高考数学一轮复习第八章立体几何第五节空间向量及其运算和空间位置关系课件理
【原创】高考理科数学一轮复习 第八章 第五节 空间向量及其运算和空间位置关系
考法三 空间向量数量积的应用
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[例 3] 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，
E，F 分别是 C1D1，D1D 的中点．若正方体的棱
长为 1.求 cos〈―C→E ，―A→F 〉． [解] ∵|―C→E |＝ C1E2＋CC21＝ 14＋1＝ 25＝|―A→F |， ∴―C→E ·―A→F ＝|―C→E ||―A→F |co〈s ―C→E ，―A→F 〉＝54co〈s ―C→E ，―A→F 〉． 又∵―C→E ＝―CC→1 ＋―C1→E ，―A→F ＝―A→D ＋―D→F ， ∴―C→E ·―A→F ＝(―CC→1 ＋―C1→E )·(―A→D ＋―D→F ) ＝―CC→1 ·―A→D ＋―C1→E ·―A→D ＋―CC→1 ·―D→F ＋―C1→E ·―D→F ＝|―CC→1 ||―D→F |
＋―P→C )＝―PQ→－12―PA→－12―P→C ，∴x＝y＝－12.
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(2)―P→ A ＝x―PO→＋y―PQ→＋―PD→. [解] ∵―PA→＋―P→C ＝2―PO→， ∴―PA→＝2―PO→－―P→C . 又∵―P→C ＋―PD→＝2―PQ→，∴―P→C ＝2―PQ→－―PD→. 从而有―PA→＝2―PO→－(2―PQ→－―PD→)＝2―PO→－2―PQ→＋―PD→. ∴x＝2，y＝－2.
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)×
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二、填空题 1．如图，已知空间四边形 ABCD，则13―A→B
＋13―B→C ＋13―C→D 等于________． 答案：13―A→D 2．已知 i，j，k 为标准正交基底，a ＝i＋2j＋3k ，则 a 在 i
方向上的投影为________． 答案：1
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2024年高考数学一轮总复习讲义 第五讲 空间向量及其运算
直线 l⊥平面α，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显
然一个平面的法向量有 无数 个，它们是共线向量．
知识点四 空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线 l1，l2 的方向向量分别为 n1，n2
l1∥l2 l1⊥l2
n1∥n2⇒n1＝λn2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0
l∥α 直线 l 的方向向量为 n，平面α的法向量为 m
空 间 两 点 P1(x1 ， y1 ， z1) 、 P2(x2 ， y2 ， z2) 之 间 的 距 离 为 |P1P2| ＝
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
知识点三 两个重要的向量
1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向
向量有 无数 个．
2．平面的法向量
l⊥α
n⊥m⇔m·n＝0 n∥m⇔n＝λm
平面α、β的法向量分别为 n、m
α∥β α⊥β
n∥m⇔n＝λm n⊥m⇔n·m＝0
归纳拓展
1．向量三点共线定理
在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：O→A＝xO→B＋yO→C(其中 x＋y＝1)，
O 为平面内任意一点．
2．向量四点共面定理
在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其中
连接 AQ 并延长交 BC 于 H，
则P→Q＝P→A＋2A→H 3
＝P→A＋2(P→H－P→A)＝1P→A＋2P→H
3
33
＝1P→A＋2×1(P→B＋P→C) 3 32
＝1P→A＋1P→B＋1P→C，B 正确； 33 3
因为四面体 P－ABC 各棱长都相等，则|P→B|＝|A→B|＝|B→C|，∠PBA＝∠PBC＝
空间向量与立体几何复习课ppt课件
一、空间向量及其运算
（一）基本概念 1. 空间向量：空间中具有大小和方向的量 叫做向量． 2. 空间向量也用有向线段表示，并且同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3. 向量的模：向量的大小叫向量的长度或 模。即表示向量的有向线段的长度。 4. 单位向量：模是 1 的向量。
5. 零向量：模是 0 的向量。零向量的方向 是任意的。有向线段的起点与终点重合。
a b
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向 量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
3.空间向量基本定理:如果两个向量 a 、b、c 不共面, 则对空间中的任意向量 p ，存在唯一的有序实数对 (x, y , z) 使 p xa yb zc .
(二)、空间角的向量方法：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法பைடு நூலகம்量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos cosa b ；
2
直线 l 与平面 所成角 ( 0 ≤ ≤ ), sin cosa u ；
2
二面角 ─l ─ 的为 ( 0≤ ≤ ), cos cosu v.
中国历史上吸烟的历史和现状、所采 取的措 施以及 由此带 来的痛 苦和灾 难，可 以进一 步了解 吸烟对 人民健 康的危 害，提 高师生 的控烟 意识
理论知识点
一、空间向量及其运算
1、基本概念；
2、空间向量的运算；
3、三个定理；
4、坐标表示。
二、立体几何中的向量方法
1、判断直线、平面间的位置关系； 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。
(苏教版)高考数学一轮复习第八章立体几何第五节空间向量的运算及应用教案理(解析版)
1．空间向量及其有关概念2．数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.(2)向量的坐标运算：[小题体验]1．已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b|＝________. 答案：2 62．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ＝________. 答案：6573．已知直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的法向量n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥平面α，则x 的值为________．解析：因为线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量， 故－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0，解得x ＝± 2. 答案：± 21．共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0. 2．共面向量定理中，注意有序实数对(x ，y )是唯一存在的．3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误认为是共面向量． [小题纠偏]1．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ＋μ＝________. 解析：因为a ∥b ，所以b ＝k a ， 即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧6＝k λ＋1，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12， 所以λ＋μ＝±52.答案：±522．若AB ―→＝λCD ―→＋μCE ―→，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________． 解析：因为AB ―→＝λCD ―→＋μCE ―→，所以AB ―→，CD ―→，CE ―→共面， 所以AB 与平面CDE 平行或在平面CDE 内． 答案：平行或直线AB 在平面内3．(2019·无锡检测)已知平面α的法向量为n ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为m ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则实数k 的值为________．解析：由α⊥β，得m ·n ＝－2－8－2k ＝0，解得k ＝－5. 答案：－5考点一 空间向量的线性运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AA 1―→＝a ，AB ―→＝b ，AD ―→＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP ―→；(2)A 1N ―→； (3)MP ―→＋NC 1―→.解：(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP ―→＝AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1P ―→＝a ＋AD ―→＋12D 1C 1―→＝a ＋c ＋12AB ―→＝a ＋c ＋12b.(2)因为N 是BC 的中点，所以A 1N ―→＝A 1A ―→＋AB ―→＋BN ―→＝－a ＋b ＋12BC ―→＝－a ＋b ＋12AD ―→＝－a ＋b ＋12c .(3)因为M 是AA 1的中点，所以MP ―→＝MA ―→＋AP ―→＝12A 1A ―→＋AP ―→＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ， 又NC 1―→＝NC ―→＋CC 1―→＝12BC ―→＋AA 1―→＝12AD ―→＋AA 1―→＝12c ＋a ，所以MP ―→＋NC 1―→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c. [谨记通法]用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立． 考点二 共线、共面向量定理的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．若A (－1,2,3)，B (2,1,4)，C (m ，n,1)三点共线，求m ＋n 的值． 解：AB ―→＝(3，－1,1)，AC ―→＝(m ＋1，n －2，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得AC ―→＝λAB ―→. 即(m ＋1，n －2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λ，n －2＝－λ，－2＝λ，解得λ＝－2，m ＝－7，n ＝4.所以m ＋n ＝－3.2．如图所示，已知斜三棱柱ABC A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→(0≤k ≤1)．判断向量MN ―→是否与向量AB ―→，AA 1―→共面． 解：因为AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→， 所以MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→ ＝kC 1A ―→＋AB ―→＋k BC ―→ ＝k (C 1A ―→＋BC ―→)＋AB ―→ ＝k (C 1A ―→＋B 1C 1―→)＋AB ―→ ＝kB 1A ―→＋AB ―→＝AB ―→－kAB 1―→＝AB ―→－k (AA 1―→＋AB ―→) ＝(1－k )AB ―→－kAA 1―→，所以由共面向量定理知向量MN ―→与向量AB ―→，AA 1―→共面．[由题悟法]应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较[即时应用]如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的菱形，∠ABC ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3.F 在棱P A 上，且AF ＝1，E 在棱PD 上．若CE ∥平面BDF ，求PE ∶ED 的值．解：取BC 的中点G ，连结AG ，因为四边形ABCD 是∠ABC ＝60°的菱形，所以AG ⊥AD ，又P A ⊥平面ABCD ，故以A 为原点，分别以AG ―→，AD ―→，AP ―→为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz .则D (0,3,0)，F (0,0,1)，B ⎝⎛⎭⎫332，－32，0，P (0,0,3)，C⎝⎛⎭⎫332，32，0，DF ―→＝(0，－3，1)，DB ―→＝⎝⎛⎭⎫332，－92，0，PD ―→＝(0,3，－3)，CP ―→＝⎝⎛⎭⎫－332，－32，3，设平面BDF 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF ―→＝0，n ·DB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3y ＋z ＝0，332x －92y ＝0，令y ＝1，则x ＝3，z ＝3，所以n ＝(3，1,3)． 设PE ―→＝λPD ―→＝(0,3λ，－3λ)，则CE ―→＝CP ―→＋PE ―→＝⎝⎛⎭⎫－332，－32＋3λ，3－3λ，因为CE ∥平面BDF ，所以n ·CE ―→＝0，解得λ＝12.所以PE ∶ED ＝1.考点三 利用向量证明平行与垂直问题 重点保分型考点——师生共研[典例引领]在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 为BB 1上的一点，且EB 1＝1，点D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ；(2)平面EGF ∥平面ABD .证明：(1)以点B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x 轴， y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以BA ―→＝(a,0,0)，BD ―→＝(0,2,2)，B 1D ―→＝(0,2，－2)， 因为B 1D ―→·BA ―→＝0＋0＋0＝0，B 1D ―→·BD ―→＝0＋4－4＝0，所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD . 又BA ∩BD ＝B ， 所以B 1D ⊥平面ABD .(2)由(1)知，E (0,0,3)，G ⎝⎛⎭⎫a2，1，4，F (0,1,4)， 则EG ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，1，EF ―→＝(0,1,1)， 因为B 1D ―→·EG ―→＝0＋2－2＝0，B 1D ―→·EF ―→＝0＋2－2＝0， 所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，所以B 1D ⊥平面EGF . 由(1)可知，B 1D ⊥平面ABD ， 所以平面EGF ∥平面ABD .[由题悟法]1．利用向量法证明平行问题的类型及方法 (1)证明线线平行：两条直线的方向向量平行． (2)证明线面平行：①该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示． (3)证明面面平行：两个平面的法向量平行． 2．利用向量法证明垂直问题的类型及方法(1)证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为0. (2)证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行． (3)证明面面垂直：①其中一个平面与另一个平面的法向量平行； ②两个平面的法向量垂直．[即时应用]如图，四边形ABEF 与四边形ABCD 是两个全等的正方形，且平面ABEF 与平面ABCD 互相垂直，M ，N 分别是AC 与BF 上的点，且CM ＝BN .求证：(1)MN ⊥AB ；(2)MN ∥平面CBE .证明：(1)设正方形ABEF 的边长为1.CM ―→＝λCA ―→，则BN ―→＝λBF ―→. 取一组向量的基底为{BA ―→，BE ―→，BC ―→}，记为{a ，b ，c}． 则|a|＝|b|＝|c|＝1，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.所以MN ―→＝MC ―→＋CB ―→＋BN ―→＝－λCA ―→＋CB ―→＋λBF ―→ ＝－λ(a －c)－c ＋λ(a ＋b)＝λb ＋(λ－1)c ， 所以MN ―→·BA ―→＝[λb ＋(λ－1)c]·a ， ＝λ(b ·a)＋(λ－1)(c ·a) ＝λ×0＋(λ－1)×0＝0. 所以MN ―→⊥BA ―→，即MN ⊥AB . (2)法一：由(1)知MN ⊥AB . 又AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，BE ∩BC ＝B . 所以AB ⊥平面CBE . 又MN ⊄平面CBE . 所以MN ∥平面CBE .法二：由(1)知，MN ―→＝λb ＋(λ－1)c ＝λBE ―→＋(λ－1)BC ―→. 所以MN ―→与平面CBE 共面． 又MN ⊄平面CBE . 所以MN ∥平面CBE .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝________.解析：由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．答案：(0,6，－20)2．(2019·汇龙中学检测)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 和平面α的位置关系为________．解析：因为a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,0，－4)，所以n ＝－2a ，即a ∥n.所以l ⊥α. 答案：l ⊥α3．(2018·睢宁中学检测)已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN ―→＝________.解析：如图所示，连结ON ，AN ，则ON ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)＝12(b ＋c)，AN ―→＝12(AC ―→＋AB ―→)＝12(OC ―→－2OA ―→＋OB ―→)＝12(－2a ＋b ＋c)＝－a ＋12b ＋12c ，所以MN ―→＝12(ON ―→＋AN ―→)＝－12a ＋12b ＋12c.答案：－12a ＋12b ＋12c4．若点C (4a ＋1,2a ＋1,2)在点P (1,0,0)，A (1，－3,2)，B (8，－1, 4)所确定的平面上，则a ＝________. 解析：由题意得P A ―→＝(0，－3,2)，PB ―→＝(7，－1,4)，PC ―→＝(4a,2a ＋1,2)， 根据共面向量定理，设PC ―→＝x P A ―→＋y PB ―→，则(4a,2a ＋1,2)＝x (0，－3,2)＋y (7，－1,4)＝(7y ，－3x －y ，2x ＋4y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝7y ，2a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－133，y ＝83，a ＝143.答案：1435．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________.解析：因为α∥β，所以u 1∥u 2，所以－36＝y －2＝2z ，所以y ＝1，z ＝－4，所以y ＋z ＝－3. 答案：－36．(2019·滨海检测)已知空间三点A (0,2,3)，B (2,5,2)，C (－2,3,6)，则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为________．解析：∵AB ―→＝(2,3，－1)，AC ―→＝(－2,1,3)．∴AB ―→·AC ―→＝－4＋3－3＝－4，|AB ―→|＝22＋32＋－12＝14，|AC ―→|＝－22＋12＋32＝14.∴cos ∠BAC ＝AB ―→·AC ―→| AB ―→|·|AC ―→|＝－414×14＝－27.∴sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝357.故以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积S ＝|AB ―→|·|AC ―→|·sin ∠BAC ＝14×14×357＝6 5.答案：6 5二保高考，全练题型做到高考达标1．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点．若AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ―→是平面ABCD 的一个法向量；④AP ―→∥BD ―→.其中正确的是________．(填序号)解析：∵AB ―→·AP ―→＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，∴AB ―→⊥AP ―→，即AP ⊥AB ，故①正确．∵AP ―→·AD ―→＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，∴AP ―→⊥AD ―→，即AP ⊥AD ，故②正确． 又AB ∩AD ＝A ，∴ AP ⊥平面ABCD ，故AP ―→是平面ABCD 的一个法向量，故③正确． ∵BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝(2,3,4)，AP ―→＝(－1,2，－1)， ∴2－1≠32≠4－1， ∴ AP ―→与BD ―→不平行，故④错误． 答案：①②③2．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a ·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为________． 解析：因为a ·b ＝x ＋2＝3，所以x ＝1，所以b ＝(1,1,2)． 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a|·|b|＝32×6＝32.所以a 与b 的夹角为π6.答案：π63．(2019·盐城中学检测)已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0，1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．解析：设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 因为AB ―→＝(0,1，－1)，AC ―→＝(1,0，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x －z ＝0，令x ＝1，得m ＝(1,1,1)． 因为m ＝－n ，所以m ∥n ，所以α∥β. 答案：α∥β4．已知正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，将此三角形沿DE 翻折，当AE ⊥BD 时，二面角A DE F 的余弦值等于________．解析：不妨设GD ＝GE ＝1，则GA ＝GF ＝3，AE ＝BD ＝2，由已知得∠AGF 即为二面角A DE F 的平面角，设其为θ.则AE ―→·BD ―→＝(GE ―→－GA ―→)·(BF ―→＋FG ―→＋GD ―→)＝(GE ―→－GA ―→)·(2GE ―→－GF ―→－GE ―→)＝(GE ―→－GA ―→)·(GE ―→－GF ―→)＝GE ―→2－GE ―→·GF ―→－GA ―→·GE ―→＋GA ―→·GF ―→＝1－0－0＋3·3cos θ＝1＋3cos θ＝0，所以cos θ＝－13，即当AE ⊥BD 时，二面角A DE F 的余弦值等于－13.答案：－135．(2019·南京调研)如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则对角线AC 1的长度等于________．解析：AC 1―→2＝(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→)2＝AB ―→2＋AD ―→2＋AA 1―→2＋2AB ―→·AD ―→＋2AB ―→·AA 1―→＋2AD ―→·AA 1―→＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝50＋20＋15＝85，即|AC 1―→|＝85.答案：856．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________．解析：由题意知AB ―→·AC ―→＝0，|AB ―→|＝|AC ―→|， 又AB ―→＝(6，－2，－3)，AC ―→＝(x －4,3，－6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧6x －4－6＋18＝0，x －42＝4，解得x ＝2. 答案：27．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是CD ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN ＝________.解析：连结PD ，因为M ，N 分别为CD ，PC 的中点， 所以MN ＝12PD ，又P (0,0,1)，D (0,1,0)，所以PD ＝02＋－12＋12＝2，所以MN ＝22. 答案：228．已知向量AB ―→＝(1,5，－2)，BC ―→＝(3,1,2)，DE ―→＝(x ，－3,6)．若DE ∥平面ABC ，则x 的值是________． 解析：∵DE ∥平面ABC ，∴存在实数m ，n ，使得DE ―→＝m AB ―→＋n BC ―→， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3n ，－3＝5m ＋n ，6＝－2m ＋2n ，解得x ＝5.答案：59．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．解：因为∠ACD ＝90°，所以AC ―→·CD ―→＝0.同理可得AC ―→·BA ―→＝0.因为AB 与CD 成60°角，所以〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或〈BA ―→，CD ―→〉＝120°，又BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD ―→，所以|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→＝3＋2×1×1×cos 〈BA ―→，CD ―→〉．所以当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，|BD ―→|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，|BD ―→|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.10．如图，在多面体ABC A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12BC ，二面角A 1 AB C 是直二面角．求证：(1)A1B 1⊥平面AA 1C ；(2)AB 1∥平面A 1C 1C .证明：因为二面角A 1 AB C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形，所以AA 1⊥平面ABC .又因为AB ＝AC ，BC ＝2AB ，所以∠CAB ＝90°，即CA ⊥AB ，所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，设AB ＝2，则A (0,0,0)，B 1(0,2,2)，A 1(0,0,2)，C (2,0,0)，C 1(1,1,2)．(1) A 1B 1―→＝(0,2,0)，A 1A ―→＝(0,0，－2)，AC ―→＝(2,0,0)，设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1A ―→＝0，n ·AC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0.取y ＝1，则n ＝(0,1,0)． 所以A 1B 1―→＝2n ，即A 1B 1―→∥n.所以A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)易知AB 1―→＝(0,2,2)，A 1C 1―→＝(1,1,0)，A 1C ―→＝(2,0，－2)，设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·A 1C 1―→＝0，m ·A 1C ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0， 令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1,1)．所以AB 1―→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，所以AB 1―→⊥m.又AB 1⊄平面A 1C 1C ，所以AB 1∥平面A 1C 1C .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，CC 1＝5，E 是棱CC 1上不同于端点的点，且CE―→＝λCC 1―→.当∠BEA 1为钝角时，则实数λ的取值范围为________．解析：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,3,0)，C 1(0，3,5)，B (2,3,0)，A 1(2,0,5)．因为CE ―→＝λCC 1―→，所以E (0,3,5λ)．从而EB ―→＝(2,0，－5λ)，EA 1―→＝(2，－3,5－5λ)．当∠BEA 1为钝角时，cos ∠BEA 1＜0，所以EB ―→·EA 1―→＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，解得15＜λ＜45. 答案：⎝⎛⎭⎫15，452．(2019·海门中学检测)如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为________．解析：由题意知CD ，CB ，CE 两两垂直，所以以C 为原点，以CD ，CB ，CE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设M 点的坐标为(x ，y,1)，AC ∩BD＝O ，连结OE ，则O ⎝⎛⎭⎫22，22，0，又E (0,0,1)，A (2，2，0)， 所以OE ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1，AM ―→＝(x －2，y －2，1)， 因为AM ∥平面BDE ，AM ⊂平面ACEF ，平面BDE ∩平面ACEF ＝OE ，所以OE ∥AM ， 所以⎩⎨⎧ x －2＝－22，y －2＝－22即⎩⎨⎧ x ＝22，y ＝22，所以M ⎝⎛⎭⎫22，22，1.答案：⎝⎛⎭⎫22，22，1 3．如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .证明：(1)以O 为坐标原点，以射线OD 为y 轴正半轴，射线OP 为z 轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)．于是AP ―→＝(0,3,4)，BC ―→＝(－8，0,0)，所以AP ―→·BC ―→＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，所以AP ―→⊥BC ―→，即AP ⊥BC .(2)由(1)知AP ＝5，又AM ＝3，且点M 在线段AP 上，所以AM ―→＝35AP ―→＝⎝⎛⎭⎫0，95，125，又BA ―→＝(－4，－5,0)，所以BM ―→＝BA ―→＋AM ―→＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125，则AP ―→·BM ―→＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0，所以AP ―→⊥BM ―→，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，且BC ∩BM ＝B ，所以AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC .又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BMC .。
2023年新高考数学一轮复习8-6 空间向量及其运算和空间位置关系(知识点讲解)含详解
专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】1．平行(共线)向量与共面向量2①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；θ＝__π__时，a与b反向．②a ⊥b ⇔θ＝__π2__⇔a ·b ＝0．③θ为锐角时，a ·b __>__0，但a ·b >0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a ·b __<__0，但a ·b <0时，θ可能为__π__．④|a ·b |≤|a |·|b |，特别地，当θ＝__0__时，a ·b ＝|a |·|b |，当θ＝__π__时，a ·b ＝－|a |·|b |．⑤对于实数a 、b 、c ，若ab ＝ac ，a ≠0，则b ＝c ；对于向量a 、b 、c ，若a ·b ＝a ·c ，a ≠0，却推不出b ＝c ，只能得出__a ⊥(b －c )__．⑥a ·b ＝0⇒/ a ＝0或b ＝0，a ＝0时，一定有a ·b ＝__0__．⑦不为零的三个实数a 、b 、c ，有(ab )c ＝a (bc )成立，但对于三个向量a 、b 、c ，(a ·b )c __≠__a (b ·c )，因为a ·b 是一个实数，(a ·b )c 是与c 共线的向量，而a (b ·c )是与a 共线的向量，a 与c 却不一定共线． 3．空间向量基本定理(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝__x a ＋y b ＋z c __．(2)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a 、b 、c 生成的，我们把{__a ，b ，c __}叫做空间的一个基底，a 、b 、c 都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__． 4．空间向量的正交分解及其坐标表示设e 1、e 2、e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以__e 1，e 2，e 3__的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ．对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3．我们把x 、y 、z 称作向量p 在单位正交基底e 1、e 2、e 3下的坐标，记作p ＝ (x ，y ，z )． 5.用向量描述空间平行关系设空间两条直线l 、m 的方向向量分别为a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，两个平面α，β的法向量分别为u ＝(u 1，u 2，u 3)，v ＝(v 1，v 2，v 3)，则有如下结论：6. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 7.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．【常考题型剖析】题型一：空间向量的运算例1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c例2. （2022·全国·高三专题练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++例3.（安徽·高考真题（理））在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)． 【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 题型二：共线(共面)向量定理的应用例4.（2023·全国·高三专题练习）以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1 B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4 C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0例5.（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA 是一对相反向量； ④OC -OA 与OC 1-OA 1是一对相反向量． 正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例6.（2020·全国·高三专题练习）已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+．求证：（1）A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； （2）//AC EG ． 【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较题型三：空间向量数量积及其应用例7.（广东·高考真题（理））已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A ．()1,1,0-B ．()1,1,0-C ．()0,1,1-D ．()1,0,1-例8.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP =.（1）试用a ，b ，c 表示向量BM ；（2）求BM 的长.例9. （2020·全国·高三专题练习）已知向量(2,1,2)a =-，(1,0,1)c =-，若向量b 同时满足下列三个条件：①1a b ⋅=-；①3b =；①b 与c 垂直.（1）求2a c +的模； （2）求向量b 的坐标. 【总结提升】空间向量数量积的应用题型四：利用空间向量证明平行例10.（2021·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点.（1）求证：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）求证：//BD 平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点O ，有()14OM OA OB OC OD =+++. 例11.（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面P AD ①平面ABCD ，ABCD 为正方形，①P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：（1）PB //平面EFG ； （2）平面EFG //平面PBC . 【规律方法】利用空间向量证明平行的方法 1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 题型五：利用空间向量证明垂直例12.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，O ，1O 是圆柱底面的圆心，1AA ，1BB ，1CC均为圆柱的母线，AB 是底面直径，E 为1AA 的中点．已知4AB =，BC =(1)证明：1AC BC ⊥；(2)若1AC BE ⊥，求该圆柱的体积．例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．例14．（2020·全国·高三专题练习）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由. 【规律方法】利用空间向量证明垂直的方法1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】1．平行(共线)向量与共面向量2①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；θ＝__π__时，a与b反向．②a ⊥b ⇔θ＝__π2__⇔a ·b ＝0．③θ为锐角时，a ·b __>__0，但a ·b >0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a ·b __<__0，但a ·b <0时，θ可能为__π__．④|a ·b |≤|a |·|b |，特别地，当θ＝__0__时，a ·b ＝|a |·|b |，当θ＝__π__时，a ·b ＝－|a |·|b |．⑤对于实数a 、b 、c ，若ab ＝ac ，a ≠0，则b ＝c ；对于向量a 、b 、c ，若a ·b ＝a ·c ，a ≠0，却推不出b ＝c ，只能得出__a ⊥(b －c )__．⑥a ·b ＝0⇒/ a ＝0或b ＝0，a ＝0时，一定有a ·b ＝__0__．⑦不为零的三个实数a 、b 、c ，有(ab )c ＝a (bc )成立，但对于三个向量a 、b 、c ，(a ·b )c __≠__a (b ·c )，因为a ·b 是一个实数，(a ·b )c 是与c 共线的向量，而a (b ·c )是与a 共线的向量，a 与c 却不一定共线． 3．空间向量基本定理(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝__x a ＋y b ＋z c __．(2)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a 、b 、c 生成的，我们把{__a ，b ，c __}叫做空间的一个基底，a 、b 、c 都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__． 4．空间向量的正交分解及其坐标表示设e 1、e 2、e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以__e 1，e 2，e 3__的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ．对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3．我们把x 、y 、z 称作向量p 在单位正交基底e 1、e 2、e 3下的坐标，记作p ＝ (x ，y ，z )． 5.用向量描述空间平行关系设空间两条直线l 、m 的方向向量分别为a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，两个平面α，β的法向量分别为u ＝(u 1，u 2，u 3)，v ＝(v 1，v 2，v 3)，则有如下结论：6. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 7.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．【常考题型剖析】题型一：空间向量的运算例1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可. 【详解】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+.故选：D例2. （2022·全国·高三专题练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+ 则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++故选：B例3.（安徽·高考真题（理））在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)．【答案】111244a b c ++【解析】 【详解】因为在四面体O ABC -中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，()1222OA OD O OE A OD ∴=+=+()111222a OB OC =+⨯+()1111124244a b c a b c =++=++ ，故答案为111244a b c ++. 【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 题型二：共线(共面)向量定理的应用例4.（2023·全国·高三专题练习）以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1 B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4 C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1 D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0【答案】B 【解析】 【分析】利用共面向量的基本定理逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，设()()()1,1,00,1,11,0,1m n =+，所以，110n m m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解；对于B 选项，因为()()()2,2,403,0,021,1,2=⋅+，故B 选项中的三个向量共面；对于C 选项，设()()()1,2,31,3,22,3,1x y =+，所以，2133223x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解；对于D 选项，设()()()1,0,00,0,20,3,0a b =+，所以，013020b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾.故选：B.例5.（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA 是一对相反向量； ④OC -OA 与OC 1-OA 1是一对相反向量． 正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可. 【详解】设E,F 分别为AD 和A 1D 1的中点，①OA +2OD OE =与1OA +12OD OF =不是一对相反向量，错误； ②OB -11OC C B =与OC -11OB B C =不是一对相反向量，错误；③OA 1+OB 1+OC 1+()1OD OC OD OA OB OC OD OA OB =----=-+++是一对相反向量,正确； ④OC -OA AC =与OC 1-111OA AC =不是一对相反向量,是相等向量，错误． 即正确结论的个数为1个故选：A例6.（2020·全国·高三专题练习）已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+．求证：（1）A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；AC EG．（2）//【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）证明出AC、AB、AD为共面向量，结合AC、AB、AD有公共点可证得A、B、C、D四点共面，同理可证得E、F、G、H四点共面；AC EG．（2）证得EG k AC=，再由EG和AC无公共点可证得//【详解】（1）因为AC AD mAB=+，所以，AC、AB、AD为共面向量，因为AC、AB、AD有公共点A，故A、B、C、D四点共面，因为EG EH mEF=+，则EG、EH、EF为共面向量，因为EG、EH、EF有公共点E，故E、F、G、H四点共面；（2）OE kOA=，=，OF kOB=，OH kOD()EG EH mEF OH OE m OF OE=+=-+-()()()=-+-=+=+=，//k OD OA km OB OA k AD kmAB k AD mAB k AC∴，AC EGAC EG.因为AC、EG无公共点，故//【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较题型三：空间向量数量积及其应用例7.（广东·高考真题（理））已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A ．()1,1,0- B ．()1,1,0- C ．()0,1,1- D ．()1,0,1-【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：对于A 选项中的向量()11,0,1a =-，11111cos ,22a a a a a a ⋅-〈〉===-⋅⋅，则1,120a a 〈〉=；对于B 选项中的向量()21,1,0a =-，22211cos ,22a a a a a a ⋅〈〉===⋅，则2,60a a 〈〉=；对于C 选项中的向量()30,1,1a =-，2321cos ,22a a a a a a ⋅-〈〉===-⋅，则2,120a a 〈〉=；对于D 选项中的向量()41,0,1a =-，此时4a a =-，两向量的夹角为180.故选B.例8.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP=.（1）试用a ，b ，c 表示向量BM ； （2）求BM 的长.【答案】（1）111222a b c -++；（2）2【解析】 【分析】（1）将AD BC =，BP AP AB =-代入1()2BM BC BP =+中化简即可得到答案；（2）利用22||BM BM =，结合向量数量积运算律计算即可. 【详解】（1）M 是PC 的中点，1()2BM BC BP ∴=+.AD BC =，BP AP AB =-，1[()]2BM AD AP AB ∴=+-，结合AB a =，AD b =，c AP =，得1111[()]2222BM b c a a b c =+-=-++.（2）1AB AD ==，2PA =， ||||1a b ∴==，||2c =.AB AD ⊥，60PAB PAD ∠=∠=︒， 0a b ∴⋅=，21cos601a c b c ⋅=⋅=⨯⨯︒=.由（1）知111222BM a b c =-++，()2222211112222224BM a b c a b c a b a c b c ⎛⎫∴=-++=++-⋅-⋅+⋅⎪⎝⎭13(114022)42=⨯++--+=，6||2BM ∴=即BM 例9. （2020·全国·高三专题练习）已知向量(2,1,2)a =-，(1,0,1)c =-，若向量b 同时满足下列三个条件：①1a b ⋅=-；①3b =；①b 与c 垂直. （1）求2a c +的模；（2）求向量b 的坐标. 【答案】（1）1；（2）(2,1,2)b =-或(2,1,2)b =---. 【解析】 【分析】（1）求出2a c +的坐标，即可求出2a c +的模；（2）设(,,)b x y z =，则由题可知22222190x y z x y z x z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解出即可得出．【详解】解：（1）∵()2,1,2a =-，()1,0,1c =-， ∴()20,1,0a c +=， 所以21a c += ；（2）设(),,b x y z =，则由题可知222221,9,0,x y z x y z x z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得2,1,2,x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或2,1,2,x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 所以()2,1,2b =-或()2,1,2b =---. 【总结提升】空间向量数量积的应用题型四：利用空间向量证明平行例10.（2021·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点.（1）求证：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）求证：//BD 平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点O ，有()14OM OA OB OC OD =+++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得出EF HG =可证；（2）通过证明//HE BD 可得；（3）可得四边形EFGH 为平行四边形，M 为EG 中点，即可证明. 【详解】（1）E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 12EF AC ∴=，12HG AC =，EF HG ∴=，又E ，F ，G ，H 四点不共线，故E ，F ，G ，H 四点共面； （2）E ，H 分别是AB ，AD 的中点， 12HE DB ∴=，//HE DB ∴，//HE BD ∴， HE ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，∴//BD 平面EFGH ；（3）由（1）知四边形EFGH 为平行四边形，M ∴为EG 中点， E ，G 分别是AB ，CD 的中点， 11111()()()()22224OM OE OG OA OB OC OD OA OB OC OD ⎡⎤∴=+=+++=+++⎢⎥⎣⎦. 例11.（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面P AD ①平面ABCD ，ABCD 为正方形，①P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：（1）PB //平面EFG ；（2）平面EFG //平面PBC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，构建空间直角坐标系A -xyz ，并确定A ，B ，C ，D ，P ，E ，F ，G 的坐标，法一：求得(0,1,0),(1,2,1)EF EG ==-，即可确定平面EFG 的一个法向量n ，又0PB n ⋅=有n PB ⊥，则 PB //平面EFG 得证； 法二：由(2,0,2)PB =-，(0,1,0)FE =-，(1,1,1)FG =-，可知22PB FE FG =+，根据向量共面定理即有PB ，FE 与FG 共面，进而可证PB //平面EFG ；（2）由（1）有(0,1,0),(0,2,0)EF BC ==即2BC EF =，可得BC //EF ，根据线面平行的判定有EF //平面PBC ，GF //平面PBC ，结合面面平行的判定即可证平面EFG //平面PBC .【详解】（1）因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD 两两垂直.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1,2,0). 法一：(0,1,0),(1,2,1)EF EG ==- 设平面EFG 的法向量为(,,)n x y z =，则00n EF n EG ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即020y x y z =⎧⎨+-=⎩,令z ＝1，则(1,0,1)n =为平面EFG 的一个法向量， ∵(2,0,2)PB =-，∴0PB n ⋅=，所以n PB ⊥， ∵PB ⊄平面EFG ， ∴PB //平面EFG .法二：(2,0,2)PB =-，(0,1,0)FE =-，(1,1,1)FG =-. 设PB sFE tFG =+，即(2,0,－2)＝s (0,－1,0)＋t (1,1,－1)，所以202t t s t =⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩解得s ＝t ＝2.∴22PB FE FG =+，又FE 与FG 不共线，所以PB ，FE 与FG 共面.∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .（2）由（1）知：(0,1,0),(0,2,0)EF BC ==，∴2BC EF =，所以BC //EF .又EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF //平面PBC ，同理可证GF //PC ，从而得出GF //平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ⊂平面EFG ，GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG //平面PBC .【规律方法】利用空间向量证明平行的方法1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题题型五：利用空间向量证明垂直例12.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，O ，1O 是圆柱底面的圆心，1AA ，1BB ，1CC均为圆柱的母线，AB 是底面直径，E 为1AA 的中点．已知4AB =，BC =(1)证明：1AC BC ⊥；(2)若1AC BE ⊥，求该圆柱的体积．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直（2）建立空间直角坐标系，根据垂直条件解出圆柱的高(1)连结AC ，可知AC BC ⊥1CC ⊥平面ABC 1CC BC ∴⊥1CC AC C =BC ∴⊥平面1ACC1BC AC ∴⊥(2)如图，以C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设圆柱的高为h可得1(2,0,0),(0,0,),(2,0,)2h A B C h E1(2,0,),(2,)2h AC h BE =-=-由题意得21402h AC BE ⋅=-+=，解得h =故圆柱的体积2V πr h ==例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）E 为CC 1的中点.【解析】【分析】以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系.（1）计算10A E BD →→⋅=即可证明；（2）求出面A 1BD 与面EBD 的法向量，根据法向量垂直计算即可．【详解】以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．（1）1A E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，1A E BD →→⋅＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴1A E BD →→⊥，即A 1E ⊥BD ；（2）设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为1n →＝(x 1，y 1，z 1)，2n →＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB →＝(a ，a ，0)，1DA →＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )∴10n DB →→⋅=， 110n DA →→⋅=， 20n DB →→⋅=，10n DE →→⋅=. ∴11110,0,ax ay ax az +=⎧⎨+=⎩, 22220,0.ax ay ay ez +=⎧⎨+=⎩ 取x 1＝x 2＝1，得1n →＝(1，－1，－1)，2n →＝(1，－1，a e)．由平面A 1BD ⊥平面EBD 得1n →⊥2n →. ∴2－a e＝0，即e ＝2a . ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .例14．（2020·全国·高三专题练习）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，AG =【解析】【分析】（1）以1A 为原点，11A D ，11A B ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：根据向量的坐标可得11113EF A A AC =-+，由此可证//EF 平面11AAC C ； （2）将问题转化为线段AC 上是否存在一点G ，使EG AC ⊥，则问题不难求解.【详解】（1）如图所示：以1A 为原点，11A D ，11A B ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则1(0,0,0)A ，1(0,2,0)B ，1(2,2,0)C ，设(0,0,)A a ，则4(0,,)3E a ，2(,2,0)3F ， 所以22(,,)33EF a =-，1(0,0,)A A a =，11(2,2,0)AC =， 因为11113EF A A AC =-+，所以EF ，1A A ，11AC 共面，又EF 不在平面11AAC C 内， 所以//EF 平面11AAC C（2）线段AC 上存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C ，且3AG =，证明如下：在三角形AGE 中，由余弦定理得EG ===， 所以222AG EG AE +=，即EG AG ⊥，又1A A ⊥平面ABCD ，EG ⊂平面ABCD ，、所以1A A EG ⊥，而1AG A A A ⋂=，所以EG ⊥平面11AAC C ，因为EG ⊂平面EFG ，所以EFG ⊥面11AAC C ，【规律方法】利用空间向量证明垂直的方法1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示。
空间向量及应用课件-2023届高三数学一轮复习
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯
p＝xa＋yb＋zc
一的有序实数组(x，y，z)，使得____________．
3．空间向量的数量积
(1)两向量的夹角
①已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，
则________叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
第五节 空间向量及应用
【课标标准】 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画
点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念，
了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标
表示.3.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示．能用向量的
数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量与平面的法向
7 = 2m − n
∴ 6 = m + 2n ，
λ = −3m + 3n
解得λ＝－9.
5．(易错)在正方体ABCD -
1
A1B1C1D1中，1 ＝ 1 1 ，AE＝xAA1 ＋
4
1
1
y(AB + AD)，则x＝______，y＝________．
4
解析：由向量加法的三角形法则得AE＝AA1 ＋1 ，由平行四边形法则得：
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出
F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
专题突破❼
与球有关的切、接问题
[常用结论]
1．长方体的外接球
(1)球心：体对角线的交点；
a2 +b2 +c2
(a，b，c为长方体的长、宽、高)．
高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系教师用书 理
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第八章立体几何与空间向量 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系教师用书理苏教版1.四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2。
直线与直线的位置关系（1)位置关系的分类错误!(2）异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角.②范围：错误!。
3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况。
4。
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5。
等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
【知识拓展】1.唯一性定理(1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直。
浙江高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算课件
(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
证明 设向量A→N与M→C的夹角为 θ.
∵A→N＝21(A→C＋A→D)＝12(q＋r)，M→C＝A→C－A→M＝q－21p， ∴A→N·M→C＝21(q＋r)·q－21p＝12q2－12q·p＋r·q－21r·p ＝12a2－12a2cos 60°＋a2cos 60°－21a2cos 60°＝12a2－a42＋a22－a42＝a22.
跟踪训练 1 (1)如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点.用A→B， A→D，A→A1表示O→C1，则O→C1＝_12_A→_B__＋__12_A→_D_＋__A_→A__1 _.
解析 ∵O→C＝21A→C＝21(A→B＋A→D)， ∴O→C1＝O→C＋C→C1＝21(A→B＋A→D)＋A→A1＝12A→B＋12A→D＋A→A1.
＝k(C→1A＋—B—1C→1 )＋A→B＝kB→1A＋A→B＝A→B－kA→B1 ＝A→B－k(A→A1＋A→B)＝(1－k)A→B－kA→A1， ∴由共面向量定理知向量M→N与向量A→B，A→A1共面.
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
解 当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合， MN在平面ABB1A1内， 当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内， 又由(1)知M→N与A→B，A→A1共面，
又∵|A→N|＝|M→C|＝ 23a， ∴A→N·M→C＝|A→N||M→C|cos θ＝ 23a× 23a×cos θ＝a22. ∴cos θ＝23. ∴向量A→N与M→C的夹角的余弦值为23，从而异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为23.
思维升华
(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过 向量共线确定点在线段上的位置. (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角. (3)可以通过|a|＝ a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.
高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.4 空间向量及其运算课件
2.线面垂直的关键(guānjiàn)是线线垂直,通过线线垂直证明线面垂直;反
过来也可通过线面垂直证明线线垂直.
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第十二页，共四十八页。
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考点(kǎo
diǎn)一
考点(kǎo
diǎn)二
考点(kǎo
diǎn)三
考点四
垂直关系的相关命题的真假判断(考点难度★)
【例1】 (1)设α,β是两个不同的平面,m是一条直线,给出下列命题:
考向分
垂直的判定及其性质的应用为主,题型以解答题为主,主
析
要考查空间想象能力和推理论证能力.
第三页，共四十八页。
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知识梳理
知识(zhī
shi)梳理
双击自测
(zìcè)
1.直线与平面垂直
(1)定义:若直线l与平面α内的
直.
任意
一条直线都垂直,则直线l与平面α垂
(2)判定(pàndìng)定理和性质定理:
知识(zhī
shi)梳理
双击自测(zì
cè)
1.(教材改编)下列命题中错误(cuòwù)的是(
)
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
关闭
由定理可知,BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,
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而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
DM⊥PC(或BM⊥PC等)
(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习9.5空间直角坐标系、空间向量及其运算课件理新人教A版
(2)中点公式:
设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则
x
=
x1
+ 2
x2
,
y
=
y1
+ y2 2
,
z
=
z1
+ 2
z2
.
__________
3.空间向量的有关概念
名称 空间向量 相等向量 相反向量
共线向量 (或平行向 量) 共面向量
定义 在空间中,具有_大__小__和_方__向__的量 方向_相__同__且模_相__等__的向量 方向_相__反__且模_相__等__的向量
3
2
32
322
2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若
AB a, AD b, AA1 c, 则下列向量中与 MB1 相等的向量 是( )
A.- 1 a+ 1 b+c
22
C. 1
2
a-
1 2
b+c
B. 1 a+ 1 b+c
22
D.- 1 a- 1 b+c
22
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c_不__共__面__, 那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得 _p_=_x_a_+_y_b_+_z_c_.其中, _{_a_,_b_,_c_}_叫做空间的一个基底.
【常用结论】 1.零向量不可以作为基向量. 2.基底选定后,空间的所有向量都可由基底唯一表示. 3.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量 的线性运算和数量积运算.
表示空间向量的有向线段所在的直线 互相_平__行__或__重__合__的向量