2024学年山东省日照市日照第一中学数学高三第一学期期末经典试题含解析
2024届山东省日照市日照第一中学语文高三第一学期期末检测模拟试题含解析
2024届山东省日照市日照第一中学语文高三第一学期期末检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
1．书院是中国古代民间教育机构，下列对联中不适合悬挂在书院的一项是（）A．东林讲学以来必有名世南方豪杰之士于兹为群B．考古证今致用要关天下事先忧后乐存心须在秀才时C．千百年楚材导源于此近世纪湘学与日争光D．人至上圣贤书可耕可读德为绳祖宗恩可报可酬2．下列诗句与传统文化生活场景，对应全部正确的一项是①银瓶泻汤夸第二，未识古人煎水意。
②花气蒸浓古鼎烟，水沉春透露华鲜。
③有弦弹入碧虚寒，彩凤应来兽应舞。
④战罢两在分白黑，一枰何处有亏成。
A．①煎茶②焚香③弹琴④下棋B．①煎茶②弹琴③焚香④下棋C．①焚香②弹琴③下棋④煎茶D．①焚香②下棋③弹琴④煎茶3．在下面一段话的空缺处依次填入词语，最恰当的一组是笺纸是中国的非物质文化遗产，是中国固有的艺术形式和交流载体。
中国的笺纸内涵丰富、琳琅满目，给人以、美不胜收之感。
世界上还没有第二个国家将笺纸印制成一种的艺术品，赋予其如此多的文化内涵，使其精神追求和人文情怀的使命。
A．目不暇接巧妙绝伦传载B．应接不暇巧妙绝伦承载C．应接不暇精美绝伦传载D．目不暇接精美绝伦承载4．下列各项中，没有错别字且加点字的注音全都正确的一项是A．且让我们这样稍稍窥．(kuī)视一下彼岸彼土。
那里白鹤在飞翔。
你看那玉羽红顶，踯躅徘徊，一飞千里。
还有乐园鸟飞翔，有鸾凤和．(hè)鸣，缠绵，娟丽，仪态万芳。
B．看原画真是不同。
拉斐尔、达芬奇、米开朗琪罗……这些名家的辉煌作品！还有那些神奇的教堂里的壁画、塑像和美仑美奂的建筑，我们的画家都看到了。
山东省日照第一中学2024-2025学年高二上学期第一次质量检测数学试卷
山东省日照第一中学2024-2025学年高二上学期第一次质量检测数学试卷一、单选题1．以3i 2-的虚部为实部，以23i 2i +的实部为虚部的复数是（ ） A ．33i -B ．3i +C ．22i -+D ．22i +2．已知空间向量()1,2,3m =u r ，空间向量n r 满足//m n u r r且7⋅=u r r m n ，则n r ＝（ ）A ．13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭D ．31,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭3．在下列条件中，使P 与A ，B ，C 一定共面的是（ ）A ．2OP OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r B ．111332OP OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u rC ．0PA PB PC +-=u u u r u u u r u u u r rD ．20OP OA OB OC +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r4．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则BM u u u u r等于（ ）A ．1122-+r r r a b cB ．1122++r r ra b cC ．1122--+r r r a b cD ．1122a b c -++r r r5．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=o .以D 1为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为（ ）A ．π2B C ．πD ．26．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin A B a b C b c +-=+，若角A 的内角平分线AD 的长为3，则b c +的最小值为（ ）A ．12B ．24C ．27D ．367．如图，边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使1AD BC ⋅=u u u r u u u r，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A B C D ．48．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成角的正切值为（ ）A B ．12C D ．2二、多选题9．关于复数z ，下列说法正确的是（ ） A ．2023i 1=-B ．若1z =，则2z -的最小值为1C ．22z z =D ．若43i -+是关于x 的方程：()20,R x px q p q ++=∈的根，则8p =10．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知11AB AD AA ===，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=o ，E 为棱1CC 上一点，且12C E EC =u u u u r u u u r，则（ ）A ．1BDB ．直线1BD 与AC C ．1A E ⊥平面11BDD BD ．直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π411．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，M 是AD 的中点，将ABM V 沿着直线BM 翻折得到1A BM △．记二面角1A BM C --的平面角为α，当α的值在区间(0,π)范围内变化时，下列说法正确的有（ ）A ．存在α，使得1AB CM ⊥ B ．存在α，使得1A B CD ⊥C ．若四棱锥1A BCDM -的体积最大时，点B 到平面1A MD D ．若直线1A M 与BC 所成的角为β，则2cos sin 2αβ=三、填空题12．已知空间向量()6,2,1a =r ，()2,,3b x =-r，若()2a b a -⊥r r r ，则x =.13．设ABC V 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,60a c b B -==o ，则ac=.14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，111CC C D =111C B =，点P 为线段1B C 上一点，则11C P D P ⋅u u u r u u u u r的最小值为 ．四、解答题15．已知z 是复数，2i z +和i 1z -均为实数，11i 1=+--mz z m m ，其中i 是虚数单位. (1)求复数z 的共轭复数z ;(2)若复数1z 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥平面ABCD ，,//AD DC AB DC ⊥，112AB AD PD CD ====，PC =M 为棱PC 的中点.(1)证明：//BM 平面PAD ；(2)求平面PDM 与平面BDM 夹角的余弦值.17．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+.(1)求角C 的大小；(2)若ABC Vc 的取值范围.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，5AB AD +=，CD 120PAD ∠=︒，=45ADC ∠︒.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)设AB AP =.①若直线PB 与平面PCD ，求线段AB 的长. ②在线段AD 上是否存在点G ，使得点P ，C ，D 在以G 为球心的球上？若存在，求线段AB 的长；若不存在，说明理由.19．在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(,,)u a b c =r ，点0000(,,)P x y z .若平面α以u r为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为000()()()0a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=.(1)若平面1:210x y α+-=，平面1:210y z β-+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为2α、2β、γ，其中平面2α经过点(4,0,0)A ，点(3,1,1)B -，点()1,5,2C -，平面2:4y z β+=，平面:(1)(2)30mx m y m z γ+++++=，求出点B 到平面γ的距离；(3)已知集合{(,,)|||1,||1,||1}P x y z x y z =≤≤≤，{(,,)|||||||2}Q x y z x y z =++≤，{(,,)|||||2,||||2,||||2}T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤.记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积为2V ，集合T 中所有点构成的几何体为W . （ⅰ）求1V 和2V 的值；（ⅱ）求几何体W 的体积3V 和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值.。
山东省日照市2024届高三下学期一模数学答案
日照市2021级高三模拟考试数学答案2024.02一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1-5DBABB6-8DDC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.AC10.ACD11.ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.713.(],1-∞14.5，3四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）解：（12sin0b A-=，2sin sin0A B A-=，由于锐角三角形中π0,sin02A A<<>2sin0,sinB B==而B是锐角，所以π4B=.………………………………………………………………3分由余弦定理得b===…………6分（2）由余弦定理得222cos2a b cCab+-=，……………………8分而C是锐角，所以sinC=所以())πsin2sin2sin2cos242C B C C C⎛⎫+=++⎪⎝⎭………………………………10分)22sin cos2cos12C C C=+-2cos cos2C C C=-1717234=--.………………………………………………13分16.（15分）解：（1）因为2,,n n na S a为等差数列，所以22n n nS a a=+，且0na>当1n=时，2111122S a a a==+，可得11a=；…………………………………………2分当2n≥时，()2211122n n n n n n n S S a a a a a ----==+--，………………………………………………4分则()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a ----+=-=+-；由10n n a a ->+，故11n n a a --=，………………………………………………………6分所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故n a n =.………………………………7分（2）原式等价于2214222n n a n k k n k a n n⎛⎫+≤⇒+≤⇒+≤ ⎪⎝⎭，因为1422n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，当且仅当2n =时成立，所以120,1b b ==，………………9分当3k ≥，因为21212221,22122122k k k k k k k k k k -+=-+≤+=+>--，所以能使22n k n+≤成立的n 的最大值为21k -，所以()213k b k k =-≥，………………………………………………………………13分所以{}k b 的前50项和为()599480157990124972+⨯+++++=++= .………………15分17．（15分）解：（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A ，“一次正确应答”为事件B ，由题意()0.1P A =，()0.8P B A =，()0.3P B A =，则()1()0.9P A P A =-=，……3分()()()()()()()0.90.80.10.30.75P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+=⨯+⨯=.……6分（2）依题意，3(,)4X B n ，66631(6)()()44n nP X -==C ，…………………………………………9分设()66631C ()()44n n f n -=（6n ≥），则()()665166631C ((4431C ()()44114(5)n n n n f n n f n n -+-++==-，………………………………12分令114(5)n n +>-解得：7n <，所以当6n ≤时，()()1f n f n +>，令114(5)n n +<-解得：7n >，所以当8n ≥时，()()1f n f n +<，当7n =时，()()78f f =，所以7n =或8n =时，()f n 最大，故使(6)P X =最大的n 的值为7或8．……15分18．（17分）解：（1）函数()f x 的定义域为()()232430,,24ax x f x ax x x∞-=+'++-=.………………2分又0a >，令()0f x '=，得22430,Δ1624ax x a -+==-.当Δ0≤，即23a ≥时，22430ax x -+≥在()0,∞+恒成立，()0f x '≥.………………4分当Δ0>，即023a <<时，方程22430ax x -+=有两根，可求得：12x x ==因为1212430,0,22x x x x a a+=>=>所以210x x >>，当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数.…………………………………………7分综上：当23a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当023a <<时，()f x 在20,2a ⎛- ⎝⎭和22a ∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减.………………………………………………8分（2）证明：当12a =时，由（1）知()f x 在()0,1和()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，又方程()f x b =有三个不相等的实数根，可得123013x x x <<<<<，下证314x x -<，由()()()123f x f x f x b ===，构造函数()()()2(01)h x f x f x x =--<<，()()26(1)()(2)2x h x f x f x x x -''=+-=-'，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>在()0,1上单调递增，()()10h x h ∴<=，即()()20f x f x --<在()0,1上恒成立，又()10,1x ∈，则有：()()()()()1121120,2f x f x f x f x f x --<∴=<-，又()()211,3,21,2x x ∈-∈ ，且()f x 在()1,3上单调递减，212x x ∴>-，即122x x +>.…………………………………………………………12分构造函数()()()6(13)x f x f x x ϕ=--<<，()()22(3)()(6)6x x f x f x x x ϕ-''=+-=-'，当()1,3x ∈时()()0,x x ϕϕ'>在()1,3上单调递增.()()30x ϕϕ∴<=，即()()60f x f x --<在()1,3上恒成立.又()21,3x ∈ ，则()()2260f x f x --<.即()()()3226f x f x f x =<-，由()()231,3,3,x x ∞∈∈+，则()263,5x -∈.()f x 在()3,+∞上单调递增，32326,6x x x x ∴<-+<.…………………………16分又122x x +>，则可证得：31 4.x x -<………………………………………………17分（本题也可构造函数()()()4(01)h x f x f x x =-+<<进行证明.）19．（17分）解：（1）①由椭圆的定义知：122AF AF a +=，122BF BF a +=，所以2ABF ∆的周长48L a ==，所以2a =，椭圆离心率为12，所以12c a =，所以1c =，2223b a c =-=，………………………………………………2分由题意，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为22143x y +=，…………………………………………3分由直线l ：)01y x -=+与22143x y +=，联立求得(A ，8,5B ⎛- ⎝，（因为点A 在x 轴上方）…………4分故12AO F F ⊥，即12A O F F '⊥，平面12A F F '⊥平面12B F F '，平面12A F F ' 平面1212B F F F F ='，所以12A O B F F ''⊥平面，212B F B F F ''⊂平面，所以2A O B F ''⊥.……………………………………………6分②O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴，原x 轴，原y 轴正半轴所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()10,1,0F -，('A，8',05B ⎫-⎪⎭，()20,1,0F，(2'0,1,A F =，213',05B F ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．平面12'A F F 的法向量1(1,0,0)n =，…………………8分设平面2''A B F 的法向量2(,,)n x y z =，则2222'13'050F A y B n n y F ⎧⋅=⎪⎨=-=⋅=+⎪⎩，取y =213(3n = 是平面2''A B F 的一个法向量，…………………10分记平面12'A F F 和平面2''A B F 所成角ϕ，则12121213205cos cos ,205n n n n n n ϕ⋅=<>==；故平面12'A F F 和平面2''A B F 所成角的余弦值13205205………………11分（2）设折叠前()11,A x y ，()22,B x y ，折叠后A ，B 在新图形中对应点记为A ＇，B ＇，()11,,0'A x y ，()22,0,'B x y -，将直线l 方程与椭圆方程联立221143my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my +--=，122634m y y m +=+，122934y y m -=+，……………………………………………12分在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原x 轴仍然为x 轴，原y 轴正半轴为y 轴，原y 轴负半轴为z 轴）；''A B =，AB =由2215''''2A F B F A B ++=，228AF BF AB ++=，故1''2AB A B -=，所以1''2AB A B -=，（ⅰ）12=，所以()()()2222211121211124x x y y x x y y y y -+-+-++=-，（ⅱ）由（ⅰ）（ⅱ）可得()()22121212124x x y y y y -+-=-，因为()()()()22222121212121124x x y y myy y y ⎛⎫-+-=+-=- ⎪⎝⎭，所以()22222263611813434434m m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………15分即22222111814434434m m m ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以222121211834434m m m +=+++，解得22845m =，因为02πθ<<，所以1335tan 14m θ==．………………17分。
山东省日照市2023-2024学年高三上学期开学校际联考数学试题
山东省日照市2023-2024学年高三上学期开学校际联考数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}2{10},9A x
x B x x =−>=<∣∣，则A B ⋃=（ ） A ．()3,1− B ．(),1−∞ C ．()1,3 D ．(),3−∞
3．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1上单调递增的是（ ） 4．命题“[]2,1x ∃∈−，220x a −≤”为真命题的充要条件是（ ） A ．0a ≥
B ．1a ≥
C ．2a ≥
D ．3a ≥
5．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v 与时间
t （月）近似地满足关系t v a b =⋅（其中,a b 为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解
率为5%，经过10个月，这种垃圾的分解率为10%
，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月.（参考数据：lg20.3≈）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、多选题
9．已知0
a b
>>，则（）
三、填空题
．在ABC中，
四、解答题
．ABC 的内角，ABC 的面积为，求ABC 的周长为等差数列{}n a 的前项和，已知238a a +=的通项公式；
1=，)1n b +，求数列 (1)若在花园内铺设一条参观线路，参观线路最长？
(2)若在花园内的扇形．．ONP。
山东省日照市2024-2025学年高三上学期开学校际联考数学试题
山东省日照市2024-2025学年高三上学期开学校际联考数学试题一、单选题1．已知集合{12},{3}M xx N x x =<<=<∣∣，则M N =I （ ） A ．{2}x x <∣ B ．{3}x x <∣ C ．{12}x x <<∣ D ．{13}xx <<∣ 2．下列函数既是幂函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．y x =- B ．2y x -= C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2y x =3．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，则“2k =”是“11110k a a a a +=+”成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知2sin cos 3A B +=，cos sin 1A B +=，则()sin A B +=（ ） A ．518-B ．49C ．13-D ．165．已知0.16πlog 3,sin ,0.56a b c -===，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<6．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的(]()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且()20f =，则不等式()()02f x f x x+-<的解集是（ ）A ．()(),22,-∞-⋃+∞B ．()()2,02,-+∞UC ．()(),20,2-∞-UD ．()()2,00,2-U7．已知函数()44sin cos 022xxf x ωωω=+>（），对任意的实数a ，()f x 在（a ，3a +）上的值域是[12，1]，则整数ω的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．数列{}n a 满足1a Z ∈，123n n a a n ++=+，且其前n 项和为n S .若13m S a =，则正整数m =（ ）A ．99B ．103C ．107D ．198二、多选题9．设,,,a b c d ∈R ，则下列结论正确的有（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若0a b <<，则22a b > C ．若0,0a b m >>>，则b m ba m a+>+ D ．若2a b +=，则224a b +≥10．已知函数()()f x x ωϕ=+（其中ππ02,22ωϕ<≤-<<），函数()()12g x f x =+的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的表达式可以写成()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的函数是奇函数C ．()()1h x f x =+图象的对称中心为()ππ,182k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ZD ．若方程()1f x =在 0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11．已知函数()sin cos e e x xf x =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数B ．()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 在 0,π 上有两个极值点D ．若0x 为()f x 的一个极小值点，且()0cos 0e tan xa f x x -<+恒成立，则1a <-三、填空题12．已知函数()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若()1f a =-，则实数a 的值为.13．分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n 次分形”（n *∈N ）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则n 的最小整数值是.（取1g30.4771≈，lg20.3010≈）14．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若223()b a a c =+，则sin sin CA的取值范围为．四、解答题15．已知数列{}n a 满足12a =，11n n a n a n++=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设24n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .16．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π,23A a ==. (1)若1sin sin 2B C -=，求b ； (2)若sin sin 2sin B C A +=，求ABC V 的面积.17．已知函数()()e ln xf x x m -=+.(1)当0m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当2m ≤时，求证：()1f x <.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2235n S n n =+，数列{}n b 是等比数列，公比1330,6,24q b b a >==+.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足111,221,,2k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩，其中*k ∈N . （i ）求数列{}n c 的前2024项和；（ii ）求()*221i i ni a c n =∈∑N .19．已知定义域为D 的函数()n y f x =是关于x 的函数，给定集合U 且n U ∈，当n 取U 中不同的数值时可以得到不同的函数.例如：定义域为R 的函数()n f x nx =，当*U =N 时，有()()12,2,f x x f x x ==L ，若存在非空集合A U ⊆满足当且仅当n A ∈时，函数()n f x 在D 上存在零点，则称()n f x 是A 上的“跳跃函数”.(1)设(],,2U D ∞==-Z ，若函数()22x n f x n =-是A 上的“跳跃函数”，求集合A ；(2)设()()()2461,1,n f x nx n x D ∞=-+=+，若不存在集合A 使()n f x 为A 上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合U 的并集；(3)设()()*,1,,n U D f x ∞==+N 为A 上的“跳跃函数”，满足()121f x x =-，()()1(1)n n n f x f x x x x +=+-+，若对于任意n A ∈，均有()n f x 的零点n t a >，求实数a 的最大值.。
山东省日照市2023-2024年高一下学期期末校级联合考试数学试题(解析版)
2023级高一下学期期末校级联合考试数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.2sin15cos15°°=（ ）A.14B.C.12D.【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角正弦公式求解即得.【详解】12sin15cos15sin 302°°=°=. 故选：C2.在ABC 中，3AB =，4BC =，=60B ∠°，则BA BC ⋅等于（）A.12B.6C.－6D.－12【答案】B 【解析】【分析】由数量积的定义运算即可.【详解】1cos 3462BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅∠=××= ，故选：B.3.已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n ⊂α，则“//m n ”是“//m α”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A的【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合线面平行的判定判断即得. 【详解】由m α⊄，n ⊂α，//m n ，得//m α，反之，若//m α，n ⊂α，则m 与n 不相交，故m 与n 可以是异面直线， 所以“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件. 故选：A4. 已知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图为半圆，则底面半径为（ ） A.12B. 1C. 2D. 4【答案】B 【解析】【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ， 则侧面积2112π2ππ22rl l ==，解得：2,1l r ==. 故选：B.5. 已知角α的终边经过点(3,4)，把角α的终边绕原点O 逆时针旋转π2得到角β的终边，则sin β=（ ） A. 45−B.45C. 35D.35【答案】D 【解析】【分析】由题意可得π2βα=+，再根据诱导公式及三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角α的终边经过点(3,4)，所以3cos 5α=， 因为把角α的终边绕原点O 逆时针旋转π2得到角β的终边， 所以π2βα=+， 所以sin sin cos5π23αβα===+.6. 设函数π()cos()(0)6f x x ωω=−>，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为（ ）A.13B.23C.43D.83【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，可得()f x 在π4x =处取得最大值，再结合余弦函数性质求解即得. 【详解】由π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，得()f x 在π4x =处取得最大值，则ππ2π,N 46k k ω−=∈，解得28,N 3k k ω=+∈， 所以ω的最小值是23. 故选：B7. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知4AB =，P 为弧AC （含端点）上的一点，则)(PB BC BP ⋅−的范围为（ ）A. []0,8B. []1,8C. 0,D. []0,9【答案】A 【解析】【分析】利用向量数量积的运算量，结合||[2,PO ∈即可求解.【详解】取BC 中点为O ，连接PO，显然||[2,PO ∈，的所以)((())()()PB BC BP PB PC PO OB PO OC PO OB PO OB ⋅−=⋅=+⋅+=+⋅− 2224[0,8]PO OB PO =−=−∈ .故选：A8. 在三棱锥−P ABC 中，AC ⊥平面PAB ，3AB =，4AC =，BP =，45ABP ∠=°，则三棱锥−P ABC 外接球的表面积为（ ）A. 8πB. 16πC. 26πD. 32π【答案】C 【解析】【分析】利用正余弦定理求出ABP 外接圆半径，再确定球心位置并求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】在ABP 中，由余弦定理得AP =由正弦定理得ABP 外接圆半径2sin 45AP r= ， 令ABP 外接圆圆心为1O ，三棱锥−P ABC 外接球的球心为O ，则1OO ⊥平面PAB ， 而AC ⊥平面PAB ，于是1//OO AC ，令AC 的中点为D ，由OA OC =，得OD AC ⊥，又1AO ⊂平面PAB ，则1AO AC ⊥，1//OD AO ，于是四边形1ADOO 是矩形，1122OO AC ==，因此三棱锥−P ABC 外接球的半径R OA == 所以三棱锥−P ABC 外接球的表面积24π26πS R =.故选：C【点睛】关键点点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） A. 若A B >，则a b >B. ()sin sin A B C +=C. 若222a b c +>，则ABC 是锐角三角形D. 若222a b c +<，则ABC 是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】【分析】利用三角形边角关系判断A ；利用诱导公式判断B ；利用余弦定理判断CD. 【详解】对于A ，在ABC 中，A B a b >⇔>，A 正确；对于B ，sin()sin(π)sin A B C C +=−=，B 正确； 对于C ，由222a b c +>，得222cos 02a b c C ab+−=>，则C 是锐角，显然,A B 是否都是锐角无法确定，C 错误；对于D ，由222a b c +<，得222cos 02a b c C ab+−=<，则C 是钝角，ABC 是钝角三角形，D 正确.故选：ABD10. 如图为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象，则（ ）A. 函数()f x 的最小正周期是2πB. 函数()f x 的图象关于点4π(,0)3成中心对称 C. 函数()f x 在区间5ππ[,]126−−上单调递增 D. 函数()f x 的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π3个单位后所得图象关于y 轴对称 【答案】BC 【解析】【分析】根据图象直接求出周期可判断A ；利用周期求ω，由π(,0)6−求ϕ，然后代入法验证即可判断B ；根据正弦函数单调性，利用整体代入法求解可判断C ；根据周期变换和平移变换，求出变换后的解析式即可判断D.【详解】对于A ，由图知函数()f x 的周期ππ2[()]π36T=−−=，A 错误； 对于B ，由选项A 知，2π2Tω==，图象过点π(,0)6−且在此点及附近图象是上升的， 则ππ()sin()063f A ϕ−=−+=，于是π2π,3k k ϕ−+=∈Z ，即π2π,3k k ϕ=+∈Z ， 因此ππ()sin(22π)sin(2)33f x A x k A x =++=+，而4π4ππ()sin(2)0333f A =×+=， 所以点4π(,0)3为函数()f x 的一个对称中心，B 正确； 对于C ，0A >，由πππ2π22π232k x k −+≤+≤+，得5ππππ,1212k x k k −+≤≤+∈Z ，则5ππ[,]1212−为函数()f x 的一个单调递增区间，()f x 在区间5ππ[,]126−−上单调递增，C 正确； 对于D ，将()f x 的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍得πsin()3y A x +，再向右平移π3得sin =y A x ，sin =y A x 为奇函数，D 错误.故选：BC11. 已知正方体ABCD A B C D −′′′′的棱长为1，M ，P 分别为AA ′，AB 的中点，点N 满足[(])0,1D N D C λλ′′′=∈ ，设平面MPN 截正方体所得截面为Γ，其面积为S ，设该截面将正方体分成两部分的体积分别为1V ，2V ，则下列判断正确的是（ ）A. 截面Γ可能为五边形B. 当12λ=时，S =C. 存在λ，使得12V V =D. 12V V −的最大值为512【答案】ACD 【解析】【分析】作图说明判断A ；由12λ=时截面形状并求出面积判断B ；由12λ=时截面形状，结合对称性判断C ；由λ从0变化到1的截面变化情况，得到12V V −的变化情况，求出0λ=和1λ=的两部分体积判断D. 【详解】对于A ，当1λ=，即点N 与C ′重合时，直线PM 与,B A B B ′′′的延长线分别交于点,H G ， 连接,C H C G ′′分别交,A D BC ′′于点,F E ，连接,PE MF ，得截面MPEC F ′，截面Γ为五边形，A 正确；对于B ，当12λ=时，点N 是D C ′′的中点，此时截面Γ为正六边形，Γ的面积26S ，B 错误；对于C ，当12λ=时，由对称性知，截面Γ分成的两部分是全等的，则体积相等，C 正确； 对于D ，当0λ=，即点N 与D '重合时，连接D M ′并延长交DA 延长线于K ，连接,KP PC ， 显然A 是DK 的中点，则Rt APK △≌Rt BPC △，APK BPC ∠=∠，点,,K P C 共线， 连接CD ′，此时截面Γ为梯形MPCD ′，当λ从0变化到1时，截面从四边形MPCD ′变成五边形MPEC F ′，由选项C 知，截面Γ将正方体分成的两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大， 因此12V V −取最大值时对应的0λ=或1λ=，当0λ=时，记1V 为几何体APM DCD ′−的体积， 则11111721323824K DCD K APM V V V ′−−=−=××−××=，2117124V V =−=，12512V V −=，当1λ=时，记1V 为几何体PBEC FMA ′′的体积，在选项A 中，12A H A M BP BG ′′====， 则13A F A H BEB C B H B C ′′===′′′′′，即13A F BE ′==，1113311111251232223222372V =××××−×××××=， 2147172V V =−=，121136V V −=，所以12V V −的最大值为512，D 正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：求解体积差的绝对值，利用特殊到一般的思想，先考虑点N 为D C ′′的中点时的截面和分割成的几何体体积的关系，再考虑点N 分别与点D '，点C ′重合时的截面形状以及分割成的两部分的体积，总结出体积变化规律即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知向量()()1,,3,2a m b =−= ，若a b⊥ ，则m =______．【答案】32【解析】【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示计算即得.【详解】向量()()1,,3,2a m b =−= ，由a b ⊥ ，得320a b m ⋅=−+= ，所以32m =. 故答案为：3213. 已知平行四边形ABCD ，2AB =，3AD =，2π3BAD ∠=，2BE EC =．若F 为线段DE 上的一点，且56AF AB AD λ=+，则AF = ______．【解析】【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算及共线向量定理的推论求出λ，再利用数量积的运算律求解即得.【详解】在ABCD 中，2BE EC =，则23AEAB AD =+ ，即23AB AE AD =− ， 于是22)(355()366AFA AE AD AE AD D λλλ−++−=，而点F 在线段DE 上， 因此2()1635λλ+−=，解得12λ=，则1526AF AB AD =+ ， 由2AB =，3AD =，2π3BAD ∠=，得123()32AB AD ⋅=××−=− ，则||AF =14. 已知角α，β均为锐角，且αβ≠，满足sin sin 3cos 3cos αββα−=−，cos()αβ+的值为______． 【答案】45##0.8 【解析】【分析】根据给定条件，对角进行配凑变换，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法求值即得. 【详解】由sin sin 3cos 3cos αββα−=−， 得sin()sin()3cos()3cos()22222222αβαβαβαβαβαβαβαβ+−+−+−+−+−−=−−+，则226co nssinsinsi 222αβαβαβαβ+−+−=，由角α，β均为锐角，且αβ≠，得π0||2αβ<−<，则sin 02αβ−≠，于是1tan 23αβ+=， 所以2222222211()cos sin 1tan 43222cos )cos 2)125cos sin 1tan 1()223((2αβαβαβαβαβαβαβαβ+++−−−++=⋅====++++++. 故答案为：45【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将角,αβ分别变形为,2222αβαβαβαβ+−+−+−. 四、解答题：本题共S 小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知2()22cos f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 【答案】（1）π，π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈（2）max ()3f x =，min ()0f x = 【解析】【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，结合sin y t =图象与性质求解即可.（2）先求出π26x +的范围，结合sin y t =图象与性质即可求得最值. 【小问1详解】因为2π()22cos 2cos 212sin(2)16f x x xx x x =+=++=++，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+，Z k ∈，解得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈， 所以()f x 单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈．【小问2详解】因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2[,]666x +∈， 所以由函数图象性质知， 当ππ262x +=，即π6x =时，max ()3f x =；当π7π266x +=，即π2x =时，min ()0f x =． 16. 已知四棱锥S ABCD −如图所示，四边形ABCD 为菱形，SAD 为等边三角形，点M ，N 分别是线段SC ，AB 的中点．（1）求证：//BM 平面SND ；（2）若二面角S AD B −−为直二面角，3AB =，60BAD ∠=°，求四面体CMBD 体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）2716. 【解析】【分析】（1）取CD 的中点P ，借助三角形中位线性质及平行公理，利用线面平行的判定推理即得. （2）取AD 的中点O ，借助面面垂直的性质求出点S 到平面ABCD 的距离，进而求出四面体的体积. 【小问1详解】取CD 的中点P ，连接,MP NP ，由点M 是线段SC 的中点，得1//,2MP CD MP CD =， 四边形ABCD 为菱形，且N 是线段AB 的中点，则1////,2NB CD MP NB CD MP ==， 于是四边形MPNB 是平行四边形，//BM NP ，又BM ⊄平面SND ，NP ⊂平面SND ， 所以//BM平面SND .的【小问2详解】取AD 的中点O ，连接SO ，由SAD 为等边三角形，得SO AD ⊥，由二面角S AD B −−为直二面角，得平面SAD ⊥平面ABCD ，而平面SAD ∩平面ABCD AD =，SO ⊂平面SAD ，则SO ⊥平面ABCD ，又3SA AD AB ===，于是SO =，由点M 是线段SC 的中点，得点M 到平面BDC 的距离12hSO=菱形ABCD 中，60BAD ∠=°，则BDC 为正三角形，2BDCS = ，因此11273316M BDC BDC V S h −=⋅== ， 所以四面体CMBD 的体积是2716. 17. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin A b cB C b a+=−−．（1）求C 的大小；（2）若3c =，∠ACB 的角平分线交AB 于点D ，且2CD =，求ABC 的面积． 【答案】（1）π3C =（2）ABC S △【解析】【分析】（1）由题意结合正、余弦定理边角转化即可得结果；（2）根据题意利用余弦定理和面积公式可得，再根据角平分线性质，借助等面积法求解. 【小问1详解】sin sin sin A b c B C b a +=−−，由正弦定理可得a b cb c b a+=−−，整理可得222a b c ab +−=，由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +−==， 且()0,πC ∈，所以π3C =. 【小问2详解】1sin 23πABC S ab =⋅△，()22293a b ab a b ab =+−=+−，又因π6ACD BCD ∠=∠=，则12ACD S b =△，12BCD S a =△， 且+=ACD BCD ABC S S S，则1122b a ab +，即a b +，与()293a b ab =+−联立，解得6ab =（负值舍去），则ABCS ab=△. 18. 如图，正方形ABCD 边长为4，E 为AB 中点，F 为边BC 上的动点．将ADE 沿DE 翻折到SDE ，BEF △沿EF 翻折到SEF ．（1）求证：SE ⊥平面SFD ；（2）若F 是边BC 上的中点，求点S 到平面DEF 的距离；（3）若1BF >，连接DF ，设直线SE 与平面DEF 所成角为θ，求θ的最大值． 【答案】（1）证明见解析； （2）43； （3）π3. 【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定推理即得.（2）由（1）的结论，利用等体积法求出点到平面的距离.（3）设(14)BF x x =<≤，用x 表示点S 到平面DEF 的距离，进而表示出sin θ，再借助对勾函数的单调性及正弦函数单调性求解即得.为【小问1详解】由正方形ABCD ，得,SE SD SE SF ⊥⊥，而,,SD SF S SD SF =⊂ 平面平面SFD ， 所以SE ⊥平面SFD . 【小问2详解】在SFD中，2,4,SF SD DF =====，显然22220SF SD DF +==，即90DSF ∠= ，142SFD S SF SD =⋅= ， 由（1）知，SE ⊥平面SFD ，于是11842333E SFD SFD V S SE −=⋅=××= ，又211142422426222DEF ADE BEF DCF ABCD S S S S S −−−−××−××−×× 正方形，设点S 到平面DEF 的距离为h ，由S DEF E SFD V V −−=，得18233DEF S h h ⋅==，解得43h =， 所以点S 到平面DEF 的距离为43. 【小问3详解】设S 在平面DEF 上的射影为O ，连接,EO SO ，则SEO ∠为直线SE 与平面DEF 所成角为θ，设(14)BF x x =<≤，则4CF x =−，211144224(4)4222DEF S x x x =−××−×−×−=+ ，SFD中，4,,SD SF x DF ===，由余弦定理得2224(832)2cos 24x x x x DSF x x +−−+−∠==×，sin DSF ∠则1sin 2SFD S SD SF DSF =⋅⋅∠= S DEF E SFD V V −−=， 得1133DEF SFD S SOS SE ⋅=⋅ ，即(4)2x SO +⋅=，解得SO =，因此sin SO SE θ==，t =∈，244sin 55t t t tθ==++，而对勾函数5y t t=+在上递减，在则当t =，即4x =时，5y t t =+sin θπ(0,]2θ∈，所以θ的最大值为π3. 【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起变量的函数，求出函数最值即可.19. 对于一组向量123,,,,n a a a a （N n +∈，且3n ≥），令123n n s a a a a =++++，如果存在({1,2,3,,})m a m n ∈ ，使得||||m n m a s a ≥− ，那么称m a是该向量组的“H 向量”．（1）设(,)(N )n a x n n n +=+∈ ，若3a是向量组123,,a a a 的“H 向量”，求实数x 的取值范围； （2）若ππ(cos ,sin )(N )22n n n a n +=∈ ，向量组12311,,,,a a a a 是否存在“H 向量”？若存在求出所有的“H 向量”，若不存在说明理由；（3）已知123,,a a a 均是向量组123,,a a a 的“H 向量”，其中1(sin ,cos )a x x =，2(3cos ,3sin )a x x =，设在平面直角坐标系中有一点列123,,,,,(N )n P P P P n +∈ 满足1P 为坐标原点，123PP a =，且21k P +与2k P 关于点1P 对称，21k P +与22k P +()k +∈N 关于点2P 对称，求20232024P P的最小值．【答案】（1）[]2,0−;（2）存在“H 向量”为2610,,a a a,理由见解析;（3）8088. 【解析】【分析】（1）利用向量的模的坐标运算即可得到不等式求解；（2）利用向量坐标中的三角函数周期性，结合向量坐标运算即可求解； （3）利用数列的递推思想来研究向量的坐标运算，从而得解. 【小问1详解】由题意可得：33312a s a a a ≥−=+ ，因为(),n a x n n =+ ，所以()()()12=1,12,223,3a a x x x +++++，()33,3a x =+，则()()()()()22223,323,339239360x x x x x x +≥+⇔++≥++⇔+≤， 解得：20x −≤≤； 【小问2详解】假设存在“H 向量”m a，因为ππcos ,sin 122n n n a==， 且44+4cos π,sin πcos π,sin π2222n n n n n n a a ++ ===， 则由题意得：只需要使得111m m s a a −≤=， 又因为()()()()()1234+++0,11,00,11,00,0a a a a =+−+−+=，所以()()()()1112311123++++++0,11,00,11,0s a a a a a a a ⋅⋅⋅+−+−−，则()11ππππ1,0cos ,sin 1cos ,sin 2222m m m m m s a−=−−=−−−，即满足22ππππ1cos ,sin 11cos +sin 12222m m m m−−−≤⇔−−−≤ππ12+2cos1cos 222m m ≤⇔≤−，又因为{}*N 11m x x ∈∈≤， 所以2,6,10m =满足上式，故存在“H 向量”为2610a a a，，； 【小问3详解】由题意得：()222222212312312312233++++2+a a a a a a a a a a a a a a ≥⇔≥⇔≥⇔≥⋅，同理可得：2221133+2+a a a a a ≥⋅ ，22231122+2+a a a a a ≥⋅ ，上面三个式子相加得：()22221231213231230+++2+2+2++0a a a a a a a a a a a a ≥⋅⋅⋅⇔≤，即123++0a a a ≤ ，所以123++0a a a = ，设()3,a u v = ，则由123++0a a a = 得：sin 3cos cos 3sin u x x v x x =−− =−−，设(),n n n P x y =，则依题意得：()()()()()()212111222222222121,2,,,2,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++ =−=− ， 得()()()()()()()222222112222112222,=2,,,4,,,k k k k k k x y x y x y x y x y x y x y ++−− −+=−+()()()2211222,,,k x y x y x y =⋅⋅⋅=−+()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++ =−−+ ,所以()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP++++++ =−−=−=，而()()22212=sin ,3cos +cos 3sin 1012sin cos 106sin 24PP x x x x x x x −−−−=+=+≥ ， 当且仅当()ππZ 4x t t =−∈时等号成立， 故20232024min4101128088P P =××=. 【点睛】关键点点睛：关键是找到向量坐标间的递推关系，然后利用迭代法来求得向量的坐标通项.。
山东省日照市2024届高三上学期期中校际联合考试数学试卷
{bn} ，求{bn} 的前 20 项和T20 .
18．设 VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c cos A = 2a sin B, c = 2b ． (1)求 A； (2)设 D 是 AB 边上靠近 A 的三等分点， CD = 5 ，求 VABC 的面积．
19．已知函数 f ( x) = ax4 + bx3 在 x = 1 处有极值-1.
A．{x -3 < x < -2}
B．{x -2 < x < 1}
C．{x 1 < x < 4}
D．{x -3 < x £ 4}
2．已知复数 z 满足 ( z + 2i)(2 - i) = 5 ，则 z 的共轭复数 z = （ ）
A． 2 - i
B． 2 + i
C． -2 + i
D． -2 - i
3．以点
+
1 4
ö ÷ø
的最大值为
-2
C．若 cos2 a + sin2 b = 1 ，则a = b
D．命题
“
"x
Î
(0,
+¥ )
，
x
+
1 x
>
1”的否定是“
"x
Î
(
0,
+¥
)
，
x
+
1 x
≤1
”
11．已知定义在 R 上的函数 f ( x) 和 g ( x) ， g¢( x) 是 g ( x) 的导函数且定义域为 R .若
A． -64
B． -16
C． 1 64
D． 1 16
山东省日照市2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题含答案
日照市2021级高三上学期期末校际联合考试数学试题2024.1考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1,2,3,4,{3}A B xx =-=<∣，则A B ⋂=（）A.{}1,0,1,2- B.{}1,0,1- C.{}0,1,2 D.{3}xx <∣2.已知锐角α满足4sin 5α=，则πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.7210B.7210-C.210D.210-3.若无穷等差数列{}n a 的公差为d ，则“0d >”是“*,0k k a ∃∈>N ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.实数,,a b c 满足()()251,log 3a c x x x ==+-+∈R ，则,,abc 的大小关系是（）A.a b c >>B.b c a >>C.c b a>> D.a c b>>5.在平行四边形ABCD 中，π2,,4AB AD AE EB BAD ∠==== ，则AC DE ⋅= （）A.2B.C. D.46.设,A B 为两个事件，已知()0.5,()0.3,()0.2P A P B P B A ===∣，则()P BA =∣（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.67.如图，过圆柱轴截面对角线AC 作圆柱的斜截面，所得图形为一个椭圆，将圆柱侧面沿母线AB 展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦型曲线.若该段正弦型曲线是函数2sin (0)y x ωω=>图象的一部分，且其对应椭圆的离心率为12，则ω的值为（）A.36B.33D.28.设体积相等的正方体､正四面体和球的表面积分别为123,,S S S ，则（）A.123S S S <<B.213S S S <<C.312S S S << D.321S S S <<二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（）A.若z ∈R ，则z z= B.若2z ∈R ，则z ∈RC.若()1i 1i z +=-，则1z = D.若210z +=，则iz =10.已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则（）A.()π2cos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.函数()f x 的图象关于直线7π12x =对称C.函数()f x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称D.函数()f x 在π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11.数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布(),B n p，那么当n比较大时，X近似服从正态分布()2,Nμσ，其密度函数为()22()2,,xx xμσμσϕ--=∈R.任意正态分布()2,X Nμσ~，可通过变换XZμσ-=转化为标准正态分布()0,1Z N~.当()0,1Z N~时，对任意实数x，记()Φ()x P Z x=<，则（）A.()()1ΦΦ2x x+-=B.当0x>时，()()2Φ1P x Z x x-≤<=-C.随机变量()2,X Nμσ~，当μ减小，σ增大时，概率()P Xμσ-<保持不变D.随机变量()2,X Nμσ~，当,μσ都增大时，概率()P Xμσ-<增大12.在平面四边形ABCD中，点D为动点，ABD的面积是BCD面积的3倍，又数列{}n a满足13a=，恒有()()1133n nn nBD a BA a BC-+=-++，设{}n a的前n项和为n S，则（）A.{}n a为等比数列B.481a=-C.3nna⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 D.()333nnS n=--三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.5(2)x-展开式中3x项的系数为__________.14.已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一条渐近线为2y x=，则C的离心率为__________.15.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60 角的平面β截该球面得圆N.若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为__________.16.已知函数()sinf x x x=+的图象上存在三个不同的点,,A B C，使得曲线()y f x=在,,A B C三点处的切线重合，则此切线的方程为__________.（写出符合要求的一条切线即可）四､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）已知ABC的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，若2222,a b c ABC-+= 的面积为4.（1）求tan B ；（2）若1b =，求sin sin A C .18.（12分）已知()24nn ≥个正数排成n 行n 列，ij a 表示第i 行第j 列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为q .已知244243131,,816a a a ===.（1）求公比q ；（2）记第n 行的数所成的等差数列的公差为n d ，把12,,,n d d d 所构成的数列记作数列{}n d ，求数列{}n d 的前n 项和n S .19.（12分）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：A 大学B 大学C 大学D 大学2023年毕业人数x （千人）87542023年考研人数y （千人）0.60.40.30.3（1）已知y 与x 具有较强的线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若A 大学的毕业生中小江､小沈选择考研的概率分别为,21p p -，该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求p 的取值范围.参考公式：()()()112211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybay bx x x xnx ====---⋅===---∑∑∑∑.20.（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥,,2BC AB BC AB AD BC AB ⊥===.现将ABD 沿对角线BD翻折到PBD ，使平面PBD ⊥平面ABCD .若平面PAD ⋂平面1PBC l =，平面PAB ⋂平面2PCD l =，直线1l 与2l 确定的平面为平面α.（1）证明：1l ∥BC ；（2）求平面α与平面PAD 所成角的余弦值.21.（12分）已知函数()()()2e1,2e xx f x ax g x a =--=-.（1）若0a <，讨论()()()F x f x g x =+的单调性；（2）若()f x 在区间()0,∞+上存在唯一零点0x ，求证：02a x >+.22.（12分）已知椭圆22:12y T x +=，其上焦点F 与抛物线K 的焦点重合.若过点F 的直线l 交椭圆T 于点,A B ，同时交抛物线K 于点,C D （如图1所示，点,A C 在椭圆与抛物线第一象限交点下方）.（1）求抛物线K 的标准方程，并证明AC BD <；（2）过点F 与直线l 垂直的直线EG 交抛物线K 于点,E G （如图2所示），试求四边形AEBG 面积的最小值.参照秘密级管理★启用前试卷类型：A日照市2021级高三上学期期末校际联合考试数学试题答案2024.1一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-4ACAD5-8ABAC二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.AC10.ACD11.BC12.BCD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.4015.13π16.1y x =+或1y x =-四､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）由余弦定理知：2222cos b a c ac B=+- 在ABC 中，2222,2cos 2a b c ac B -+=∴=，即1cos B ac=又1sin sin 242ABC S ac B ac B ==∴=，即sin 2B ac=sin tan cos 2B B B ∴==.（2）由（1）知2tan 02B =>，则角B 为锐角.223sin cos 1sin 3,sin 2tan cos cos 23B B B B B B B ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪=⎪⎪⎩⎩由正弦定理知：sin sin sin a b c A B C ==，则sin sin ,sin sin a cA B C B b b==，.22sin sin sin sin sin a c acA CB B B b b b∴=⋅=.又1,sin 2b ac B ==，22236sin sin sin sin sin 236ac A C B ac B B b ∴==⋅==.18.解：（1）由题意知414243,,a a a 成等差数列，424313,,816a a ==∴ 其公差为31116816-=，444311164a a =+=，又243444,,a a a 成等比数列，且241a =，∴公比2442414a q a ==，由于0ij a >，故12q =；（2）由424313,816a a ==可得4111181616a =-=，而341111111816a a q a =⨯=⨯=，故1112a =，所以11111122n nn a a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；又24142a a q ==，所以1141411222n n n a a --⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于1234,,,,n n n n a a a a ⋯为等差数列，公差为n d ，所以413n n n a a d =+，即1111123222n nn n d -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以11122111212nn nS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-19.解：（1）由题意得45780.30.30.40.66,0.444x y ++++++====，又4180.670.450.340.310.3i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，41410.3460.40.7i i i x y x y =∴-⋅=-⨯⨯=∑42222218754154i i x ==+++=∑ ，4221415443610i i x x =∴-=-⨯=∑，41422140.7ˆ0.07104i ii ii x y x ybxx ==-⋅∴===-∑∑，所以ˆˆ0.40.0760.02a y bx=-=-⨯=-，故得y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.070.02yx =-；（2）设小江､小沈两人中选择考研的人数为X ，则X 的所有可能值为012､､，()()()201222(1)P X p p p ==--=-，()()()()2122121451P X p p p p p p ==-+--=-+-，()()22212P X p p p p ==-=-，()()()22202(1)1451223E X p p p p p p ∴=⨯-+⨯-+-+⨯-=-，()()0.60.6310.75E X p =⨯-≤，可得34p ≤，又因为010211p p ≤≤⎧⎨≤-≤⎩，可得112p ≤≤，故1324p ≤≤.20.解：（1）在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC 又AD ⊂平面,PAD BC ⊄平面,PAD BC ∴∥平面PAD ，BC ⊂ 平面PBC ，平面PAD ⋂平面1PBC l =，1l ∴∥BC（2）设AB CD Q ⋂=，连接PQ ，则直线2l 为直线PQ ，由（1）知1l ∥BC ，由题意知PD PB =，取BD 的中点O ，连接PO ，则PO BD⊥ 平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ⋂平面ABCD BD=PO ∴⊥平面ABCD取BC 的中点E ，连接DE ，则四边形ABED 为正方形，连接,OA OE ，则OE OB⊥,,OE OB OP ∴两两垂直，以O 为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()0,1,0,2,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,2,1,0B C A D P Q -----，()()()()2,1,1,2,2,0,1,0,1,1,1,0PQ BC PA AD =---=-=--=-设平面α的法向量为()1111,,n x y z = ，则11,n BC n PQ ⊥⊥所以1111120220x y z x y ---=⎧⎨-=⎩，取11y =，得()11,1,3n =- 设平面PAD 的法向量为()2222,,n x y z = ，则22,n PA n AD ⊥⊥所以222200x z x y --=⎧⎨-=⎩，取21y =，得()21,1,1n =-所以121212533cos ,33n n n n n n ⋅==.所以平面α与平面PAD所成角的余弦值为3321.解：（1）由题意知()()()()2g 21xx F x f x x e a e ax =+=+---，求导得，()()()()22221x x x x F x e a e a e a e '=+--=+-，令()()()210xxF x e ae=+-='，得1,2x x a e e ==-，又因为0a <，则10x =，2ln 2a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，①当2a =-时，有120ln 2a x x ⎛⎫===-⎪⎝⎭，此时()()210x F x e =-≥'，所以此时()F x 在R 上单调递增；②当2a <-时，有120ln 2a x x ⎛⎫=<=-⎪⎝⎭，令()0F x '>得：(),0ln ,2a x ∞∞⎛⎫⎛⎫∈-⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()F x 在(),0∞-和ln ,2a ∞⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，令()0F x '<得：0,ln 2a x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()F x 在0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减；③当20a -<<时，有120ln 2a x x ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，令()0F x '>得：()0,,ln 2a x ∞∞⎛⎫⎛⎫∈+⋃-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()F x 在,ln 2a ∞⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和()0,∞+上单调递增，令()0F x '<得：ln ,02a x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()F x 在ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减.综上所述：当2a <-时，()F x 在(),0∞-和ln ,2a ∞⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减；当2a =-时，()F x 在R 上单调递增；当20a -<<时，()F x 在,ln 2a ∞⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减；（2）由题意知()f x 在区间()0,∞+上存在唯一零点0x ，即存在唯一的()00,x ∞∈+，使得()020010x f x eax =--=，即得0201x e a x -=，若要证明02a x >+，则只需证明0200122x e x a x -<-=-，即只需证明()()02200100x e x x -+>>即可，不妨设()22(1)xh x ex =-+求导得()()2221(0)xh x e x x '=-+>，令()()()2221(0)xu x h x ex x -'==+>，继续求导得()2424220x u x e '=->-=>，所以当0x >时，()()2221xh x e x '=-+单调递增，所以()()()222100xh x ex h '=-+>='，所以当0x >时，()22(1)xh x ex =-+单调递增，所以()()22(1)00x h x e x h =-+>=，即当00x >时，有不等式()022010x e x -+>成立，综上所述：若()f x 在区间()0,∞+上存在唯一零点0x ，则02a x >+.22.解：（1）设抛物线K 的方程为22(0)x py p =>，由椭圆T得：1a b ==，则1c =，故抛物线K 的焦点坐标为()0,1，所以12p =，所以抛物线K 的方程为24x y =易知过点F 的直线l 的斜率存在，故可设直线l 方程为1y kx =+，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222210k x kx ++-=，则12122221,22k x x x x k k +=-=-++，所以)2212k AB k +==+.联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得：2440x kx --=，则34344,4x x k x x +==-，则()241CD k ==+又()()BD AC BD BC AC BC CD AB -=+-+=-())()(2222222142141022k k k k k k ++-+=+-=>++，即AC BD<（2）设()()()()11225566,,,,,,,A x y B x y E x y G x y ，当直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 方程为()10y kx k =+≠，则直线EG 方程为11y x k =-+，由（1）的过程可知：)2212k AB k +=+，由()241CD k =+，以1k -替换k ，可得2141EG k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以)()()22222211121111AEBG k S AB EG k k +=⋅==+--+四边形，因为211k +>，所以()()()()2222110,1,10,111k k ∈-∈++，()2242111AEBG S k =>-+四边形当直线l的斜率不存在时，4AB EG ==，所以11422AEBG S AB EG =⋅=⨯=四边形综上所述：AEBG S ≥四边形AEBG面积的最小值为.。
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2024学年山东省日照市日照第一中学数学高三第一学期期末经典试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒2．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1zz+=（ ） A ．32i+ B ．12i+ C ．132i- D ．132i+ 3．下列不等式成立的是（ ） A ．11sincos 22> B ．11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112311log log 32< D ．11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．94B ．5CD ．95．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan21tan 2αα-=+（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．26．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=2，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A -BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ,BF 所成的角为定值7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（ ） A ．52B ．2C ．5D ．1529．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．32363π+ B ．836πC ．3231633π+D ．16833π10．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A ．3-B ．6-C ．4D ．911．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞12．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为()12,0F -，点()0,5A ，点P 为双曲线右支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的实轴长为________，离心率为________.14．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.16．已知半径为4的球面上有两点，，球心为O ，若球面上的动点C 满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为_________.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 23sin x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系. （1）设直线l 的极坐标方程为12πθ=，若直线l 与曲线C 交于两点A ．B ，求AB 的长；（2）设M 、N 是曲线C 上的两点，若2MON π∠=，求OMN ∆面积的最大值.18．（12分）为了解网络外卖的发展情况，某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市，分别调查了甲乙两家网络外卖平台（以下简称外卖甲、外卖乙）在今年3月的订单情况，得到外卖甲该月订单的频率分布直方图，外卖乙该月订单的频数分布表，如下图表所示.订单：（单位：万件） [)3,5[)5,7[)7,9[)9,11频数1223订单：（单位：万件） [)11,13[)13,15[)15,17[)17,19[)19,21频数402020102（1）现规定，月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关. 业绩突出城市 业绩不突出城市 总计 外卖甲 外卖乙 总计（2）由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数Z （单位：万件）近似地服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x （同一组数据用该区间的中点值作代表），σ的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：①从全国各城市中随机抽取6个城市，记X 为外卖甲在今年3月订单数位于区间(4.88,15.8)的城市个数，求X 的数学期望；②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2元，则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？附：①参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.0010k2.702 2.7063.841 5.024 6.635 10.828②若2(,)Z N μσ-，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=.19．（12分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:(12x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系． 20．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示： 等级不合格合格得分[)20,40[)40,60[)60,80[)80,100频数6x24y（Ⅰ）若测试的同学中，分数段[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]、 、 、 内女生的人数分别为28164人、人、人、人，完成22⨯列联表，并判断：是否有90%以上的把握认为性别与安全意识有关？ 是否合格性别 不合格合格总计男生（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ； （Ⅲ）某评估机构以指标M （()()E X M D X =，其中()D X 表示X 的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若0.7M ≥，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21．（12分）椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点)F，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点.O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值.22．（10分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于M ，N 两点.（1）证明：当229a b +取得最小值时，椭圆C 的离心率为2. （2）若椭圆C 的焦距为2，是否存在定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C 【解题分析】判断圆心与直线0x y +=的关系，确定直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称的充要条件是PC 与直线0x y +=垂直，从而PC 等于C 到直线0x y +=的距离，由切线性质求出sin APC ∠，得APC ∠，从而得APB ∠． 【题目详解】如图，设圆22(1)(5)2x y ++-=的圆心为(1,5)C -，半径为2，点C 不在直线0x y +=上，要满足直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称，则PC 必垂直于直线0x y +=，∴15222PC -+==，设APC θ∠=，则2APB θ∠=，21sin 222AC PCθ===，∴30θ=︒,260APB θ∠==︒． 故选：C ．【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线0x y +=对称，得出PC 与直线0x y +=垂直，从而得PC 就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角． 2、C【解题分析】求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【题目详解】121312z i iz i +--==+. 故选：C 【题目点拨】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题. 3、D 【解题分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【题目详解】 对于A ，1024π<<，11sin cos 22∴<，A 错误； 对于B ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，11231122⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误； 对于C ，1221log log 313=>，1331log log 212=<，112311log log 32∴>，C 错误； 对于D ，13y x =在R 上单调递增，11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，D 正确. 故选：D .【题目点拨】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性. 4、A 【解题分析】 利用()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞,求出m ,再变形,利用1的代换,即可求出74a b +的最小值.【题目详解】解：∵()()2222log 217log 116y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦的值域为[),m +∞, ∴4m =, ∴414622a b a b+=++,∴()()141746224622a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()4216219554426244a b a b a b a b +⎡⎤+=++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦, 当且仅当()4262262a b a b a b a b++=++时取等号, ∴74a b +的最小值为94. 故选：A. 【题目点拨】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题. 5、B 【解题分析】结合22sin cos 1αα+=求得sin ,cos αα的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值. 【题目详解】由22sin 2cos 1sin cos 1αααα-=⎧⎨+=⎩，以及3(,)2παπ∈，解得34sin ,cos 55αα=-=-. 1tan 21tan2αα-=+222sin21cos sin cos cos sin 12cos sin 2222222sin cossincos sin cos sin cos sin 2222222221cos2αααααααααααααααααα-⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+311sin 524cos 5αα+-===--. 故选：B 【题目点拨】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题. 6、D 【解题分析】A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【题目详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=，所以AC ⊥平面11BDD B ，又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为11224BEFSEF BB =⨯⨯=为定值，A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==， 所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 12AG AEG GE ∠===， 当1111AC B D F =，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且tan AGAEG GE∠===由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【题目点拨】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内. 7、B 【解题分析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【题目详解】解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ． 【题目点拨】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．8、C 【解题分析】结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC 边长，由此求得AC 边上的高. 【题目详解】过B 作BD CA ⊥，交CA 的延长线于D .由于2cos 3A =-，所以A 为钝角，且25sin 1cos 3A A =-=，所以()()sin sin sin CBA CBA A C π∠=-∠=+5321152sin cos cos sin 32326A C A C -=+=⨯-⨯=.在三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B=，即152515236BC -=-，所以25BC =.在Rt BCD ∆中有1sin 2552BD BC C ==⨯=，即AC 边上的高为5. 故选：C【题目点拨】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题. 9、B 【解题分析】还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果. 【题目详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：2211123622V r h πππ==⨯⨯= 四棱锥体积为：21143238333V Sh ==⨯⨯⨯=原几何体体积为：12836V V V π=+= 本题正确选项：B 【题目点拨】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积. 10、B 【解题分析】根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.【题目详解】根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-则DC = 则CD AB ⊥则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=- 故选：B 【题目点拨】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目. 11、D 【解题分析】利用导数求得()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h 的取值范围. 【题目详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()'111x f x x x-=-+=，所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，()1ln111f h h =-++=+，1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e h =-+.要使在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立， 即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞. 故选：D 【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题. 12、B 【解题分析】根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可． 【题目详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村， 若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村，则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种， 故选：B. 【题目点拨】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。