泛函分析课程结业论文-Banach不动点定理的推广及其应用

Banach 不动点定理的推广及其应用摘要：本文介绍了Banach 不动点定定理（即压缩映像原理）的几种推广形式，并由两个例子讨论了不动点定理在微分方程及数学分析中的应用。

引言泛函分析作为一门二十世纪初发展起来的学科，以其高度的统一性和广泛的应用性得到了广泛关注和应用。

而不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析的重要组成部分。

泛函分析，特别是非线性泛函分析，在数值计算，非线性问题的求解，微分积分方程等问题的理论研究方面贡献了重要的力量，为计算数学提供了有力的工具，并带来了深远性的变革。

不动点问题的的研究，从二十世纪二十年代开始，由波兰数学家巴拿赫（Banach ）于1922年提出的压缩映射原理而发展了迭代思想，并给出了Banach 不动点定理，该定理有着非常广泛的应用，如线性微分方程，积分方程，代数方程等解的存在唯一性方面的问题均可归结到此定理的推论问题。

本文介绍了Banach 不动点定理的几种推广形式，并讨论其在几个方面的应用。

关键词：不动点定理 推广 应用 1 Banach 不动点定理及其推广定义1 设X 是一个非空的集合，X 叫做距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数(),x y ρ ，满足下面三个条件：(1)(,)0,(,)0,;(2)(,)(,);(3)(,)(,)(,),2(,)(,)0(,).1(n n m x y x y x y x y y x x z x y y z (x y X ).X X (X ).X {x }x y n m Banach ρρρρρρρρρρρρ≥===≤+∀∈→→∞而且当且仅当这里叫做上的一个距离；以为距离的距离空间记做，定义距离空间上的点列叫做基本列，如果如果空间中所有基本列都是收敛的，那么称该空间是完备的.定理不动点定理)(,)2()n -X R F F rouwer ρρΩΩ→ΩΩ压缩映像原理设是一个完备的距离空间，T 是(X,)到其自身的压缩映射.则T 在X 上存在唯一不动点.(即Tx=x 有且仅有一个解)另外还有两个应用较为广泛的不动点定理.定理布劳威尔(Brouwer)不动点定理设为中的有界闭凸集，映像：连续，则在中必有不动点.这个定理证明方法有很多.其定理的表达形式也有若干.基于拓扑度（或向量场旋度）的证明方法是由B (19Alexander Birkhoff Kellogg Dunford Schwartz n Knaster Kuratowski Mazurkiewicz Brouwer 10),（1922）以及以后的许多作者给出的.与（1922）及其后的与（1958）用古典的方法（微积分与行列式）做出了本定理的证明.最直接的证明方法是用代数拓扑的方法，即维单纯形的单纯剖分.这一证明由、和（1929）给出.下面给出不动点定理的拓扑度0()y -y F(x+y)-y F x ∈Ω∈ΩΩΩ理论的证明.证不妨认为，不然，可任取，用，代替与即可；也0()(),01,,()0().deg(,,0)deg(,,0)10n t t t span R F F h x x tF x t x h x x t h id F id ΩΩΩ∂Ω∂Ω=-≤≤∈Ω∉∂Ω-Ω=Ω=≠不妨认为含有内点，否则，用代替即可；总之，可以认为是的一个内点.若在上有不动点，则定理已经被证明.现假定在上没有不动点，考虑同伦显然是与的连续函数，且由度的同伦不变性与标准性，有再**ker ()0.*Kronec x-F x x F(x )=x =由存在定理，知方程必存在解，即有证毕再将定理2推广到无穷维空间，便得到00003? ()Schauder G Banach D D G D D G D ⊂⊂定理肖德尔（）不动点定理设为空间集合上的连续映像，为紧凸集，（），则在中有不动点.将定理1与定理3结合起来就可以得到4(1)K Banach X T G K X x y K T(x)+G(y)K;(2)T K G K T+G K α∀∈∈定理（拉克斯诺谢尔斯基（Kransnoselskii ）定理） 设为空间的一个有界闭凸集，而与是映到的两个映像，满足条件：，，有在上为压缩映像（压缩系数为）；(3)在上是紧连续（或全连续）映像，则组合映像在上有不动点.这个定理对于处理带有扰动的算子方程是非常有用的，例如，可将G 视为扰动算子，研究方程T(x)=x-G(x)的解. 2 不动点定理的应用问题2.1 Banach 不动点定理在微分方程中的应用 考虑如下微分方程：00(),n dx=f(t,x)dtx t x x R f t n x n ⎧⎪⎨⎪=⎩，（2.1.1）其中是中的向量，是实变量和维向量的维向量值函数.在证明微分方程初值问题解得存在唯一性的时候，大部分的文献采用的是采用逐步逼近的近似解的序列加以证明的.用逐次迭代法构造Picard 序列0()(,()),,(1,2,)xn+1n x y x y f x y x dx x I n =+∈=⎰其中00()y x y = ，用归纳法证明了Picard 序列()n y=y x 在I 上是连续的，又因为极限函数()lim (),()n n x y x x I ϕ→∞=∈在区间I上是连续的，然后利用(,)f x y 的连续性和Picard 序列的一致收敛性得到了()y x ϕ=在I 上是积分方程的解，这种方法有其直观实用的优点，但步骤复杂.下面采用压缩映像原理给出对于此问题的简洁证明。

定理2.1（存在唯一性定理）对于式（2.2.1）所示的初值问题如果(,)f t x 在开区域nG R R ⊂⨯中满足下列条件： (1) f 在G 内连续，简记为()f C G ∈,(2) f 关于x 满足局部Lipschitz 条件，即对于点000(,),P t x G ∈∃000{(,)|||,||||}G t x t t a x x b G =-≤-≤⊂和依赖于0P 点的常数0p L ,使得12(,),(,)t x t x G ∀∈有不等式01212(,)(,)||||||p ||f t x f t x L x x -≤-成立，其中||||表示欧氏范数.则问题（2.1.1）在区间*0||t t h -≤上存在唯一解.其中00*(,)10min(,),min(,)max ||(,)||.(2.1.3)p t x G b h h h a L MM f t x ∈<<==证 容易看出，在区间 上初值问题（2.1.1）等价于积分方程*0(,()),|(2.1.4)tt X(t)=x f x d t t |h τττ+-≤⎰的求解问题.取Banach 空间B 为定义在区间*0||t-t h ≤上的一切连续函数所构成的空间.D 为定义在区间*0||t-t h ≤上且图像包含在0G 中的一切连续函数所构成的集合.现定义在连续函数空间**00[,]C t h t +h -上的映射*(,()),|(2.1.5)tt (Tx)(t)=x f x d t t |hτττ+-≤⎰因为0|||||||(,())||||tt Tx x f x d M t t |bτττ-≤≤-≤⎰所以映射（2.1.5）把集合D 映到它本身。

要证明积分方程（2.1.4）存在唯一解，也就是证明映射（2.1.5）存在唯一的不动点：**x Tx =.下面利用Banach 空间的压缩映射原理来证明。

设12,x x D ∀∈，由方程（2.1.4）得*00*01212||12||||||max |||(,())(,())|||max |||(,())(,())|||.tC t t ht t t hTx Tx f x f x d f x f x d ττττττττττ-≤-≤-=-≤-⎰⎰上式右端积分号内为欧氏范数.由Lipschitz 条件（2.1.2）知*000*0001212||120||*12||||max ||||||max ||||||.||||tC p t t ht p t t hp CTx Tx L x x d L x x t t L h x x τ-≤-≤-=-≤--≤-⎰由式（2.1.3）可见， 因此，由式（2.1.5）所定义的映射T 是一压缩映射.据压缩映射原理知其存在唯一不动点.例：不动点定理的应用（证明解的存在唯一性） 对于积分方程1()()()t s ax t e x s ds y t λ--=⎰其中()[0,1]y t C ∈为一给定的函数，λ为常数，||1λ<.求证：存在唯一解()[0,1]x t C ∈. 证：对于上式两边同乘以te -，得到：1()()()ts t ae x t e x s ds e y t λ----=⎰令1()(),()()()()()t t aZ t e x t t e y t Z t t Z s dsξξλ--===+⎰设 1:()()()aT Z t t Z s ds ξλ→+⎰，则111(0,1)(0,1)(,)max |()()|||max |()()|||max |()()|||(,)aat t aTu Tv u s ds v s ds u s v s ds u t V t u v ρλλλλλρ∈∈=-≤-=-=⎰⎰⎰又因为λ为常数，||1λ< .由压缩映射原理可得存在唯一解()[0,1]x t C ∈ .不动点定理除了在微分方程和积分方程中的应用外，在代数方程解的存在唯一性定理证明中也起着重要作用，本文不再具体讨论.。