逻辑代数的三种基本运算
第一章(逻辑运算及描述)
上次课内容及要求：1、熟练掌握常用数制及常用数制之间的转换。
2、熟悉常用的BCD 码及奇偶校验码、ASCII 码。
本次上课内容（2学时） §1-2 逻辑函数及运算1-2-1 逻辑函数中的三种基本运算逻辑代数，又叫布尔代数。
逻辑代数中的变量叫逻辑变量，取值只有0和1两种，分别用来表示客观世界中存在的既完全对立又相互依存的两个逻辑状态。
要注意，逻辑值“1”和“0”与二进制数字“1”和“0”是完全不同的概念，它们并不表示数量的大小。
一、三种基本逻辑运算1、与运算AB L A BL 断断 不亮 0 0 0 断合 不亮 0 1 0 合断 不亮 1 0 0 合合亮111(d ）逻辑符号(a ）例图(b)状态表 (c)真值表图1 与逻辑只有决定某事件的所有条件全部满足（具备）时，该事件才会发生，这种因果关系我们称它为与逻辑关系，简称与逻辑。
例银行金库的门按规定必须有关人员如金库经理、金库保管、财务会计等都到场时，门才能被打开，缺少任何一方皆不可。
又如图1(a)所示，只有当开关A、B 都合上时，灯L 才亮，情况列于状态表（b）中。
我们用1表示开关合上和灯亮，用0表示开关断开和灯不亮，则（b）成（c）。
这种表示输入变量（条件）的所有取值组合和其对应的输出变量（结果）取值的关系表叫逻辑真值表，简称真值表。
常用数学的方法来表示逻辑关系，与逻辑的逻辑表达式为：L=A ·B=AB（或者A∧B）；与逻辑的常量和常量之间的运算有：0·0=0；0·1=0；1·0=0；1·1=1。
逻辑关系还可用符号来表示，图1（d）中列出了新、旧两种与逻辑符号。
由于与逻辑关系常用数字电路中的与门实现，所以与逻辑符号也用来表示与门，而略去了实际的电路。
2、或运算只要决定某事件的条件中有一个或几个满足，该事件就会发生；只有当条件全部不满足时，事件才不会发生， 这种因果关系即为或逻辑关系，简称或逻辑。
数字电子技术试卷和答案
数字电子技术试卷(1)一．填空（16）1．十进制数123的二进制数是 1111011 ；十六进制数是 7B 。
2．100001100001是8421BCD 码，其十进制为 861 。
3．逻辑代数的三种基本运算是 与 ， 或 和 非 。
4．三态门的工作状态是 0 ， 1 ， 高阻 。
5．描述触发器逻辑功能的方法有 真值表，逻辑图，逻辑表达式，卡诺图，波形图 。
6．施密特触发器的主要应用是 波形的整形 。
7．设4位D/A 转换器的满度输出电压位30伏，则输入数字量为1010时的输出模拟电压为。
8．实现A/D 转换的主要方法有 ， ， 。
二．判断题（10）1．BCD 码即8421码 （ 错 ）2.八位二进制数可以表示256种不同状态。
（ 对 ）3．TTL 与非门与CMOS 与非门的逻辑功能不一样。
（ ）4．多个三态门的输出端相连于一总线上，使用时须只让一个三态门传送信号，其他门处于高阻状态。
（对 ）5．计数器可作分频器。
（ 对 ）三．化简逻辑函数（14）1．用公式法化简--+++=A D DCE BD B A Y ，化为最简与或表达式。
解；D B A Y +=-2．用卡诺图化简∑∑=m d D C B A Y ），，，，（）＋，，，，（84210107653),,,(，化为最简与或表达式。
四．电路如图1所示，要求写出输出函数表达式，并说出其逻辑功能。
（15）解；C B A Y ⊕⊕=， C B A AB C )(1++=，全加器，Y 为和，1C 为进位。
五．触发器电路如图2（a ）,（b ）所示，⑴写出触发器的次态方程； ⑵对应给定波形画出Q 端波形（设初态Q ＝0）(15)解；（1）AQ Q Q n +=-+1，（2）、A Q n =+1 六．试用触发器和门电路设计一个同步的五进制计数器。
（15）七．用集成电路定时器555所构成的自激多谐振荡器电路如图3所示，试画出V O ，V C 的工作波形，并求出振荡频率。
逻辑代数的运算法则
逻辑代数的运算法则逻辑代数又称布尔代数。
逻辑代数与普通代数有着不同概念，逻辑代数表示的不是数的大小之间的关系，而是逻辑的关系，它仅有0、1两种状态。
逻辑代数有哪些基本公式和常用公式呢？1.变量与常量的关系与运算公式 一、基本公式A·1=AA·0=0或运算公式A+0=A A+1=101律2.与普通代数相似的定律与运算公式A·B=B·A 或运算公式A+B=B+A交换律A·(B·C)=(A·B)·C A+(B+C)=(A+B)+C 结合律A·(B+C)=A·B+A·C A+(B·C)=(A+B)(A+C)分配律3.逻辑代数特有的定律与运算公式或运算公式互补律重叠律（同一律） 反演律（摩根定律）0=⋅A A 1=+A A BA B A +=⋅BA B A ⋅=+ 非非律（还原律）AA =A A A =⋅A A A =+真值表证明摩根定律0001101111111100结论：BA B A +=⋅ 以上定律的证明，最直接的办法就是通过真值表证明。
若等式两边逻辑函数的真值表相同，则等式成立。
【证明】公式1AB A AB =+B A AB +）（B B A += 互补律1⋅=A 01律A= 合并互为反变量的因子【证明】公式2AAB A =+AB A +）（B A +=1 01律A= 吸收多余项【证明】公式3BA B A A +=+B A A +BA AB A ++=B A A A ）（++= 互补律BA += 消去含有另一项的反变量的因子【证明】CA AB BC C A AB +=++BC A A C A AB ）（+++=BC C A AB ++ 分配律BC A ABC C A AB +++= 吸收多余项公式2互补律CA AB += 公式2逻辑代数的运算法则一、基本公式二、常用公式A·1=AA·0=0A+0=A A+1=1 1.变量与常量的关系01律2.与普通代数相似的定律交换律A·B=B·A A+B=B+A结合律 分配律3.逻辑代数特有的定律互补律A·A=A A+A=A 重叠律（同一律）反演律（摩根定律）0=⋅A A 1=+A A BA B A +=⋅BA B A ⋅=+非非律（还原律）AA =AB A AB =+.1AAB A =+.2BA B A A +=+.3CA AB BC C A AB +=++.4A·(B·C )=(A·B )·C A+(B+C )=(A+B )+C A·(B+C )=A·B+A·CA +(B·C )=(A+B )(A+C )谢谢！。
数电简明教程第一章 逻辑代数基础知识
10
第六章 脉冲产生与整形电路
概述 6.1 施密特触发器
11
12
概 述
一、逻辑代数（布尔代数、开关代数） 逻辑： 事物因果关系的规律 逻辑函数: 逻辑自变量和逻辑结果的关系
Z f ( A, B, C )
逻辑变量取值：0、1 分别代表两种对立的状态 一种状态 另一状态 高电平 真 低电平 假 是 非 有 无 … … 1 0 0 1
概述 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 组合电路的分析方法和设计方法 加法器和数值比较器 编码器和译码器 数据选择器和分配器 用 MSI 实现组合逻辑函数
8
第四章
概述
触发器
4.1 基本触发器 4.2 同步触发器 4.3 边沿触发器 4.4 触发器的电气特性
9
第五章
时序逻辑电路
概述 5.1 时序电路的基本分析和设计方法 5.2 计数器 5.3 寄存器和读/写存储器
( 26 )10 = 16 + 8 + 2 = 24 +23 + 21 = ( 1 1 0 1 0 )2
16 8 4 2 1
20
(3) 二-八转换: 每 3 位二进制数相当一位 8 进制数
( 0 10 101 111 ) 2 ( 257 )8
2 5 7
( 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1. 0 0 0 1 1 0 )2 ( 2 3 4 1 . 0 6 )8
(4) 八-二转换: 每位 8 进制数转换为相应 3 位二进制数
( 31. 47 )8 ( 011 001 . 100 111
)2
)2
( 375.64 )8 ( 011 111 101 . 110 100
逻辑代数的基本运算法则
逻辑代数的基本运算法则
逻辑代数是描述、分析和简化逻辑线路的有效的数学工具，它又称为开关代数或布尔代数。
逻辑代数的变量（简称逻辑变量）的取值范围只有“0”或“1”。
“0”与“1”不表示数量的多少，而是表示具体问题的两种可能。
例如，用“0”与“1”代表开关线路中开关的断开和接通，电压的低和高，晶体管的截止和导通，信号的无和有两种物理状态。
一个复杂的开关线路总是由若干个开关元件组成。
这种相互联系的关系反映到数学上就是几种逻辑运算。
逻辑加、逻辑乘和逻辑非。
这三种逻辑运算反映了实际中开关元件之间最基本的联系。
(1)逻辑加（“或”运算），或门对应的逻辑运算是“逻辑加”C=A+B。
(2)逻辑乘（“与”运算），与门对应的逻辑运算是“逻辑乘”C=A ×B。
(3)逻辑非（“非”运算），“逻辑非”运算和非门相对应，记为B=。
自然界中三种基本逻辑关系
电源
灯
断 合 合
２、或运算
或逻辑举例状态表
开关S1 断 断 合 合 开关S2 断 合 断 合 灯 灭 灭 灭 亮
逻辑真值表
A B L
0
0 1 1
0 1
0 1
0 1
1 1
或逻辑符号
A B
≥1
L
A B
L
或逻辑表达式： L = A +Ｂ
3、非运算
事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件
不具备时，事件发生。这种因果关系称为非逻辑关系。 非逻辑举例 A 非逻辑举例状态表 A 不通电 通电 灯 亮 灭
异或逻辑符号 异或逻辑真值表
0 A 0 1 1
0 B 1 0 1
0 L 1 1 0
A
B A B
=1
L
L
异或逻辑表达式
L= A B
4. 几种常用复合逻辑运算
4 )同或运算
若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。
同或逻辑真值表 同或逻辑逻辑符号
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
L
1 0 0 1
A B A B
NC V
3、非运算
非逻辑举例状态表 非逻辑真值表 A 0 1 L 1 0
A 不通电 通电 非逻辑符号
A
1
灯 亮
灭
L
A
L
非逻辑表达式： L = A
4. 几种常用复合逻辑运算
1)与非运算
两输入变量与非 逻辑真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 L 1 1 1 0 与非逻辑符号
A
B A B
&
逻辑真值表
A
第2章 逻辑代数及其应用
逻辑式
逻辑图
用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。
Y = A ⋅ (B + C )
逻辑图 逻辑式 从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻 辑函数式。 辑函数式。
(( A + B )′ + ( A′ + B′)′)′ = ( A + B )( A′ + B′) = AB′ + A′B = A⊕ B
=
∑ m ( 3, 6 , 7 )
逻辑函数最小项之和的形式： 逻辑函数最小项之和的形式：
利用公式 A + A′ = 1 可将任何一个函数化为
∑ mi
例：
Y ( A, B , C ) =
AB C ′ + BC = AB C ′ + BC ( A + A ′) = AB C ′ + ABC + A ′BC
2.2 代入定理
应用举例： 应用举例： 式（7b） A+BC ） = (A+B)(A+C)
A+B(CD) = (A+B)(A+CD) = (A+B)(A+C)(A+D)
2.2 代入定理
应用举例： 式 （8a）
( A ⋅ B )′ = A′ + B′ 以B ⋅ C代入B
⇓
( A ⋅ B ⋅ C )′ = A′ + ( BC )′ A′ + B′ + C ′
逻辑函数最小项之和的形式： 逻辑函数最小项之和的形式： 例：
Y ( A, B , C , D ) = AB′C ′D + BCD′ + B′C = AB′C ′D + ( A + A′) BCD′ + B′C ( D + D′) & = ..................................... + B′CD + B′CD′ = ..................................... + ( A + A′) B′CD + ( A + A′) B′CD′
逻辑代数基础
2、不属于单个变量上的反号应保留不变。
Y A( B C ) CD
Y ( A BC)(C D) Y (( AB C ) D) C
Y (((A B)C)D) C
三、 对偶定理
对任何一个逻辑表达式Y 作对偶变换，可得Y的 对偶式YD, YD称为Y的对偶式。 对偶变换： “﹒”→“﹢” 对偶定理：如果两个逻辑式相等， 则它们的对偶式也相等。
1 1
C
0
1
1 0
1 0
1 1 t 1 0 1 1
0
1 0 1
Y
1
0
1
三、逻辑函数的两种标准形式 最小项: 在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘 积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在 m 中出现，且仅出现一次，则这个乘积项m称为该 组变量的最小项。 3个变量A、B、C可组成 8(23)个最小项：
“﹢”→“﹒”
“0” → “1”
“1” →“0”
利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公 式数目减少一半。
Y A( B C )
Y A B C
D
Y ( AB CD)
Y (( A B) (C D))
D
（2）式 （12）式
1 A A
0 A A
A( B C ) AB AC
§2.2
逻辑代数中的三种基本运算
一、与逻辑（与运算） 与逻辑：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，
B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达
式为： Ｙ＝ＡＢＣ…
例：开关A，B串联控制灯泡Y
A A A A E E E E
电路图
BB B B YY Y Y
数电 第一章 逻辑代数基础
文字、数值信息
十进制数的二进制编码 常用十进制数码
十进制数 8421码
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
2421码 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111 有权码
N
B
d 2
i
i
i
0
1
1 1
0 0
1 0
0 1
【例如】 (101.101)2=1×22十0×21十1×20十1×2-1十0×2-2十1×2-3
3.八进制（O）
以8为基数的计数体制，有0、1、2、3、4、5、6、 7共8个数码，逢八进一。
位置计数法 以权展开式
例：741 O
306O
i i
N
O
5211码 0000 0001 0011 0101 0111 1000 1001 1100 1101 1111
余3码 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100
格雷码 0000 0001 0011 0010 0110 1110 1010 1000 1100 0100
课程考核
平时成绩占30% ：考勤、作业、实验； 期末成绩占70% ：期末考试卷面分。
课外作业 为了让大家学完本课程有较大的收获，有以下两 个作业： （1）查询资料，有关自己所学专业和电子技术方面 的新技术、新方法，学习科技小论文的撰写方法，查 询有关资料。 （2）利用计算机，学习电子技术仿真软件的应用— —Multisim
课程设计
利用自己所学的电子技术基本理论知识，综 合设计电子实际应用电路，培养综合设计能力.
与或非逻辑运算公式
“与”、“或”、“非”逻辑的基本运算公式是and、or、not。
用逻辑运算符将关系表达式或逻辑量连接起来的有意义的式子称为逻辑表达式。
逻辑表达式的值是一个逻辑值，即“true”或“false”。
有三种最基本的逻辑运算：
1）逻辑与-- 用AB表示：当A，B都为1时，其值为1，否则为零。
2）逻辑或-- 用A+B 表示：当A，B都为0时，其值为0，否则为1。
3）逻辑非-- 用A上'¯'表示，当A=0时，A的非为1，A=1时，A的非为0。
产生
布尔用数学方法研究逻辑问题，成功地建立了逻辑演算。
他用等式表示判断，把推理看作等式的变换。
这种变换的有效性不依赖人们对符号的解释，只依赖于符号的组合规律。
这一逻辑理论人们常称它为布尔代数。
20世纪30年代，逻辑代数在电路系统上获得应用，随后，由于电子技术与计算机的发展，出现各种复杂的大系统，它们的变换规律也遵守布尔所揭示的规律。
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A
F
集成门电路
TTL与非门电路
TTL与非门74LSOO集成电路示意图
芯片的引脚排列图
再见
与门电路
与门的逻辑功能可概括为：输入有0，输出 为0；输入全1，输出为1.
电路图：
或门电路
在决定某件事的条件中，只要任意一件具 备，事情就会发生，这种因果关系叫做 “或逻辑”，实现或逻辑关系的电路称为 或门。
电路图：
非门电路
决定某事件的条件只有一个，当条件出现 时事件不发生，而条件不出现时，事件发 生，这种因果关系叫做非逻辑。实现非逻 辑关系的电路称为非门，也称反相器。
逻辑代数的三种基本 运算
组员：叶鹏、刘卓磊
一、门电路
实现基本逻辑运算和常用复合逻辑运算的 电子电路
与逻辑运算
当决定某一事件的所有条件都具备时，事 件才能发生。
Y=A·B
或逻辑运算
当决定某一事件的一个或多个条件满足时， 事件便能发生。
Y=A+B
非运算
条件具备时，事件不能发生；条件不具备 时，事件一定发生。
化简依据：逻辑相邻性最小项可以合并，并消去因子。 化简规则：能够合并在一起的最小项是2 个。 如何最简：圈的数目最少，最小项越多。 （卡诺图中所有的1都必须圈到，不能合并的1单独画
出。）
逻辑门电路
用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。 简称门电路。
基本和常用门电路有：与门、或门、非门、 与非门、或非门、与或非门和异或非门等。
Y=
A
Y
真值表:
与非 A·B Y
逻辑函数式表示: (重要部分）
A·B=A+B A+B=A·B A·A=0 ຫໍສະໝຸດ +A=1逻辑图与波形图
L=AB+AB
卡诺图表
Y=AC+AC+BC+BC
化简后： Y=AB+AC+BC
BC 00 01
A
0 01 1 11
11 10 11 01