第2课时 多项式和整式
人教版八年级上册数学作业课件 第十四章 整式的乘法与因式分解 第2课时 多项式与多项式相乘
3.若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx－2，则 m 的值为（ C ） A.3 B .－3 C .1 D .－1 【变式题】本质相同：展开后找对应系数 (1)若(1＋x)(2x2＋ax＋1)的结果中，x2 的系数是－2， 则 a 等于（ C ） A.－2 B.1 C.－4 D.以上都不对
(2)若关于 x 的两个多项式(x＋3)与(x＋m)的乘积是 x2＋nx－3，则 mn＝ 1 . 4.如图，长方形 ABCD 的面积为 x2＋5x＋6 (用含 x 的式子表示).
解得 x＝121.
(2)(x－4)(6x＋7)＞(3x－2)(2x＋5)＋2. 解：原不等式可化为 6x2－17x－28＞6x2＋11x－8，
即 28x＜－20，解得 x＜－57.
13.小明想把一长为 60 cm，宽为 40 cm 的长方形硬 纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸 片的四个角各剪去一个相同的小正方形(如图).
(1)若设小正方形的边长为 x cm，求图中阴影部分 的面积； 解：(1)(60－2x)(40－2x)＝(4x2－200x＋2400)(cm2). 答：阴影部分的面积为(4x2－200x＋2400)cm2.
(2)当 x＝5 时，求这个盒子的体积. (2)当 x＝5 时，4x2－200x＋2400＝1500(cm2)，这个 盒子的体积为 1500×5＝7500(cm3). 答：当 x＝5 时，这个盒子的体积为 7500 cm3.
6.计算： (1)(2a＋b)(4a－b)； 解：原式＝8a2－2ab＋4ab－b2＝8a2＋2ab－b2. (2)(x＋2)2； 解：原式＝(x＋2)(x＋2)＝x2＋2x＋2x＋4＝x2＋4x ＋4. (3)(x＋1)(x2－x＋1). 解：原式＝x3－x2＋x＋x2－x＋1＝x3＋1.
2.1.2整式-单项式和多项式
整式-单项式、多项式【目标导引】1. 会将一个多项式看成是几个单项式的和的形式.2. 理解多项式及其相关概念.能够举例说明多项式中的项，项的系数，多项式的次数.3.初步理解整式的概念理解实际问题中多项式表示的含义.【学习探究】一、辅垫导入与自主预习1. 回顾：我们学习了用字母表示数，那么用字母表示数应该注意哪些书写规则呢2.思考：从开学到现在我们所学过的用字母表示的数和式子，他们是什么样子的呢请你随手写出几个与同伴交流一,他们有没有什么共同的地方，可以分为几类呢二、知识探究与合作学习.…1.探究一：请看到课本56面上的思考1，你能说出这些式子的特点吗什么是单项式什么是系数，什么是单项式的次数请你说一说2.试一试：下列式子中，单项式有哪些⑴3-；⑵213x y ；⑶2a ；⑷23m ；⑸212ab -；⑹729x -+；⑺2n ；⑻2π+.3.议一议：判定一个式子是否是单项式时，分母中可以含有字母吗为什么单项式中除了符号以外能够含有“+”，“—”号吗单项式中的系数包括它前面的符号吗不含有数字系数的单项式的系数是多少,例如a 的系数是（小组讨论并交流、组内发言人总结）4.指出下列各单项式的系数和次数 ⑴2395x y -； ⑵223ab π；⑶24m n -；⑷4x ；⑸3223mn -；…5.若一个只含字母a b 、的单项式，其系数为-1，次数为3，请写出这样的单项式.6.探究二：请同学们看到书本57面思考二，这些式子具有哪些特点呢小组总结一下，说说你们发现了什么阅读课本58面，请你说一说什么是多项式，什么是多项式的项，什么是常数项，多项式的次数是什么，怎么得到的7.想一想：单项式与多项式有哪些区别和联系单项式和多项式统称为 .8.完成课本上的练习1,2.}9.请指出下列式子中的多项式： ⑴31xy 532x -+； ⑵222a b +； ⑶2mn m n +； ⑷1a b -+；⑸592018ab -；10.指出下列多项式的项和次数，并说出它是几次几项式.⑴22325x y x y --+-; ⑵415mn -;、总结：确定多项式的项时，必须加上前面的 .多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.11.将多项式2233432x y xy y x +-+按照x 的降幂排列 .12.将式子：222221111,,,(),,71,8,923236x y x y a x y x a x aπ---++-+，填入相应的集合圈中单项式多项式整式。
《2.1整式》教学设计(第二课时)
2．1．2整式一、教学目标：1．通过本节课的学习，使学生掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念；2．通过小组讨论、合作交流，让学生经历新知的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力；3．由单项式与多项式归纳出整式，这样更有利于学生把握概念的内涵与外延，有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更新；体会类比和逆向思维的数学思想．二、教学重点、难点：重点：掌握整式及多项式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念。
难点：多项式的次数。
三、学法与教学用具：学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。
教学用具：投影仪四、教学过程：（一）创设情景，揭示课题列代数式：（1）长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是；（2）某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生人；（3）图中阴影部分的面积为_______；（4）鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头个，脚只．2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别．（1）2（a＋b）；（2）21＋x；（3）a＋b；（4）2a＋4b．列代数式：（二）研探新知1．多项式：上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的．像这样，几个单项式的和叫做多项式（polynomial）．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项（term）．其中，不含字母的项，叫做常数项（constant term）．例如，多项式有三项，它们是－2x，5．其中5是常数项．一个多项式含有几项，就叫几项式．多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数．例如，多项式是一个二次三项式．注意：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和；（2）多项式的每一项都包括它前面的符号．1.例题：例1 判断：①多项式a3－a2ｂ＋aｂ2－ｂ3的项为a3、a2ｂ、aｂ2、ｂ3，次数为12；②多项式3n4－2 n 2＋1的次数为4，常数项为1．例2 指出下列多项式的项和次数：（1）3x－1＋3x2；（2）4x3＋2x－2y2．解：略．例3 指出下列多项式是几次几项式．（1）x 3－x＋1；（2）x 3－2 x 2 y 2＋3 y 2．解：略．整式的定义：单项式与多项式统称整式例4 已知代数式3 x n－（m－1）x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的条件．解：略．（三）巩固深化，反馈矫正①填空：－a2b－ab＋1是次项式，其中三次项系数是，二次项为，常数项为，写出所有的项．②已知代数式2x2－mnx2＋y2是关于字母x、y的三次三项式，求m、n的条件．①理解多项式的定义，能说出一个多项式是几次几项式，最高次数是几，分别由哪几项组成，各项的系数分别为多少，常数项为几．（四）归纳小结这堂课学习了多项式，与前一节所学单项式合起来统称为整式，使知识形成了系统．（五）作业布置P59 练习题3,4。
2.3 整式的概念 第2课时 教案 数学湘教版七年级上册(2024年)新版教材
2.3整式的概念第2课时【教学目标】1.领悟判断同类项的两条标准,会识别同类项.2.掌握合并同类项的法则,并能合并同类项.3.会把一个多项式按照其中某个字母进行升幂或降幂排列.4.经历探究同类型概念及合并同类项的过程,培养学生观察、分析、归纳和动手解决问题的能力,感受“数式通性”和类比的思想,体验探究规律的思想.【重点难点】1.重点:理解同类项的概念,并能正确进行同类项的合并.2.难点:找准同类项,能熟练地进行同类项的合并.【教学过程】一、创设情境[过渡语]今天这节课我们从一则小游戏开始,同学们玩过这个游戏吗?你对这个游戏的规则了解吗?学生对这个游戏很熟悉,是把同样的图案连起来,也就是把图案归类.师:在我们的日常生活中,经常会碰到需要我们整理分类的问题.比如我们每天进教室的第一件事就是整理课桌,把课本放在一起,练习本放在一起,文具放入文具盒里等等.那么,我们这节课要解决的第一个问题就是会把代数式或代数式的项按照一定标准进行分类.这就是我们本节课所要学习的内容——合并同类项.二、探究归纳探究点1:同类项的概念1.【说一说】出示教材P77“说一说”.2.归纳:把所含____字母____相同,并且相同字母的____指数____也相同的项称为同类项.【思考】非零常数也是同类项吗?3.【针对性训练】(1)判断下列各组的两项是不是同类项?是的打“√”,不是的打“×”,并说明理由.3a 2b 与ab 2; ( ×,相同字母指数不同 )2πr 2与6r 2; ( √ )5与-8; ( √ )(2)请写出一个与-a 2b 3是同类项的式子____3a 2b 3(答案不唯一)____.(3)教材P79练习T1探究点2:合并同类项1.【想一想】(1)从数的加法满足交换律和结合律,数的乘法满足对加法的分配律,而多项式中的字母表示的是数,那么,多项式中的同类项能合并吗?(2)填一填:3a +6a =(____3+6____)a =9a ,依据是____结合律____.类似地,3x 2y +34x 2y -x 2y = (3+34-1)x 2y =114x 2y 2.【归纳总结】一般地,在多项式中,要把同类项同类项的系数相加合并成一项,这叫作____合并同类项____.3.学以致用:【典例评析】教材P78【例2】指定两名学生上台做题,其他学生在练习本上完成.然后学生小组内共同批改“板演”,待学生交流汇总后,请学生代表回答、评议、补充、总结.学生交流.先对学,再群学.充分在小组内展示自己,分析答案,提出疑惑,共同解决(可按结对子学——帮扶学——组内群学来开展).在群学后期教师可有意安排每组展示问题,并给学生板书题目和组内演练的时间.通过完成合并同类项,让学生自己总结归纳合并同类项的步骤.教师要结合学情强调解题时的易错点.【方法总结】:(1)发现同类项.(找)找出同类项后,教师引导学生用不同的下划线标出不同类的同类项.(2)确定各同类项系数.(移)把同类项移动到同一个括号内,注意括号前一定是“+”号,移动时一定要连同前面的符号一起移动.(3)合并同类项.(并)严格按照法则合并同类项,一定要有系数相加的步骤,字母和字母的指数不变.系数相加即有理数的加减,要防止出错.系数相加后不要忘记带上“单位”(即字母和字母的指数).【针对性训练】教材P80练习T2探究点3:多项式的名称及排列1.【记一记】(1)一个多项式合并同类项后,多项式的次数和项数分别是几,则称此多项式为几次几项式.例如称-7x3+x2-7为三次三项式,称-10x2y2-3xy3-10为四次三项式.(2)把多项式合并同类项后,一般要把它的各项按照一定的次序排列:①把只有一个字母的多项式的各项按照该字母的指数由大到小(或由小到大)排列,称为降幂(或升幂)排列.②习惯上,把只有一个字母的多项式按降幂排列;把含有多个字母的多项式按照其中某个字母进行降幂排列.2.学以致用:【典例评析】出示P79例3.【针对性训练】教材P80练习T3探究点4:多项式的相等1.【说一说】阅读教材P79“说一说”,完成下列内容:归纳:两个多项式分别经过合并同类项后,如果它们的对应项____系数____都相等,那么称这两个多项式相等.2.【针对性训练】(1)多项式4x2+x2y-3x2-8与多项式-6x2-8-2x2y+3x2y+7x2相等吗?解:因为4x2+x2y-3x2-8=x2+x2y-8,-6x2-8-2x2y+3x2y+7x2=x2+x2y-8,所以它们相等.(2)教材P80练习T4三、交流反思引导学生回答如下问题:本节课学习了哪些基本内容?应注意什么问题?本节课中,我们认识了同类项,主要学习了:1.同类项的概念:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫作同类项.2.合并同类项:系数相加,字母与字母的指数不变.3.巧记合并同类项的法则.将合并同类项的法则编成歌诀:同类项、同类项,两个条件不能忘;字母要相同,指数要一样;合并同类项,合并法则不能忘;只求系数和,字母、指数不变样.4.合并同类项的步骤:(1)找出同类项并标记;(2)运用交换律、结合律将多项式的同类项结合;(3)合并同类项;(4)按同一个字母的降幂(或升幂)排列.四、检测反馈1.下面各组中是同类项的是()A.3a2b3和2b3a2B.2x2y和2xy2C.4与aD.2x和2ax2.下列合并同类项正确的是()A.2x2-3x=-xB.2x2-3x2=-1C.2x2+3x=5x3D.2x2+5x2=7x23.填空:-a2b-(________)=a2b.4.若-3x2y3k+4x2y6的结果为单项式,则k=________.5.合并同类项.(1)7a2-2ab+b2-5a2-b2-2a2-ab.(2)6x+2x2-3x+x2+1.(3)-3ab+7-2a2-9ab-3.五、布置作业基础:课本P80~81习题2.3T4,5,6综合:课本P81习题2.3T7六、板书设计七、教学反思合并同类项是这一章中的重要内容,熟练掌握合并同类项的法则是解决问题的关键,如果对合并同类项的法则理解不透彻就会出现计算错误.在学习合并同类项时要学生理解同类项的概念,弄清代数式中的系数、项等概念,会在较为复杂的代数式中找出同类项,理解合并同类项实质就是对乘法分配律的逆用,让学生在具体的计算过程中养成用不同的记号标识不同类别的同类项的习惯,防止漏项.优点:在整堂课的教学活动中充分体现学生的主体性,给学生提供充分参与数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能,培养学生动手、动口、动脑和合作交流能力.缺点:本节课容量较大,时间稍显不足.。
七年级同步第2讲：整式的基本概念教师-教师版
（1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和．例如：单项式- ab 2c ，它的指数项式 xy 2整式的基本概念内容分析整式的基本概念及合并同类项是在学生学习了有理数、用字母表示数和代数式等知识的基础上安排的．该章属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”部分，其主要内容包括整式、单项式、多项式；合并同类项；等．这些内容既是 对有理数的概括与抽象，又是后继学习整式加减运算的基础，还是学习物理、化 学等学科及其他科学技术不可缺少的工具．知识结构模块一：整式的基本概念知识精讲1、 单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．12为 1 + 2 + 1 = 4 ，是四次单项式．单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单2 32、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．例如： x 2 - 3x + 1 是多项式．x 2 y ，- b 2 ， ， 5x 2 - y 2 ， (m + n) ，【解析】 和 (m + n) 分母中含有字母，是分式的形式，不属于整式，单项式和多项式都xy 2 ， -a ， ， + 3 ， 25 t 7 ， -3a 2b 3c ， 2 ， - ．【答案】以上代数式是单项式的有： xy 2 ， -a ， 25 t 7 ， -3a 2b 3c ， 2 ， - ．- ，系数 - ，次数为 1．（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数．79（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面的符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列．3、整式：单项式和多项式统称整式．例题解析【例1】 在代数式整式共有（A 、51 1 x 1 1 x + 32 5 3x 6 a 3）个B 、6C 、7D 、8，0， y 2 + 6 y + 9 中，【难度】★【答案】Bx 13x a是整式，故本题中的整式共 6 个．【总结】本题主要考查整式的概念．【例2】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．2 3 a mn xbc 2 π【难度】★2 x3 π2 2xy 2 的系数为 ，次数为 3； 3 325 t 7 ，系数为 25，次数为 7；2，系数为 2，次数为 0；-a 的系数为-1，次数为 1；-3a 2b 3c ，系数为-3，次数为 6； x 1π π【解析】此题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目．（1）；（2）x+y--1．【答案】（1）此多项式的次数是3次，最高次项的系数为；（2）此多项式的次数是2次，最高次项的系数是-π．【例5】多项式5y4-x4+3x2y-xy2-5x2y3是几次几项式？2【例3】写出下列多项式的次数及最高次项的系数．3x3-6x2+94πxy43【难度】★3443【解析】这是一道基础题目，考查的是多项式的系数和次数的概念．【例4】解答题：（1）把多项式3a-5a3+6a2-2按a的降幂排列；（2）把多项式4x2y-5x3-3xy2+y3按y的升幂排列；（3）求多项式3x2-2x y-5y2+2的各项系数之和．【难度】★【答案】（1）-5a3+6a2+3a-2；（2）-5x3+4x2y-3xy2+y3；（3）-2．【解析】（1）（2）升降幂的概念的考查，（3）多项式3x2-2x y-5y2+2的各项系数分别为3，-2，-5，，这四个数字之和为-2．【总结】本题一方面考查多项式的排列，另一方面考查多项式中每一项的系数．12【难度】★★【答案】五次五项式【解析】多项式中所包含的单项式的次数最高的项是-5x2y3，是五次单项式，故此多项式的次数为五次，共五项，所以是五次五项式．【总结】本题主要考查几次几项式的概念．【例7】 多项式 - x 2 y m +1 + xy 2 - 3x 3 - 6 是六次四项式，单项式 2 x 3n y 5-m z 的次数与这【例6】 多项式 6x n +2 - x 2-n + 2 是三次三项式，求代数式 n 2 - 2n + 1 的值．【难度】★★【答案】0 或 4．【解析】多项式 6x n +2 - x 2-n + 2 是二次三项式，则分两种情况：（1）当 n + 2 = 3 时， n = 1 ，所以 n 2 - 2n + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 ；（2）当 2 - n = 3 时， n = -1 ，所以 n 2 - 2n + 1 = (-1 - 1)2 = 4 ．【总结】本题一方面考查了几次几项式的概念，另外由于没有说最高次项是哪一项，因此要分类讨论．15个多项式次数相同，求 m ，n 的值．【难度】★★【答案】 m = 3 ，n = 1 ．【解析】由题意知多项式是六次四项式，则可得：2 + m + 1 = 6 ，m = 3 ；又单项式的次数与多项式的次数相同，所以可得 3n + 5 - m + 1 = 6 ， 所以 n = 1 ．【总结】本题主要考查多项式的次数与单项式的次数，注意两个概念的不同之处．【例8】 设自然数 m 、n 满足1 ≤ m < n ，求多项式 2n x m + 2m y n - 2m +n xy 的次数？【难度】★★【答案】2 或者是 n ．【解析】（1）当 n ≤2 时，次数为 2；（2）当 n >2 时，次数为 n ．【总结】本题主要考查多项式的次数，注意多项式的次数与系数的指数无关．【例9】 请各写出一个符合条件的整式： （1）系数是 -1 ，次数是 3 的单项式； （2）系数是 3，次数是 1 的单项式； （3）常数项为 -2 的二次三项式．【难度】★★ 【答案】（1） - x 3 ；（2） 3x ； （3） x 2 + x - 2 ．【解析】这是一道开放性的题目，主要考查的是整式、单项式和多项式的基础概念，答案不唯一．【答案】 a 21（-1）n +1a n( )【例10】 下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个：8x 2 - 9x 4 + 2x - x 4 - 2x + x 2如果按此规律继续写下去，排在第 21 个的是什么样的单项式？【难度】★★★122【解析】根据观察，可以发现规律为 ，根据规律可得答案．n + 1【总结】这是一道找规律的题目，做题时要注意每一项的特征，另外这类型的题目也是近阶段的热点问题．【例11】 现有两个多项式，它们同时满足下列条件：（1）多项式中均只含有字母 x ；（2）每个多项式中各项系数的绝对值均为 2；（3）这两个多项式的和是一个 5 次多项式，这两个多项式的差是一个一次单项式．问：这两个多项式分别是多少？【难度】★★★【答案】 2 x 5 - 2 x ，2 x 5 + 2 x 或 -2 x 5 - 2 x ，- 2 x 5 + 2 x ．【解析】由于每个多项式的系数的绝对值为 2，则系数为 2 或者是-2．【总结】本题主要考查多项式的概念，另外还要注意对题意的准确理解．【例12】 已知有一组多项式，如下所示：1 1 37x 3 z 2 - 8x 3 y + x 2 yz - 3xy 2 z + 9x 4 zy - zy 2 - xyz + 9 y 3 z - -xz 2 y + z 32 5 10我们用下面的方法给这个多项式的每一项排序：（1）对于多项式的任意两项，先看 x 的次数，规定 x 的次数高的项排在 x 的次数低的项的前面;（2）再看 y 的次数，规定 y 的次数高的项排在 y 的次数低的项的前面；（3）再看 z 的次数，规定 z 的次数高的项排在 z 的次数低的项的前面．请问：（1）将这个多项式按上述法则排序，那么9 y 3 z 应排在第_______（几）位．（2）请问 9 x 4 zy 排在________位．（3）请按照上述排序写出这个多项式．（3） 9x 4 zy - 8x 3 y + 7x 3 z 2 + x 2 yz - 3xy 2 z + xyz 2 - xyz + 9 y 3 z - zy 2 + z 3 ．【难度】★★★【答案】（1）8；（2）1；1 1 32 5 10【解析】首先按照 x 的降幂排列，在 x 的次数相同的情况下按 y 的降幂排列，在 y 的次数相同的情况下按照 z 的降幂排列．【总结】本题主要考查多项式的排列，注意对概念的准确理解．师生总结1、单项式学习中主要注意哪几个方面？2、多项式学习中主要注意哪几个方面？模块二：合并同类项知识精讲1、同类项的概念：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2、合并同类项：合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．① 2m 2n 和 2a 2b ； ② - x 3y 和 yx 3 ；⑥ - 和 2 ．；（2） -2m 3 + n 3 ；（3） 3a 2 - a - m ． 【解析】（1）原式 = ( x 2 - 3x 2 ) + (- x - 2x) + (5 + ) = -2x 2 - 3x +； （3）原式 = 3a 2+ (-2a + a - a) + (-7m - m ) = 3a 2 - a - m ．⎧4m = 2 【解析】由题意，可得： ⎨ ，解得： ⎨ 2 ，所以 2m + 3n = 2 ⨯ + 3 ⨯ 2 = 7 ．⎪⎩n = 2 + =例题解析【例13】 下列各组单项式中属于同类项的是：1 2③ 6xyz 和 6xy ；④ 0.2 x 2y 和 0.2xy 2；⑤ xy 和 - yx ；12【难度】★【答案】②⑤⑥【解析】①③两个单项式所含字母不相同；④相同字母的次数不相同．【总结】本题主要考查同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式，注意同类项与字母的顺序无关．【例14】 合并下列同类项：1（1） x 2 - x + 5 - 2x + - 3x 2 ；2（2） m 3 - n 3 - 3m 3 + 2n 3 ；1 4 1（3） -7m - m + 3a 2 - 2a + a - a ．7 3 3【难度】★【答案】（1） -2x 2 - 3x +11 502 711122（2）原式 = (m 3 - 3m 3 ) （ - n 3 + 2n 3） -2m 3 + n 3 ；4 1 1 503 3 7 7【总结】本题主要考查合并同类项的概念，合并时只需要将同类项的系数相加减即可．【例15】 单项式 -9 x 4m y 4 与 3x 2 y 2n 是同类项，求 2m + 3n 的值．【难度】★【答案】7⎧1 ⎪m = 1 ⎩4 = 2n2【总结】本题主要考查同类项的概念．2 yx 2 ；2 yx 2 ) + 0.15x 2 y 2 - 0.1y 2 x = 0.62x 2 y + 0.15x 2 y 2 - 0.1xy 2 ；【例17】 单项式 - x a +b y a -3b 与 3x 2y 是同类项，求 a - b 的值．⎪⎪ a = ⎪b = 1【例18】 如果 - x m -3 y 2 + x 2 y 2 是五次多项式，求 m 的值．【例16】 合并下列同类项（1） 0.12x 2y + 0.15x 2 y 2- 0.1y 2x + 1（2） 3x n +1 y 2 - 4 x n y n - 2 y 2 x n +1 - y 2 x n +1 ；（3） 0.8a 2b - 6ab - 3.2a 2b + 5ab + a 2b ．【难度】★★【答案】（1） 0.62 x 2 y + 0.15 x 2 y 2 - 0.1y 2 x ； （2） -4 x n y n ； （3） -1.4a 2b - ab ．【解析】（1）原式 = (0.12x 2 y +1（2）原式 = (3x n +1 y 2 - 2x n +1 y 2 - x n +1 y 2 ) - 4x n y n = -4x n y n ；（3）原式 = (0.8a 2b - 3.2a 2b +) + (-6ab + 5ab) = -1.4a 2b - ab ．【总结】本题主要考查的是合并同类项，若是同类项只需将相应的系数相加减即可．13【难度】★★【答案】 32⎧a + b = 2【解析】由题意，可得： ⎨⎩a - 3b = 1【总结】本题主要考查同类项的概念．79 【难度】★★【答案】6【解析】由题意得 m - 3 + 2 = 5 ，m = 6 ．【总结】本题主要考查几次几项式的概念．【例20】 已知： x = 3 ， y = 1 ．求 3x 2 - ⎡2xy 2 - 2(3x 2y + xy 2)⎤ 的值．【解析】 3x 2 - ⎡2xy 2 - 2(3x 2y + xy 2)⎤ = 3x 2- 2xy 2+ 6x 2y + 2xy 2= 3x 2+ 6x 2y ．【例19】 已知 x < -4 ，化简： 2 - x + 3 x + 4 - x - 4 ．【难度】★★【答案】 -4x - 16 ．【解析】因为 x < -4 ，所以 -x > 0 ， x + 4 < 0 ， x - 4 < 0 ．所以 2 - x + 3 x + 4 - x - 4 = -2x - 3x - 12 + x - 4 = -4x -16 ．【总结】本题一方面考查绝对值的化简，另一方面考查合并同类项．⎣⎦【难度】★★【答案】81 或-27．⎣⎦因为 x = 3 ， y = 1 ，所以可得 x 2 = 9 ，y = ±1 ．当 x 2 = 9 ，y = 1 时， 3x 2 + 6x 2 y =81；当 x 2 = 9 ，y = -1 时， 3x 2 + 6 x 2 y = -27 ．【总结】本题主要考查合并同类项及多项式求值的问题．【例21】 多项式 5x 2 - 2mxy - 3 y 2 + 4xy - 3x + 1 中不含 xy 项，求 -m 3 + 2m 2 - m + 1 - m 3 - 2m 2 + m - 4 的值．【难度】★★★【答案】 -19 ．【解析】因为多项式 5x 2 - 2mxy - 3 y 2 + 4xy - 3x + 1 中不含 xy 项，所以 -2m + 4 = 0 ，解得 m = 2 ．所以 -m 3 + 2m 2 - m + 1 - m 3 - 2m 2 + m - 4 = -2m 3 - 3 = -2 ⨯ 23 - 3 = -19 ．【总结】本题一方面考查合并同类项的概念，另一方面考查对多项式中不含某一项的理解．取值无关，所以可得：⎨，解得：⎨．a+3=0b=1（（3【例22】已知代数式(2x2+ax-y+6)-(2bx2-3x-y-1)，（1）当a=________，b=___________时，此代数式的值与字母x，y的取值无关．（2）在（1）的条件下，多项式3(a2-2ab-b2)-(4a2+ab+b2)的值为_______．【难度】★★★【答案】（1）-3，1；（2）8．【解析】1）原多项式可以化简为：2-2b)x2+(a+3)x+7，因为代数式的值与字母x，y的⎧2-2b=0⎧a=-3⎩⎩（2）∵3(a2-2ab-b2)-(4a2+ab+b2)=3a2-6ab-3b2-4a2-ab-b2=-a2-7ab-4b2，⎧a=-3∴当⎨时，-a2-7ab-4b2=-(-3)2-7⨯(-3)⨯1-4⨯12=8．⎩b=1【总结】本题主要是理解代数式的值与某一项无关时，则说明相关项的系数为零．【例23】一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（）那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子被剪为9段，若用剪刀在虚线a、b之间把绳子再剪（n－2）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是多少？（用n表示）图（1）图（2）图（3）【难度】★★★【答案】4n+1．【解析】当n=1时，绳子的段数由原来的1根变成5根，即多出4根；当n=2时，绳子为1+8段，多出8段．即每剪一次，就能多出4段绳子；所以当剪n次时，多出4n条绳子，即绳子的段数为4n+1．【总结】本题是一道规律题，主要考查学生的理解能力和观察能力．2ab2，b，3，x+x2，m2n-mn+3n-2，3，x+y，x2+【答案】单项式：ab2，；多项式：x+x2，m2n-mn+3n-2，3；3，x2+x；二次多项式：x2+x；整式：ab2，11x-23，x+x2，m2n-mn+3n-2，3，x+y．3，22a3b4，x，-3，3x+1，abc3，abc；22a3b4的系数是4，次数是7；-xy3的系数是-，次数是2；随堂检测【习题1】讲下列代数式分别填入相应的括号内：1a113x-211x2-3单项式（）；多项式（）；二项式（）；二次多项式（）；整式（）．【难度】★11 231x-2 2二项式：x-21231【解析】本题主要考查的是单项式、多项式以及整式的相关概念．【习题2】下列代数式中那些是单项式？并指出这些单项式的系数和次数：x-15xy【难度】★【答案】单项式有：22a3b4，-xy13abc的系数是1，次数是3．【解析】本题主要考查的是单项式的次数和系数的概念，比较基础．a （1） x 4 + 2x 2 - 1； （2） 2ab + ； （3） a 3 + 2ab 3 + b 3 - a 3b ； （4） ．【答案】 x 4 + 2x 2 - 1和 a 3 + 2ab 3 + b 3 - a 3b 是多项式，其中 x 4+ 2x 2 - 1是四次三项式，【习题5】若 -9a 3m +2b 5 m - 5 n 与 a 2b 是同类项，求 m ， n 的值． 【答案】 m = 0 ， n = - ．⎧m = 0⎪⎪ 3 m + 2 = 2【解析】由同类项的概念，可得 ⎨ ，解得： ⎨ 5 ． ⎪ m - n = 1 ⎪⎩23 3 3 b ⎩ b c【习题3】 写出下面式子的同类项（写出一个即可）：5x 2 y πc 11a（1） ； （2） - ； （3） xy 7 z 2 ；（4） π ．6 2【难度】★【答案】（1） 3x 2 y ；（2） -3c 11 ；（3） -3xy 7 z 2 ；（4）0．【解析】本题主要考查同类项的概念．【习题4】 下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式．4 a x + y5 b x【难度】★ 4 4 5 5a 3 + 2 ab + b - a 是四次四项式．【解析】（2）和（3）分母中都含有字母，不是整式．【总结】本题主要考查多项式的概念以及几次几项式的概念．1 2 2【难度】★★52⎧ 1 ⎪ 2 2 n =- ⎪ 55【总结】本题主要考查同类项的概念．【习题6】同时都含有 a ，， ，且系数为1 的 7 次单项式共有（A ．4B ．12C ．15D ．25【难度】★★【答案】C）个【解析】a 、b 、c 的系数分别是 1、1、5； 1、2、4；1、3、3； 1、4、2；1、5、1；2、1、4； 2、2、3； 2、3、2； 2、4、1；3、1、3；3、2、2；3、3、1；4、1、2；4、2、1；5、1、1，共有 15 个．【总结】本题主要考查单项式的次数的概念．【解析】由题意可得： ⎨ ，解得： n = 0 ．y【解析】由题意得： ⎨，解得： ⎨ ，所以 a + b = 1 - 3 = -2 ． -b - 3 = 0 b = -3【解析】由题意得： ⎨ ，解得： ⎨ 或 ⎨ ．当 ⎨ 时， m 2 - 2mn + n 2 = 1 ； 当 ⎨ 时， m 2 - 2mn + n 2 = 25 ． y【习题7】填空：若单项式 (n - 2)x 2 y 1-n 是关于 x ， 的三次单项式，则 n = 【难度】★★【答案】0⎧⎪ 1 - n = 1 ⎪⎩n - 2 ≠ 0【总结】本题主要考查与单项式有关的概念，解题时注意对题意的准确理解．【习题8】将多项式 x 2 y - 4 x y 2 + 2 x 3 y - 1 按 x 的降幂排列，并指出是几次几项式，并指出系数最小的项．【难度】★★【答案】按 x 的降幂排列为：2x 3 y + x 2 y - 4xy 2 - 1 ；是四次四项式；系数最小的项是 -4 x y 2 ．【解析】本题考查的是与多项式有关的概念，注意对概念的理解．【习题9】若多项式 x 4 - ax 3 + x 3 - 5x 2 - b x - 3x - 1 不含 x 的奇次项，求 a + b 的值．【难度】★★【答案】 -2 ．⎧-a + 1 = 0 ⎧a = 1 ⎩ ⎩【总结】本题主要考查多项式的合并，另外要准确理解多项式中不含某一项的含义．【习题10】 多项式 5x 2 y m + (n - 3) y 2 - 2 是关于 x ， 的四次二项式，求 m 2 - 2mn + n 2 的值． 【难度】★★【答案】1 或者 25⎧ |m | = 2 ⎧m = 2 ⎧m = -2 ⎩n - 3 = 0 ⎩n = 3 ⎩n = 3⎧m = 2 ⎧m = -2 ⎩n = 3 ⎩n = 3【总结】本题一方面考查四次二项式的概念，另一方面要注意m 的值有两种情况注意讨论．【习题12】化简： a 3b 2 - a 2b - 2ab + 5a 3b 2 - + + 3ab + ba 2．【答案】 a 3b 2 + a 2b + ab +【解析】原式=（ + 5）a 3b 2 + ( - )a 2b + (3 - 2)ab - + = a 3b 2 + a 2b + ab + ．n【习题11】 去括号，再合并同类项： 2 (x3 - x 2 + 2x - 4)- (x 2 + 3x - 10)．【难度】★★【答案】 2x 3 - 3x 2 + x + 2 ．【解析】原式= 2x 3 - 2x 2 + 4x - 8 - x 2 - 3x + 10 = 2x 3 - 3x 2 + x + 2 ． 【总结】本题主要考查合并同类项的方法．5 1 1 5 26 3 3 6 3【难度】★★35 1 16 3 25 2 1 1 5 35 1 16 3 3 3 6 6 3 2【总结】本题主要考查合并同类项，在计算的过程中注意符号．【习题13】 设 m ， 表示正整数，多项式 x m + y n - 4m +n 是几次几项式？ 【难度】★★★【答案】m 或 n 次三项式（m 、n 中较大的数）．【解析】由于 4m +n 是常数项 ，所以（1）当 m >n 时，是 m 次三项式；（2）当 m <n 时，是 n 次三项式．【总结】本题主要考查多项式的次数，注意多项式的次数与系数的指数无关．【习题14】 一个多项式按 x 的降幂排列，前几项如下： x 10 - 2 x 9 y + 3x 8 y 2 - 4 x 7 y 3 + ... 试写出它的第七项及最后一项，这个多项式是几次几项式？【难度】★★★【答案】第七项是： 7 x 4 y 6 ，最后一项是：11y 10 ，这个多项式是七次十一项式．【解析】由于每项的系数的符号按正负交替变换的，系数的绝对值依次加1，字母 x 的次数依次减 1，字母 y 的次数依次加 1，可知第七项和最后一项分别为 7 x 4 y 6 ，11y 10 ．【总结】本题是一道规律题，注意对题意的准确理解．【答案】（1）1；（2）．】2．，-5，3mn-m，3y，多项式：x+3y，4a2-a+7，a-b整式：-ab，πR2，-5，3y，x+3y，4a2-a+7，a-b【习题15】已知(2x-1)7=a+a x+a x2+...+a x7对任意x的值都成立，求下列各式的值：0127（1）a+a+a+...+a；（2）a+a+a+a．01271357【难度】★★★1+372【解析（1）由于(2x-1)7=a+a x+a x2+...+a x7对于任意x的值都成立，所以可令x=1，0127从而可求出代数式a+a+a+...+a=1；0127（2）令x=-1，可得a-a+a-...-a=-37，再与a+a+a+...+a=1相减除以2，01270127即可得出a+a+a+a=13571+37【总结】在本题中要注意x=1和x=-1的特殊含义．课后作业【作业1】下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？-ab，πR2，x+3y，4a2-a+7，b1a-ba3．【难度】★【答案】单项式：-ab，πR2，-5，3y；3；3．【解析】本题主要考查了单项式和多项式的概念．【作业2】指出下列多项式是几次几项式，并指出系数最小的项：（1）13y-2xy-18x3y-7x2y2；（2）-3xy2-5x2y-x3y+2y-1．【难度】★【答案】（1）是四次四项式，系数最小的项是-18x3y；（2）是四次五项式，系数最小的项是-5x2y．【解析】多项式的次数是根据每一个单项式的最高次数定的．【作业3】合并同类项：（1）3x3-2x3-x3；（2）4a2+a-5-6a3+1-4a2+3a3；（3）4x2-8x+5-3x2+6x-2．【难度】★【答案】（1）0；（2）-3a3+a-4；（3）x2-2x+3【解析】（1）原式=(3-2-1)x3=0；（2）原式=(-6+3)a3+(4-4)a2+a-(5-1)=-3a3+a-4；（3）原式=(4-3)x2-(8-6)x+(5-2)=x2-2x+3．【总结】合并同类项的关键是将同类项的系数相加减．【作业4】将多项式a5-3a4b-11a2b3-b5+7a3b2+6ab4（1）按a的降幂排列；（2）按b的降幂排列．【难度】★★【答案】（1）a5-3a4b+7a3b2-11a2b3+6ab4-b5；（2）-b5+6ab4-11a2b3+7a3b2-3a3b+a5．【解析】注意审题，看清楚题目的要求．【作业5】若 -0.11x a +b y a -b 与x a -1 y 3是同类项，求 a ， b 的值． ⎩ a - b = 3 ，解得： ⎨⎩b = -1【作业6】若 x 4a y 4 z b 和 7 x 8 y a -2c 是同类项，求 a + b + c 的值．【解析】由题意可得： ⎨4 = a - 2c ，解得： ⎨b = 0 ，所以 a + b + c = 2 + 0 - 1 = 1 ． ⎪b = 0 ⎪c = -1 （1） x 2 y - x 2y ；（3） 3x 2 y - xy 2 - 3 3 xy 2 + 2x 2 y -y 2 x ．【答案】（1） x 2 y ；（2） -2ab ；（3） x 2y - 2 3 xy 2 ．【解析】（1）原式 = (1- ) =5 x 2y ；（3）原式 = (3 - 32 x 2 y - xy 2 ．5 9【难度】★★【答案】 a = 2 ， b = -1 ．⎧a + b = a - 1 ⎧a = 2 【解析】由题意可得： ⎨．【总结】本题主要考查同类项的概念．13【难度】★★【答案】1．⎧4a = 8 ⎧a = 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩【总结】本题主要考查同类项的概念．【作业7】合并同类项： 1 5（2） 4a 2 + 3b 2 + 2ab - 4a 2 - 3b 2 - 4ab ；1 32 yx 2 + 2【难度】★★4 7 521 4 5（2）原式 = (4 - 4)a 2 + (3 - 3)b 2 + (2 - 4)ab = -2ab ；1 2 7 22 + 2)x 2 y + (-3 + 3 - 1)xy 2 = 3【总结】合并同类项的关键是合并同类项的系数．5m 3 + 3m 2n - 6mn 2 + 9n 3 =_______________． 5m 3 + 3m 2 ⨯ (-2m ) - 6m ⨯ (-2m )2 + 9 ⨯ (-2m )3 = 97 ．【作业10】 如果 -a m -3 b 与 ab 4n 是同类项，且 m 与 n 互为负倒数，求⎝ 4 - 4 ⎪- m - 11 值．n - mn - 3⎧⎪ m - 3 = 1 1 4 ，又因为 m 、n 互为负倒数，所以 m = 4 ，n = - ．所以 n - mn - 34 ． ⎝ 4 - 4 ⎪- m - 11 = n - mn - m + 1 = - + 1 - 4 + 1 = -⎩【作业8】边长分别为 a 和 2a 的两个正方形按如图的样式摆放，求左图中阴影部分的面积．【难度】★★【答案】 2a 2．2a1【解析】 S 阴 = S 正1 + S 正2 - S 三角形 = 4a 2 + a 2 - 2 ⨯ 2a ⨯ 3a = 2a 2 ．【总结】本题主要考查整式的运算在几何图形求面积中的运用．2a aa【作业9】设 m 和 n 均不为零， 3x 2 y 3 和 -5x 2+2m +n y 3 是同类项，则3m 3 - m 2n + 3mn 2 + 9n 3【难度】★★★【答案】 5597【解析】由题意可得： 2 + 2m + n = 2 ，解得 n = -2m ．所以原式= 3m 3 - m 2 ⨯ (-2m ) + 3m ⨯ (-2m )2 + 9 ⨯ (-2m )3 -55m 3 55 -97m 3 =【总结】本题主要考查同类项的概念和整体代入思想的运用．13⎛ m ⎫ 1⎭ 4 【难度】★★★【答案】【解析】由题意可得： ⎨ ，解得： m = 2 或者 m = 4 ， n = ± ⎪ 4n = 114⎛ m ⎫ 1 1 9 ⎭ 4 4 【总结】本题综合性较强，解题时注意对每一个条件的准确理解和运用．。
北师版数学七年级下册《1.7 整式的除法》第2课时 多项式除以单项式课件(新版18页)
方法总结：“被除式＝商×除式＋余式”.
例3 先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y， 其中 x＝2023，y＝2022.
解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y ＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y
北师版数学七下课件
第一章 整式的乘除
1.7 整式的除法
第2课时 多项式除以单项式
导入新课
复习引入 单项式相除：1. 系数相除；
2. 同底数幂相除； 3. 只出现在被除式里的幂不变.
练一练 (1) –12a5b3c÷(– 4a2b) = 3a3b2c
(2) (–5a2b)2÷5a3b2 = –a
(3)
6. 先化简，再求值：［(xy + 2)(xy－2)－2(x2y2－2)］÷xy， 其中 x = 1，y = －2. 解：[(xy + 2)(xy－2)－2(x2y2－2)]÷xy = [(xy)2－22－2x2y2 + 4]÷xy = (x2y2－4－2x2y2 + 4)÷xy = (－x2y2)÷xy =－xy. 当 x = 1，y =－2 时，原式 =－1×(－2) = 2.
方法2：类比有理数的除法
(ma
+
mb
+
mc)÷m
=
(ma
+
mb
+
mc)
•
1 m
= a + b + c.
商式中的项 a、b、c 是怎样得到的？你能总结出多项式
除以单项式的法则吗？
知识要点 多项式除以单项式的法则
浙教版2019年七年级数学下册第3章整式的乘除3.3第2课时复杂多项式的乘法及应用练习(含答案)
3.3 多项式的乘法第2课时复杂多项式的乘法及应用知识点复杂多项式乘多项式的运算较复杂多项式相乘，仍然遵循“先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”的法则．[注意] (1)多项式相乘要注意多项式每一项的符号；(2)多项式相乘的结果要化为最简．计算：(x－3)(2x2＋x－7)．一多项式乘多项式的简单应用教材例5变式题解方程：(x－1)(2x－1)＝x(x＋2)＋x2－1.[归纳总结] 解方程时，方程两边均化成整式，再移项，合并同类项，系数化为1即可．二利用多项式乘多项式解决实际问题教材补充题一个长方体的长为x cm，宽为(2x－3)cm，高为(x－1)cm，求这个长方体的体积．[反思] 若多项式(mx2＋8x－1)(2－3x)展开后不含x2项，求m的值．一、选择题1．下列计算正确的是( )A．a2·a3＝a6B．5a(b－3a2)＝5ab－15a3C．(a＋b)(a－2b)＝a2－2b2D．(x－1)(x2＋2)＝x3＋2x－22．计算(x－1)(x2－1)的结果是( )A．x3－1 B．x3－x2－x＋1C．x3－x＋1 D．x3－x2＋13．如果(x－4)(2x2－x＋8)＝2x3＋mx2＋nx－32，那么m，n的值分别是( )A．m＝9，n＝12 B．m＝9，n＝－12C．m＝－9，n＝12 D．m＝－9，n＝－124．如果三角形的一边长为2a＋4，这条边上的高为2a2＋a＋1，那么这个三角形的面积为( )A．2a3＋5a2＋3a＋2 B．4a3＋6a2＋6a＋4C．(2a＋4)(2a2＋a＋1) D．2a3＋25．要使(x2＋px＋2)(x－q)的乘积中不含x2项，则p与q的关系是( )A．互为倒数B．互为相反数C．相等D．关系不能确定6．由m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc，可得(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3，即(a ＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.我们把这个等式叫做多项式乘法的立方公式．下列应用这个公式进行的变形不正确的是( )A．(x＋4y)(x2－4xy＋16y2)＝x3＋64y3B．(2x＋y)(4x2－2xy＋y2)＝8x3＋y3C．(a＋1)(a2＋a＋1)＝a3＋1D．x3＋27＝(x＋3)(x2－3x＋9)二、填空题7．计算：(5b＋2)(2b－1)＝________；(3a2－2)(3a＋2)＝________．8．2015·菏泽若x2＋x＋m＝(x－3)(x＋n)对x恒成立，则n＝________．9．三个连续整数中，n是最小的一个，这三个数的乘积为________．10．(x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展开式中，x4的系数是________．11．已知一个梯形的上底是(x＋y)cm，下底是(5x－3y)cm，高是(2x＋y)cm，则用含x，y的代数式表示梯形的面积为________ cm2.三、解答题12．计算：(1)(a＋2)(a－2)(2a－1)；(2)3(x2＋2)－3(x＋1)(x－1)；(3)(2a－b)2－(b2＋a－1)(2a＋1)．13．确定下列各式中m的值．(1)(x＋4)(x＋9)＝x2＋mx＋36；(2)(x＋3)(x＋p)＝x2＋mx＋36.14．解方程：x(2x＋3)－(x－5)(x＋3)＝x2＋1.15．李老师刚买了一套2室2厅的新房，其结构如图3－3－3所示(单位：米)．施工方已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖，李老师打算把卧室1铺上地毯，其余铺地板砖．问：(1)他至少需要多少平方米的地板砖？(2)如果这种地板砖每平方米m元，那么李老师至少要花多少钱买地板砖？图3－3－3[创新题] (1)计算下列各式：(x－1)(x＋1)＝__________；(x－1)(x2＋x＋1)＝__________；(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝__________．(2)从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格．(x－1)(______________)＝x6－1.(3)利用你发现的规律计算：(x－1)(x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)＝__________.(4)利用该规律计算：1＋4＋42＋43＋ (42017)详解详析【预习效果检测】解：(x －3)(2x 2＋x －7)＝2x 3＋x 2－7x －6x 2－3x ＋21＝2x 3－5x 2－10x ＋21. 【重难互动探究】例1 解：两边去括号，得2x 2－x －2x ＋1＝x 2＋2x ＋x 2－1.合并同类项，得2x 2－3x ＋1＝2x 2＋2x －1. 化简，得5x ＝2. 所以原方程的解为x ＝25.例2 [解析] 长方体体积的计算公式为V ＝长×宽×高． 解：根据题意，这个长方体的体积为 V ＝x(2x －3)(x －1)＝x(2x 2－2x －3x ＋3)＝x(2x 2－5x ＋3)＝(2x 3－5x 2＋3x)(cm 3)． 【课堂总结反思】[反思] (mx 2＋8x －1)(2－3x)＝2mx 2－3mx 3＋16x －24x 2－2＋3x ＝－3mx 3＋(2m －24)x 2＋19x －2.因为多项式展开后不含x 2项，所以2m －24＝0，解得m ＝12.[点评] 多项式相乘后不含某一项，说明合并同类项后此项的系数为零． 【作业高效训练】 [课堂达标] 1．B 2.B 3.C4．[解析] A 三角形的面积＝12×底×高＝12×(2a＋4)×(2a 2＋a ＋1)＝(a ＋2)(2a 2＋a ＋1)＝2a 3＋a 2＋a＋4a 2＋2a ＋2＝2a 3＋5a 2＋3a ＋2.5．[解析] C 原式＝x 3－qx 2＋px 2－pqx ＋2x －2q ＝x 3＋(p －q)x 2＋(2－pq)x －2q ，由于不含x 2项，故p －q ＝0，即p ＝q.6．C7．[答案] 10b 2－b －2 9a 3＋6a 2－6a －4 8．[答案] 49．[答案] n 3＋3n 2＋2n 10．[答案] 111．[答案] (6x 2＋xy －y 2)12．解：(1)原式＝(a 2－4)(2a －1)＝2a 3－a 2－8a ＋4.(2)原式＝3x 2＋6－3(x 2－1)＝3x 2＋6－3x 2＋3＝9.(3)原式＝4a 2－2ab －2ab ＋b 2－(2ab 2＋b 2＋2a 2＋a －2a －1)＝4a 2－4ab ＋b 2－2ab 2－b 2－2a 2－a ＋2a ＋1＝2a 2－2ab 2－4ab ＋a ＋1.13．解：(1)因为(x ＋4)(x ＋9)＝x 2＋mx ＋36，所以x 2＋13x ＋36＝x 2＋mx ＋36， 所以m ＝13.(2)因为(x ＋3)(x ＋p)＝x 2＋mx ＋36，所以x 2＋(3＋p)x ＋3p ＝x 2＋mx ＋36，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋p ＝m ，3p ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝15，p ＝12.所以m ＝15.14．解：2x 2＋3x －x 2－3x ＋5x ＋15＝x 2＋1. 2x 2＋3x －x 2－3x ＋5x －x 2＝1－15. 5x ＝－14，解得x ＝－145.所以原方程的解为x ＝－145.15．解：(1)用总面积减去厨房和卫生间的面积，再减去卧室1的面积即是所铺地板砖的面积，列式为5b·5a－(5b －3b)·(5a－3a)－(5a －3a)·2b＝17ab(米2)． (2)所花钱数：17ab·m＝17abm(元)． [数学活动]解： (1)x 2－1 x 3－1 x 4－1(2)发现规律：(x －1)(x n －1＋x n －2＋…＋x ＋1)＝x n－1. x 5＋x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1(3)x 7－1(4)因为(1＋4＋42＋43＋…＋42017)(4－1)＝42018－1， 所以1＋4＋42＋43＋…＋42017＝42018－13.。
第3章 3.3 第2课时 多项式及其有关概念
解：该同学的解法不对，错在第(1)步．正确解法 如下：由题意可知，原多项式的最高次项是－5xmy3， 所以 m＋3＝6.解得 m＝3.所以原多项式为－5x3y3＋ 104x3－4xy2.
(1)按上述方法把下列多项式重新排列． ①3x－2＋x2－y2＋y－2xy； ②5m－3mn－2＋m2； ③a2－3a＋5b－b2－1. (2)按上述方法写出一个关于 x，y 的三次十项式， 其中各项系数及常数均为 1.
解：(1)①x2－2xy－y2＋3x＋y－2； ②m2－3mn＋5m－2； ③a2－b2－3a＋5b－1. (2)x3＋x2y＋xy2＋y3＋x2＋xy＋y2＋x＋y＋1.
2. 把一个多项式各项按某个字母指数_从__小__到__大__ 的顺序重新排列，叫做按这个字母的升幂排列．
知识点 多项式及其有关概念
1. 多项式 x2y3－3xy3－2 的次数和项数分别为
(A)
A．5，3
B．5，2
C．2，3
D．3，32. 下列多项式：①x2源自2x＋1；②a2＋2ab＋b2；③
m2－1；④x－2xy＋y.其中是二次三项式的有( C )
解：(2)因为 3x2－4x＋6＝9，所以 3x2－4x＝3，所 以 x2－43x＝1，故 x2－43x＋6＝7.
(3)将 x＝2，y＝－4 代入 ax3＋12by＋5＝2017，得 4a－b＝1006，将 x＝－4，y＝－21代入 3ax－24by3＋2 得：－12a＋3b＋2＝－3(4a－b)＋2，因为 4a－b＝1006， 所以原式＝－3×1006＋2＝－3016.
人教版七年级数学上册整式第二课时课件
【问题2】
100t , 0.8 p和 a 2h 这三个式子的运算
含义是什么？ 学科网
【问题3】
（1）观察式子100t ，0.8 p ，m n ，a 2h，n，
这些式子zxx有kw 什么特点？
zxxkw
单项式定义：表示数或字母的积的式子叫做 单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
zxxkw
学科网
【解析】因为-mxny是关于x,y的一个单项式，且系数为3，所
以-m=3,m=-3.又因为它的次数是4，所以n+1＝4，n＝3,所
以m+n=-3+3=0.
(1)一个两位数，个位数字为x,十位数字为y，则该数为____.
zxxkw
活动：“人人来当老师”
以小组为单位，每个小组学生说出一个 单项式zxxkw，然后请另学科网一个小组的学生回答出所 说单项式的系数和次数，看哪一组题目出得 正确，看哪一组回答得快而准.
选做作业：
1.自己写出一个单项式，并赋予它两个以上 的实际意义；
2.自己写出两个单项式，并写出它的系数和 次数.
zxxkw
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二上午9时11分19秒09:11:1922.4.12
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
cm3 ；
（4）一台电视机原价 a 元，现按原价的9折出售，
这台电视机现在的售价是
元；
（5）一个长方形的长是0.9 m，宽是a m ，这个长方
中考数学复习 第一章数与式数与式 第2课 整式及其运课件
解：(2)∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy， ∴2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)＝72－25＝24， ∴x－y)2＝x2＋y2－2xy＝25－24＝1. ∵x>y，∴x－y＝ 1 ＝1.
探究提高 1.算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，
任何时候都要遵循先化简，再求值的原则. 2.在利用完全平方公式求值时，通常用到以下
探究提高 整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先 去括号．只要算式中没有同类项，就是最后的结果．
知能迁移1 (1)(2011·义乌)下列计算正确的是( D )
A．x2＋x4＝x6
B．2x＋3y＝5xy
C．x6÷x3＝x2
D．(x3)2＝x6
解析：(x3)2＝x3×2＝x6.
(2)(2011·台北)化简(－4x＋8)－3(4－5x)，
题型四 整式的混合运算及求值
【例4】 (本题5分)先化简，再求值： 3x(x2－x－1)－(x＋1)(3x2－x)，其中x＝－1 . 2
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：原式＝3x3－3x2－3x－(3x3－x2＋3x2－x)
[2分]
＝3x3－3x2－3x－3x3＋x2－3x2＋x
＝－5x2－2x.
3．整式： 单项式和多项式 统称为整式． 4．同类项：多项式中所含 字母 相同并且 相同字母的指数 也
相同的项，叫做同类项．
6．整式乘法： 单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积 的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作 为积的一个因式． 单项式乘多项式：m(a＋b)＝ ma＋mb . 多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ ac＋ad＋bc＋bd .
第2个图形所需的棋子数为11＝6×2－1. 第3个图形所需的棋子数为17＝6×3－1， …… 第n个图形所需的棋子数为6n－1.