一元二次方程循环、传染问题
一元二次方程循环、传染问题
循环问题在物理学、生物学、经济学、计算机科学等领域都有应用。其中，迭代算法中最 重要的就是循环问题的解决。
循环问题模型的建立
1
解决矛盾
2
通过分析问题模型，找出各元素之间
的矛盾、不足，进而建立循环问题模
型。
3
问题抽象化
将现实问题描述成模型问题，同时明 确循环结构的形式。
模型求解
利用数学方法（如一元二次方程）求 解模型，解决实际问题。
一元二次方程循环、传染 问题
A study of the application of quadratic equations in cyclic and infectious problems. Topics include problem solving, equations and graphical interpretation, and future research directions.
进一步学习资源收集推荐
推荐广大数学学习者进一步学习研究有关一元二次方程的应用，如优化问题、 波动问题等。
荷兰学派对一元二次方程影响的介绍
蒂尔曼理论
是荷兰数学家蒂尔曼提出的一 种求解不等式的方法，应用范 围被扩展到了包括了一元二次 方程在内的二次方程中。
斯帕克汽车公司
弗罗伦达尔的铅笔&画板
Hale Waihona Puke 斯帕克在它制造的每辆汽车上 都印有一元二次方程，蕴含了 他们一贯的风格：富于科学性 和数学性。此外，斯帕克汽车 也是荷兰学派的代表企业之一。
道路拥堵问题
道路拥堵一般都是由于不断产 生的车流引起的循环问题。
病毒传播问题
在病毒传播的过程中，复现和 扩散便是循环问题，通过一元 二次方程求解可得到病毒传播 的规律。
【精品】一元二次方程应用(传染问题)
【精品】一元二次方程应用(传染问题)受新冠疫情的影响，今年全国多个地方的中考时间延迟了。
新型冠状病毒之所以可怕，其较强的传染性是一个主要原因。
这与我们中考中的“病毒传播”问题的知识点正好契合，所以这个类型的题目应该是各地中考题目中的热点题目。
“病毒传播”问题是初中一元二次方程中的典型题目。
我们看一下例题：
某种病毒传播非常快、如果一台电脑中毒、经两轮感染后就会有81台电脑被感染.
问：（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解答这类问题，要注意“本体”是否还具有“传染性”的问题，此例题中“本体”是具有传染性的，所以可以利用计算“增长率（降低率）”的公式进行解答。
传播问题公式：
其中a表示传染之初携带病毒的个体数量，x表示每轮感染中每个个体可以传染的数量，n表示传播了几轮，b表示经过n轮传播后，已经感染病毒的个体的总数量。
所以这个例题的解答可以为：
从这个问题中，我们也不能看到病毒传播是多么可怕，如果不加以控制隔离，传染速度是多么快。
温馨提示：这个例题中，“本体”具有传播能力，要注意与题目“某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若小分支、枝干和主干的总数是73,则每个枝干长出小分支的个数是多少？”区分开。
巧用一元二次方程，助力疫情防控
巧用一元二次方程，助力疫情防控作者：***来源：《初中生世界·九年级》2022年第09期一元二次方程存在于我们生活的方方面面，以新冠肺炎疫情为背景的问题就有多种题型。
下面，我们通过三个问题，一起来看一下如何用一元二次方程解决此类问题。
一、传播问题例1 新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后可能有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了多少人？【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，那么一轮传染结束后应该有（x+1）人携带病毒，第二轮传染中有（x+1）x人被感染，根据经过两轮传染后可能有169人患新冠肺炎，即可得数量关系：原本携带病毒人数+第一次传染人数+第二次传染人数=总感染人数。
解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有（x+1）x人被感染。
根据题意，得1+x+（x+1）x=169，即（1+x）2=169。
解这个方程，得x1=12，x2=-14（不合题意，舍去）。
答：每轮传染中平均每个人传染了12人。
【点评】用一元二次方程解决实际问题，主要是找准数量关系，而本题的关键点是一轮传染结束后应该有（x+1）人携带病毒，总的感染人数中原本携带病毒的人数不能忘記，然后才能正确列出一元二次方程。
本题中得出来的两个实数根需要进行检验，检查是否符合实际情况，对于不符合题意的答案，我们要舍去。
二、增长（降低）率问题例2 为了有效抗击新冠肺炎疫情，根据国家的政策，某市疫情防控应急指挥部要求全市符合新冠疫苗接种的人群应接尽接，为落实这一要求，某街道统计，7月份共有2500人接种，9月份增加到3600人，如果每月接种人数的增长率相同，求每月接种人数的平均增长率？【分析】设每月接种人数的平均增长率为x，首先有这样的数量关系：变化前的量×（1+平均增长率）=变化后的量。
一元二次方程的应用(传染病)
一元二次方程的应用（传染病)
学习目标：1、通过分析题目中的数量关系,清晰传染病的问题背景，建立数学模型，准确找到等量关系列出方程.
2、通过具体数字两位数的比较,会用字母表示两位数，找到条件中的等量关系。
例1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
针对训练：1、（A层)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台？
2、（B层)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008,求调换位置后得到的两位数。
针对训练：一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后,所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数.
提高题:象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分,平局两个选手各记1分，今有四个同学统计了比赛中全部选手得分总数，分别是1979，1980，1984,1985,经核实确定有一位同学统计无误.则这次比赛中共有________名选手参加.。
一元二次方程传染病公式
一元二次方程传染病公式
摘要：
一、一元二次方程的概述
二、一元二次方程的解法
三、传染病公式的介绍
四、一元二次方程在传染病公式中的应用
五、结论
正文：
【一、一元二次方程的概述】
一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0 的方程，其中a、b、c 是已知数，且a≠0。
它是代数学中的一个基本方程，应用广泛，包括在物理、化学、生物、经济等多个领域。
【二、一元二次方程的解法】
一元二次方程的解法主要有三种：配方法、公式法和韦达定理。
其中，公式法是最常用的方法，其公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。
通过这个公式，可以快速求出一元二次方程的解。
【三、传染病公式的介绍】
传染病公式是用来描述传染病传播过程的一种数学模型，其主要包括三个参数：感染率、恢复率和死亡率。
通过这个公式，可以预测疾病的传播速度和规模，对防控疫情具有重要意义。
【四、一元二次方程在传染病公式中的应用】
在传染病公式中，一元二次方程用来描述疾病的感染过程。
例如，假设某种疾病的感染率为β，恢复率为γ，初始感染人数为x0，那么经过一段时间后，感染人数x 可以表示为一个一元二次方程：x=x0+βx0-γx。
通过求解这个一元二次方程，就可以得到疾病传播的过程和结果。
【五、结论】
一元二次方程作为代数学的基本方程，其在传染病公式中的应用，展示了数学在解决实际问题中的重要作用。
一元二次方程传染病问题例题
一元二次方程传染病问题例题假设某传染病的传播模型可以用一元二次方程来描述，我们来解决一个与这个问题相关的实际例题。
假设某城市爆发了一种传染病，病毒的传播速度和人群的接触频率有关。
为了控制疫情，市政府采取了一系列的措施，包括隔离患者、提高人们的卫生意识等。
为了评估这些措施的有效性，我们希望用一元二次方程来模拟传染病的传播情况。
假设疫情爆发后，人们发现每天新增感染人数呈现出一个明显的二次函数规律，即每天新增感染人数与时间的关系可以用一元二次方程来描述。
我们来构建这个一元二次方程。
设t表示时间（天），S(t)表示累计感染人数，每天新增感染人数为S'(t)。
根据已知条件，我们假设新增感染人数与时间的关系可以用一元二次方程表示，即有：S'(t) = at² + bt + c其中a、b、c为常数，需要根据实际情况确定。
为了确定这些常数，我们需要已知的新增感染人数数据。
假设我们收集了连续7天的数据，如下所示：Day 1：新增感染人数为10人Day 2：新增感染人数为20人Day 3：新增感染人数为40人Day 4：新增感染人数为70人Day 5：新增感染人数为110人Day 6：新增感染人数为160人Day 7：新增感染人数为220人我们将这些数据带入方程中，可以得到如下方程组：a +b +c = 10 (1)4a + 2b + c = 20 (2)9a + 3b + c = 40 (3)16a + 4b + c = 70 (4)25a + 5b + c = 110 (5)36a + 6b + c = 160 (6)49a + 7b + c = 220 (7)为了解这个方程组，我们可以采用高斯消元法或矩阵方法进行求解。
在这里，我们采用矩阵方法。
将这个方程组转化成矩阵形式，有：[ 1 1 1 ] [ a ] [ 10 ][ 4 2 1 ] [ b ] [ 20 ][ 9 3 1 ] * [ c ] = [ 40 ][ 16 4 1 ][ 25 5 1 ][ 36 6 1 ][ 49 7 1 ]我们可以使用矩阵的逆来求解这个方程组。
实际问题与一元二次方程1(传染病)
x
被传染人
x
被传染人
……
……
……
x
开始传染源
x
开始传染源
1
例1：有一人患了流感 ,经过两轮传染后共有121人患 了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析：
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1+x+x(1+x)=121
-12 . 10 x2 ______ x1 _____,
(不符题意，舍去)
x1 5, x2 4(不合题意，舍去 )
作业
书本：第22页第6题 第25页第7题
22.3实际问题与一元二次方程
例1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人 患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析： （1）本题的未知数是什么？ （2）你能用未知数表示第一轮被传染的人数吗？ （3）用未知数第一轮传染后感染的总人数。
（4）用未知数表示第二轮被传染的人数。
（5）用未知数表示第二轮传染后的总人数是，题 目给出的实际总人数是多少？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则第一轮有 x 人被传染，第一轮传染后有 x+1 人 被传染。 第二轮的传染源有 x+1 人，有 x(x+1) 人被传染. 传染后的总人数有 x+1+ x(x+1) 人
被 传 染 人 被 传 染 人
…… ……
被 染 人
小 分 支 小 分 支
…… …… 主 干
小 分 支
小 分 支
支干
……
……
x x
x
支干
答:每个支干长出9个小分支.
1
3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两 队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个 球队参加比赛?
21.3.1 实际问题与一元二次方程(一)传播、循环、数字问题--
21. 3.1 实际问题与一元二次方程（一）传播、循环、数字问题【自主导学】有1个人得流感病，第一轮传染6个人，第一轮过后共有人得流感，第二轮传染时平均每人也传染6人，第二轮被传染了人．第二轮过后共有人得流感．【易错点睛】要组织一次蓝球赛，每两个队都赛一场，计划要安排21场比赛，设赛队的个数是x个，则可列方程为A 夯实基础知识点一数字问题1．若两个数的和为7，这两个数的积为12，则这两个数分别为或.2．若两个连续偶数的积为48，则这个两位数的和为（）A. 6B. 0C. －8D.14或－14知识点二单循环与双循环问题3．一个初中毕业班的每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片．设全班有x名学生，根据题意可列方程为( )A．x (x＋l)=2550 B. x(x－l)=2550 C.2x(x＋l)=2550 D. x(x－l)=2550×24．在一次生日聚会上，有人提议与会的每名同学都与其他同学握一次手. 已知参加这次聚会的所有与会者共握手105次，那么参加此次聚会的同学共有人．5．（2017金赛）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排45场比赛，求参赛球队的个数．知识点三分支问题6．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有64人患了流感，假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，则依题意可列方程为或.7．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A. 8人B. 9人C. 10人D.11人8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？B 综合运用9．【教材变式】（22页习题6改）一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有( )人．A ．12B ．10C ．9D ．810．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为( )A ．25B ．36C ．25或36D ．－25或－3611．【教材变式】（17页习题12改）一个多边形有9条对角线，则这个多边形有多少条边( )A ．6B ．7C ．8D ．912.有一个人换了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感.（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？13.五个连续整数－2，－1,0,1,2满足下面关系：22222(2)(1)0=12-+-++，即前三个连续整数的平方和等于后两个连续整数的平方和，你能否找出五个连续整数，使它们具有上面的性质？C 拓广探索14．【教材变式】（23页活动改）观察下列图形规律：当n 为多少时，图形“．”的个数和“△”的个数相等？n=4n=3n=2n=1。
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循环问题公式：
1 2
x( x 1) a
x( x 1) a
课后作业 P48：4、６
循环问题
例1、要组织一次排球赛，参赛的每个 队之间都要比赛一场，根据场地和时 间等条件，赛程计划安排7天，每天安 排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个 队参赛？
循环问题公式：
1 2 x( x 1) a
１、若两队之间只进行一场比赛（单循环）：
２、若两队之间只进行两场比赛（双循环）：
x( x 1) a
10 答:平均一个人传染了________个人.
(1)如果按照这样的传染速度,三轮传 染后有多少人患流感?
121+121×10=1331人
(2)一开始有2人患了感冒呢？3人呢？
练习: 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后， 共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个 细菌繁殖了多少个细菌？
练习：
小张发信息，收到信息的人再将 此信息发给其他人，经过两轮发 信息后，共有７２人收到信息， 每轮发信息中，平均一个人发给 多少人？
实际问题与一元二次方程
——传染问题
例1、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人 患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分 第二轮传染后 第一轮传染 1+x 1+x+x(1+x) 后 析 1 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传 通过对这个问题的 (x+1) 染了x个人,用代数式表示,第一轮后共有_____人患了流 探究,你对类似的传播 感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人, 问题中的数量关系有 1+x+x(1+x) 用代数式表示,第二轮后共有____________人患了流感. 新的认识吗? 1+x+x(1+x)=121 解方程,得 x 1 _____, x 2 ______ (不合题意,舍去) 10 -12 .