一元二次方程的实根分布问题

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一元二次方程的实根分布问题

问题1. 试讨论方程02=++c bx x 的根的情况。

（1） 根的个数：b 、c 满足什么条件时，方程有两个不等的实根相等实根无实根

（2） 根的大小：b 、c 满足什么条件时，方程有两个正根两个负根一正根、一负根一根为

（3） 根的范围：b 、c 满足什么条件时，方程两根都大于1都小于1一根小于1，一根大

于1

说明 对于一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根的研究，主要分为四个方面（A ）有没有实数根；（B ）有实数根时，两根相等还是不等；（C ）根的正负；（D ）根的分布范围。

利用根的判别式，可以解决（A ），（B ），结合运用韦达定理，可以解决（C ）。而要解决

（D ），需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识。

&

思路1 （方程思想）设c bx x x f ++=2

)(

（1） 方程0)(=x f 有两个大于1的实根的充要条件是： ⎪⎩

⎪⎨⎧->+-<≥-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-->+≥∆12040)1)(1(2022121c b b c b x x x x （2） 方程0)(=x f 有两个小于1的实根的充要条件是：

⎪⎩

⎪⎨⎧->+->≥-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<+≥∆12040)1)(1(2022121c b b c b x x x x （3） 方程0)(=x f 有一根大于1，一根小于1的充要条件是.1,0)(-<+

^

思路2 （函数思想）设c bx x x f ++=2)(，结合图形，则

（1） 方程0)(=x f 有两根都大于1的条件是：

⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--<⇒⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧>++=≥-=∆>-.104201)1(0

41222c b c b b c b f c b b （2） 方程0)(=x f 有两根都小于1的条件是：

⎪⎩⎪⎨⎧->+≥-->⇒⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧>++=≥-=∆<-.104201)1(041222c b c b b c b f c b b

（3） 方程0)(=x f 有两根一个大于1，小于1的条件是：

.101)1(-<+⇒<++=c b c b f

令n c n b 2,1=+=，导出下题。

…

问题2 关于x 的方程02)1(2=+++n x n x ，分别在下列条件下，求实数n 的取值范围。

（1）有一个根小于—1，一个根大于1；（2）两根均在)1,1(-内。

解：（1）设n x n x x f 2)1()(2

+++=

为使0)(=x f 有一个根小于—1，一个根大于1，则有 320

2)1(102)1(10)1(0)1(-<⇒⎩⎨⎧<+++<++-⇒⎩⎨⎧<<-n n n n n f f 即为所求。 （2）0)(=x f 两根均在)1,1(-内的充要条件是2230121100)1(0)1(-≤<⇒⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<+-<-≥∆>>-n n f f 即为所求。

思考：（1）中为什么不考虑0>∆（2）中为什么要考虑四个条件，缺一行吗

【

问题3 若关于x 的方程0222

=++-a ax x 有两个不同的实数根，且只有一根在[1，2]

内，求a 的取值范围。

解：令a ax x x f ++-=22)(2

，

（1） 若,84,0)2()1(<<<⋅a f f 此时方程在（1，2）上有一根。

（2） 若0)1(=f ，此时a=8, 方程的两根为,5,121==x x 适合题意。

（3） 若0)2(=f ，此时a=4，方程的两根为,221==x x 不适合题意。 综上所述，a 的取值范围是.84≤

说明：在进行一元二次方程根的讨论时，一定要注意是在方程有实根的前提下进行的，所以“≥0”千万不可漏掉，对于一元二次方程根的讨论，通常有以下几种情况： （1）有两个正根的条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-≥∆000a c a b （当a ＞0时，简化为⎪⎩⎪⎨⎧><≥∆000c b ）

！

（2）有两负根的条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥∆000a c a b （当a ＞0时，简化为⎪⎩⎪⎨⎧>>≥∆000c b ）

（3）两根异号的条件是a c

＜0(a ＞0，简化为c ＜0)．

（4）两根异号，且正根绝对值大的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<00a b a c （当a ＞0时，简化为⎩⎨⎧<<00b c ）

（5）两根异号，且负根绝对值大的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<00a b a c （当a ＞0时，简化为⎩⎨⎧><00b c ）

例4如果关于x 的方程2

2x ＋3x ＋5m ＝0的两个实数根都小于1．求实数m 的取值范围． 分析：我们知道，两数1x 、2x 都为负数的条件是⎩⎨⎧>⋅<+002121x x x x ，那么是不是11

2

就可由⎩⎨⎧<⋅<+122

121x x x x 来决定呢不，不能．我们通常是将11--<-+-0)1)(1(0)1()1(2121x x x x 来解决．

解：设原方程的两个根为1x 、2x ，则1x +2x =23

-，1x ·2x =25m

由题意，知1x ﹤1，2x ﹤1，∴ 1x －1﹤0，2x －1﹤0

%

∴ （1x －1）（2x －1）﹥0，1x ·2x －（1x +2x ）+1﹥0，25m+23

+1﹥0

∴ m ﹥－1

又∵ △=9－4×2×5m=9－40m ≥0 ∴ m ≤409

，

∴ ⎪⎩

⎪⎨⎧≤->4091m m ∴ －1﹤m ≤409 说明：利用根与系数的关系确定方程中字母的取值范围时，首先要由△>0（或△≥0），及方程中根的分布情况建立字母系数的不等式组，这里的关键是条件的等价变形与转化．