2020高中数学苏教版必修一2.5.2用二分法求方程的近似解word课后练习题

2．5.2 用二分法求方程的近似解

课时目标

1.理解二分法求方程近似解的原理.

2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.

3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．

1．二分法的概念

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：

(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0；

(2)求区间(a，b)的中点c；

(3)计算f(c)；

①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；

③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．

(4)判断是否达到题目要求；否则重复(2)～(4)．

一、填空题

1．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]

的中点，则f(x0)＝________.

2．下列图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点的是________．(填序号) 3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 007)<0，f(2 008)<0，f(2 009)>0，则下列叙述正确的是________．(填序号)

①函数f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点；

②函数f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点；

③函数f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个；

④函数f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点．

4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．

5．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上的零点有____个．

6．已知x0是函数f(x)＝2x＋1

1－x

的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则下列各式中正确的是________．(填序号)

①f(x1)<0，f(x2)<0；②f(x1)<0，f(x2)>0；

③f(x1)>0，f(x2)<0；④f(x1)>0，f(x2)>0.

7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)

①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；

⑥

8.0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．

9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.70)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确到为0.1)．

二、解答题

10．确定函数f(x)＝

1

2

log x＋x－4的零点所在的区间．

11．设函数g(x)＝－6x3－13x2－12x－3.

(1)证明：g(x)在区间(－1,0)内有一个零点；

(2)求出函数g(x)在(－1,0)内的零点(精确到0.1)．

能力提升

12．下列是关于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]的命题：

①若x 0∈[a ，b ]且满足f (x 0)＝0，则(x 0,0)是f (x )的一个零点；

②若x 0是f (x )在[a ，b ]上的零点，则可用二分法求x 0的近似值；

③函数f (x )的零点是方程f (x )＝0的根，但f (x )＝0的根不一定是函数f (x )的零点； ④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．

那么以上叙述中，正确的个数为________．

13．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？

1．函数零点的性质：

从“数”的角度看：即是使f (x )＝0的实数；

从“形”的角度看：即是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标；

若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与x 轴相切，则零点x 0通常称为不变号零点； 若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与x 轴相交，则零点x 0通常称为变号零点．

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f (a )·f (b )<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．

2．关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点：

(1)第一步中要使：①区间长度尽量小；②f (a )·f (b )的值比较容易计算且f (a )·f (b )<0.

(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的，对于求方程f (x )＝g (x )的根，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，函数F (x )的零点即为方程f (x )＝g (x )的根．

2．5.2 用二分法求方程的近似解

作业设计

1．0.625

解析 由题意知f (x 0)＝f (1＋22

)＝f (1.5)，代入解析式易计算得0.625. 2．②③④

解析 由①中的图象可知，不存在一个区间(a ，b )，使f (a )·f (b )<0，即①中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．

3．④

4．(1.25,1.5)

解析 ∵f (1)·f (1.5)<0，x 1＝1＋1.52

＝1.25. 又∵f (1.25)<0，∴f (1.25)·f (1.5)<0，

则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．