14.1三角形中的边角关系(一)
八年级上册数学《三角形中的边角关系》教案
这就是说：三角形的任何两边的和大于第三边。
即：AB+BC>AC
又→AB>AC-BC 即 AC-BC<AB 三角形的任何两边之差小于第三边
五、拓展应用。
1．一木工师傅现有两根木条，木条长分别是 70cm 和 100cm，他要选择第三根木条，将它们钉
成一个三角形木架。设第三根木长为 xcm，求 x 的取值范围。
第周
星期
课时教案
第节
年月 日
课题
13.1.1 三角形中的边角关系
教学 目标
1、认识三角形及其各组成部分，会记三角形。 2、会按边给三角形分类。 3、掌握三角形的任何两边之和大于第三边，三角形的任何两边之差小于第三边。 4、学习三角形的分类方式，体会分类的作用，掌握分类的方法。
5、经历探索三边关系的过程，发展学生概括、归纳的能力。
四、交流
1．通过小组讨论，有以下四种情况：
（1）2cm、3cm、5cm
（2）2cm、3cm、6cm
（3）2cm、5cm、6cm
（4）3cm、5cm、6cm
实践可知（3）、（4）可以摆出三角形，（1）、（2）不能摆出三角形，我们可以发现，在这三根
牙签中，如果较小的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。
作 《练习册》习题 业
本节课内容较为简单，学生掌握良好，课上反应热烈。 后 记
第2页共2页
（1）连接 AD，图中有几个三角形？写出这些
三角形。挑一个三角形，说出它的边与角。
过
（2）在 AB 上任取一点 E，连接 CE 呢？
二、三角形的分类
今天，我们先来看看三角形的边有什么特点！ 从边来看，你能画出几种三角形？程A_A
_A
三角形的边角关系定理
三角形的边角关系定理三角形是初中数学中重要的几何形体之一，它的边角关系定理是我们学习三角形的基础。
在这篇文章中，我将为大家详细介绍三角形的边角关系定理，并通过实例和分析来说明其应用。
希望这些知识对中学生和他们的父母有所帮助。
1. 三角形的内角和定理三角形的内角和定理是指三角形内角的度数之和等于180度。
这个定理对于解决三角形的角度问题非常有用。
例如，我们可以用内角和定理来求解一个已知两个角度的三角形的第三个角度。
假设一个三角形的两个角度分别是60度和80度，那么第三个角度可以通过180度减去这两个角度的和来得到，即180度 - 60度 - 80度= 40度。
2. 三角形的外角和定理三角形的外角和定理是指三角形的一个外角等于其余两个内角的和。
这个定理可以用来求解三角形的外角度数。
例如，如果一个三角形的两个内角分别是60度和80度，那么它的一个外角可以通过将这两个内角相加来得到，即60度 + 80度 = 140度。
3. 直角三角形的边角关系定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是90度。
直角三角形的边角关系定理包括勾股定理和正弦定理。
勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理可以用来求解直角三角形的边长。
例如，如果一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度可以通过计算3的平方加上4的平方，再开平方根来得到，即√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5。
正弦定理是指直角三角形中，正弦值与边长之间的关系。
根据正弦定理，直角三角形中一个锐角的正弦值等于与该角对应的直角边与斜边之间的比值。
这个定理可以用来求解直角三角形中的角度。
例如，如果一个直角三角形的斜边长度是5，而一个锐角的对边长度是3，那么这个锐角的正弦值可以通过计算3除以5来得到，即sinθ = 3/5。
4. 三角形的角平分线定理三角形的角平分线定理是指三角形的内角的平分线相交于三角形的内心，且内心到三个顶点的距离相等。
三角形角与边的关系公式
三角形角与边的关系公式三角形是几何中最基本的形状之一，由三条边和三个内角组成。
在三角形中，角与边之间有许多重要的关系公式。
这些公式对于计算和解决三角形相关的问题非常重要。
在本文中，我们将介绍一些最常用的三角形角与边的关系公式。
一、三角形的角度关系：1.三角形内角和：三角形的内角和等于180度。
即三个内角的和等于180度。
可以表示为：A+B+C=180°。
2.三角形的外角和：三角形的外角和等于360度。
即三个外角的和等于360度。
可以表示为：A'+B'+C'=360°。
3.三角形的对顶角：三角形的一内角和另外两个内角的补角相等。
即三角形的对顶角相等。
可以表示为：A=B'，B=A'，C=C'。
4.三角形的同位角：同位角是指两个三角形中分别相对的内角或外角。
同位角之和等于180度。
即同位角之和等于180度。
可以表示为：A+A'=180°，B+B'=180°，C+C'=180°。
二、三角形的边长关系：1.余弦定理：余弦定理是用来计算三角形一边的长度的定理。
它表示为：c^2 =a^2 + b^2 - 2abcosC，其中c为三角形的斜边，a和b为三角形的两边，C为两边夹角的余弦。
2.正弦定理：正弦定理是用来计算三角形两边与其对应角度的比例的定理。
它表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
其中a、b、c为三角形的三条边，A、B、C为三角形的三个角度。
3.正切定理：正切定理是用来计算三角形两边与其夹角正切值的比例的定理。
它表示为：tanA = (a/b)，tanB = (b/a)。
其中a和b为三角形的两边，A和B为三角形的两个夹角。
4.边角关系定理：边角关系定理是用来计算三角形边与角度之间的关系的定理。
它表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。
三角形角与边的关系公式
三角形角与边的关系公式在三角形中，角度和边的长度是密切相关的。
三角形的每个角度和每条边都有一定的关系公式。
下面将介绍三角形中最常用的角和边的关系公式。
1.三角形的内角和公式：在任何三角形中，三个内角的和始终为180度。
设三角形的三个内角分别为A、B和C，则有A+B+C=180度。
2.直角三角形中的角和边的关系公式：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度是90度。
在直角三角形ABC中，设边AC是斜边，边AB和边BC是直角的两条边，我们可以根据边长之间的关系来确定三角形的角度：a.边长关系公式：根据勾股定理，边长AB、BC和AC之间存在关系：AB^2+BC^2=AC^2b.三角函数关系公式：对于直角三角形，正弦、余弦和正切是常用的三角函数。
设角A是直角三角形的一个角，边长分别为AC、AB和BC，则有以下角和边的关系公式：- 正弦公式：sinA = AB / AC- 余弦公式：cosA = BC / AC- 正切公式：tanA = AB / BC3.等腰三角形中的角和边的关系公式：等腰三角形是一种特殊的三角形，其中两边的长度相等。
在等腰三角形ABC中，假设AB=AC，B和C是等腰三角形的两个顶点，A是底角的顶点。
我们可以根据边长之间的关系来确定三角形的角度：a.角度关系公式：由于等腰三角形的两边相等，所以角B=角C。
b.角平分线关系公式：等腰三角形的底边上的角平分线也是同时是三角形的高，可以利用角平分线来求解角度。
-角A的角平分线：角平分线AE将角A平分为两个相等的角。
根据角平分线定理，有AB/BE=AC/CE。
-角B和角C的角平分线：角平分线BD和CE均平分角B和C。
同样根据角平分线定理，有AB/BD=AC/CE。
4.任意三角形中的角和边的关系公式：对于一般的三角形，我们可以使用三角函数来确定角和边的关系。
假设三角形的三个内角为A、B和C，边长分别为a、b和c。
a. 正弦定理：sinA / a = sinB / b = sinC / c。
直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系[知识链接]知识讲解:1．直角三角形中的边角关系(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2 (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90°(3)边角之间的关系：sinA ＝cosB ＝c a ， cosA ＝sinB ＝c btanA ＝cotB ＝b a ， cotA ＝tanB ＝ab锐角三角函数的概念如图，在ABC 中，∠C 为直角， 则锐角A 的各三角函数的定义如下：(1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝ca(2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA ＝c b(3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA ＝ba(4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotA ＝ab2．三角函数的关系(1)同角的三角函数的关系1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A A cos sin ，cotA ＝AAsin cos(2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°－A)＝cosA ， cos(90°－A)＝sinA tan(90°－A)＝cotA ， cot(90°－A)＝tanA 3．一些特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°sinα0 1cosα 1 0tanα0 1 -----cotα----- 1 05．锐角α的三角函数值的符号及变化规律.(1)锐角α的三角函数值都是正值(2)若0＜α＜90° 则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而减小.6．解直角三角形(1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角.(2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形.7．解直角三角形的应用，解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念：(1)仰角、俯角视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角(2)坡度．坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，h即i＝l(3)坡角h 坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i＝l(4)方位角从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.例题选讲：1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知∠A、c, 则a=__________;b=_________.(2)已知∠A、b, 则a=__________;c=_________.(3)已知∠A、a，则b=__________;c=_________.(4)已知a、b，则c=__________.(5)已知a、c，则b=__________.2、在下列直角三角形中，不能解的是（ ）A 、已知一直角边和所对的角B 、已知两个锐角C 、已知斜边和一个锐角D 、已知两直角边3、如图，在△ABC 中，已知AC=6，∠C=75°，∠B=45°，求△ABC 的面积.4、求证:平行四边形ABCD 的面积S=AB ·BC ·sinB(∠B 为锐角).5、山顶上有一旗杆，在地面上一点A 处测得杆顶B 的俯角α =600，杆底C 的俯角β =450，已知旗杆高BC=20米，求山高CD.课堂练习1、如图：P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则sin （900 - α）＝_____________.2、下列说法正确的是( )A 、a 为锐角则 0≤sina ≤1B 、cos30°＋cos30°＝cos60°C 、若tanA ＝cot(90°－B), 则∠A 与∠B 互余D 、若α1，α2为锐角，且α1＜α2则c osα1＞c osα2 3、已知0°＜α＜45° 则s inα，c osα的大小关系为( )A 、s inα＞c osαB 、s inα＜c osαC 、s inα≥c osαD 、s inα≤c osα．4、∠C ＝90° 且tanA ＝31，则cosB 的值为( )A 、1013 B 、310 C 、1010 D 10103 5、直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ＝10，∠B ＝90°，∠C ＝30°则AB ＝( )A 、53B 、5C 、25D 2356、一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1， 另两边长之和为1＋， 则这个三角形的面积为( )A. 1B.23C. D.437、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域.如图，设A 、B 是我们的观察站，A 和B 之间的距离为160海里，海岸线是过A 、B 的一条直线.一外国船只在P 点，在A 点测得∠BAP=450，同时在B 点测得6BCACDABAB CDABP∠ABP=600，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域. 本课小结本章的重点是直角三角形中锐角三角函数的定义，特殊锐角的三角函数值，及互余两角的三角函数关系，运用这些知识解直角三角形的实际应用，既是重点也是难点.解直角三角形四类基本问题的方法是：(1)已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a)：由sinA ＝ca，求A, B ＝90°－A ， b ＝(2)已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A)； B ＝90°－A ， a ＝c·sinA ， b ＝c·cosA(3)已知一直角边和一锐角(如a ，A)： B ＝90°－A ，b ＝a·cotA ， c ＝Aasin(4)已知两直角边(如a ，b)： c ＝，由tanA ＝ba，求A, B ＝90°－A解直角三角形的思路是：(1)解直角三角形的方法可以概括为“有弦(斜边)用弦(正弦，余弦)，无弦用切(正切，余切)，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；既可由已知数据又可由中间数据求解时，取原始数据，忌用中间数据.(2)解含有非基本元素的直角三角形(即直角三角形的中线，高，角平分线，周长，面积等)一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为基本元素间的关系式，再通过解方程组求解.解直角三角形在实际应用中的解题步骤如下：(1)审题：要弄清仰角，俯角，坡度，坡角，水平距离，垂直距离，水平等概念的意义，要审清题意.(2)画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形(包括正方形).(3)选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.(4)按照题中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位.。
141三角形边角关系
三角形
不等边三角形
腰与底不相等的等腰三角形
等腰三角形
腰与底相等的等腰三角形 ——等边三角形
思考：为什么有的三根小木棒不能组成三角形？ 有的则能组成呢？再来摆一摆，比较一下它们的 三边之间关系，你有什么发现？
猜 结想论：三三角角形形中中任任何何两两边边之之和和大大于于第第三三边边
说理：由“两点之间的所有连线中，线段最短”得：A AB+AC＞BC
因为4+4<10，所以，以4cm为腰不能构成三角形. 所以，三角形另两边长都是7cm。
说说你的收获？
1.三角形的概念 2.三角形的表示方法 3.三角形按边分类 4.三角形三边之间的关系
知
识
的
习题14.1 第1、7题
升
课后思考题：姚明腿长
华
1.28米，他一步能走3
米，你相信吗？说说你
的理由。
例1 等腰三角形中，周长是18cm。
（1）如果腰长是底边长的2倍，求各边长； （2）如果一边长等于4cm，求另两边的长。
解：（1）设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为2x
cm
由题意得：2x+2x+x=18 解得：x=3.6 即2x=7.2 （2所）以若三底角边形长的为三4c边m长，为设7腰.2长cm为、xc7m.2，cm则、有32.6xc+m4=18 解方程得：x=7 若一条腰长为4cm，设底边长为xcm， 则有2×4+x=18 解得：x=10
三角形？
（（√×13） ）14㎝ ㎝、 、25㎝ ㎝、、36㎝㎝
（√2）2㎝、3㎝、4㎝ （×4）3㎝、6㎝、10㎝
体会：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，
便可构成三角形；若不满足，则不能构成三角形.
三角形边长与角的关系
三角形边长与角的关系
三角形边长与角的关系
一、三角形边长关系
1. 边长关系互相制约
三角形的三条边长之间存在着一定的关系。
根据三角形的定义，任意两边之和大于第三边，即
a+b>c
，
a+c>b
和
b+c>a
，其中 a、b 和 c 分别表示三角形的三条边的长度。
2. 两边之和大于第三边
这个关系的意义在于，如果一个三角形的两边的长度之和等于或小于第三边的长度，那么这三条边无法构成一个三角形。
3. 两边之差小于第三边
同样地，如果一个三角形的两边的长度之差大于或等于第三边的长度，那么这三条边也无法构成一个三角形。
二、三角形角的关系
1. 三角形内角和为180度
对于任意一个三角形，它的三个内角的度数之和恒为180度。
2. 锐角三角形
当一个三角形的三个内角都是锐角时，这样的三角形被称为锐角
三角形。
3. 直角三角形
当一个三角形的一个内角为90度时，这样的三角形被称为直角三角形。
直角三角形的两条边相互垂直，且满足勾股定理的关系。
4. 钝角三角形
当一个三角形的一个内角为钝角时，这样的三角形被称为钝角三
角形。
5. 三角形的角度之间的关系
根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得出以下关系：
•三角形的一个角是直角，则另外两个角的度数之和必然为90度；•三角形的一个角是钝角，则另外两个角的度数之和必然小于90度；
•三角形的三个角都是锐角时，这个三角形被称为锐角三角形。
综上所述，三角形的边长与角度之间存在着一些重要的关系，通过这些关系，我们可以更好地理解和研究三角形的性质和特点。
〖2021年整理〗《三角形中的边角关系、命题与证明》优秀教案
第13章三角形中的边角关系、命题与证明一：【知识梳理】（一）三角形1三角形的边角关系（1）三角形边与边的关系：（2）三角形中角与角的关系：2三角形的分类（1）按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2）按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形3三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线：（2）三角形的中线：（3）三角形的高：（二）命题与证明1、____________________的语句叫命题，_______的命题叫真命题，________的命题叫假命题。
所有的命题都可以表达这为___________________的形式，其中__________部分称为命题的题设，__________部分称为命题的结论。
2、把一个命题的_____________________互换得到一个新命题，我们称这两个命题为______命题。
3、证明一个真命题的的一般步骤为：1）根据题意，________,2）结合题设、结论和图形，写出____________,3经过分析，找出由已知推出求证的途径，、_________、________等二：【经典考题剖析】1以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）A1cm，2cm，4 cm crn，6cm，4cmC12 cm ，5 cm ，6 cm D2 cm ，3 cm ，6 cm2等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（ ） A15cm C25 cm D20 cm 或25 cm3如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=6，AC=3，AD=2，∠D=90○， 求CD 的长和四边形 ABCD 的面积4三角形中，最多有一个锐角，至少有_____个锐角，最多有______个钝角（或直角），三角形外角中，最多有______个钝角，最多有______个锐角5两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长cm 的范围是__________6 等角的补角相等，题设是_________________ ，结论是__________________7、互为相反数的两个数绝对值相等的逆命题为_____________________________,这个逆命题是_______命题（填“真”或“假”）8 如图，已知D C ∠=∠∠=∠,21，求证：A F ∠=∠。
三角形的角度和边的关系
三角形的角度和边的关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三个边和三个角组成。
在三角形中，每个角的大小和边长之间存在着一定的关系。
本文将详细介绍三角形的角度和边的关系。
1. 三角形的内角和三角形的内角和恒定为180度。
无论三角形的大小和形状如何，三个内角的和始终为180度。
这是三角形的基本性质之一。
2. 直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，其他两个角的和为90度。
直角三角形的两条边，即较短的两条边，满足勾股定理，即较短的两条边的平方和等于斜边的平方。
3. 等边三角形等边三角形是指三个边都相等的三角形。
在等边三角形中，三个角也都相等，每个角都是60度。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形。
4. 等腰三角形等腰三角形是指两边相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边对应的角）相等。
如果两个底角相等，则可以得出顶角（顶边对应的角）也相等。
例如，如果两个底角为45度，则顶角也为45度。
5. 锐角三角形和钝角三角形三角形的两个角分别小于90度的称为锐角三角形；两个角有一个大于90度的称为钝角三角形。
在锐角三角形中，三个角的和小于180度；在钝角三角形中，三个角的和大于180度。
6. 外角和内角关系在任意三角形中，外角和其对应的内角之和等于180度。
每个内角的补角（即与其相加为180度的角）称为其对应的外角。
通过以上介绍，我们可以看到三角形的角度和边的关系是相互联系的。
通过了解三角形的角度和边的关系，我们能够更好地理解和解决与三角形相关的问题。
总之，三角形的角度和边的关系是几何学中的重要概念之一。
不同类型的三角形具有不同的角度和边的关系，通过了解这些关系，我们能够更好地研究和分析三角形的性质以及解决与三角形相关的问题。
三角形边角关系-几何_线段角_教师版
几何（一）：线段、角基础知识1、 定义：外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角； 2、 三角形边的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 3、 三角形角的关系定理：三角形的内角和是180度；由三角形内角和定理，容易得出下面推论。
推论1：直角三角形的两个锐角互余。
推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、 N 边形的内角和、外角和分别是多少？典型例题例1. 如图ABC 中，84A ∠=，B ∠，C ∠的平分线交于O ，求BOC ∠的度数。
较简单，152度ABOC例2. 如图C 是BAD ∠内部一点，连结CB 、CD ，80A ∠=，30B ∠=，40D ∠=，则BCD∠是多少?连接AC ，则BCD ∠＝80＋30+40＝150度例3. 如图所示，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠。
若DAE α∠=，DBE β∠=，则DCE ∠=____________（用α、β表示）；《奥数教程初2年级》99页7题连结AC ，BC ，易得DCE ∠=（α+β）/2例4. 如图E 和D 分别在ABC 的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分ACB ∠和AED ∠。
若70B ∠=，40D ∠=，则F ∠的大小是________；《奥数教程初2年级》100页8题 仿上一题方法，55度例5. 已知封闭曲线ABCDEFGA ，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=________； 《奥数教程初一年级》164页典型老题了，可以连结CF ，BG ；也可用外角来作。
180度例6. 在ABC 中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠，若B ∠的最大值是m ，最小值是n ，则m ＋n 是多少？ 《奥数教程初二年级》102页9题B C A ∠≥∠≥∠∠A+∠B+∠C ＝180，得到2218055B B B B ∠≥-∠-∠≥∠ m+n ＝175例7. 已知三角形有一个内角是180－x 度，最大角与最小角之差是24度，求x 的取值范围； 《奥数教程初二年级》100页11题例8. 已知三角形的两边的长的差是5，若该三角形周长是偶数，第三条边的最小值是多少？ 《奥数教程初二年级》102页第10题 例9. 有多少边长是整数且周长是2002的等腰三角形？ 《奥数教程初二年级》96页例1例10. 一个三角形的周长是个偶数，其中的两条边长分别是4和1997，则满足上述条件的三角形有多少个？《奥数教程初二年级》99页选择题2 例11.在ABC 中，三边为a ＝3，b ＝4，c ＝6，a h 表示a 边上的高的长度，b h ，c h的意义类似，求111()()a b c a b c h h h h h h ++++的值；《奥数教程初二年级》102页第8题 例12.已知D 在ABC 内部，求证：AB+AC>DB+DC;例13.如图所示E 在ABC 的边AC 上，D 在BE 上。