数学解题思维障碍的突破技巧

数学解题思维障碍的突破技巧

摘要：数学解题能力是衡量学生数学能力高低的一个重要指标，当前高考的能力立意命题也说明高中数学教学要更多的关注学生的数学能力．

本次讲座我们研究下面三个问题：

高中数学解题的思维策略

数学思维障碍的成因与突破

高中数学复习的几点建议

正文：

一．高中数学解题的思维策略

数学思维的变通性―― 根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案

数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案． （1）善于观察

(2006,重庆，理，12)若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-则2a b c ++的最小值为（ ）

A 1

B 1

C ．2

D ．2

【分析】看到给定的条件，感觉应该使用均值不等式求最小值，但变形过程受阻，得不到待求的结构．

【点拨】由,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-得： 2

4a ab ac bc +++=- 221(44422)4

a a

b a

c bc a ab ac bc bc +++=++++ 2221(4442)4

a a

b a

c bc b c +++++≤ 21(2)4

a b c =++

∴ 222)(2)a b c ++≤，则(2a b c ++)≥2．

或者由()4a a b c bc +++=-()()4a c a b ++=-．

又,,0a b c >，∴ 22()()()2a b c a c a

b ++++≤当且仅当b

c =时取等号．

∴ 2331)

a b c ++≥=．解题的关键是发现已知条件和待证结论的变形的具体方向，发现两者之间的关系．

【答案】D

心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉．观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提．

任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系．要想解决它，就必须依据题目的具

体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法．

（2）善于联想

(2002天津理科16) 已知函数()22

1x

x x f +=，那么 ()()()()=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++4143132121f f f f f f f ▁▁▁▁▁▁。 【分析】由于设定的问题较简单，可以直接分别求值，再求和；但问题是，如果待求的和式较复杂怎么办？ 【点拨】联想数列的求和方法，不难发现该式隐藏的秘密所在：1()()1f x f x +=。 【答案】72

。 联想是问题转化的桥梁．稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的．因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入．

（3）善于将问题进行转化

(2004，全国一，12)

已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（ ）

A ．3－21

B ．2

1－3 C ．－21－3 D ．21+3 【分析】由于受给定条件的暗示，考生多第一感觉选择利用重要不等式求最值． 于是联想到222ab bc ca a b c ++≤++，只能得到ab bc ca ++的最大值，似乎求最

小值还需更进一步变形，结果走上不归路，求解失败．

【点拨】再次研究给定的条件，发现由222222

1,2,2a b b c c a +=+=+=可以得到a 、b 、c 的值，即待求目标只能取有限个值，从其中挑选最大的得到最大值，挑选最小的得到最小值．

【答案】B

数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换．可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的．转化是解数学题的一种十分重要的思维方法．那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题．在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系．

思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势．思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题．它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服． 综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现．要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练．

数学思维的反思性――提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信

(2004湖北卷理科6) 已知椭圆19

162

2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为

（A ）59 （B ）3 （C ）7

79 （D ）49 【分析】学生一般会认为P 为直角顶点，从而公式2tan 2S b θ

=求解得到答案C ；

【点拨】通过选项分析，若直角顶点不确定，则应有多个值可选择，而答案没有

提供多值选项，因此，直角顶点是确定的．从图形分析可知，必为焦点，因为有的椭圆并不存在张角为直角的点，于是得到正确答案半个通径．

【答案】D

(2004湖南理20)直线l ：1+=kx y 与双曲线C ：1222=-y x 的右支交于不同的两点A 、

B ．求实数k 的取值范围；

【解析】将直线l 的方程1+=kx y 代入双曲线C 的方程1222=-y x 后，整理得: 022)2(22=++-kx x k ．

依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，

注意到x ≥

，应该利用根的分布求解．而我们多利用韦达定理求解． 222220(2)8(22)0

202202k k k k k k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪>⎪-⎩

,解得k 的取值范围为22-<<-k ． 数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，

不盲从、不轻信．在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关．本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维．

受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思性．因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维．

数学思维的严密性――考察问题严格、准确，运算和推理精确无误

(2004，全国一，15)已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，求{a n }