一元二次方程的应用之传播问题教案资料
一元二次方程应用题1(传播问题)电子教案
解:设每个支干长出x
个小分支,
小 分
小 分
……
小 分
小 分
…… ……
则1+x+x●x=91
支
支
x
支
支x即支干 Nhomakorabea…… 支干
x2x90 0
x
解得, x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
主 干
答:每个支干长出9个小分支.
1
2.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被 感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． 请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台 电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制， 3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
一元二次方程应用题1(传播问题 )
练习：甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型 H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了 甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个 传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人 患甲型H1N1流感？
分析：第一天人数+第二天人数=9，1xx(1x)9
一次足球比赛中第一轮实行单循环赛制，在 每场比赛中赢着计2分，负着记零分，如果平 局双方各计1分，现有四位同学统计比赛各对 得分的总分，分别是551,552,553,554，经核 实只有一位同学统计无误，则这次比赛共有 多少个队参加？
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1、要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每 两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少 个球队参加比赛?
2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共 握手10次,有多少人参加聚会?
3象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每 局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分， 有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979， 1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误 .试计算这次比赛共有多少个选手参加.
一元二次方程的实际运用(传播,变化率,单双循环,面积)
一元二次方程的实际运用一、本讲内容的教材地位一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位。
其中一元二次方程的应用是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点。
它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。
本节是一元二次方程的应用，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型二、教学目标知识与技能：学会利用一元二次方程的知识解决实际问题，将实际问题转化为数学模型。
过程与方法：经历由实际问题转化为一元二次方程的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。
情感、态度与价值观：通过合作交流进一步感知方程的应用价值，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
同时让学生在学习活动中培养合作精神和克服困难的勇气，从而使学生获得成功的体验，建立自信心。
三、重点：培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，学习数学建模思想。
难点：将同类题对比探究，培养学习分析、鉴别的能力。
四、课时2小时五、教学环节安排（一）复习旧知，导入新课（二）师生合作，探究新知（三）自编自创，提升自我（四）课堂练习，巩固新知（五）归纳总结，知识升华（六）作业设计，延伸拓展六、教学过程（一）、复习旧知，导入新课俗话说：“好的开端是成功的一半”同样，好的引入能帮助学生复习旧知识，并起到激发兴趣的作用。
因此我们用学生已学的知识提出问题：列方程解应用题的一般步骤有几步？哪几步？（二）、师生合作，探究新知1、传播问题传播问题虽学生常见，但数量关系较为抽象，所以从谚语入手，让学生有感性认识：“一传十、十传百、百传千千万”在此基础上以学案为载体出示一下问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设计意图：让学生计算三轮后患流感的人数，使学生认识到传染病的危害性。
体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。
问题：1、开始有一人患了流感，第一轮设他传染了x人，则第一轮后，共有个人患了流感。
《用一元二次方程解决“传播问题”》教学设计北京市中关村中学 杨爱青
《用一元二次方程解决“传播问题”》教学设计北京市中关村中学杨爱青一、内容和内容解析1．内容用一元二次方程解决“传播问题”．2．内容解析许多现实问题的数量关系都可以抽象为一元二次方程，与前面所学的方程比较，一元二次方程有更广泛的应用，是初中学生体会和理解数学与外部世界联系的重要载体．探究1以流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题．这类问题在现实世界中有许多原型，例如细胞分裂、信息传播、传染病扩散等．探究1讨论的是两轮的传播，它可以用一元二次方程作为数学模型，相比前面出现的实际问题，它在分析数量关系方面更复杂些，问题情境与实际情况也更接近．二、目标和目标解析1．教学目标（1）通过解决“传播问题”，体验建立方程模型解决问题的一般过程；（2）体会一元二次方程的数学模型作用，增强应用意识和应用能力．2．目标解析（1）理解“传播问题”的问题背景，能找出可以作为列方程依据的主要等量关系，并根据它列出一元二次方程，正确求解所列方程，能检验方程的解是否符合实际意义，得到合乎实际的结果；（2）认识到许多现实问题的数量关系都可以抽象为一元二次方程，通过解“传播问题”的经历，积累问题背景知识，并会把与“传播问题”类似的实际意义问题数学化、方程化．三、教学问题诊断分析本节课是在由实际问题列出一元二次方程，研究其解法的基础上，进一步以“探究”的形式更深入地讨论如何用一元二次方程解决“传播问题”．由于“传播问题”的背景和表达都比较贴近实际，综合性较强，学生缺乏对问题系统、全面的认识，会出现各种认识和理解上的错误，所以在探究过程中正确找到数量关系，建立一元二次方程是主要难点．为此，本节课实施以下三个步骤：（1）由简单问题入手，让学生独立思考然后解答问题，唤起学生对问题的原有认知；（2）针对学生中出现的不同答案（有错有对）再次思考、讨论，形成对问题的初步认识；（3）教师在学生认识的基础上引导学生数学化地解决问题，使学生进一步加深对问题的理解，并独立解决相关问题．四、教学过程设计1．问题引入同学们听说过“一传十，十传百”这句话吗，它出自哪里，本意是什么？“一传十，十传百”语出宋陶谷《清异录·丧葬义疾》：“一传十，十传百，展转无穷，故号义疾．”意思是说，“一个人传染给十个人，十个人传染给一百个人，辗转传染，越传染越多，没有休止，所以这种病叫传染病”．后来人们活用此语，指“言语消息辗转相传，越传越广”．2．对问题的初步认识问题1如果把“一传十”称为第一轮传染，那么两轮之后总共有多少人被传染？师生活动：这里，让学生独立思考，调动学生对“传播问题”的原有认知，通过计算得到答案（121人），也有可能出现错误答案（111人）．【设计意图】设置这个简单的算术问题，是想了解学生对“传播问题”了解多少，程度如何，会出现哪些问题．问题2你是怎么得到答案的？师生活动：这里给学生充分表达、展示的机会，引导学生自我反思，借鉴其他同学的观点，再表达，以澄清问题，修正错误，明确正确答案．【设计意图】设置这个问题，是想针对问题1中学生出现的各种答案，通过讨论交流，引导学生自我反思，然后再交流，达到加深对问题理解的目的．3．对问题的深入探究给出课本第19页的探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？问题3若设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人又传染了人，第二轮后共有人患了流感（用含的代数式表示）．师生活动：教师提出问题，学生思考、回答．【设计意图】通过回答问题，进一步明确“传播问题”的基本数量关系，同时考查学生用代数式表示未知量的能力．问题4你能得到探究1的答案吗？如何得到的？师生活动：学生依据已知条件列方程，解方程，检验方程的解是否符合实际意义，进而得到探究1的答案．教师巡视，及时发现学生解答中的问题，适时引导．【设计意图】让学生经历建模解题的完整过程．问题5如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？师生活动学生独立思考，列出算式，得到答案人．【设计意图】把“传播问题”推广到两轮以上，其基本数量关系不变．通过这个问题的解决，进一步加深学生对“传播问题”的基本数量关系的认识．4．小结问题6通过这节课，你对类似的“传播问题”中的数量关系有什么新的认识？师生活动：请学生回顾“传播问题”的探究过程，并回答问题：若设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮的传染源有人．第一轮有人被传染，共有人患流感；第二轮传染中，这些人又传染了人，第二轮后共有人患了流感；第三轮传染中，这些人又传染了人，第三轮后共有人患了流感；……第n轮后共有人患了流感．【设计意图】设置这个问题，是想在得到探究1的正确解答后，更进一步，引导学生进行题后反思，使学生加深对“传播问题”的认识，感受与“增长率”相关的数学模型中的数量关系．5．巩固应用利用我们在“探究1”中学会的方法，探究下面的问题：某种传染病，传播速度极快，通常情况下，每天一个人会传染给若干人．（1）现有一人患病，开始两天共有人患病，求一人传染给几个人？（2）两天后人们有所察觉，这样平均一人一天以少传染人的速度递减，求再经过两天后，共有几人患病？师生活动：教师提出问题，学生思考、回答．选学生展示解答过程，教师点评．【设计意图】在完成“探究1”之后，通过类似问题让学生刚刚获取的经验得到巩固和深化，进一步熟悉解决问题的方法和过程，从而提高分析问题和解决问题的能力．附：解题过程（1）设每天一人传染了人．列方程，得．解方程，得（不符合题意，舍去）．答：每天一人传染了14人．（2）．答：共有人患病．6．布置作业教科书习题21.3第4，6题．五、目标检测设计甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？【设计意图】考查学生对“传播问题”中的基本数量关系的掌握情况及利用一元二次方程解决综合性问题的能力．。
【精品】一元二次方程应用(传染问题)
【精品】一元二次方程应用(传染问题)受新冠疫情的影响，今年全国多个地方的中考时间延迟了。
新型冠状病毒之所以可怕，其较强的传染性是一个主要原因。
这与我们中考中的“病毒传播”问题的知识点正好契合，所以这个类型的题目应该是各地中考题目中的热点题目。
“病毒传播”问题是初中一元二次方程中的典型题目。
我们看一下例题：
某种病毒传播非常快、如果一台电脑中毒、经两轮感染后就会有81台电脑被感染.
问：（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解答这类问题，要注意“本体”是否还具有“传染性”的问题，此例题中“本体”是具有传染性的，所以可以利用计算“增长率（降低率）”的公式进行解答。
传播问题公式：
其中a表示传染之初携带病毒的个体数量，x表示每轮感染中每个个体可以传染的数量，n表示传播了几轮，b表示经过n轮传播后，已经感染病毒的个体的总数量。
所以这个例题的解答可以为：
从这个问题中，我们也不能看到病毒传播是多么可怕，如果不加以控制隔离，传染速度是多么快。
温馨提示：这个例题中，“本体”具有传播能力，要注意与题目“某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若小分支、枝干和主干的总数是73,则每个枝干长出小分支的个数是多少？”区分开。
第1课时 用一元二次方程解决传播问题
x（x-1）=780，即（x-40）（x+39）=0.
解得x=40或x=-39（舍去）．
故李老师所教班共有40名学生．
《名校课堂》
名 校 名 师 打 造 更 多 名 校 选 择
名
校
训 讲
坛
跟踪训练2：某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场 地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队 参赛？ 解：设比赛组织者应邀请x队参赛.由题意,得 x ( x 1) =4×7． 2 解得x1=8，x2=-7（舍去）. 答：比赛组织者应邀请8队参赛．
《名校课堂》
名 校 名 师 打 造
更 多 名 校 选 择
名
校
讲
坛
跟踪训练3：一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位 数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数． 解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为（6-x）.根据题意,得 [10（6-x）+x][10x+（6-x）]=1008，即x2-6x+8=0. 解得x1=2，x2=4. ∴6-x=4，或6-x=2. ∴10（6-x）+x=42或10（6-x）+x=24. 答：这个两位数是42或24．
《名校课堂》
名 校 名 师 打 造 更 多 名 校 选 择
名
校
讲
坛
【方法归纳】传播类问题规律： （1）设开始数量为1，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b,则所列方程为 （1+x）n=b； （2）设开始数量为a，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b,则所列方程为a （1+x）n=b.
一元二次方程的应用之传播问题
（设老师所教班级有 名x学生）
问题：
1、则每个人与 x 1 人握手。
2、全班共握手
1 xx
2
3、依题意，可列方程
1次 （用含有 x 的式子表示）1 xx 1 Fra bibliotek7802
为
。
在老师所教的班级中，每两个学生都
握手一次，全班学生一共握手780次， 那么谁能计算出老师所教的班级共有多 少名学生？ 解：设老师所教的班x 级共有 名学
保护易感人群
(列出方程即可)
有2人患了流感，经过两轮传染后共有288 人患了流感，则每轮传染中平均一个人传 染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人x 传染了 个人 依题意得，2 2x x(2 2x) 288
整理得：2(x 1)2 288
1、有一人患了流感，经过两轮传染后共
有121人患了流感，,每轮传染中平均一
1个人x 传x染1了 x几 个1人21？
x 12 121
2、有2人患了流感，经过两轮传
2染传猜想染后2x：中共有x3平有(人2 均2患28了x一8)流人个感2患8人，8了经传流过染两感了轮，2几传x则染个1后每人2共轮？有285807人
患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了几个
人？
x
3 x 1 507 设每轮传染中平均一人传染了2 个人，可列方程为
生，依1题x意x得：1 780
2 整理得:x2 x 1560 0
解得：x1 40
x2 39 （不符题意，舍 去）
答：老师所教班级共有40
名学生。
总结：
线段的条数
角的个数
三角形的个数
对角线的条数
(列出方程即 可) 1、参加一场篮球比赛的 每两队之间都要进行一次比赛，总
21.3第1课时传播问题与一元二次方程2
21.3第1课时传播问题与一元二次方程221.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、教材分析：本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，不但在中考中体现，延伸到高中的教学中也有广泛的应用。
现在又将曾一度删去的内容恢复，可见根系关系的重要，它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路。
二、学情分析：1.学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。
2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
?本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精学法指导1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。
2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。
3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。
填写下表一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-5x+6=0 2x2+5x+3=0 3x2-2x-8=0 【设计意图】二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与猜想根和、根积与系数之间的关系设是方程的两个根。
【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出x1和x2的值，接下来将字母系数表示的x1和x2的值代入相应的代数式??x1+x2和x1x2?得出根系关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀（二）尝试发展试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）2x2-3x+1=0x1+x2=________x1x2=________（2）3x2+5x=0x1+x2=________?????x1x2=________????（3）x2+x-2=0x1+x2=_________????x1x2=_________?（4）5x2+kx-6=0x1+x2=_________????x1x2=_________【设计意图】本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根系关系应掌握的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法尝试题1、已知方程6x2+kx-5=0的一个根为，求它的另一个根及k的值。
一元二次方程应用题(传染问题)
解方程
01
解方程(x = k cdot t^2)，得到(x = frac{k}{2} cdot t^2)或(x = frac{k}{4} cdot t^2)。
02
解方程(x = N cdot (1 - e^{-kt}))， 得到(x = N cdot e^{-kt})或(x = N cdot (1 - e^{-kt}))。
详细描述
使用已知数据和方程求解，预测未来一段时间内的感染 人数。
控制阶段
总结词：制定策略，实施 控制
根据预测结果，制定有效 的防控策略，如隔离、治 疗、宣传等。
详细描述
实施控制策略，监控实施 效果，及时调整策略以应 对变化的情况。
04 问题的分析
传播速度的影响
传播速度越快，感染人数增长越快
一元二次方程的解与方程的系数有关，其中系数a代表传播速度。当a越大，方 程的解x也越大，意味着感染人数增长越快。
结合其他数学方法和技术， 如大数据分析、人工智能 等，进一步完善疾病传播 的预测模型。
建议三
加强国际合作，共同研究 传染问题的数学模型，为 全球公共卫生事业做出贡 献。
对实际应用的建议
建议一
政府和医疗机构应重视一元二次方程 等数学模型在传染问题中的应用，加 强数据收集和分析，制定科学合理的 防控策略。
初始感染人数的变化影响最终感染人数
如果初始感染人数增加，最终感染人数也将相应增加。反之，如果初始感染人数 减少，最终感染人数也将相应减少。
控制措施的影响
控制措施可以降低传播速度和初始感染人数
采取有效的控制措施，如隔离、戴口罩、社交距离等，可以降低传播速度和初始感染人数，从而减缓 感染人数的增长速度。
建议二
建议三
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小新
小新
E
小新
设有 x 个人，
把 x个人看成 x 个点，
两个人握手相当于两点所连 线段
每一个点都引 x 1条线段 x个点可以引 xx 1 条线段
线段AB与线段BA是同一条线 段，发生重复 同理，每两点所连线段都重 复一次， 所以要乘以 1
2
在老师所教的班级中，每两个学 生都握手一次，全班学生一共握 手780次，那么谁能计算出老师 所教的班级共有多少名学生？
1 xx 1 780
2 整理得: x2 x 1560 0
解得： x1 40
x2 39 （不符题意，舍去）
答：老师所教班级共有40名学生。
总结：
线段的条数
角的个数
三角形的个数
对角线的条数
(列出方程即可)
1、参加一场篮球比赛的 每两队之间都要进行一次比赛，总
共比赛45场，则共有多少个球队参加比赛？
解：设有 x 个球队参加比赛，依题意得，
1 xx 1 45
2
2、过年了，学生互发短信拜年，共发送短信 110条，则这个 小组有多少个成员？
x 解：设这个小组有 个成员，依题意得
xx 1 110
思考: 何时乘以 1 2
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感 ，则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
2 2x x(2 2x) 288
2x 12 288
猜想：有3人患了流感，经过两轮传染后共有507人患了流感，
则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
x 设每轮传染中平均一人传染了 个人，可列方程为
3x 12 507
(1 x)2 121
2(1 x)2 288 3(1 x)2 507
传播问题
在老师所教的班级中，每两个学生都握 手一次，全班学生一共握手780次，那 么你知道老师所教的班级共有多少名学 生吗？
（设老师所教班级有 x名学生）
问题： 1、每个人与 x 1 人握手。
2、全班共握手 ）
次（用含有 x的式子表示
3、依题意，可列方程为
。
B
小新
A
x 个点
. .. 小新
F
C
小新
4、可列方程为 1 x x1 x 121即。(1 x) 2 121
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了 流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了 x个人.
1 x x1 x 121 或 x 12 121
x x 解方程,得
__1_0__, __-_1_2__ .(不合题意,舍去)
解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人依题意得，
2 2x x(2 2x) 288
整理得： 2(x 1)2 288
1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患 了流感，,每轮传染中平均一个人传染了几个人？
1 x x1 x 121
x 12 121
2、有2人患了流感，经过两轮传染后共有288人患 了流感，则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意得：
1+x+x(1+x)=81
解得： x1=8 ， x2=-9 （不合题意，舍去）
第3轮感染后总电脑台数为：
81+81×8 =729 >700
答：每轮发送短信一个人要向8个人发送该短信；3轮感染后，被感染的电脑会超过700台. Nhomakorabea1
2
答:每轮传染中平均一个人传染了_1_0__个人. 你能快
如果按照这样的传染速度 三轮传染后有多少人患了流感?
速写出 吗?
121+121×10=1331人
总结：
1
10
121
1331
怎样预防传染病的传播呢？
控制传染源
切断传播途径
保护易感人群
(列出方程即可)
有2人患了流感，经过两轮传染后共有288 人患了流感，则每轮传染中平均一个人传 染了几个人？
（设老师所教班级有 x名学生）
问题： 1、则每个人与 x 1 人握手。
2、全班共握手
1 xx
2
3、依题意，可列方程为
1次（用含有x 的式子表示）
1 xx 1 780
2
。
在老师所教的班级中，每两个学生都
握手一次，全班学生一共握手780次， 那么谁能计算出老师所教的班级共有多 少名学生？
解：设老师所教的班级共有 x名学生，依题意得：
猜想：有 m 个人患了流感，经过两轮传染后共有 n 个 人
患了流感 则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
x 解：设每轮传染中平均一个人传染了 个人，依题意得,
m(1 x)2 n
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过 两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知 识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若 病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不 会超过700台？
问题：
1、开始有一人患了流感，第一轮设他传染了x 个人，则第一轮后，
共有 1 x 个人患了流感。
2、在第二轮中， 这些人中的每个人又传染了x 个人，则第二轮中
总
共传染了 x1 x 个人。 3、第二轮后 ，共有 1 x x 1 x 即 (1 x)2 个人
患了流感（用含有 x 的式子表示）