(完整版)22.3实际问题与一元二次方程(传播问题)
人教版九年级上册数学 22.3 实际问题与二次函数 第1课时 传播问题与一元二次方程教案
22．3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的最大面积1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究 探究点：最大面积问题 【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30.(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件(2014·江苏淮安)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得：x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x2＋2x .(3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m－3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.。
22.3.3实际问题与一元二次方程
∴此方程无实数解. ∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
3.甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型 H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了 甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个 传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人 患甲型H1N1流感？
22.3.2实际问题与一元二次方程
商品销售问题
问题：
1. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年片,一种贺年片平均 每天能售出500张,每张盈利0.3元.为了尽快减少库存,商场决定采取 适当的降价措施.调查表明:当销售价每降价0.1元时,其销售量就将 多售出100张.商场要想平均每天盈利达到120元,每张贺年片应降价 多少元? ①销售价在谁的基础上降价？销售量在谁的基础上多？
x 300 x 22500 0
2
解之,得
x1 x2 150 2900-x 2750
所以，每台冰箱的定价应为2750元
学以致用：
1.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖 500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了 赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润 [（50+x) —40] （500 —10 x） 元，销售量为 个，
相等关系为： 总利润=每件商品的利润×件数 列方程为： （500 —10 x）·[（50+x) —40]=8000
解：设每个商品涨价x元，则销售价为（50+x)元，销售量为（500 —10 x）个， 2 则（500 —10 x）·[（50+x) —40]=8000，整理得 x 40x 300 0,
22.3-实际问题与一元二次方程-课件2
即 32 x20 x 540.
化简得：x2 52x 100 0, x1 50, x2 2
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
第16页，共23页。
例4．某林场计划修一条长750m，断面为 等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2， 上口
宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
例. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利 用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有 一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为
S米2，
（1）求S与x的关系式;（2）如果要围成面积为45米2的花 圃，AB的长是多少米？
【解析】(1)设宽AB为x米， 则BC为(24-3x)米，这时面积 S=x(24-3x)=-3x2+24x (2)由条件-3x2+24x=45 化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3 ∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8 ∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米
这里a=1,b=－10,c=30,
b2 4ac (10)2 4130 20 0
∴此方程无解.
答：用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
第4页，共23页。
3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙， 另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所 围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分 别为_______．
第1页，共23页。
上一节，我们学习了解决“流感传
播问题和平均增长(下降)率问题”， 现在，我们要学习解决“面积、体 积问题。
第2页，共23页。
例题解析
1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠 墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该
22.3实际问题与一元二次方程1(传播问题)
一元二次方程
概念
解法
应用
“一元”的； “二次”的； “整式”方程
1.直接开方法； 2.配方法； 3.公式法； 4.因式分解法。
1.会列一元二次 方程； 2.建立数学模型； 3.一般步骤。
复习回顾 列方程解应用题的一般步骤？
（1）审 清题意和题目中的已知数、未知数。
（2）设 未知数(单位名称); （3）列 出方程；
（4）解 这个方程，求出未知数的值；
（5）验 ①值是否是所列方程的解,
②值是否符合实际意义; （6）答 题完整（单位名称）。
2.若一人患流感每轮能传染5人， 6 则第一轮过后共有_____ 人患了流问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人 患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
3. 参加中秋晚会的每两个人都握了一次手，所有 人共握手10次，设有X人参加聚会，则列方程为 （ ）
1.列一元二次方程解应用题的步骤，即
审、设、列、解、验、答
2.温馨提示： 在列一元二次方程解应用题时，由于 所得的根一般有两个，所以要检验这 两个根是否符合实际问题的要求．
作业 布置 第21页复习巩固
分析：（1）题目中的已知量和未知量分别是什么？ （2）若设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么 x 人；第一轮传染后， ①患流感的这个人在第一轮传染中传染了___ x+1 共有 人患了流感. ②在第二轮传染中，传染源是 x+1 人，这些人中每一个人又传 染了 x 人，那么第二轮传染了 (x+1)x 人，第二轮传染后， 共有 1+x+（1+x）x 人患流感. （3）题目中的等量关系是什么？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得方程： 1+x+（1+x）x=121. 解方程得 x1=10 , x2=-12. 因为传染人数不可能为负数，所以x=-12不合题意舍去. 所以 x=10. 答：每轮传染中平均一个人传染了10人.
《实际问题与一元二次方程》(传播、增长率问题问题)课件
探究2：某种植物的主干长出若干数目的支干， 每个支干又长出同样数目的小分支，主干、 支干、小分支的总数是111.求每个支干长出 多少个小分支．设：每个支干长出x个小分支
每两人赠两次
1个人
赠送(x-1)人
共计 x(x-1)图书
探究一：循环问题
2、在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参
加这次聚会，则列出方程正确的是( B )
A．x(x－1)＝10
B. xx 1 10
C. x(x + 1)＝10
D. xx2 1 10
2
1个人
3、某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降 到80元，则平均每次降价的百分率为____2_0_%__．
小结
本节课我们学习了几种问题： 传播问题、增长率问题 解决问题的步骤： 审、设、列、解、答
探究一：循环问题
1、“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互
赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送
设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则第一轮的传染源有 1 人，有 x 人被传染，
第二轮的传染源有 x+1 人，有 x(x+1) 人被传染.
1 x 传染源 1人
每人传染x人
传染了
传染后
结果
（x+1）人
传染源
每人传染x人
传染后
21.3 实际问题与一元二次方程(第3课时) 人教版数学九年级上册同步习题(含答案)
.
答：2 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2． 3、解：（1）设每件衬衫应降价 元.
则依题意，得：（40- ）（20+2 ）=1200，
整理，得
，解得:
.
∴若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价 10 元或 20 元． （2）设每件衬衫降价 元时，商场平均每天赢利最多为 y，
则 y=（40- ）（20+2 ）=
◆典例分析
一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行 25m 后 停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 分析:本题涉及到物理学中的运动知识,具体分析如下: （1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0．因为刹车以后，其速度
∴ （20-4 ）=15,整理得：
,
解方程：得 =
,∴ ≈4.08（不合题意，舍去）， ≈0.9（s）.
∴刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 0.9s.
◆课下作业
●拓展提高
1、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的
人均约为
提高到
若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）
Q
AP
B
3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢
利
40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发
现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出 2 件．
（1）若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
22.3实际问题与一元二次方程(销售问题)
2
x 30 0 .5
x 1 0 .5 = 2 7 5 0 .5
整理得： 2 x 1 1 x 5 = 0 解得：
x1 = 5 ， x 2 = 0 .5
答：当每间商铺的年租金定为15万元或10.5万元时，该公司的年收益为 275 万元.
解：设每件应涨价 x 元，依题意得
5 500 - 10 x =8000
x 40x 300= 0
x1 = 1 0 ， x2 = 30
当x=10时，进货量为： 5 0 0 -1 0 x = 5 0 0 -1 0 1 0 = 4 0 0（个） 当x=30时，进货量为： 500-10x= 500 -1 0 30 = 20 0（个）
40 - x 20 2 x =1200
整理得： 解得：
x 30x 200= 0
x1 = 1 0 ， x2 = 20
2
为了减少库存，则降价越大，售出越多，库存就越少.故应降价20元.
答：要盈利1200元的利润，每件应降价20元.
练习 2
某公司投资新建了一商场，共有商铺 30 间．据预测，当每间 的年租金定为 10 万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000 元，少租出商铺 1 间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元． (1)当每间商铺的年租金定为 13 万元时，能租出多少间？ (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为 275 万元？ (收益＝租金－各种费用) 解：（1）5000元=0.5万元 少租的间数为：（13-10）÷0.5=6（间） 租出的间数为： 30-6=24（间） （2）设每间的年租金增加 x 万元，依题意得
22.3实际问题与一元二次方程
探究2
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生 产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技 术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是 3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元， 哪种药品成本的年平均下降率较大?
自学教材46页探究2，按要求回答下列问题，自学 后能讲解本问题。（6分钟） 1、药品成本年平均下降额与年平均下降率有什么 区别和联系？ 2、列方程求出乙种药品成本的年平均下降率。 3、思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降 额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应 怎样全面地比较对象的变化状况? 4、你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关 系是吗？
B.500(1+x)2=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两 年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器 材投资上的平均增长率是x,则可列方程为
*3.美化城市，改善人们的居住环境 已成为城市建设的一项重要内容。某 城市近几年来通过拆迁旧房，植草， 栽树，修公园等措施，使城区绿地面 积不断增加（如图所示）。（1）根 据图中所提供的信息回答下列问题： 2001年底的绿地面积为 60 。 公顷，比2000年底增了 4 。 公顷；在1999年，2000年，2001年这 三年中，绿地面积增加最多的是 ____________年； 2000 （2）为满足城市发展的需要，计划 到2003年底使城区绿地面积达到72.6 公顷，试求2002年,2003年两年绿地 面积的年平均增长率。
则：(1)第一年的本息和为：2000+2000X(1-20%)x 整理为：2000+1600x;
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）审题，分析题意. 找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量 关系； （2）设未知数. 一般采取直接设法，有的要间接设； （3）寻找数量关系，列出方程. 要注意方程两边 的数量相等，方 程两边的代数式的单位相同； （4）选择合适的方法解方程. （5）检验
因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不 能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，一定 要进行检验 （6）写出答语.
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意得：
1+x+x(1+x)=81 解得： x1=8 ， x2=-9 （不合题意，舍去）
第3轮感染后总电脑台数为：81+81×8=729 >700 答：每轮发送短信一个人要向8个人发送该短信；3轮感染后，被感染的电
脑会超过700台.
第二轮后共有 1 x x1 x 人患了流感．
列方程 1+x+x(1+x)=121
解方程，得 x1=_____1_0_____, x2=_____－__1_2______.
平均一个人传染了____1_0_____个人．
如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
三轮传染的总人数为： 121+121×10 =1331(人)
思考：四轮转染后，有多少人患流感？
1331+1331×10 =14641(人)
有一人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送 人数发送该短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上 获得同一条信息。则每轮发送短信一个人要向多少人发送 该短信？
解：设每轮发送短信一个人要向x个人发送该短信，依题意得：
1+x+x(1+x)=100 解得： x1=9 ， x2=-11 （不合题意，舍去）
探 究1
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患 了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人． 开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个
人，用代数式表示，第一轮后共有 x 1 人患了流感；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式示，
…… ……
小 分
……
小 分
小 分
支
支
支
x
x
支干
……
x
支干
答:每个支干长出9个小分支.
主
1干
（2009广东中考）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑 被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学 过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会 超过700台？
答：每轮发送短信一个人要向9个人发送该短信.
习题22.3 4.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样
数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少
小分支? 解:设每个支干长出x个小分支,依题意得：
x2
1+x+x2=91
小
分
解得,Βιβλιοθήκη 支x1=9, x2=－10(不合题意,舍去)