二阶常系数线性微分方程的解法
高数第4章第5节——二阶常系数线性微分方程
例3 已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶齐次线性 微分 方程的解 , 求该方程 .
解
例4
解
(1)
由题设可得：
2 2
p( x)2x
0, 1
x3
p( x)( ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关
常数
思考:
中有一个恒为 0, 则 必线性 相关
例如 y y 0, 有解 y1 cos x, y2 sin x,
复习: 一阶线性方程 通解:
齐次方程通解Y 非齐次方程特解
2.二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 4.5.3
是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,则 ②
的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.
二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有
特征方程
特征根
r1,2 p
p2 4q , 2
特征根
(1) 特征方程有两个不相等的实根
特征根为r1 p
6Ax 2B x,
A 1,B0, 6
原方程通解为
例13
解 对应齐次方程为 特征方程为 r 2 2r 1 0,
特征根为 r1 r2 1, 故对应齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 1 是特征方程二重根, 可设 y x2( Ax B)e x ,
代入原方程, 得 6Ax 2B x 1, A 1 , B 1 ,
微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解
微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
其中，二阶常系数线性微分方程是一类常见且重要的微分方程类型。
在本文中，我们将探讨如何求解二阶常系数线性微分方程以及特解的求解方法。
首先，我们来了解一下什么是二阶常系数线性微分方程。
二阶常系数线性微分方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = f(x)$$其中，$a$和$b$是常数，$f(x)$是关于自变量$x$的函数。
这个方程中的未知函数是$y(x)$，我们的目标是求解$y(x)$的表达式。
要求解二阶常系数线性微分方程，我们可以先求解其对应的齐次方程，再找到特解，最后将齐次方程的通解与特解相加得到原方程的通解。
齐次方程是指当等号右边的$f(x)$为零时的方程，即：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$齐次方程的解可以通过特征方程来求解。
特征方程是将齐次方程中的导数项全部移到左边，并将未知函数$y(x)$表示为指数函数$e^{rx}$的形式得到的方程。
假设$y(x) = e^{rx}$，代入齐次方程中得到：$$r^2e^{rx} + are^{rx} + be^{rx} = 0将$e^{rx}$提取出来得到：$$e^{rx}(r^2 + ar + b) = 0$$由指数函数的性质可知，$e^{rx}$不可能为零，所以我们得到一个关于$r$的二次方程：$$r^2 + ar + b = 0$$解这个二次方程可以得到两个不同的解$r_1$和$r_2$。
这两个解可以是实数或复数。
根据这两个解，我们可以得到齐次方程的通解：$$y_h(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$$其中，$C_1$和$C_2$是常数。
接下来，我们需要找到二阶常系数线性微分方程的特解。
特解是指使得原方程成立的一个特定解。
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性 微分方程
一、定义 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程的解法 四、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法 五、小结
一、定义
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数齐次线性方程
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
1
′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2 ，y2′ 代入原方程并化简，
u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r + pr1 + q )u = 0,
2 1
知 u′′ = 0,
得齐次方程的通解为
则 y2 = xe r x , 取 u( x) = x, rx rx 1 y = C1e + C2 xe 1
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
r 2 + pr + q = 0
通解的表达式
≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r
1
y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
1
=(C1 + C2 x)er1x;
有两个不相等的实根 (∆ > 0)
r1 = − p+ p 2 − 4q , 2 r2 = − p− p 2 − 4q , 2
两个线性无关的特解
y1 = e ,
r1 x
y2 = e ,
r2 x
二阶常微分方程的几种解法
二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本'''()y ay by f x ++=身的特解之和。
微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。
那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。
而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。
设二阶常系数线性非齐次方程为(1)'''()y ay by f x ++=这里都是常数。
为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程b a 、(2)20k ak b ++=对特征方程的根分三种情况来讨论。
1 若特征方程有两个相异实根。
则方程(1) 可以写成12k 、k'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记 , 则(1) 可降为一阶方程'2z y k y =-由一阶线性方程的通解公'1()z k z f x -= [5]()()[()]p x dx p x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰(3)知其通解为这里表示积分之后的函数是以为自变量的。
1130[()]xk xk tz e f t edt c -=+⎰0()xh t dt ⎰x 再由11230[()]x k xk t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰解得12212()()34012[(())]k k xxuk xk k ue y e ef t dt du c c k k --=++-⎰⎰应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k xxxk xk tk te e y ef t edt f t edt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰(4)1122121200121[()()]x x k x k t k xk t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰2 若特征方程有重根, 这时方程为k 或'''22()y ky k y f x -+='''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'1()xkxkx kt ey key e f t dt c ----=+⎰即10()()x kxkt d e y e f t dt c dx--=+⎰故(5)120()()xkx kt kx kx y ex t e f t dt c xe c e -=-++⎰例1 求解方程'''256xy y y xe -+=解 这里 的两个实根是2 , 32560k k -+=.由公式(4) 得到方程的解是2()x f x xe =332222321200xxx t t x t t x xy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200xxx t x x xe te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132xx x x x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里.321c c =-例2 求解方程'''2ln x y y y e x-+=解 特征方程 有重根1 , .由公式(5) 得到方程的解是2210k k -+=()ln x f x e x =120()ln xx t t x xy ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln xxx xe x t tdt c xe c e =-++⎰1200[ln ln ]xxxx xe x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰21213ln 24x x xx e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是, (6)'''()y py qy f x ++= , (7)'''0y py qy ++=其中 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方p q 、程(7) 的通解。
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
二阶常系数齐次线性微分方程的通解这类方程很特殊，前缀多，范围小，但在物理中经常见到，所以单独讨论。
我们先从二阶线性微分方程入手，y''+P(x)y'+Q(x)y+R(x)=0，若R(x)=0，则为二阶线性齐次微分方程。
进一步地，若系数和x无关，都为常数，即为常系数二阶线性齐次微分方程y''+py'+qy=0.求解这个方程，可以先求出它的两个线性独立的特解，然后通过解的叠加原理得到通解。
设解的形式为y=e^{rx}代入方程即得到(r^2+pr+q)e^{rx}=0 \Rightarrow r^2+pr+q=0.这个等式称为微分方程的特征方程，可见特征方程是一个一元二次代数方程，其解可由求根公式得到。
需要分三种情况讨论：1）特征方程有两个不等实根r_1 \ne r_2则两个特解为y_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}，而\frac{y_1}{y_2} \ne C，故通解为y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.2）特征方程有一对共轭复根r_1=a+bi,r_2=a-bi,b\ne0则两个特解为y_1=e^{ax+bxi},y_2=e^{ax-bxi}，由欧拉公式有y_1=e^{ax}[cos(bx)+isin(bx)],y_2=e^{ax}[cos(bx)-isin(bx)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，运用解的叠加原理，可以凑出新的两个特解y_{11}=\frac{1}{2}(y_1+y_2)=e^{ax}cos(bx),y_{12}=\frac{1}{2}(y_1-y_2)=e^{ax}sin(bx).它们也线性无关，因此通解为y=e^{ax}[C_1cos(bx)+C_2sin(bx)].3）特征方程具有两个相等实根r_1=r_2只能得到一个特解y_1=e^{r_1x}.设\frac{y_2}{y_1}=u(x) \Rightarrow y_2=y_1u(x),代入原微分方程可得到u''=0.不放取u=x作为第二个特解。
一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法
返回
退出
*例2-2 求一阶非线性微分方程
的通解。 解
dy
y2
dx xy x2
dy
y2
dx xy x2 ,
( xy x2 )dy y2dx ;
xydy y2dx x2dy ,
可见，
x2 xdy ydx dy ;
y
xdy ydx dy
x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
; y
d( y ) d(ln | y |) ; x
在极理想的情况下，原方程有可能被 重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式，
人们常称其为已分离变量的形式。 这种方程的解几乎显而易见：
若 f ( x)dx g( y)dy,
则 d
x
f (t)dt d
y
g(t )dt ,
0
0
通解即
x
f (t)dt
y
g(t )dt C .
0
0
解微分方程的过程，本质上是
x2 d( ) dy ;
y x2 d( y) 0 . y
故原方程的通解为
x2 yC
即
y
x2 y2 Cy .
非线性方程的通解（包括特解）
往往用隐函数的形式书写比较简洁。
有些非线性方程偶尔可经变元代换化 成线性方程再求解（有兴趣者可参阅教材 P236之例4与例5），但转换过程琐碎，明 显不如凑微分法来得直接和明快。
(1) y 1 y 0 x
*(2) y 2 y 0
dy 2 ydx 0 , dy yd(2x) 0 ,
解 (1)
y 1 y 0 x
xy y 0 ,
xdy ydx 0 ,
d( xy) 0 ;
故原方程的通解为 xy C 或者
二阶常系数微分方程的求解与应用
二阶常系数微分方程的求解与应用二阶常系数微分方程是高等数学课程中比较重要的一部分，也是电子工程、物理学等领域中常用的数学工具。
本文将介绍如何求解二阶常系数微分方程以及其在实际应用中的一些例子。
一、二阶常系数微分方程的一般形式二阶常系数微分方程的一般形式为：$$y''+ay'+by=0$$其中，$a$和$b$都是常数。
$y''$表示$y$关于自变量的二阶导数，$y'$表示$y$关于自变量的一阶导数。
二、求解二阶常系数微分方程为了求解二阶常系数微分方程，我们可以考虑从数学分析的角度出发，先求得它的通解，然后再根据具体的边界条件得到特解。
二阶常系数微分方程的通解是由两个解线性组合而成的形式，我们可以根据它的特征方程来求解它的通解。
特征方程是指形如$ax^2+bx+c=0$的二次方程，它的根$x_1$和$x_2$决定了通解的形式：$$y=c_1e^{x_1t}+c_2e^{x_2t}$$其中，$c_1$和$c_2$是两个任意常数。
如果特征方程有一个重根$x_1=x_2$，那么通解的形式变为：$$y=(c_1+c_2t)e^{x_1t}$$在求得通解后，我们可以根据具体的边界条件来求解它的特解，从而得到完整的解。
三、实际应用举例二阶常系数微分方程在实际应用中有很多例子，下面我们将介绍其中的几个。
1. 振动问题当物体在受到一定外力的同时又受到回复力的作用时，它会发生振动。
振动问题可以用二阶常系数微分方程来描述。
例如，简谐振动的运动方程为：$$y''+k^2y=0$$其中，$k$为弹簧的劲度系数。
这个方程的通解为：$$y=A\cos kt+B\sin kt$$其中，$A$和$B$都是常数，代表振动的振幅和初相位。
2. 电路问题当电路中存在电感、电容等元件时，它可以表示为一个二阶常系数微分方程。
电路问题的一般形式为：$$L\dfrac{d^2i}{dt^2}+R\dfrac{di}{dt}+\dfrac{1}{C}i=0$$其中，$L$为电感的自感系数，$R$为电阻的电阻系数，$C$为电容的容量系数。
二阶常系数线性微分方程
§6 二阶常系数线性微分方程
高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多， 本节以讨论二阶线性微分方程为主，所得的结果 可以推广到二阶以上的线性微分方程。 定义 形如
d2y dy P( x) Q( x) y f ( x) 2 dx dx 的方程，称为二阶线性微分方程。
E-mail: xuxin@
(ii) 当 是单实根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 但2 + p2 0. Q(x)是 m+1次多项式, 取常数项为零. Q(x) = x Qm(x)
y* xe Qm ( x)
x
E-mail: xuxin@
y (C1 C 2 x)e x .
因=1是特征方程的重根，Pm(x)=x+1,故特解形 式为： 2 x y* x e (ax b).
E-mail: xuxin@
代入原方程中得
6ax 2b x 1.
所以 从而有一特解为
1 1 a ,b . 6 2 1 1 y* x e ( x ). 6 2
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
E-mail: xuxin@
例6 求方程 y''+y=xcos2x 的通解. 解： 特征方程为 r2+1=0, 其根为r1,2= i, 所以对应齐次线性方程的通解为 y = C1cosx + C2sinx. 因 i =2i不是特征方程的根, P1(x)=x, Qn(x)0, 故可设特解为 y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x y*'' = (–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二阶常系数线性微分方程的解法
一、二阶常系数线性微分方程的一般形式
二阶常系数线性微分方程的一般形式为：
$$y''+ay'+by=f(x)$$
其中，$a$和$b$为常数，$f(x)$为一般函数，$y$为未知函数。
二、特征方程
为了解二阶常系数线性微分方程，我们需要首先解决特征方程的问题。
特征方程是由原方程的常系数得到的，它的一般形式为：
$$r^2+ar+b=0$$
关于特征方程的特征根有以下三种情况：
（1）特征根为不相等实数：$r_1\
eq r_2$。
此时，原方程的通解为：
$$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$$
（2）特征根为相等实数：$r_1=r_2=r$。
此时，原方程的通解为：
$$y=c_1e^{rx}+c_2xe^{rx}$$
（3）特征根为共轭复数：$r_1=\\alpha+i\\beta$，$r_2=\\alpha-i\\beta$，其中$\\alpha$和$\\beta$均为实数，而且$\\beta\
eq 0$。
此时，原方程的通解为：
$$y=e^{\\alpha x}(c_1\\cos\\beta x+c_2\\sin\\beta x)$$
其中，$c_1$和$c_2$均为常数。
三、常数变易法
常数变易法是解非齐次线性微分方程的常用方法。
它的基本思路是先假设非齐次项的解为一个函数的形式，然后将它代入原方程，得到关于未知函数的一个代数方程，通过求解这个方程，就能得到非齐次方程的一个特解。
通过常数变易法，设非齐次项的解为$y_p(x)=u(x)v(x)$，其中$u(x)$和$v(x)$均为一般函数。
将$y_p(x)$代入原方程，得到：
$$u''v+2u'v'+uv''+au'v+avu'=f(x)$$
通过适当的选择$u(x)$和$v(x)$，可以让上式左边的部分消去。
一般可以选择
$u(x)$和$v(x)$为特征方程的解，即$u(x)$和$v(x)$满足：
$$u''+au'+bu=0$$
$$v''+av'+bv=0$$
此时，如果特征根为不相等实数或者共轭复数，$u(x)$和$v(x)$可以分别取不同的解，而如果特征根为相等实数，$u(x)$和$v(x)$需要取不同的线性无关解。
再考虑右边的$f(x)$，它是一般函数，所以我们需要找到一个特殊的函数，使得
它为$f(x)$的一个特解。
这个特殊的函数称为待定系数。
一般可以根据$f(x)$的类型，选择相应的待定系数。
以下列举几种情况：
（1）$f(x)=e^{kx}$，可以取待定系数为$y_p(x)=Ae^{kx}$，其中$A$为待定
常数。
（2）$f(x)=\\sin kx$或$\\cos kx$，可以取待定系数为$y_p(x)=A\\sin
kx+B\\cos kx$，其中$A$和$B$均为待定常数。
（3）$f(x)=P_n(x)$，其中$P_n(x)$是$n$次多项式，可以取待定系数为
$y_p(x)=Q_n(x)$，其中$Q_n(x)$为与$P_n(x)$同次的一般多项式，其中系数为待定常数。
四、通解
通过综合齐次方程的通解和非齐次方程的特解，可以得到原方程的通解。
具体的方法是：
$$y=y_h+y_p$$
其中，$y_h$为齐次方程的通解，$y_p$为非齐次方程的特解。
五、实例
例如，假设我们要解一下二阶常系数非齐次线性微分方程：
$$y''+6y'+9y=xe^{-3x}$$
首先我们求解其特征方程：
$$r^2+6r+9=0$$
特征根为$r=-3$，此时特征方程有一个重根，因此我们选择解：
$$y_h=(c_1+c_2x)e^{-3x}$$
接下来我们采用常数变易法求解非齐次方程的特解。
由于$f(x)=xe^{-3x}$是一个$x$和$e^{-3x}$的乘积，我们可以取待定系数为$y_p(x)=(Ax+B)e^{-3x}$。
将$y_p(x)$代入原方程，得到：
$$Ae^{-3x}=0$$
$$(6A-3B)e^{-3x}=-xe^{-3x}$$
$$(-9A+6B)e^{-3x}=0$$
解得$A=0$，$B=-\\frac{1}{18}$，因此非齐次方程的通解为：
$$y=(c_1+c_2x)e^{-3x}-\\frac{1}{18}xe^{-3x}$$
六、总结
二阶常系数线性微分方程是常见的微分方程类型之一，也是一些工程和科学领域中的重要问题所涉及的数学基础。
在解决该类问题时，我们需要掌握特征方程和常数变易法的基本原理和方法，以便有效地求解相应的微分方程，并得到相应的物理解释和实际应用。