A．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆面积为π，sin B ＝2sin C，且_____，求△ABC的面积．解：若选①a sin C＝c sin（A+），由正弦定理得sin AinC＝sin C sin（A+），因为sin C＞0，所以sin A＝sin（A+）＝sin A+cos A，故tan A＝，由A为三角形内角得A＝，由题意得△ABC外接圆半径r＝，由正弦定理得2r＝＝，所以a＝2，又sin B＝2sin C，所以b＝2c，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得4＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝，b＝，所以S△ABC＝＝＝；若选②b＝a cos C+c sin A，由正弦定理sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C sin A，整理得cos A sin C＝sin C sin A，因为sin C＞0，故tan A＝，由A为三角形内角得A＝，由题意得△ABC外接圆半径r＝，由正弦定理得2r＝＝，所以a＝2，又sin B＝2sin C，所以b＝2c，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得4＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝，b＝，所以S△ABC＝＝＝；若选③a cos B+b cos A＝2c cos A，由正弦定理得sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A，即sin（A+B）＝2sin C cos A＝sin C，因为siinC＞0，所以cos A＝，故A＝，由题意得△ABC外接圆半径r＝，由正弦定理得2r＝＝，所以a＝2，又sin B＝2sin C，所以b＝2c，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得4＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝，b＝，所以S△ABC＝＝＝．18．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：T n＜．【解答】（1）解：由a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）2n+1+2可得：a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1＝（n﹣2）2n+2（n≥2），两式相减得：na n＝（n﹣1）2n+1﹣（n﹣2）2n＝n×2n，即a n＝2n，n≥2，又当n＝1时，有a1＝2也适合上式，∴a n＝2n；（2）证明：由（1）可得：＝＝（﹣），∴T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＜（1+）＝．19．2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如表所示：（表一）了解情况Y N人数14060（表二）男女合计Y80N40合计（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表（表二），并判断是否有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P1，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P2，试求出P1与P2，并比较P1与P2的大小．附：临界值参考表的参考公式P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（K2＝，其中n＝a+b+c+d）解：（1）根据题意填写列联表，如下：男女合计Y8060140N204060合计100100200根据表中数据，计算K2＝＝≈9.524＞6.635，对照临界值表知，有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，根据列联表得出男性了解“云课堂”倡议的概率为＝，女性了解“云课堂”倡议的概率为＝，所以计算概率P1＝••＝，概率P2＝••＝，所以P1＞P2．20．如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E、F．（1）求证：EF⊥DA；（2）在棱DN上（不含端点）是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，∴BM∥CN，在四棱锥D﹣ABCN中，CN⊂平面CDN，BM⊄平面CDN，∴BM∥平面CDN，又平面BMEF∩平面CDN＝EF，∴BM∥EF，∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，又DA⊂平面ADN，∴EF⊥DA；（2）解：存在，E为棱DN上靠近N点的四等分点．∵DA＝DN，AM＝MN＝1，连接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，∴DM⊥平面ABCN．如图，以M为坐标原点，分别以MA，MB，MD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，），B（0，1，0），M（0，0，0），N（﹣1，0，0），，，，设，（0＜λ＜1），则E（λ﹣1，0，），＝（λ﹣1，0，），设平面BMEF的一个法向量为，则，不妨令x＝，则z＝1﹣λ，，设直线DB与平面BMEF所成角为α，则有sinα＝|cos＜＞|＝＝，解得或（舍）．∴，即在棱DN上存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，E为棱DN上靠近N点的四等分点．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为﹣1，以椭圆E的短轴为直径的圆过点（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过F2的直线交椭圆E于A、B两点，过F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB ⊥CD，求四边形ACBD面积的取值范围．解：（1）由题意可知，b＝2，a﹣c＝﹣1，又a2＝b2+c2，解得a＝，c＝1，所以椭圆的标准方程为：；（2）设四边形ACBD的面积为S，则S＝，①当AB⊥x轴时，|AB|＝，|CD|＝2a，所以S＝，②当CD⊥x轴时，|CD|＝，|AB|＝2a，所以S＝，③当AB与CD都不与x轴垂直时，直线AB的斜率存在且不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为﹣，则设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程，消去y整理可得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20＝0，所以x，所以|AB|＝＝（*），过F2做直线CD的平行线和椭圆E交于点C1，D1，由对称性知|C1D1|＝|CD|，在（*）中的k换成﹣，得|C1D1|＝＝，所以|CD|＝，所以S＝|B||CD|＝••＝，令t＝1+k2，则t＞1，所以S＝＝＝，令u＝，则u∈（0，1），所以S＝＝，因为﹣（u﹣）2+∈（20，]，所以S∈[，8）所以四边形ACBD面积的取值范围[，8）．22．已知函数f（x）＝xe3x﹣（a+1）lnx+﹣1，g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+．定义新函数d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|min．（1）当a≤﹣2时，讨论函数g（x）的单调性；（2）若新函数d（f，g）的值域为[0，+∞），求a的取值范围．解：（1）函数g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+，则g′（x）＝﹣+（a+2）x﹣＝（x＞0），①当a+2＝0，即a＝﹣2时，，令g'（x）＞0，解得x＞1，令g'（x）＜0，解得0＜x＜1，所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；②当a＜﹣2时，，（i）当，即﹣4＜a＜﹣2时，令g'（x）＞0，解得，令g'（x）＜0，解得0＜x＜1或x＞，故g（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；（ii）当＝1，即a＝﹣4时，，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减；（iii）当a＜﹣4时，令g'（x）＞0，解得＜x＜1，令g'（x）＜0，解得0＜x＜或x＞1，所以g（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增．综上所述，当a＝﹣2时，g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；当﹣4＜a＜﹣2时，g（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；当a＝﹣4时，以g（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＜﹣4时，g（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增．（2）因为|f（x）﹣g（x）|min∈[0，+∞），所以f（x）﹣g（x）＝0有解，即a+2＝在（0，+∞）上有解，令h（x）＝，则，令μ（x）＝3x2e3x+lnx，则，故μ（x）在（0，+∞）上单调递增，又，故存在x0，使，当x∈（0，x0）时，μ（x）＜0，即h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，μ（x）＞0，即h'（x）＞0，则h（x）单调递增，故h（x）的最小值为h（x0）＝且x→+∞，h（x）→+∞，由，可得，即，令V（x）＝xlnx（x＞1），V'（x）＝2+lnx＞0，所以V（x）在（1，+∞）上单调递增，又，即3x0＝﹣lnx0，所以，故h（x）的最小值为，故a+2≥3，所以a≥1．。
【解析版】山东省日照市2014届高三3月第一次模拟考试 数学(文科)试题
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,0,M x x N y y M N =<=>⋂=则 ( ) A.{}1x x <B. {}1x x >C. {}01x x <<D.∅2. 复数11,z i z z=-+=则 ( ) A.1322i +B. 1322i -C. 3322i -D.3122i -3. 为监测幼儿身体发育状况，某幼儿园对“大班”的100名幼儿的体重做了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图，如图所示.则体重在[)18,20（单位kg ）的幼儿人数为( ) A.10B.15C.30D.75【答案】B 【解析】试题分析：由图可得该组的频率为0.07520.15⨯=,则该组的人数为1000.075215⨯⨯=.故选B考点： 频率分布直方图4. 函数sin 3cos cos 3sin 3636y x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象的一条对称轴的方程是( ) A.24x π=-B. 12x π=-C. 12x π=D. 6x π=5. 若()()222,1125P x y --+=为圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A.30x y --= B.230x y +-= C.10x y +-=D.250x y --=6. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正（主）视图（如图所示）的面积为8，则侧（左）视图的面积为( )A.8B.4C.7. “22ab>”是“lg lg a b >”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数①sin ,y x x =⋅②cos y x x =⋅，③cos y x x =⋅，④2xy x =⋅的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①【答案】A 【解析】 试题分析：①sin y x x =⋅是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =⋅是奇函数，其图象关于原点对称；③cos y x x =⋅是奇函数，其图象关于原点对称，且当0x >时，其函数值0y ≥; ④2xy x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时， 0y >, 且当0x <时， 0y <. 故选A考点： 奇偶性 函数图像9. 已知定义在R 上的函数()f x 满足条件；①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对任意的[]()()121212,0,2x x x x x f x ∈<<且，都有f ；③函数()2f x +的图象关于y 轴对称.则下列结论正确的是( ) A.()()()7 6.5 4.5f f f <<B. ()()()7 4.5 6.5f f f <<C. ()()()4.5 6.57f f f <<D. ()()()4.57 6.5f f f <<10. 已知三点()()()312,1,1,2,,,,0255A B C P a b OP OA ⎛⎫--≤⋅≤ ⎪⎝⎭动点满足，且02OP OB ≤⋅≤ ，则动点P 到点C 的距离小于15的概率为( )A.20πB. 120π-C. 1920πD. 19120π- 【答案】A 【解析】试题分析：动点(,)P a b 满足的不等式组为022,022,a b a b ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩画出可行域可知P 在以31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭的正方形及内部运动，而点P 到点C 的距离小于15的区域是以31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心且半径为15的圆的内部，所以概率π20p ==.故选A 考点： 几何概型第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11. 已知()()()()1233,33log 6,3,x e x f x f f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则的值为__________.12. 已知双曲线2212x y a -=的一个焦点坐标为()，则其渐近线方程为_______.13. 已知,a R b R ++∈∈，函数2xy ae b =+的图象过（0，1）点，则11a b+的最小值是______.【答案】3+【解析】试题分析：因为函数过点()0,1,把点带入函数2xy ae b =+可得12=+b a ，所以223232211+≥++=+++=+b a a b b b a a b a b a .当且仅当2b a a b=时取等号.故填3+考点：基本不等式14. 执行右面的框图，若输出p 的值是24，则输入的正整数N 应为________.15. 已知双曲正弦函数2x x e e shx --=和双曲作弦函数2x xe e chx -+=与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．类似的正确．．结论______________. 【答案】()ch x y chxchy shxshy -=- 【解析】试题分析：答案：()ch x y chxchy shxshy -=-.由右边2222x x y y x x y ye e e e e e e e ----++--=⋅-⋅1()4x yx y x y x y x y x y x y x y e e e e e e e e +--+--+--+--=+++-++-()()1(22)()42x y x y x y x y e e e e ch x y ------+=+==-=左边，故知填入()ch x y chxchy shxshy +=+， ()sh x y shxchy chxshy -=-， ()sh x y shxchy chxshy +=+之一也可．考点：合情推理三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分） 已知函数()2sin sin ,63f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）在ABC ∆中，若1,,4262C BC A C AB ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭锐角满足f 求的值.试题解析：（Ⅰ）因为πππππ()2sin()sin()2sin()sin[()]63626f x x x x x =-+=-+- πππ2sin()cos()sin(2)663x x x =--=-，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ.2= ………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，πππ()sin[2()]sin 26263C C f C +=+-=， 由已知，1sin 2C =，又角C 为锐角，所以π6C =，由正弦定理，得πsinsin 4πsin sin 6BC A AB C ==== ……………………………12分 考点：诱导公式 正弦定理 周期 正弦倍角公式17. （本小题满分12分）某市为了解社区群众体育活动的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A,B,C 三个行政区抽出6个社区进行调查.已知A ，B ，C 行政区中分别有12，18，6个社区. （I ）求从A,B,C 三个行政区中分别抽取的社区个数；（II ）若从抽得的6个社区中随机的抽取2个进行调查结果的对比，求抽取的2个社区中至少有一个来自A 行政区的概率.试题解析：（Ⅰ）社区总数为12＋18＋6＝36，样本容量与总体中的个体数比为61.366=所以从A ，B ，C 三个行政区中应分别抽取的社区个数为2，3，1． ……………4分 （Ⅱ）设12,A A 为在A 行政区中抽得的2个社区，123,,B B B 为在B 行政区中抽得的3个社区，C 为在C 行政区中抽得的社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有121112131212223212(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,)(,)(,),(,),A A A B A B A B A C A B A B A B A C B B ，，，1312323(,),(,)(,),(,)(,).B B B C B B B C B C ，，共有15种． ……………………………7分 设事件“抽取的2个社区至少有1个来自A 行政区”为事件X ，则事件X 所包含的所有可能的结果有：121112131(,),(,),(,)(,),(,),A A A B A B A B A C ，2122(,),(,)A B A B ，23(,)A B ，2(,),A C共有9种， ………………………………………………10分 以这2个社区中至少有1个来自A 行政区的概率为93().155P X ==……………12分 考点： 分层抽样 古典概型18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠= ，Q 为AD 的中点. （I ）若PA=PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（II ）点M 在线段上，PM=tPC ，试确定实数t 的值，使PA//平面MQB.ABCDPQ M试题解析：19. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 是首项和公比均为14的等比数列，设()*1423log ,n n b a n N +=∈. {}n n n n c c a b =⋅数列满足（I ）求证数列{}n b 是等差数列； （II ）求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】(2) 2321()334nn n S +=-⨯ 【解析】 试题分析：(1)利用{}n a 为等比数列且已知公比和首项可以求出数列114n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,代入()*1423log n n b a n N +=∈即可求出n b 的通项公式,证明1n n b b --为常数即可.(2)由(1)可以得到数列{}n a 和{}n b 的通项公式,且不难发现{}n a 为等比数列,{}n b 为等差数列,则{}n c 为等差数列与等比数列之积,则可以利用数列求和中的错位相减法来求的数列{}n c 的前n 项和{}n S .20. （本小题满分13分）如图，椭圆的右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合，过2F 且于x 轴垂直的直线与椭圆交于S,T ，与抛物线交于C ，D两点，且.CD =（I ）求椭圆的标准方程；（II ）设P 为椭圆上一点，若过点M(2,0)的直线l 与椭圆相交于不同两点A 和B ，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.【答案】(1) 2212x y += (2) (2,0)(0,2)t ∈- 试题解析：（Ⅰ）设椭圆标准方程22221(0)x y a b a b+=>>，由题意，抛物线x y 42=的焦点为)0,1(2F ,4=CD .因为CD =,所以ST =………………………2分又S ),1(2a b ，T ),1(2a b -，22b ST a==又2221,c a b ==- 1.a b ∴=所以椭圆的标准方程1222=+y x . ………………………5分xyOCTS D2F ⋅（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2).y k x =-21. （本小题满分14分）已知函数()()(),ln xxf x e ax a Rg x e x =+∈=（e 为自然对数的底数）.（I ）设曲线()1y f x x ==在处的切线为l ，若l 与点（1，0，求a 的值； （II ）若对于任意实数()0,0x f x ≥>恒成立，试确定a 的取值范围；（III ）当()()()[]11a M x g x f x e =-=-时，函数在，上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) e 1a =-+或e 1.a =-- (2) (,)e -+∞ (3)不存在 【解析】 试题分析：(1)该问切点横坐标已知,则利用切点在曲线上,带入曲线()f x 即可得到切点的纵坐标,对()f x 进行求导并得到在切点处的导函数值即为切线的斜率,有切线的斜率,切线又过切点,利用直线的点斜式即可求的切线的方程,利用点到直线的距离公式结合条件点()1,0到切线a 的值. (2)该问为恒成立问题可以考虑分离参数法,即把参数a 与x 进行分离得到xe a x >-,则maxx e a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭,再利用函数的导函数研究函数xe y x =-在区间()0,+∞的最大值,即可求的a的取值范围.(3)根据极值的定义,函数()()()'''M x g x f x =-在区间[]1,e 有零点且在零点附近的符号不同,求导可得e 1()e ln e 1(ln 1)e 1x x x x M x x x x x'=+-+=+-⋅+,设1()ln 1h x x x =+-,求()h x 求导可以得到()h x 的导函数在区间[]1,e 恒为正数,则函数()h x 在区间[]1,e 上是单调递增,即可得到函数()()10h x h ≥=进而得到()'0M x >恒成立,即()'M x 在区间[]1,e 上没有零点,进而函数()M x 没有极值.。
2021年高考数学(理)2月模拟评估卷(二)(全国1卷)(解析版)
2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（二）（全国1卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5}U =,{3,4,5}A =,{1,2,5}B =,则{}1,2=（ ） A ．ABB ．()UA B ⋂C ．()UA B ∩D ．()()UU A B ⋂【答案】B 【解析】{}5AB =,故A 不正确；(){}1,2U A B =,故B 正确；(){}3,4UAB =,故C 不正确；()()UU A B ⋂=∅,故D 不正确.故选B2．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位),则下列说法正确的是（ ）A ．z 的虚部是-iB ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【答案】C【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-.对选项A,z 的虚部是1-,故A 错误.对选项B,1z i =-为虚数,故B 错误.对选项C,z ==故C 正确.对选项D,112z z i i +=-++=,故D 错误.故选C3．设x ,y ∈R ,则“1≥x 且1y ≥”是“221x y +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为1x ≥且1y ≥,所以21x ≥且21y ≥,所以2221x y +≥>；若221x y +≥,可取0x =,1y =-,不满足1x ≥且1y ≥,所以前者是后者的充分不必要条件,故选A.4．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用2sin18︒表示.若实数n 满足224sin 184n ︒+=,则221sin188sin 18n ︒︒-=（ ） A ．14B ．12C．4D．2【答案】A【解析】根据题中的条件可得()22222221sin181sin181sin181sin188sin 188sin 184cos 188sin 368sin 1844sin 18n -︒-︒-︒-︒===︒︒⨯︒︒︒-︒()1sin181sin1811cos7241cos72482-︒-︒===-︒-︒⨯.故选A ． 5．已知非零向量a ,b 满足233a b =,且()a b b -⊥,则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【解析】因为()a b b -⊥,所以()0a b b -=,即20a b b ⋅-=,得2cos 0a b θb -=, 又因为233a b =,22cos 0b θb -=,得cos 2θ=,所以6πθ=.故选A 6．若实数x 、y 满足20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩,且2z x y =+的最小值为3,则实数b 的值（ ）A ．2B ．94C ．52D ．3【答案】B【解析】画出可行域如图所示,将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+,平移直线 2y x =-,当过点B 时,在y 轴上的截距最小,此时目标函数取得最小值,由20x y y x b-=⎧⎨=-+⎩得2()33b b B ，,则22333b b ⨯+=,解得94b =,故选B. 7．设函数()f x 和()g x 的定义域为D ,若存在非零实数c D ∈,使得()()0f c g c +=,则称函数()f x 和()g x 在D 上具有性质P .现有三组函数：①()f x x =,()2g x x =；②()2-=x f x ,()x g x e =-；③()2f x x =-,()2x g x =,其中具有性质P 的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】对于①,()()2f xg x x x +=+,则()()11110f g -+-=-+=,合乎题意；对于②,()()20x xf xg x e -+=-=,可得102xx e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即()21x e =,解得0x =,不合乎题意；对于③,()()22x f x g x x +=-+,则()()2222220f g +=-+=,合乎题意.因此,具有性质P 的是①③.故选B.8．已知锐角ϕcos 1ϕϕ-=．若要得到函数()()21sin 2f x x ϕ=-+的图象,则可以将函数1sin 22y x =的图象（ ）．A ．向左平移7π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移7π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度【答案】Acos 1ϕϕ-=知：2sin()16πϕ-=,即1sin()62πϕ-=,∴锐角3πϕ=,故()()221112sin sin cos(2)22323f x x x x ππϕ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭, 又12117cos(2)sin(2)sin(2)232626x x x πππ+=-+=+,∴17()sin(2)26f x x π=+,故()f x 是将1sin 22y x =向左平移7π12个单位长度得到,故选A9．在ABC 中,角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c ．若2cos b a A =,222a b c ab +-=,则下面式子中不可能成立的是（ ） A ．a c b << B ．a b c ==C ．c b a <<D ．223sin sin sin sin 4B A A B +-=【答案】C【解析】因为222a b c ab +-=,所以2221cos 22a b c C ab +-==,而(0,)C π∈,所以3C π=,又2cos b a A =,由正弦定理得sin 2sin cos sin2B A A A ==,,A B 是三角形内角,所以2B A =或2B A π+=,若2B A =,则由3C π=得,29A π=,49B π=,则a c b <<,A 可能成立,若2B A π+=,则由3C π=得,3A B π==,则a b c ==,B 可能成立,此时若c =则2222232cos 4a b ab C a b ab c +-=+-==,D 可能成立,只有C 不可能成立．故选C ． 10．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形,PA a =,点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC 的垂心,当三棱锥P ABC -体积最大值时,三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．3B ．23a πC ．32a D ．212a【答案】B【解析】如下图所示,延长PH 交BC 于点D ,连接AD ,H 为PBC 的垂心,则BC PD ⊥,AH ⊥平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,BC AH ∴⊥,AHPD H =,BC ∴⊥平面PAD ,AD ⊂平面PAD ,BC AD ∴⊥,连接BH 并延长交PC 于点E ,连接AE ,AH ⊥平面PBC ,PC ⊂平面PBC ,AH PC ∴⊥,BE PC ⊥,AHBE H =,PC ∴⊥平面ABE ,AB ⊂平面ABE ,AB PC ∴⊥,设点P 在平面ABC 内的射影为点O ,延长CO 交AB 于点F ,连接PF ,PO ⊥平面ABC ,AB 平面ABC ,PO AB ∴⊥,PO PC P =,AB ∴⊥平面PCF ,PF 、CF ⊂平面PCF ,则PF AB ⊥,CF AB ⊥,AD CF O =,O ∴为正ABC 的中心,且F 为AB的中点,PO ⊥平面ABC ,OA 、OB 、OC ⊂平面ABC ,PO OA ⊥,PO OB ⊥,PO OC ⊥,且OA OB OC ==,所以,POA POB POC ≅≅,PA PB PC a ∴===,当PB PC ⊥时,PBC 的面积取最大值,当PA ⊥平面PBC 时,三棱锥P ABC -的体积取得最大值,将三棱锥A PBC -补成正方体AEMN PBDC -,所以,三棱锥A PBC -的外接球的直径即为正方体AEMN PBDC -的体对角线长,设三棱锥A PBC -的外接球直径为2R ,则2R =,因此,三棱锥P ABC -的外接球的表面积为()222423R R a πππ=⨯=.故选B.11．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F,左、右顶点分别是12,A A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B,C 两点,若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）A ．12±B ．2±C ．1±D ．【答案】C 【解析】,,,,所以,根据,所以,代入后得,整理为,所以该双曲线渐近线的斜率是,故选C.12．已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-,且当[]0,3x ∈时,()2x f x xe-=,若关于x 的不等式()()20f x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解,则实数t 的取值范围是（ ） A ．120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．112,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-,所以()()()6f x f x f x -==-,即()()6+f x f x =, 所以函数()f x 是以6为周期的周期函数,当[]0,3x ∈时,()2x f x xe-=,所以()22xx f x e -'=（1-）,当02x ≤<时,()0f x '>,函数()f x 递增；当23x <≤时,()0f x '<,函数()f x 递减； 当当2x =时,函数()f x 取得极大值()2f x e=,作出函数()f x 在(3,3]-上的图象,如图所示：因为不等式()()20fx tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解,所以不等式()()20f x tf x ->在(3,3]-上有且只有3个整数解,当()0f x =时,不符合题意,故不等式()f x t >在(3,3]-上有且只有3个整数解,因为()()1322133,f e f e--==,所以()()3311f f e=>,即13f f ,故不等式()f x t >在(3,3]-上的3个整数解分别为-2,2,3,所以,()()13f f t <<,即32123t e e --<<,故选B二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13. 某工厂生产A ,B ,C 三种不同型号的产品,某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a ,现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,已知B 种型号产品抽取了60件,则a =______. 【答案】5 【解析】由题意,605120a a =+,解得5a =． 14．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ,过点Fl 交C 于A ,B 两点,以线段AB 为直径的圆交y 轴于M ,N 两点,设线段AB 的中点为Q ,若点F 到C 的准线的距离为3,则sin QMN∠的值为______． 【答案】58【解析】抛物线C ：()220y px p =>的焦点为(,0)2pF ,准线方程为2p x =-,由题意得3p =,则抛物线方程为236,(,0)2y x F =,则直线AB的方程为3)2y x =-,由23)26y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,得22731504x x -+=,设,A B 的横坐标分别为12,x x ,则125x x +=,所以AB 的中点Q的坐标为5(2,12538AB x x p =++=+=,则圆Q 的半径为4,在QMN 中,552sin 48QMN ∠==,故答案为5815．新冠疫情期间,甲､乙､丙三个家庭在某医院等候区等待核酸检测结果.等候区是6（列）×2（行）的座位.甲､乙家庭各有三人,且乙家庭有一个小孩,丙家庭有两人.现有相关规定：同一家庭的人需坐在同一行上,不同家庭的人之间不能太接近（左右不相邻）,小孩至少坐在其一位家长身边(左右相邻).则共有______种坐法. 【答案】9216【解析】由题甲、丙在一行, 乙在另一行和乙、丙在一行, 甲在另一行两类：（1）甲、丙在一行, 乙在另一行, 分4步处理如下：①先甲、丙选行,有12C 种；①再甲、丙选左右两边,有12C 种；①两边分别排甲、丙,甲、丙间隔一个位置,有3232A A 种；①排乙,乙在甲、丙另一行,又分3人相邻和只2人相邻两类,3人相邻有1343C A ,只2人相邻有122242C A A 种故共有()1132122132232242433456C C A A C A A C A +=种；（2）乙、丙在一行, 甲在另一行, 分4步处理如下①先乙、丙选行,有12C 种；①再乙、丙选左右两边,有12C 种；①两边分别排乙、丙,乙、丙间隔一个位置,有3232A A 种；①排甲,甲在乙、丙另一行,有36A 种,故共有12323223265760C C A A A =种坐法由（1）（2）共有345657609216+= 种.16．已知a ,b R ∈,满足22x x x be e a e+≥-对任意x ∈R 恒成立,当2a b +取到最小值时,2a b +=______. 【答案】24【解析】令x t e =,则0t >,所以22bt t a t+≥-,即3220t t at b -++≥对于0t >恒成立, 令32()2f t t t at b =-++()0t >,因为(2)8822f a b a b =-++=+,因为对于0t >时()0f t ≥恒成立,所以20a b +≥,当2a b +取最小值时,即20a b +=,此时在2t =时()f t 有最小值,因为函数()f t 的定义域为(0,)+∞,()202t ∈+∞=，，不是区间端点值,又在(2)f 处取得最小值,所以(2)f 也是函数的一个极小值,且2()34f t t t a '-=+,所以(2)3480f a '=⨯-+=,得4a =-,从而8b =故224a b +=.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且645,62.a S =-=- （1）求{}n a 通项公式；（2）求数列{||}n a 的前n 项和.n T解：（1）在等差数列{}n a 中,因为645,62a S =-=-, 所以1155,4662a d a d +=-+=-, 解得 120,3a d =-=,(3分)所以 1(1)323n a a n d n =+-=-.(5分) （2）令3230n a n =-≥,解得233n ≥, 当7n ≤时,0n a <,当8n ≥时,0n a >,(7分)所以当7n ≤时, ()()1221343 (2)n n n n n a a a a a T a -=-+=----++=-,(9分)当8n ≥时, 12789......n n T a a a a a a =----++++, ()()()127123432 (1542)n n n a a a a a a -=-+++++++=+,(11分) 所以()()343,72343154,82n n n n T n n n ⎧--≤⎪⎪=⎨-⎪+≥⎪⎩.(12分) 18.(12分) 在三棱柱111ABC A B C -中,1AB AC ==,1AA =AB AC ⊥,1B C ⊥平面ABC ,E 是1B C 的中点.（1）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ； （2）求直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值. 解：（1）由1B C ⊥平面ABC ,AB平面ABC ,得1AB B C ⊥,(2分)又AB AC ⊥,1CB AC C =,故AB ⊥平面1AB C ,(4分)AB 平面11ABB A ,故平面11ABB A ⊥平面1AB C .(5分)（2）以C 为原点,CA 为x 轴,1CB 为z 轴,建立如图所示空间直角坐标系, 则()0,0,0C ,()1,0,0A ,()1,1,0B又BC =11BB AA ==故11CB =,()10,0,1B ,10,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()1,0,0CA =()111,1,1AA BB ==--,11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(7分)设平面11AAC C 的一个法向量为(),,n x y z =,则100n CA n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即00x x y z =⎧⎨--+=⎩,令1y =,则1z =, ()0,1,1n =,(9分) 设直线AE 与平面11AAC C 所成的角为θ,故1sin 2n AE n AEθ⋅===即直线AE 与平面11AAC C 分)19.(12分) 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,3M ,其上､下顶点分别为点A ,B ,且直线AM ,MB 的斜率之积为34AM BM k k ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左顶点(),0Q a -作两条直线,分别交椭圆C 于另一点S ,T .若2QS QT k k +=,求证：直线ST 过定点.（1）解：①()0,A b ,()0,B b -, ①333224MA MB b b k k -+⋅=⋅=-,解得212b =, 将212b =,()2,3M 都代入椭圆方程,得216a =,①椭圆方程为2211612x y +=；(5分)（2）证明：设()11,S x y ,()22,T x y ,直线ST 的方程为y kx t =+. 将y kx t =+代入椭圆方程,整理得()2223484480kxktx t +++-=,122843kt x x k +=-+,212244843t x x k -=+,(7分) 由1212244y y x x +=++,得1212244kx t kx tx x +++=++. 整理,得()()()121222488320k x x k t x x t -++-++-=,即()()2224488224883204343t kt k k t t k k -⎛⎫-⋅++-⋅-+-= ⎪++⎝⎭. 化简,得()228316120t k t k k -+++=,即()()4430t k t k ---=.(10分)当4t k =时,直线ST 的方程为()44y kx k k x =+=+,恒过左顶点,不合题意 当43t k =+时,直线ST 的方程为()4343y kx k k x =++=++,恒过点()4,3-.∴直线ST 过定点()4,3-.(12分)20.(12分) 某电子公司新开发一电子产品,该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成,各个电子元件能否正常工作的概率均为12,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C 中有超过一半的电子元件正常工作,则G 可以正常工作,否则就需要维修,且维修所需费用为500元. (1)求系统不需要维修的概率；(2)该电子产品共由3个系统G 组成,设E 为电子产品需要维修的系统所需的费用,求ξ的分布列与期望; (3)为提高G 系统正常工作概率,在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件,每个新元件正常工作的概率均为p ,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作,则C 可以正常工作,问:p 满足什么条件时,可以提高整个G 系统的正常工作概率?解：（1）系统不需要维修的概率为23233311112222C C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2分)（2）设X 为维修维修的系统的个数,则13,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭,且500X ξ=, 所以()()3311,0,1,2,325002kkk P P k X k C k ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==.所以ξ的分布列为所以ξ的期望为()50037502E ξ=⨯⨯=. (7分) （3）当系统G 有5个电子元件时,原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作,G 系统的才正常工作. 若前3个电子元件中有1个正常工作,同时新增的两个必须都正常工作,则概率为21223113228C p p ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；若前3个电子元件中有两个正常工作, 同时新增的两个至少有1个正常工作,则概率为()()2221222323111131222228C C p p C p p p ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若前3个电子元件中3个都正常工作,则不管新增两个元件能否正常工作,系统G 均能正常工作,则概率为3331128C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为()2233131288848p p p p +-+=+, 于是由()3113214828p p +-=-知,当210p ->时,即112p <<时,可以提高整个G 系统的正常工作概率. (12分)21.(12分) 已知函数()22ln ln f x x x a x =---.（a R ∈）（1）令()()g x xf x '=,讨论()g x 的单调性并求极值； （2）令()()22ln h x f x x =++,若()h x 有两个零点；（i ）求a 的取值范围；（ii ）若方程()ln 0xxe a x x -+=有两个实根1x ,2x ,且12x x ≠,证明：12212x x e ex x +> 解：（1）因为()2ln 1x af x x x'=-- 所以()()2ln g x xf x x x a '==--,()0,x ∈+∞ 则()2x g x -'=,所以()g x 单调递减区间为()0,2,单调递增区间为()2,+∞ 极小值为()222ln 2g a =--,无极大值. (4分) （2）（i ）()ln h x x a x =-有两个零点. 因为()1a x ah x x x-'=-=①当0a ≤时,()0h x '>,()h x 单调递增,不可能有两个零点；①当0a >时,令()0h x '<,得0x a <<,()h x 单调递减；令()0h x '>,得x a >,()h x 单调递增.所以()()min ln h x h a a a a ==- 要使()h x 有两个零点,即使()0h a <,得a e >,又因为()110h =>,()0h e e a =-<,所以()h x 在()1,e 存在唯一一个零点, 且a e >,()2ee0aah a =->,所以()h x 在(),ae e上存在唯一一个零点,符合题意.综上,当a e >时,函数()h x 有两个零点. (8分) 法二：()ln h x x a x =-有两个零点.等价于1x ≠时,ln xa x =有两个实根,（1） 令()ln x F x x =,()2ln 1ln x F x x-'= 当()0,1x ∈时,()0F x '<,()F x 单调递减,且()0F x <； 当()1,x e ∈时,()0F x '<,()F x 单调递减； 当(),x e ∈+∞时,()0F x '>,()F x 单调递增；()F e e =,1x +→,()F x →+∞,x →+∞,()F x →+∞.要使（1）有两个实数根,即使()a F e e >=, 综上,当a e >时,函数()h x 有两个零点. (8分) （ii ）()()()e ln e ln e0xxxx a x x x a x x -+=->有两个实根,令e x t x =,()ln g t t a t =-有两个零点1t ,2t ,111e x t x =,222e x t x =所以1122ln 0ln 0t a t t a t -=⎧⎨-=⎩,所以()2121ln ln a t t t t -=-（1）()2121ln ln a t t t t +=+（2）要证12212x x e ex x +>,只需证()()12212x x x e x e e ⋅>,即证()()1212ln ln 2x x x e x e +>, 所以只需证12ln ln 2t t +>.由（1）（2）可得()221121212122111ln ln ln ln ln 1t t t tt t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--, 只需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-. 设120t t <<,令21t t t =,则1t >,所以只需证1ln 21t t t ->+,即证4ln 201t t +->+ 令()4ln 21h t t t =+-+,1t >,则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++, ()()10h t h >=,即当1t >时,4ln 201t t +->+成立. 所以12ln ln 2t t +>,即()()12212x x x ex e e ⋅>,即12212x x e x xe+>.(12分)(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)在直角坐标系 xOy 中,直线l 过点(0,2)P ,倾斜角为2παα⎛⎫≠⎪⎝⎭.以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为：2cos 2sin 0ρθθ-=. （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ,B 两点,M 为AB 中点,且满足||,||,||PA PM PB 成等比数列,求直线l 的斜率.解：（1）因为直线l 过点(0,2)P ,倾斜角为2παα⎛⎫≠⎪⎝⎭, 所以直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数),因为2cos 2sin ρθθ=,所以22cos 2sin ρθρθ=,所以曲线C 的直角坐标方程为：22x y =；(5分)（2）将直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数)代入22x y =可得：22cos 2sin 40t t αα--=,设A,B 所对应的参数为12,t t ,所以1212222sin 4,cos cos t t t t ααα-+=⋅=, 因为||,||,||PA PM PB 成等比数列,所以212122t t t t +⎛⎫= ⎪⎝⎭,即242sin 4cos cos ααα=, 解得2tan 4α=,tan 2α=±,故直线l 的斜率为2±. (10分) 23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)已知函数()21f x x =+,()|||21|g x x a x =---,12a ≥. （1）当12a =时,解不等式27()2g x <-；（2）对任意1x ,2x R ∈,若不等式12()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.解：（1）当12a =时,11()||21||22g x x x x =---=--,不等式27()2g x <,即217||22x --<-,即217||22x ->,解得24x >或23x <-(舍去),由24x >,解得2x <-或2x >.所以不等式27()2g x <-的解集是(,2)(2,)-∞-+∞. (5分)（2）由题意知,只需满足()min max ()g x f x ≥即可.()21f x x =+,()min 1f x ∴=,依题意,当12a ≥时,11,21()31,21,x a x g x x a x a x a x a ⎧+-<⎪⎪⎪=-++≤≤⎨⎪--+>⎪⎪⎩,由一次函数性质知,()g x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭和(),a +∞上单调递减,max 11()()22g x g a ∴==-.由()min max ()g x f x ≥,得112a -≥,即32a ≤. 所以实数a 的取值范围是：1322a ≤≤. (10分)。
2021年山东省聊城市高考数学模拟试卷(一模)
2021年山东省聊城市高考数学模拟试卷（一模）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知M ，N 为R 的两个不相等的非空子集，若M ∩(∁R N)=⌀，则下列结论错误的是( )A. ∃x ∈N ，x ∈MB. ∃x ∈N ，x ∉MC. ∀x ∈M ，x ∈ND. ∀x ∈N ，x ∈M 2. 阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球(与圆柱的两底面及侧面都相切的球)的体积等于圆柱体积的三分之二.那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为( )A. 12B. 13C. 23D. 34 3. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(−1,3)，c ⃗ =(2,1)，且(a ⃗ −λb ⃗ )//c ⃗ ，则λ=( )A. 3B. −3C. 17D. −174. 如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右支与直线x =0，y =4，y =−2围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为10√33，下底外直径为2√393，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. 2C. √3D. 35. 2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京隆重举行，会上习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚取得了全面胜利，同时要切实做好巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接各项工作.某县扶贫办积极响应党的号召，准备对A 乡镇的三个脱贫村进一步实施产业帮扶.现有“特色种养”、“庭院经济”、“农产品加工”三类帮扶产业，每类产业中都有两个不同的帮扶项目，若要求每个村庄任意选取一个帮扶项目(不同村庄可选取同一个项目)，那么这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业的概率为( )A. 29B. 16 C. 13D. 256. 若正实数a ，b 满足a +b =1，且a >b ，则下列结论正确的是( )A. ln(a −b)>0B. a b <b aC. √a +√b >√2D. 1a +1b >47. 已知圆C ：x 2+y 2=1，直线l ：x +y +2=0，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点( )A. (−12,−12)B. (−1,−1)C. (−12,12)D. (12,−12)8. 已知函数f(x)={2x ,x ≤0,lnx,x >0,g(x)=|x||x −2|，若方程f(g(x))+g(x)−m =0的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围为( )A. m >1B. m ≥1C. m <1D. m ≤1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 若m ∈R ，则复数m+i1−i 在复平面内所对应的点可能在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10. 某学校为了解高一、高二学生参加体育活动的时间情况，分别统计了这两个年级学生某周的活动时间，并制成了如图所示的条形图进行比较.则下列说法中正确的是( )A. 高二年级学生周活动时间的众数比高一年级的大B. 高二年级学生周活动时间的平均值比高一年级的小C. 高二年级学生周活动时间的中位数比高一年级的大D. 高二年级学生周活动时间的方差比高一年级的小11. 若函数f(x)=2sin(ωx −π3)+1(ω>0)在[0,π]上恰有三个零点，则( )A. ω的取值范围为[136,72) B. f(x)在[0,π]上恰有两个极大值点 C. f(x)在(0,π2)上无极小值点D. f(x)在[0,π4]上单调递增12. 如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1=√3，BD =1，直线A 1C 1与BD 所成的角为60°，AA 1=2√2，三棱锥A 1−BC 1D 的体积为12，则( )A. 四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面积为34 B. 四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积为32C. 四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的侧棱与底面所成的角为45°D. 三棱锥A 1−ABD 的体积为12三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知cos(x −π10)=−45，则sin(2x +3π10)= ______ ．14. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，A ，B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，若A ，F ，B 三点共线，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，则p = ______ ． 15. 已知数列{a n }满足a 1+a 2=2，a n+2−a n =1+cosnπ，则数列{a n }的前100项的和等于______ ． 16. 如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上运动(不与A ，B 重合)，PA ⊥平面ABC ，若AB =2，二面角A −BC −P 等于60°，则三棱锥P −ABC 体积的最大值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①a=4，②△ABC的周长为9，③△ABC的外接圆直径为16√1515，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且sinBsinC =23,cosA=−14，____，求△ABC的面积．18.在数列{a n}中，a1=1,a n+1=a nca n+1(c>0)，且a1，a2，a5成等比数列．(1)证明数列{1a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=(4n2+1)a n a n+1，其前n项和为S n，证明：S n<n+1．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，M是棱PC的中点，点N在棱PB上，且MN⊥PB．(1)求证：PA//平面BMD；(2)若AD=2CD，直线PC与平面ABCD所成的角为60°，求平面DMN与平面PAD所成的锐二面角的余弦值．20.为了对学生进行劳动技术教育，培养正确的劳动观点和态度，养成自立、自强、艰苦奋斗的思想作风，加强理论联系实际，使学生掌握一定的生产知识和劳动技能，某学校投资兴建了甲、乙两个加工厂，生产同一型号的小型电器，产品按质量分为A，B，C三个等级，其中A，B等级的产品为合格品，C 等级的产品为次品.质监部门随机抽取了两个工厂的产品各100件，检测结果为：甲厂合格品75件，甲、乙两厂次品共60件．(1)根据所提供的数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与生产厂产品必须销毁，且销毁费用为每件4元.若甲、乙两厂抽到的产品中各有10件为A级产品，用样本的频率代替概率，分别说明甲，乙两厂是否盈利．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(0,3)，离心率为√22．(1)求C的方程；(2)直线l：y=kx−1椭圆C相交于A，B两点，求|MA|⋅|MB|的最大值．22.已知函数f(x)=x2−axlnx+1x．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若2f(x)+3ln2>5，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为M ，N 为R 的两个不相等的非空子集，且M ∩(∁R N)=⌀， 所以M ⊆N ，所以∃x ∈N ，x ∈M ，选项A 正确； 所以∃x ∈N ，x ∉M ，选项B 正确； 所以∀x ∈M ，x ∈N ，选项C 正确；由∃x ∈N ，x ∉M 知，∀x ∈N ，x ∈M 错误，选项D 错误． 故选：D ．根据M ，N 为R 的两个不相等的非空子集，且M ∩(∁R N)=⌀知M ⊆N ，再判断选项中的命题是否正确． 本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题． 2.【答案】C【解析】解：设球的半径为R ， 则圆柱的底面半径为R ，高为2R ， ∴V 圆柱=πR 2×2R =2πR 3，V 球=43πR 3．∴V 球V 圆柱=43πR 32πR 3=23． 故选：C ．设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，分别求出圆柱及其内切球的体积，作比得答案． 本题考查球和圆柱的体积计算，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】C【解析】解：因为a ⃗ −λb ⃗ =(1+λ,1−3λ)，又因为(a ⃗ −λb ⃗ )//c ⃗ ， 所以1×(1+λ)−2×(1−3λ)=7λ−1=0，解得λ=17， 故选：C ． 利用(a ⃗ −λb ⃗ )//c ⃗ ，列出含λ的方程求解即可． 本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题 4.【答案】B【解析】解：由题意可知M(5√33,4)，N(√393,−2)， 故双曲线C 经过M ，N 两点，则{(5√33)2a 2−16b 2=1(√393)2a 2−4b 2=1，解得a =√3，b =3，所以c =√a 2+b 2=2√3， 则双曲线的离心率为e =ca=2√3√3=2，故选：B ．由已知得出点M ，N 的坐标，然后代入双曲线方程求出a ，b 的值，由此求出c 的值，即可求解． 本题考查了双曲线的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．【解析】解：设“特色种养”中的两个帮扶项目为A ，B ，“庭院经济”中的两个帮扶项目为C ，D ，“农产品加工”中的两个帮扶项目为E ，F ，所以三个村庄总的方案为6×6×6=216种，按照题目要求，每个项目仅有一个村庄，则共有8×6=48种， 所以这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业的概率为48216=29． 故选：A ．先求出总的事件数，然后通过列举分析，求出符合条件的事件数，由古典概型的概率公式求解即可． 本题考查了概率问题的求解，解题的关键是求出总的事件数和符合条件的事件数，考查了古典概型概率公式的求解，属于中档题． 6.【答案】D【解析】解：因为正实数a ，b 满足a +b =1，且a >b ，所以12<a <1，0<b <12， 所以0<a −b <1，所以ln(a −b)<0，故A 错误；由指数函数的性质可得a b >a a ，由幂函数的性质可得a a >b a ， 所以a b >b a ，故B 错误；当a →1时，b →0，则√a +√b →1<√2，故C 错误；1a+1b=(1a+1b)(a +b)=2+a b+b a>2+2√a b⋅ba=4，故D 正确．故选：D ．由题意可得12<a <1，0<b <12，利用对数的性质即可判断选项A ，利用指数函数与幂函数的性质即可判断选项B ；利用极限法即可判断选项C ；利用基本不等式即可判断选项D ．本题主要考查不等式的基本性质，基本不等式的应用，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题． 7.【答案】A【解析】解：根据题意，P 为直线l ：x +y +2=0上的动点，设P 的坐标为(t,−2−t)， 过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA ⊥AC ，PB ⊥BC ， 则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C(0,0)，P(t,−2−t)，则以PC 为直径的圆的方程为x(x −t)+y(y +2+t)=0， 变形可得：x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，则有{x 2+y 2=1x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，联立可得：1−tx +(t +2)y =0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，即直线AB 的方程为1+2y −t(x −y)=0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，则有{1+2y =0x −y =0，解可得{x =−12y =−12，故直线AB 过定点(−12,−12)， 故选：A ．根据题意，设P 的坐标为(t,−2−t)，由圆的切线性质可得PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，则有点A 、B 在以PC 为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆C 的方程联立可得直线AB 的方程，将其变形分析可得答案． 本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆方程的综合应用，属于中档题．【解析】解：令t=g(x)，则t≥0，当m=1时，方程即：f(t)+t−1=0，即f(t)=1−t(t≥0)，由函数图像可得方程有一个根为t=1，另一个根为t=0，即：|x(x−2)|=0或|x(x−2)|=1．结合函数y=|x(x−2)|的图像可得所有根的和为5，不合题意．选项BD错误．当m=0时，方程即：f(t)+t=0，即f(t)=−t(t≥0)，由函数图像可得方程有一个根0<t<1．即：|x(x−2)|=t(0．结合函数y=|x(x−2)|的图像可得所有根的和为4，满足题意．选项A错误．事实上，同理可得当m>1时方程的所有根的和为2．故选：C．由题意对m给出特殊值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的选项．本题主要考查分段函数的性质及其应用，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．9.【答案】ABC【解析】解：因为m+i1−i =(m+i)(1+i)(1−i)(1+i)=m−1+(m+1)i2，当m>1时，复平面内对应的点在第一象限，当−1<m<1时，复平面内对应的点在第二象限，当m<−1时，复平面内对应的点在第三象限，故选：ABC．把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，然后结合m的范围确定z对应点的象限．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10.【答案】ACD【解析】解：对于A，高二年级的学生周活动时间的众数为5，高一年级的学生周活动时间的众数为4，所以高二年级学生周活动时间的众数比高一年级的大，故选项A正确；对于B，高一年级学生周活动时间的平均值为：0.25×3+0.30×4+0.20×5+0.25×6=4.45，高二年级学生周活动时间的平均值为：0.15×3+0.25×4+0.35×5+0.25×6=4.7，所以高二年级学生周活动时间的平均值比高一年级的大，故选项B错误；对于C，高一年级学生周活动时间3，4对应的频率为0.25+0.30>0.5，故中位数为4，同理高二年级学生周活动时间的中位数为5，所以高二年级学生周活动时间的中位数比高一年级的大，故选项C正确；对于D，方差表示数据离散程度，高一年级学生周活动时间的频率分布比较平均，数据比较分散，故方差更大一点，故高二年级学生周活动时间的方差比高一年级的小，故选项D正确．故选：ACD．利用频率分布直方图中众数、中位数、平均数以及方差的计算方法进行求解，即可判断．本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中中位数、众数、平均数的求解方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．11.【答案】AC【解析】解：函数f(x)=2sin(ωx−π3)+1(ω>0)在[0,π]上恰有三个零点，即sin(ωx−π3)=−12，在[0,π]上恰有3个解．当x∈[0,π]，ωx−π3∈[−π3,ωπ−π3]，∴2π−π6≤ωπ−π3<3π+π6，求得136≤ω<72，故A正确；f(x)在[0,π]上至少有一个极大值，至多2个极大值，故B错误；当x∈(0,π2)，ωx−π3∈(−π3,12⋅ωπ−π3)，f(x)上无极小值，故C正确；当x∈[0,π4]，ωx−π3∈(−π3,14⋅ωπ−π3)，f(x)不一定单调，故D 不一定正确，故选：AC．由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：选项A：连接AC，AC=A1C1=√3，而AC//A1C1且A1C1与BD的夹角为60°，所以S四边形ABCD =12AC⋅BD⋅sin60°=34，故选项A正确；选项B：因为四棱柱的体积与其内接四面体的体积比为3：1，所以四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为3V A1−BC1D1=32，故选项B正确；选项C：设四棱柱的高为h，由选项B可知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为32=S四边形ABCD⋅ℎ，所以ℎ=2，设侧棱与底面夹角为α，则ℎ=sinα⋅AA1=2，解得α=45°，故选项C正确；选项D ：三棱锥A 1−ABD 的体积为13⋅12S ABCD ×ℎ=13×38×2=14，故选项D 不正确． 故选：ABC ．选项A 根据S 四边形ABCD =12AC ⋅BD ⋅sin60°进行判定；选项B 根据四棱柱的体积与其内接四面体的体积比为3：1求出四棱柱的体积，从而可判定；选项C 先求出四棱柱的高h ，设侧棱与底面夹角为α，根据ℎ=sinα⋅AA 1，可求出α，从而可判定；选项D 根据三棱锥的体积公式进行求解即可判定．本题主要考查了棱柱、棱锥的体积计算，以及线面角的求解，同时考查了数形结合的思想和转化能力，属于中档题．13.【答案】725【解析】解：∵cos(x −π10)=−45，∴cos(2x −π5)=2cos 2(x −π10)−1=2×(−45)2−1=725， ∴sin(2x +3π10)=sin[(2x −π5)+π2]=cos(2x −π5)=725． 故答案为：725．先由二倍角公式可得cos(2x −π5)=725，而2x +3π10=(2x −π5)+π2，再利用诱导公式，即可得解． 本题考查二倍角公式和诱导公式的应用，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 14.【答案】2【解析】解：由题可知，直线AB 的斜率不为0， 故可设直线方程为x =my +p 2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x =my +p2y 2=2px，可得y 1y 2=−p 2，x 1x 2=(y 1y 2)24p =p 24， 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，所以x 1x 2+y 1y 2=−3， 即p 2=4，所以p =2(负值舍去)． 故答案为：2．由题可知，直线AB 的斜率不为0，设直线方程为x =my +p2，联立抛物线方程结合OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，即可求出p 的值．本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了计算能力，属于基础题． 15.【答案】2550【解析】解：∵a n+2−a n =1+cosnπ，a 1+a 2=2，∴当n =2k −1(k ∈N ∗)时，有a 2k+1−a 2k−1=1+cos[(2k −1)π]=0； 当n =2k(k ∈N ∗)时，有a 2k+2−a 2k =1+cos(2kπ)=2，∴数列{a 2n−1}是每项均为a 1的常数列，数列{a 2n }是首项为a 2，公差为2的等差数列， ∴S 100=50a 1+50a 2+50×492×2=50(a 1+a 2)+50×49=100+2450=2550，故答案为：2550．先由题设推导出：a2k+1−a2k−1=0，a2k+2−a2k=2，k∈N∗，进而说明数列{a2n−1}是每项均为a1的常数列，数列{a2n}是首项为a2，公差为2的等差数列，再利用分组求和法求得结果即可．本题主要考查数列的递推关系式在求数列的通项公式中的应用、等差数列的定义、分组求和法在求数列的和中的应用，属于中档题．16.【答案】89【解析】解：因为C在半圆上，AB为直径，所以AC⊥BC，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，PA⊥AC，又因AC∩PC=C，所以BC⊥面PAC，所以BC⊥PC，所以二面角A−BC−P的平面角为∠PCA=60°，设AC的长度为x(0<x<2)，则在直角三角形ABC中，BC=√4−x2，同理可得PA=√3x，所以三棱锥P−ABC体积V P−ABC=13S△ABC⋅PA=16√4−x2⋅√3x=√36x2√4−x2，令a=x2(0<a<4)，则V P−ABC=√36a√4−a，令f(a)=a2(4−a)，(0<a<4)，f′(a)=8a−3a2，当0<a<83时，f′(a)>0，f(a)单调递增；当83<a<4时，f′(a)<0，f(a)单调递减，所以当a=83时，f(a)取最大值25627，即√36a√4−a取最大值89．故答案为：89．先求二面角A−BC−P的平面角，设AC的长度为x(0<x<2)，然后根据V P−ABC=13S△ABC⋅PA用x表示出体积，再利用导数研究函数的最值即可．本题主要考查了二面角的判定，以及三棱锥的体积计算，同时考查了利用导数研究函数的最值，以及运算求解的能力，属于中档题．17.【答案】解：在△ABC中，由sinBsinC =23及正弦定理，得bc=23，设b=2k，c=3k，则a2=b2+c2−2bccosA=16k2，所以a=4k．由cosA=−14，得sinA=√1−cos2A=√154，选①：由a=4，得k=1，由此可得b=2，c=3，所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×3×√154=3√154．选②：由a+b+c=9，得9k=9，解得k=1，由此可得b=2，c=3，所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×3×√154=3√154．选③：由△ABC的外接圆直径为16√1515，得a=2RsinA=16√1515×√154=4，由a=4，得k=1，由此可得b=2，c=3，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×2×3×√154=3√154．【解析】由正弦定理可得b ，c 的关系，然后结合余弦定理可求出a ，结合同角基本关系可求sin A ， 选①：由a 的值直接求出b ，c ，然后直接代入三角形的面积公式即可求解；选②：由a +b +c 的值可求出a ，b ，c ，然后直接代入三角形的面积公式即可求解； 选③：由正弦定理先求a ，进而求出b ，c ，然后直接代入三角形的面积公式即可求解；本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题． 18.【答案】证明：(1)由a n+1=a n ca n +1,得1a n+1=1a n +c ，即1a n+1−1a n=c ， 所以数列{1a n}是等差数列，其公差为c ，首项为1，………………………………(2分)因此，1a n=1+(n −1)c,a n =11+(n−1)c ，………………………………………(3分)由a 1，a 2，a 5成等比数列，得a 22=a 1a 5，即(1c+1)2=1×14c+1，解得c =2或c =0(舍去)，故a n =12n−1.…………………………………………………(6分) (2)因为b n =4n 2+14n 2−1=1+2(2n−1)(2n+1)=1+12n−1−12n+1，……………………(8分)所以S n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =n +(1−13+13−15+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1)=n +1−12n+1，………(11分) 因为12n+1>0，所以S n <n +1.…………………………………………………(12分)【解析】(1)利用已知条件推出数列{1a n}是等差数列，其公差为c ，首项为1，求出通项公式，结合由a 1，a 2，a 5成等比数列，转化求解即可．(2)化简通项公式，利用裂项消项法，求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 19.【答案】(1)证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OM ，因为四边形ABCD 是矩形，所以AO =OC ， 又因为PM =MC ，所以OM//PA ，……………………(2分)又因为PA ⊄平面BMD ，OM ⊂平面BMD ，所以PA//平面BMD.……………………………………(5分)(2)解：由已知得DA ，DC ，DP 两两垂直，以点D 为原点建立如图所示的坐标系，因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PCD 就是直线PC 与平面ABCD 所成的角，所以∠PCD =60°，故DP =√3DC.设CD =1，则D(0,0,0),C(0,1,0),P(0,0,√3),B(2,1,0)，M(0,12,√32)，于是DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,√32),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−√3).………(6分)设PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,λ,√3−√3λ),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,λ−12,√32−√3λ)，由MN ⊥PB ，得MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即4λ+λ−12−√3(√32−√3λ)=0， 解得λ=14，所以DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,14,3√34).………………………………………………(8分)设平面DMN的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y，z)，则由{m⃗⃗⃗ ⋅DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m⃗⃗⃗ ⋅DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{12y+√32z=0,12x+14y+3√34z=0,令z=−1，得m⃗⃗⃗ =(√3,√3,−1)，…(10分)又平面PDA的一个法向量为n⃗=(0,1，0)，…………………………………………(11分)所以cos〈m⃗⃗⃗ ,n⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |=√3√7=√217．所以平面DMN与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为√217.…………………(12分)【解析】(1)连结AC交BD于点O，连结OM，证明OM//PA，然后推出PA//平面BMD．(2)DA，DC，DP两两垂直，以点D为原点建立如图所示的坐标系，说明∠PCD就是直线PC与平面ABCD 所成的角，求出平面DMN的一个法向量，平面PDA的一个法向量利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．合格品次品合计甲厂7525100乙厂6535100合计14060200因为K2=200×(75×35−65×25)2100×100×140×60≈2.38<3.841，……………………………(4分)所以没有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关．…………………………(6分)(2)对于甲厂，抽到的100件产品中有A等级产品10件，B等级产品65件，C等级产品25件，设生产一件产品的利润为X元，则X可能取得的值为30，10，−34，X的分布列为：X3010−34P0.10.650.25因为E(Y)=30×0.1+10×0.65+(−34)×0.25=1>0，所以甲厂能盈利．………………………………………………………………………(9分)对于乙厂，抽到的100件产品中有A等级产品10件，B等级产品55件，C等级产品35件，Y Y3010，−34，Y的分布列为：X3010−34P0.10.550.35因为0，所以乙厂不能盈利．……………………………………………………………………(12分)【解析】(1)利用已知条件填写2×2列联表，求解k 2，判断是否有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关．(2)对于甲厂，X 可能取得的值为30，10，−34，求出X 的分布列与期望E(Y)即可判断甲厂是否盈利；对于乙厂，Y 可能取得的值为30，10，−34，Y 的分布列求解期望，即可判断乙厂是否盈利． 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验思想的应用，是中档题．21.【答案】解：(1)由已知得{9b=1,a 2−b 2a 2=12,解得a =3√2,b =3， 因此椭圆C 的方程为x 218+y 29=1.……………………………………………………(4分)(2)由{x 218+y 29=1,y =kx −1,得(2k 2+1)x 2−4kx −16=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k2k 2+1,x 1x 2=−162k 2+1.………………………(6分)因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(y 1−3)(y 2−3)=x 1x 2+(kx 1−4)(kx 2−4)=(k 2+1)x 1x 2−4k(x 1+x 2)+16=−16(k 2+1)2k 2+1−4k ×4k 2k 2+1+16=0，所以MA ⊥MB ，三角形MAB 为直角三角形，设d 为点M 到直线l 的距离，故|MA||MB|=|AB|=d.……………………………(8分) 又因为d =√1+42，|AB|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)[(4k 2k 2+1)2−4×−162k 2+1]=4√(1+k 2)(9k 2+4)2k 2+1，所以|MA||MB|=16√9k2+42k 2+1，…………………………(10分)设2k 2+1=t ，则|MA||MB|=16√818−12(1t −92)2，由于1t ∈(0,1],所以|MA||MB|≤32，当1t =1，即k =0时，等号成立．因此，|MA||MB|的最大值为32.……………………………………………………(12分)【解析】(1)利用椭圆结果的点，以及离心率求解a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数列；推出三角形MAB 为直角三角形，设d 为点M 到直线l 的距离，得到|MA||MB|=|AB|=d ，利用点到直线的距离以及弦长公式，推出|MA||MB|的表达式，然后求解最大值即可．本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)f(x)=x +1x −alnx,f(x)的定义域为(0.+∞)，f′(x)=1−1x 2−ax =x 2−ax−1x 2，令f′(x)>0，解得x >a+√a2+42，令f′(x)<0，解得0<x <a+√a2+42，所以函数f(x)在(0,a+√a2+42)内单调递减，在(a+√a2+42,+∞)内单调递增；(2)设a+√a2+42=x 0，则由(1)得x 02−ax 0−1=0，即a =x 0−1x 0， 且f(x)在(0,x 0)内单调递减，在(x 0,+∞)内单调递增，因此，f(x)min =f(x 0)=x 0+1x 0−alnx 0=x 0+1x 0−(x 0−1x 0)lnx 0=x 0+1x 0−x 0lnx 0+lnx 0x 0，设g(x)=x +1x −xlnx +lnx x，则由2f(x)+3ln2>5，得f(x)>5−3ln22，即f(x)min >5−3ln22，从而g(x 0)>5−3ln22，g′(x)=1−1x 2−(1+lnx)+1−lnx x 2=−(1+1x 2)lnx ，令g′(x)=0，得x =1，因为当0<x <1时，g′(x)>0，当x >1时，g′(x)<0， 所以g′(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+∞)内单调递减， 又因为g(2)=g(12)=5−3ln22，所以由g(x 0)>5−3ln22，解得12<x 0<2，又因为a =x 0−1x 0，所以−32<a <32．【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)设a+√a2+42=x 0，得到a =x 0−1x 0，根据函数的单调性求出f(x)的最小值，设g(x)=x +1x −xlnx +lnx x，根据函数的单调性求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是难题．。
山东省滨州市2021届新高考数学模拟试题含解析
山东省滨州市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点FC 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） AB．C．D．【答案】C 【解析】 【分析】联立方程解得M(3，，根据MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF 是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案. 【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM 的方程是y－1)．由214y y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得x ＝13或x ＝3. 由M 在x 轴的上方得M(3，，由MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形 点M 到直线NF的距离为4=故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( ) A ．8 B ．4C．D ．6【答案】A 【解析】 【分析】作出可行域，由2(0,0)z ax by a b =+>>，可得22a z y x b b =-+.当直线22a z y x b b=-+过可行域内的点()1,1B 时，z 最大，可得22a b +=.再由基本不等式可求416a b +的最小值. 【详解】作出可行域，如图所示由2(0,0)z ax by a b =+>>，可得22a z y x b b=-+. 平移直线22a z y x b b =-+，当直线过可行域内的点B 时，2zb最大，即z 最大，最大值为 2. 解方程组3200x y x y --=⎧⎨-=⎩，得()1,1,11x B y =⎧∴⎨=⎩. 22(0,0)a b a b ∴+=>>.22224164424424248a b a b a b a b +∴+=+≥⨯===，当且仅当244a b =，即12,1222a a b a b b =⎧=⎧⎪⎨⎨+==⎩⎪⎩时，等号成立.416a b ∴+的最小值为8.故选：A . 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查基本不等式，属于中档题.3．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为，即命题是错误，则是正确的；在边长为4的正方形内任取一点，若的概率为，即命题是正确的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案是正确的，应选答案B 。
2021年山东省日照市中考数学试卷及答案(word解析版)
山东日照初中学业考试数学试卷本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页,满分120分，考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案.只答在试卷上无效．2.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（选择题40分）一、选择题:本大题共12小题，其中1-8题每小题3分，9-12题每小题4分，满分40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 1.计算-22+3的结果是A ．7B ．5C ．1-D ． 5- 答案：C解析：原式＝－4＋3＝－1，选C 。
2.下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是答案：A解析：A 中，等边三角形底边的中算线为对称轴，是轴对称图形，其它都不是轴对称图形。
3.如图，H7N9病毒直径为30纳米（1纳米=10-9米），用科学计数法表示这个病毒直径的大小,正确的是 A.30×10-9米 B. 3.0×10-8米 C. 3.0×10-10米 D. 0.3×10-9米 答案：B 解析：科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．30纳米＝30×10－9＝3.0×10-8米 4.下列计算正确的是 A.222)2(a a =- B.632a a a ÷= C.a a 22)1(2-=-- D.22a a a =⋅答案：C解析：因为.22(2)4a a -=， 633a a a ÷=，23a a a ⋅=，故A 、B 、D 都错，只有C 正确。
2023年新高考数学临考题号押题第2题 复数(新高考)(解析版)
押新高考卷2题
复
数
考点3年考题
考情分析
复数
2022年新高考Ⅰ卷第2题2022年新高考Ⅱ卷第2题
2021年新高考Ⅰ卷第2题2021年新高考Ⅱ卷第1题2020年新高考Ⅰ卷第2题2020年新高考Ⅱ卷第2题
高考对复数知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练复数基础知识点，包括复数的代数形式，复数的实部与虚部，共轭复数，复数模长，复数的几何意义及四则运算．纵观近几年的新高考试题，均以复数的四则运算为切入点，考查复数的四则运算、共轭复数及几何意义．可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕复数的四则运算为背景展开命题．
1.虚数单位：i ，规定12-=i
2.虚数单位的周期4
=T 3.复数的代数形式：Z=(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部4.复数的分类
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧⎩⎨⎧=≠≠⎩⎨⎧===+=000
00
00
a b b b a b bi a z 纯虚数：虚数：：实数：5.复数相等：,,21di c Z bi a Z +=+=若则,21Z Z =d
b c a ==,6.共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；
(),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，
()()()2
22
22
2b a z z b a bi a bi a bi a z z +=⋅+=-=-+=⋅结论：推广：7.复数的几何意义：复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应
复平面内的点(,)
Z a b
8.复数的模：()R b a bi a Z ∈+=,，
则||z a bi =+=；。
黄金卷04备战2023年高考数学模拟卷(新高考专用)(解析版)
【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷04（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数132z =-的共轭复数为z ，则||z z +=（ ）A ．132-B ．132C ．132D ．132- 【答案】B【分析】先分别求得||z z 、，再去求||z z +即可解决. 【详解】复数13i 22z =-+的共轭复数13=i 22z --复数13i 22z =-+的模2213122z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则1313||i 1i 2222z z +=--+=-故选：B2．已知集合{}，2|log 1B x x =<，则（ ） A ．{}|1A B x x =< B ．A B =RC ．{}|1A B x x =<D ．{}|01A B x x ⋂=<<【答案】D【分析】求出集合B 后再逐项计算，从而可得正确的选项. 【详解】集合{}|1A x x =<，{}{}2|log 12|0B x x x x =<<=<，{}|01A B x x ∴=<<，故A 错误，D 正确；{}|2A B x x =<，故B ，C 错误． 故选：D ．3．若tan 1α=，则sin2cos2αα-=（ ）A ．15-B ．14C ．12D ．1【答案】D【分析】根据二倍角公式结合同角三角函数的基本关系求解，将所求式子写成分母为1的形式，用22sin cos 1αα+=进行代换，分子、分母同时除以2cos α，然后把tan α的值代入求值即可．【详解】222222222sin cos cos sin 2tan 1tan 2111sin2cos21sin cos tan 111ααααααααααα-+-+⨯-+-====+++．故选：D ．理想情况下的最大v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度．己知某实验用的单级火箭模型结构质量为a kg ，若添加推进剂3a kg ，火箭的最大速度为2.8/s km ，若添加推进剂5a kg ，则火箭的最大速度约为（参考数据：ln20.7,ln3 1.1≈≈)（ ） A ．4.7/s km B ．4.2/s km C ．3.6/s km D ．3.1/s km【答案】C【分析】由题目条件求出公式1201ln m m v v m +=中的0v ，再把题中信息代入公式即可得到答案. 【详解】由题目条件知0032.8ln ln 4a a v v a +==，则0 2.8 2.82ln 42ln 2v ===. 所以()005ln ln 62ln 2ln 3 3.6a av v v a+===+=. 故选：C.5．已知各项为正的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()214n n S a =+，则3n na +的最小值为（ ） A ．92B ．4C ．3D ．2【答案】D 【分析】由()2114n n S a =+结合1n n n a S S --=求出n a ，从而求得n S ，由此求出263n nS a ++的表达式，利用基本不等式即可求得答案． 【详解】各项为正的数列{},0n n a a >，()2114n n S a =+， 2n ∴时，()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+， 即()221120n n n n a a a a ----+=，化为：()()1120n n n n a a a a --+--=，10n n a a -+>，12n n a a -∴-=，又()211114a a =+，解得11a =， ∴数列{}n a 是等差数列，首项为1，公差为2．()12121n a n n ∴=+-=-，221(211)4n S n n ∴=-+=，()2226263441221223213111n n S n n n n a n n n n +++∴===++-+⋅-=+-++++，当且仅当1n =时取等号， 263n n S a +∴+的最小值为2． 故选：D ．6．在四面体ABCD 中,AB BC ⊥,24AB =,10BC =,132AD =,45ACD ∠=,则四面体ABCD 外接球的表面积为( ) A ．676π B ．6763πC ．169πD ．1693π【答案】A【分析】通过解三角形，分析出两个直角三角形从而获解【详解】因为,24,10AB BC AB BC ⊥==,所以2226AC AB BC =+=在ACD 中,由正弦定理得sin sin AD ACACD ADC=∠∠,即13226sin 22ADC =∠ 所以sin 1ADC ∠=,所以90ADC ︒∠=取AC 的中点O ,可知O 为四面体ABCD 外接球的球心,外接球的半径1132R AC == 所以四面体ABCD 外接球的表面积24676S R ππ== 故选：A．已知抛物线:4C y x =，焦点为F ，点M 是抛物线C 上的动点，过点F 作直线()1210a x y a -+-+=的垂线，垂足为P ，则MF MP +的最小值为（ ）A 52-B 32-C ．5 D ．3【答案】A【分析】由条件确定点P 的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求MF MP +的最小值. 【详解】∵ 抛物线C 的方程为24y x =， ∴ (1,0)F ，抛物线C 的准线方程为=1x -，∵ 方程()1210a x y a -+-+=可化为()1(1)2y a x -=--， ∴()1210a x y a -+-+=过定点(2,1)B ，设(,)P x y ，设,F B 的中点为A ，则31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，因为FP BP ⊥，P 为垂足，∴1222PA FB ==，所以22311222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点P 的轨迹为以A 为圆心，半径为22的圆， 过点M 作准线=1x -的垂线，垂足为1M ，则1MM MF =, ∴ 1=MF MP MM MP ++,，又22MP MA ≥-，当且仅当,,M P A 三点共线且P 在,M A 之间时等号成立，∴ 122MF MP MM MA +≥+-， 过点A 作准线=1x -的垂线，垂足为1A ，则115=2MM MA AA +≥,当且仅当1,,A M A 三点共线时等号成立， ∴ 522MF MP -+≥，当且仅当1,,,A M P A 四点共线且P 在,M A 之间时等号成立， 所以MF MP +的最小值为522-， 故选：A.8．已知函数()sin cos sin21f x x x x =+--，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 是以π为周期的函数 B ．2x π=是曲线()y f x =的对称轴C ．函数()f x 222D ．若函数()f x 在()0,M π上恰有2021个零点，则202110112M < 【答案】B【分析】结合周期函数的定义证明()()f x f x π+=后判断A ，由对称性判断B ，在[0,]x π∈上分类讨论去掉绝对值符号求函数的最大值和最小值判断C ，根据周期性研究()f x 在(0,]π上零点个数后可得参数范围，从而判断D ．【详解】因为()()f x f x π+=，所以()f x 是以π为周期的函数，A 正确；又()()sin cos sin21f x x x x f x π-=++-≠，B 错误； 由A 知只需考虑()f x 在[0,]π上的最大值．①当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令sin cos 2sin 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()()21,2,t f x t t u t ⎡⎤∈=-+=⎣⎦，易知()u t 在区间[1,2]上单调递减，所以，()f x 的最大值为()10u =，最小值为()22 2.u=-②当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令sin cos 2sin 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()()21,2,2t f x t t v t ⎡⎤∈=+-=⎣⎦，易知()v t 在区间[1,2]上单调递增，所以，()f x 的最大值为()22v=，最小值为()10.v =综合可知：函数()f x 的最大值为2，最小值为22,C -正确；因为()f x 是以π为周期的函数，可以先研究函数()f x 在(]0,π上的零点个数，易知()0.f π=当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，令()()20f x u t t t ==-+=，解得0=t 或1，2sin 04t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上无解，2sin 14t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上仅有一解2x π=．当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()()220f x v t t t ==+-=，解得2t =-或1．2sin 24t x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上无解，2sin 14t x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上也无解．综合可知：函数()f x 在(]0,π上有两个零点，分别为2x π=和.x π=又因为()f x 是以π为周期的函数，所以，若*n ∈N ，则()f x 在(]0,n π上恰有2n 个零点． 又已知函数()f x 在()0,M π上恰有2021个零点，所以20211011,D 2M <正确． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期性，对称性，最值，零点等问题，对于最值问题，解题关键是结合周期性根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后结合三角函数性质得出最值．零点问题也是在一个周期内研究即可得．符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若0a b >>，则()*N n n a b n >∈B ．若22ac bc >，则22a b c c> C ．若a b >，则11a b <D ．若a b >，c d >，则ac bd >【答案】AB【分析】利用不等式的性质，逐个判断命题的真假.【详解】对于A ，若0a b >>，当*N n ∈时，由不等式的性质，有n n a b >，故A 正确； 对于B ，由题意得0c ≠，有40c >，若22ac bc >，则4224a c c bc c>，即22a b c c >，故B 正确；对于C ，不妨取1,1a b ==-，满足a b >，但11a b>，故C 错误； 对于D ，若a b >，c d >，不妨取2,1,1,2a b c d ===-=-，则ac bd =，故D 错误， 故选：AB10．已知函数()()()cos 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<在5π12x =处取得极小值2-，与此极小值点最近的()f x 图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．将2sin2y x =的图象向左平移23π个单位长度即可得到()f x 的图象C ．()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在区间0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域为3⎡-⎣ 【答案】ACD【分析】利用三角函数的图象性质以及图象的平移变换即可一一判断求解. 【详解】第一步：根据余弦函数的图象与性质求出A ，ω，ϕ的值，判断A 选项 A 选项：由题知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ， 则5πππ41264T =-=，∴2ππT ω==，∴2ω=.（三角函数图象的相邻对称中心与对称轴之间的距离为4T，其中T 为该三角函数的最小正周期） ∵5π5π2cos 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴5πcos 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()5ππ2π6k k ϕ+=+∈Z ，得()π2π6k k ϕ=+∈Z ，（整体思想） 又0πϕ<<，∴π6ϕ=， ∴()π2π2cos 22sin 263f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；第二步：利用三角函数图象的平移变换法则判断B 选项 B 选项：()f x 的图象可以由2sin2y x =的图象向左平移π3个单位长度得到， 故B 错误；第三步：利用整体思想及余弦函数的图象与性质判断C ，D 选项 C 选项：由π03x <<得ππ5π2666x <+<，则()f x 在区间π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；D 选项：∵π02x ≤<，∴ππ7π2,666x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，∴π3cos 21,62x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ∴π2cos 22,36x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭， ∴()f x 在区间π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域为[2,3]-，故D 正确.故选:ACD.11．在椭圆22:1(0)x y C a b a b +=>>中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆2222Γ:x y a b +=+上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家G ⋅Monge （1746-1818）最先发现.若椭圆22:1169x y C +=，则下列说法正确的有（ ） A ．椭圆C 外切矩形面积的最小值为48 B ．椭圆C 外切矩形面积的最大值为48C ．点(),P x y 为蒙日圆Γ上任意一点，点()10,0M -，()0,10N ，当PMN ∠取最大值时，tan 23PMN ∠=D ．若椭圆C 的左､右焦点分别为1F ，2F ，过椭圆C 上一点P 和原点作直线l 与蒙日圆相交于点M ，N ，则12PF PF PM PN ⋅=⋅ 【答案】ACD【分析】先求得椭圆C 的蒙日圆方程2225x y +=，然后利用外切矩形的面积结合二次函数求最值可判断A ，B 选项，利用两角和的正切公式，椭圆的定义，向量运算的转化来判断C ，D 选项【详解】对于A ，B ：如图，设对于椭圆C 上任意点M ，过点M 作椭圆的切线交圆22Γ:25x y +=于P ，Q 两点，P ，Q 关于原点对称的点分别为S ，T ，则椭圆C 的一个外切矩形为PQST ，则S PQ QS =⋅，由图象易知，圆心O 到直线PQ 的距离[]3,4d ∈，所以[]6,8PQ ∈.又22||100PQ QS +=，所以外切矩形为PQST 的面积()[]22||100||48,50S PQ PQ =⋅-∈，因此A 对，B 错.对于C ：当PM 与圆相切且切点P 在圆下方时，PMN ∠最大，3tan ,453PMO NMO ∠=∠=， 313tan 23,C 313PMN +∴∠==+-对.对于D 221212128,264PF PF PF PF PF PF +=∴++⋅=：，221212642PF PF PF PF ∴+=-⋅，1212212PF PF PO PF PF F F ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩∴2221212222121212242PF PF PF PF PO PF PF PF PF F F ⎧++⋅=⎪⎨+-⋅=⎪⎩①② ①+②得22221212214,25PF PF PO PO PF PF +=+∴=-⋅，()()()12122525PM PN r OP r OP PF PF PF PF ⋅=-+=--⋅=⋅，故D 正确.故选：ACD.【点睛】本题解题的关键一方面结合题目要求求出蒙日圆方程，建立参数间的关系式来表示面积进而利用函数求最值问题，另一方面结合椭圆定义式，向量的运算推导12PF PF ⋅的关系，体现了数形结合的思想 12．如图，在正方体1111中，E ，F 是底面正方形ABCD 四边上的两个不同的动点，过点1D E F 、、的平面记为α，则（ ）A ．α截正方体的截面可能是正五边形B ．当E ，F 分别是,AB BC 的中点时，α分正方体两部分的体积()1212,V V V V <之比是25∶47 C ．当E ，F 分别是,AD AB 的中点时，11A B 上存在点P 使得AP α∥ D ．当F 是BC 中点时，满足12||ED EF =的点E 有且只有2个 【答案】BCD【分析】A.若截面α为五边形，则截面α与正方体的5个面都相交，则必有两条交线平行，与正五边形的性质矛盾.B ．作出截面α，分别求出两部分的体积，再求体积比. C.作出截面α，再在线段11A B 上找出P ，证明AP α∥.D.分别从点E 在线段,,,AB BC CD AD 上去讨论12||ED EF =是否成立.【详解】A.若α截正方体的截面为五边形，则五边形必有两条边位于正方体相对的平行平面上，此时该五边形必有两条边相互平行，但正五边形没有哪两条边平行，故截面不可能是五边形，选项A 错误．B.如图，延长EF 分别交,DA DC 于点G ，I ，连接11,D G D I 分别交11,A A CC 于点H ，J ，∴截面为五边形1D HEFJ ，记正方体棱长为6，3,2CI AG CJ AH ====， 截面1D HEFJ 下侧的体积为111111996332332813375323232V =⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=--=，另侧体积为：21675141V V -=-=正方体，∴12:75:14125:47V V ==，故选项B 正确. C ．截面α为图中等腰梯形11EFB D ，此时取11A B 中点P ，知1AP B F ∥，AP ⊄平面α,1B F ⊂平面α ∴AP α∥，故选项C 正确．D.当E 在CD 上时，设,2ED x CD ==，由2124ED EF x =⇒+242(2)13x x =-+⇒=，故CD 上有一个点E ； 当E 在AD 上时，()11maxmin22||1ED AD EF AB ==<，故AD 上不存在这样的点E ； 当E 在BC 上时，()11minmax22221||2ED CD EF CF===>，故BC 上也不存在； 当E 在AB 上时，设AE y =，∴2282782(2)13y y y -+=-+⇒=，故AB 上存在一个点E ， ∴共2个，选项D 正确． 故选：BCD.【点睛】作截面的三种方法： ①直接法：截面的定点在几何体的棱上②平行线法：截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行③延长交线得交点：截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上第Ⅰ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,2)a =-，(1,)b λ=-，若,,2a b ππ⎛⎫〈〉∈ ⎪⎝⎭，则实数λ的取值范围是_____．【答案】()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】已知,,2a b ππ⎛⎫〈〉∈ ⎪⎝⎭，则它们数量积小于0且两向量不为相反向量，根据向量数量积的坐标运算，共线向量的坐标表示，即可求出实数λ的取值范围.【详解】解：已知,,2a b ππ⎛⎫〈〉∈ ⎪⎝⎭，则它们数量积小于0且两向量不为相反向量，所以1(1,2)(1,)2102a b λλλ⋅=-⋅-=--<⇒>-， 若为相反向量, 则两向量共线，有1221λλ-=⇒=-， 2λ∴≠，所以实数λ的取值范围是12λ>-且2λ≠.故答案为：()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.14．已知多项式212671111x x a x a x a x a -=+++++++，则4a =______．【答案】88-【分析】利用换元法，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】令11x t x t +=⇒=-， 所以由()()()()465212671111x x a x a x a x a -=+++++++，可得()()2465126712t t a t a t a t a --=++++，即()()42651267212t t t a t a t a t a -+-=++++，二项式()42t -的通项公式为414C (2)rrr r T t-+=⋅⋅-，所以3322144441C (2)+(2)C (2)+1C (2)88a =⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-=-，故答案为：88-【点睛】关键点睛：利用换元法，结合二项式的通项公式是解题的关键.⊥满足2PA PD =，则CP 的最小值为___________. 【答案】1【分析】以B 为原点建立坐标系，结合2PA PD =，利用坐标运算求出动点P 的轨迹，再结合圆的性质求得最小值即可.【详解】建立如图直角坐标系，依题意知，(4,0),(0,0),(03)A B C ，，(1,0)D ，设(,)P x y ，由2PA PD =知，()()2222421x y x y -+=-+，整理得224x y +=，所以动点P 的轨迹是以B 为圆心，2为半径的圆， 由圆的性质可知，当(0,2)P 时，CP 最小，为3-2=1. 故答案为：1.16．已知函数f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则35792222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______． 【答案】0【分析】根据题意可得()f x 关于2x =对称，也关于(1,0)对称，进一步得到周期为4，再求出,a b 的值，最后可求出35792222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】解：因为()22f x +为偶函数，所以()22f x -+＝()22f x +，即()2f x -+＝()2f x +， 所以函数()f x 关于2x =对称，所以()f x -＝()4f x +， 又因为()1f x +为奇函数， 所以()1f x -+＝－()1f x +，所以函数()f x 关于(1,0)对称，()f x -＝－()2f x +＝－()2f x -+， 即()f x ＝－()2f x +，所以()2f x +＝－()f x ，()[22]f x ++＝－()2f x +＝()f x ， 即()4f x +＝()f x ， 所以()f x 的周期为4，在()1f x -+＝－()1f x +中令 0x =，得(1)(1)f f =-，所以(1)0f = ，即0a b +=， 又因为()41f =，所以()01f =，即1b =，所以1a =-， 所以当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+， 所以1111222f ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭， 所以31111(1)(1)()22222f f f f ⎛⎫=+=--=-=- ⎪⎝⎭，51131(2)(2)()22222f f f f ⎛⎫=+=-==- ⎪⎝⎭，73311(2)(2)()22222f f f f ⎛⎫=+=-== ⎪⎝⎭，9111(4)()2222f f f ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以则35792222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0. 故答案为：0.17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()22214cos a b B ab +-=-，且2cos c b B =．(1)求B ；(2)若ABC 的周长为423+BC 边上中线的长． 【答案】(1)π6B = (2)7．【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得2π3C =，再由正弦定理求B . （2）由（1）求出角A ，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求BC 边上中线的长．【详解】（1）由()22214cos a b B ab +-=-，有22224cos a b b B ab +-=-，又2cos c b B =，所以2224cos c b B =，即222a b c ab +-=-，由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-． 又()0,πC ∈，所以2π3C =， 由2cos c b B =及正弦定理，得sin 2sin cos C B B =，所以3sin 22B =， 由π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得2π20,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π23B =，解得π6B =.（2）由（1）可知π6B =，2π3C =，所以π2πππ636A =--=， 所以a b =，由2cos c b B =，得3c a =． 因为ABC 的周长为423+，所以3423a a a ++=+，解得2a =． 设BC 的中点为D ，则112CD BC ==，如图所示:在ACD 中由余弦定理，得： 22212cos41221732AD AC CD AC CD π⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 所以BC 边上中线的长为7．．如图，在四棱柱1111中，底面ABCD 和侧面11都是矩形，11，33AB BC ==.(1)求证：1AD D C ⊥；(2)若平面11BCC B 与平面1BDD 所成的角为60，求三棱锥1C BD D -的体积. 【答案】(1)见解析 (2)328【分析】（1）由题意可得出AD ⊥CD ，AD ⊥1DD ，即可证明AD ⊥平面11CDD C ，再由线面垂直的判定定理即可证明；（2） 取AB 的中点F ，以{}1,,EF EC ED 为正交基底建系，设1ED a =()0a >，写出各点坐标，分别求出平面1BDD 与平面11BCC B 的法向量，根据它们所成的锐二面角的大小为3π，利用夹角公式列出方程可求出324a =，再由体积公式结合等体积法即可得出答案.. 【详解】（1）证明：因为底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形， 所以AD ⊥CD ，AD ⊥1DD ，又CD ∩1DD ＝D ，CD ，1DD ⊂平面11CDD C ， 所以AD ⊥平面11CDD C ，又1D C ⊂平面11CDD C ， 所以1AD D C ⊥.（2）取E 为CD 的中点，连接DE ，因为AD ⊥平面11CDD C ，又DE ⊂平面11CDD C ，所以AD DE ⊥， 又因为11D D D C =，所以1D E DC ⊥， 又AD ∩DC ＝D ，AD ，DC ⊂平面ABCD ， 所以1D E ⊥平面ABCD ，取AB 的中点F ，E 为CD 的中点，底面ABCD 是矩形，所以EF CD ⊥,以E 为原点，以EF ，EC ，1ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示:设1ED a =()0a >，则()0,0,0E ，31,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,0,D a ，30,,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,3,C a ，30,,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面1BDD 的法向量()111,,x n y z =，()1,3,0DB =，130,,2DD a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．由11100n DB n DD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：1111303+02x y y az +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令12y a =可得16x a =-，13z =-，所以()16,2,3n a a =--，设平面11BCC B 的法向量()2222,,n x y z =，()1,0,0CB =，130,,2CC a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得，2220302x y az =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令23z =可得22y a =-，所以()20,2,3n a =-由于平面11BCC B 与平面1BDD 所成的锐二面角的平面角为3π， 所以2121222122+91cos ,240949n n a n n n n a a ⋅===⋅+⋅+， 可得：423236810a a +-=，则()()2249890a a +-=，解得324a =． 因为AD ⊥平面11CDD C ，//AD BC ，所以BC ⊥平面11CDD C ，又因为11//CC DD ，所以1CC ⊄平面1BDD ，1DD ⊂平面1BDD ， 所以1//CC 平面1BDD ，所以1111113C BDD C BDD B CDD CDD V V V SBC ---===⋅11111323231323248CD D E BC =⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=. 19．已知数列{}n a 的各项均为正数，且对任意的*n ∈N 都有122222nna n +++=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()*21(1)log n nb n n a =∈+N ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，问是否存在正整数m ，对任意正整数n 有2022n mT >恒成立？若存在，求出m 的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2n n a =，*n ∈N (2)存在，1010【分析】（1）由122222n n a a a n +++=得到：112211222n n a a a n --+++=-（2n ≥），两式相减得即可求解；（2）由（1）得到111n b n n =-+，利用裂项相消求和得到111n T n =-+，由数列的单调性定义可得数列{}n T 为递增数列，结合条件得到120222m <，即可求解. 【详解】（1）因为122222nn a a a n +++=，*n ∈N ， 当2n ≥时，112211222n n a a a n --+++=-， 两式相减得12nn a =（2n ≥），即2n n a =（2n ≥）. 又当1n =时，112a =，得12a =，满足上式. 故2n n a =，*n ∈N . （2）由（1）可得21111(1)log (1)1n n b n a n n n n ===-+++，*n ∈N ，则1231111112231n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎪=++++-++- ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111122311n n n =-+-++-=-++，即111n T n =-+.又111111102112n n T T n n n n +⎛⎫⎛⎫-=---=-> ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 所以数列{}n T 为递增数列，所以1112n T T b ≥==. 因为对任意正整数n 有2022n mT >恒成立， 所以120222m <，解得202210112m <=.又*m ∈N ，所以max 1010m =. 所以存在正整数m ，使得对任意正整数n 有2022n mT >恒成立，且m 的最大值为1010. 乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一．今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军，比赛采用三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束．根据以往经验， 甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为23、13，且每局比赛相互独立．(1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率；(2)比赛开始前，工作人员买来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直接丢弃．裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球．记甲、乙决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望． 【答案】(1)2027(2)分布列见解析，4727【分析】（1）甲获得乒兵球比赛冠军这个事件为前两局甲全获胜，或前两局中甲胜一局第三局甲胜，由独立事件与互斥事件概率公式计算；（2）甲乙决出冠军共进行了Y 局比赛，易知2Y =或3Y =，记i W 表示第i 局从白盒中抽取的白色球，i Y 表示第i 局从黄盒中抽取的黄色球，X 的所有可能取值为1,2,3，根据2Y =和3Y =分类讨论确定事件1X =，2X =，3X =的情形，求出概率得分布列，再由期望公式计算期望． （1）记事件i A :“甲在第i 局比赛中获胜”，(1,2,3)i =，事件i A :“甲在第i 局比赛中末胜” (1,2,3)i =. ()()()21,1,(1,2,3)33i i i P A P A P A i ==-==.记事件:A “甲夺得冠军"，则()()()222121231232121220()3333327P A P A A P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）设甲乙决出冠军共进行了Y 局比赛，易知2Y =或3Y =.则()()221212215(2)339P Y P A A P A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故4(3)1(2)9P Y P Y ==--=.记i W 表示第i 局从白盒中抽取的白色球，i Y 表示第i 局从黄盒中抽取的黄色球，X 的所有可能取值为1,2,3;()()()()()12123123123(1)(2)(3)P X P Y P W W P Y P W W W P W W Y P W Y W ===+=++5214212111111932932323338513⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()()()()()()1212123123(2)(2)(3)P X P Y P W W P W Y P Y P W W Y P W Y Y ===++=+5211142121213293233932333281⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()()12123512412114(3)(2)(3)933933281P X P Y P W Y P Y P W Y Y ⎛⎫⎛⎫===+==⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上可得，X 的分布列如下: X1 2 3P35813281 1481数学期望为()12381818127E X =⨯+⨯+⨯= 21．已知双曲线2222:1x y E a b-=的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线60x y -相切．(1)求双曲线E 的方程；(2)已知点F 为双曲线E 的左焦点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，过点M 任意作一条直线l 交双曲线E 于P ，Q 两点，使FP FQ ⋅为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22:13x E y -=(2)存在，定值为1，()33,0M --【分析】(1)利用点到直线的距离公式求得a 的只，再根据焦距，求得b 即可求解；(2)假设存在满足条件的点M ，先在直线垂直于y 轴时，求得定值，再结合根与系数的关系，分析验证直线不垂直于y 轴时，求得此定值的情况，从而得出结论. 【详解】（1）原点到直线60x y -+=的距离632d ==， ∴2,3c a ==，1b ∴=，∴双曲线E 的方程为22:13x E y -=；（2）假设存在点(,0)M m 满足条件， ①当直线l 方程为0y =时，则()()()3,0,3,0,2,0P Q F --，∴()()32,032,01FP FQ ⋅=-+⋅+=；②当直线l 方程不是0y =时，可设直线:l x ty m =+，()3t ≠±代入22:13xE y -=整理得()()22232303t y mty m t -++-=≠±，*由0∆>得223m t +>，设方程*的两个根为1y ，2y ，满足212122223,33mt m y y y y t t -+=-=--， ∴()()11222,2,FP FQ ty m y ty m y ⋅=++⋅++()()()()221212122t y y t m y y m =++++++ 222212153t m m t ---=-，当且仅当2212153m m ++=时，FP FQ ⋅为定值1， 解得33m =-±，33m =-+不满足对任意3t，0∆>，∴不合题意，舍去．而且33m =--满足0∆>；综上得：过定点()33,0M --任意作一条直线l 交双曲线E 于P ，Q 两点， 使FP FQ ⋅为定值1．22．定义在,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的函数()()sin f x x k x =-.(1)当π6k =时，求曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；(2)将()f x 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列{}n x ，若()()120f x f x +=，求k 的值.【答案】(1)2π144(2)π2【分析】（1）根据导数的几何意义及点斜式，再结合三角形的面积公式即可求解；（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.（1）当π6k =时，()()ππsin ,sin cos 66f x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎝⎭'⎭，故ππ1sin 662f ⎛⎫== ⎪'⎝⎭. 曲线()y f x =在点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为π162k f ⎛⎫== ⎪⎝⎭'， 曲线()y f x =在点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为1π26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令π0,12x y ==-.所以切线与y 轴的交点π0,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. 此时所求三角形的面积为21πππ2126144⨯-⨯=. （2）()()sin cos f x x x k x =+-'当ππ22x -<<时，()()cos tan f x x x x k =⋅+-'. 由函数tan y x x =+在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，且值域为R ， 故存在唯一0ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得00tan x x k +=. 此时当0π2x x -<<时，()()0,f x f x '<单调递减； 当0π2x x <<时，()()0,f x f x '>单调递增，因此10x x =. 同理，存在唯一'0π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得''00tan x x k +=. 此时当'0π2x x <<时，()()0,f x f x '>单调递增； 当'03π2x x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，因此'20x x =.由()()211111111sin 10,tan ,cos cos cos x f x x k x f x x x x =-=-=-=-'. 同理：()222222sin 1cos cos cos x f x x x x =-=-. 由()()120f x f x +=，整理得：()12121cos cos 10cos cos x x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 又12ππ3π222x x -<<<<，故12cos cos 1x x ≠，则有()122cos cos cos πx x x =-=- 由2πππ22x -<-<，故12πx x =-或()12πx x =--. 又1122tan tan k x x x x =+=+，当12πx x =-时，不满足，舍去.所以()12πx x =--，即12πx x +=，则1122tan tan π22x x x x k +++==. 综上所述，π2k =. 【点睛】解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.。
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2021年山东省日照市高考数学模拟试卷（3月份）
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复平面内表示复数z＝i（a﹣i）（a＜0）的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝{x|2x+3＞0}，则A∩B＝（ ）
A． B． C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
3．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班中，要求每个班至少分到一人，则甲
被分到A班的分法种数为（ ） A．6 B．12 C．24 D．36 4．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用
于航海，形成了一套先进的航海技术﹣﹣“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则sin2α约为（ ）
A． B． C． D．
5．函数y＝a3﹣x（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在椭圆上，则m+n的最小值为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．如图所示，单位圆上一定点A与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿x轴正向滚动一
周，则A点形成的轨迹为（ ）
A．
B．
C． D．
7．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法
正确的是（ ） A．y＝f（x）是奇函数
B．y＝f（x）的周期为π
C．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
D．y＝f（x）的图象关于点（﹣，0）对称
8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB＝BC＝2．过AB，BB1的中点E，
F作平面α与平面AA1C1C垂直，则所得截面周长为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错得得0分。 9．PM2.5是衡量空气质量得重要指标，我国采用世卫组织得最宽值限定值，即PM2.5日均
值在35μg/m3以下，空气质量为一级，在35～75μg/m3，空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日得PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法正确的是（ ）
A．这10天中有3天空气质量为一级
B．从6日到9日PM2.5日均值逐渐降低 C．这10天中PM2.5日均值的中位数是55 D．这10天中PM2.5日均值的平均值是45 10．已知x1+log3x1＝0，x2+log2x2＝0，则（ ）
A．0＜x2＜x1＜1 B．0＜x1＜x2＜1 C．x2lgx1﹣x1lgx2＜0 D．x2lgx1﹣x1lgx2＞0
11．已知函数f（x）对于任意x∈R，均满足f（x）＝f（2﹣x）．当x≤1时，，
若函数g（x）＝m|x|﹣2﹣f（x），下列结论正确的为（ ） A．若m＜0，则g（x）恰有两个零点
B．若，则g（x）有三个零点
C．若，则g（x）恰有四个零点
D．不存在m使得g（x）恰有四个零点
12．已知正方体ABC﹣A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一
动点，则下列命题正确的是（ ）
A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆
B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π
C．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线
D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。 13．若函数f（x）＝logax（a＞1），在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a＝ ．
14．为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020年中办、国办联合印
发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》．为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为：1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生经过训练后跳远增加了 米．
15．已知函数（a≥3），若对任意x1，x2，x3∈R，总有f（x1），f（x2），f（x3）为某一个三角形的边长，则实数a的取值范围是 ． 16．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，E为双曲线C的右顶点，过
F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为
△AF1F2，△BF1F2的内心，则|ME|﹣|NE|的取值范围是 ． 四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若2asinA＝（2sinB+sinC）b+（2sinC+sinB）c． （1）求A的大小； （2）求sinB+sinC的最大值． 18．在①已知数列{an}满足：an+1﹣2an＝0，a3＝8，②等比数列{an}中，公比q＝2，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，若2Tn＞m﹣2022对n∈N*恒成立，求正整数m的最大值． 19．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点E，BD＝8，AC＝6，将△ACD沿AC折
到△PAC的位置使得PD＝4． （1）证明：PB⊥AC． （2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值． 20．为加强进口冷链食品监管，某省于2020年底在全省建立进口冷链食品集中监管专仓制
度，在口岸、目的地市（或县区、市）等进口冷链食品第一入境点，设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性全面消毒工作，为了进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒，对于n（n∈N*）份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n次：二是混合检验，将k份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则k份检验的次数共为k+1次，若每份样本没有该病毒的概率为（0＜p＜1），而且样本之间是否有该病毒是
相互独立的． （1）若p＝，求2份样本混合的结果为阳性的概率； （2）若取得4份样本，考虑以下两种检验方案； 方案一：采用混合检验； 方案二：平均分成两组，每组2份样本采用混合检验． 若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．试间方案一、二哪个更“优”？请说明理由． 21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点G到两点的
距离之和为4． （1）试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C； （2）已知直线l：（k＞0）与圆F：交于M、N两点，与曲线C交于P、Q两点，其中M、P在第一象限．d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得T＝（|NQ|﹣|MP|）•d2取得最大值，若存在，求出k；不存在，说明理由． 22．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1，g（x）＝kx2．
（1）当a＞0时，求f（x）的值域； （2）令a＝1，当x∈（0，+∞）时，恒成立，求k的取值范围． 参考答案 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复平面内表示复数z＝i（a﹣i）（a＜0）的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：复数z＝i（a﹣i）＝1+ai， 因为a＜0，所以复数z对应的点的坐标（1，a）在第四象限． 故选：D． 2．设集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝{x|2x+3＞0}，则A∩B＝（ ）
A． B． C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
解：∵， ∴． 故选：A． 3．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班中，要求每个班至少分到一人，则甲
被分到A班的分法种数为（ ） A．6 B．12 C．24 D．36 解：根据题意，分2步进行分析： ①将甲、乙、丙、丁4名同学分为3组，有C42
＝6种分组方法，
②将甲所在的组分到A班，剩下2组安排到B、C班，有A22
＝2种情况，
则有6×2＝12种分法， 故选：B． 4．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用
于航海，形成了一套先进的航海技术﹣﹣“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星