二次函数中的焦点与准线问题
高中数学解析几何中的焦点与准线问
高中数学解析几何中的焦点与准线问高中数学解析几何中的焦点与准线问题在高中数学的解析几何领域，焦点与准线是两个极为重要的概念。
它们不仅是圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的核心要素，也是解决众多相关问题的关键所在。
首先，让我们来了解一下什么是焦点和准线。
焦点，简单来说，就是圆锥曲线上一个特殊的点，它具有特定的几何性质。
对于椭圆，两个焦点的位置决定了椭圆的形状和大小；对于双曲线，两个焦点的距离与双曲线的形态密切相关；而对于抛物线，焦点则位于对称轴上。
准线，则是与焦点相对应的一条直线。
在圆锥曲线中，动点到焦点的距离与动点到准线的距离之比是一个定值，这个定值就是离心率。
以椭圆为例，假设椭圆的标准方程为\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞b ＞0\）），其焦点在\（x\）轴上，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼），其中\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
准线方程为\（x ＝＼pm ＼frac{a^2}｛c}＼）。
在解决椭圆相关的问题时，焦点和准线常常能发挥重要作用。
比如，已知椭圆上一点到焦点的距离，求该点到准线的距离，就可以利用上述的距离比例关系。
再来看双曲线。
双曲线的标准方程分为两种情况：焦点在\（x\）轴上时，方程为\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）；焦点在\（y\）轴上时，方程为\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
同样地，双曲线也有焦点和准线，并且通过焦点和准线的性质，可以解决很多与双曲线相关的距离、最值等问题。
抛物线是一种特殊的圆锥曲线，其标准方程有多种形式。
例如，当抛物线开口向右时，方程为\（y^2 ＝ 2px\）（＼（p ＞ 0\）），焦点坐标为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
在实际解题过程中，焦点和准线的应用非常广泛。
抛物线及其标准方程 课件
分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.你能发
现点M满足的几何条件吗？
M H
E
mm
F
l
抛物线的定义:
H
在平面内,与一个定点F
和一条定直线l(l不经过点F)
距离相等的点的轨迹叫做抛 l
物线.
准线
点F叫做抛物线的焦点,
直线l 叫做抛物线的准线.
想一想：定义中当直线l 经过定 点F，则点M的轨迹是什么?
【例1】(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦
点坐标和准线方程．
(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程.
解:(1)因为ｐ＝３，故抛物线的焦点坐标为 （ 3，,0）
准线方程为 x 3 .
2
2
(2)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且 p 2, p 4,
2
故所求抛物线的标准方程为x2=-8y.
d M·
C
焦点
·F
一条经过点F且 垂直于l 的直线
l
·F ······
探究点2 抛物线的标准方程
化 列设建简式点系
以过点F且垂直于直线 l 的直线为x轴,垂足为K.以
FK的中点O为坐标原点建
立直角坐标系xOy.
· H yd M（x,y） K O··F x
设M（x，y）是抛物线上任意一点，
点M到l的距离为d．
A
的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.
设抛物线的标准方程是
y2 2 px( p 0),
O
.F
x
由已知条件可得，点A的坐标是 （0.5，2.4），代入方程得
2.42 2 p 0.5 ,即p=5.76.
B
(2)
所以，所求抛物线的标准方程是 y2 11.,5焦2x
课件3：2.3.1 抛物线及其标准方程.
四种不同标准形式的抛物线方程
图形
标准 y2＝2px
方程 (p＞0)
焦点 坐标
p2，0
准线 方程
x＝－p2
y2＝－2px (p＞0) －p2，0
x＝p2
x2＝2py (p＞0) 0，2p
y＝－p2
x2＝－2py (p＞0) 0，－p2
y＝p2
知识点一、抛物线概念的理解与应用
例 1、 (1)抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点 A(6，y0)，且点 A
【变式训练】
(1)抛物线 x2＝4y 上一点 A 的纵坐标为 4，则 A 点到抛物
线焦点的距离为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
(2)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1 外切，又与直线 x＋1＝0 相
切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
【解析】 (1)由抛物线的定义，点 A 到焦点的距离等于 它到准线的距离，而 A 到准线的距离为 4＋2p＝4＋1＝5.(2)由 题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线 x＋1＝0 的距 离大 1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2 为准线 的抛物线，其方程为 y2＝8x.
(2)若行车道总宽度 AB 为 7 米，请计算通过隧道的车辆 限制高度为多少米(精确到 0.1 米)?
【思路探究】 (1)如图所示数据，你能求出抛物线的方 程吗？
(2)车辆限制高度是什么意思？由题意该求哪些量？
【自主解答】 如图所示
(1)依题意，设该抛物线的方程为 x2＝－2py(p＞0)， 因为点 C(5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为 x2＝－5y.
抛物线及标准方程
(2) x2+8y=0
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）焦点是F（-3 ，0） y=1／4
（3）焦点到准线的距离是2
（2）准线方程是
例题2、一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星 波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天 线，，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径 （直径）为4．8m，深度为0、5m，试建立适当的 坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
(0 , -
p ) 2
y=
p 2
1. 都有条件P>0（P是焦点到准线的距离）
2 .ｘ、ｙ的次数和一次项系数的符号与焦点的位置有关。 3. 由一次项的系数确定焦点坐标和准线方程。 4.焦点在对称轴上。 5.一次项的系数除以4等于P/2
问题8、二次函数的图像与抛物线 有什么区别和联系？指出抛物线 y=ax2(a≠0)的焦点坐标、准线方 程。 四、知识应用
问题9、例题2中的问题还可以建立不同的直 角坐标系来解决吗？能直接写出标准方程和 焦点坐标吗？ 标准方程是y2=-11﹒52x ,焦点坐标是(2﹒88,0) 标准方程是x2=11﹒52y ,焦点坐标是(0, 2﹒88)
标准方程是x2=-11﹒52y,焦点坐标是(0, -2﹒88)
五、归纳总结 1、抛物线定义（一动三定） 2、抛物线的标准方程（焦点位置与方程形式的关 系 3、抛物线标准方程的应用
例题1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 =6x 求它的焦点坐标和准线方程。 （2）已知抛物线的焦点是F(0 ,-2)求它的标准 方程。
解、（1）焦点坐标是（3／2，0） 准线方程是x=-3／2.
(2)由焦点坐标知p=2 标准方程是x2= -2y.
练习题、写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程
抛物线及其标准方程 课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册 (2)
y
. M(x,y)
化简得：y 2
2
px
p
2
(
p
0)
O
.
F
x
l
学习新知 二、标准方程的推导
方案二：以定点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标
系（如下图所示），则定点F(0,0) ，l的方程为 x p
设动点 M (x, y)，由抛物线定义得 x2 y2 x p
y p 2
2
化简得： 2 px ( p 0)
焦点坐标
( p ,0) 2
( p ,0) 2
(0，p ) 2
(0， p ) 2
准线方程
xp 2
xp 2
yp 2
y p 2
深入学习
P132思考： 二次函数 y ax2 (a 0的) 图像为什么是抛物线？
y ax2 (a 0) x2 1 y 1 2 p
a
a
当a>0时与当a<0时，结论都为：
小结
1.抛物线的定义 2.抛物线的标准方程与其焦点、准线
3.四种不同类型抛物线图象的特征及判断方法
抛物线 似彩虹 神舟飞 看今朝
两端长 如桥梁 国兴旺 我辈忙
遥遥长臂向远方 世间英雄竟畅想 主宰世界非天王 漫漫学路志昂扬
愿我们能乘着知识的翅膀，遨游苍穹------
划出一道美丽的抛物线！
临沂一中 李福国
3.3.1 抛物线及其标准方程（一）
学习新知
球在空中运动的轨迹是抛物线规律,那么抛物线它有怎样的几何 特征呢? 二次函数 y ax2 bx c(a 0) 又到底是一条怎样的抛物线?
复习回顾 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上)
二次函数中a、b、c的符号
a控制开口方向，b控制位置，c控制准线位 置。
关于a的符号和含义
a>0
函数开口向上，形如"U"字形。
a<0
函数开口向下，形如"∩"字形。
a=0
所表示的函数变成一条直线。
关于b的符号和含义
b>0
函数图像位于y轴下方。
b<0
函数图像位于y轴上方。
b=0
所表示的函数为横轴。
关于c的符号和含义
二次函数与指数函数的图像 形状和特点。
二次函数与对数函数的图像 形状和特点。
二次函数的几何图形关联
与抛物线的关联
二次函数与抛物线的图像形状和性 质。
与圆的关联
二次函数与圆的图像形状和性质。
与椭圆的关联
二次函数与椭圆的图像形状和性质。
二次函数中a、b、c的符 号
二次函数的概念、表示方法以及a、b、c的符号表示法和含义，以及它们对函 数的图像、开口方向、位置等的影响。
二次函数基础知识
1
如何表示二次函数？
2
二次函数可以用函数的解析式或图像来表示。
3
什么是二次函数？
二次函数是一种形如y=ax^2+bx+c的函数， 其中a、b、c是常数。
二次函数的应用
1 二次函数与实际问题
2 函数最值和极值的求
二次函数在物理、经济等领
解方法
3 变量的范围限制和解
决方法
域中的应用非常广泛。
寻找二次函数的最大值和最
如何确定二次函数中变量的
小值的方法。取Βιβλιοθήκη 范围。二次函数与其他函数的比较
1 与一次函数的比较
2 与指数函数的比较
函数与抛物线 -回复
函数与抛物线 -回复抛物线是数学中常见的曲线之一，它可以用二次函数来表示。
而在函数中，抛物线也起到了重要的作用。
本文将从函数与抛物线的关系、抛物线的特点以及函数与抛物线的应用等方面进行探讨。
一、函数与抛物线的关系函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
而抛物线则是一种特殊的曲线，它具有对称性和单调性等特点。
在函数中，抛物线可以通过二次函数来表示。
二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数。
二、抛物线的特点抛物线具有以下几个特点：1. 对称性：抛物线关于其顶点具有对称性。
对于二次函数y=ax²+bx+c来说，其顶点的横坐标为-x₀/2a，纵坐标为f(-x₀/2a)。
2. 开口方向：抛物线的开口方向由二次函数的系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 焦点与准线：抛物线还具有焦点和准线。
焦点是抛物线上所有点到直线（准线）的距离都相等的点，而准线则是与抛物线关于焦点对称的一条直线。
4. 零点：抛物线与x轴的交点称为零点。
对于二次函数y=ax²+bx+c来说，求解零点可以利用求根公式或配方法。
三、函数与抛物线的应用函数与抛物线的关系在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 物体的抛射运动：当一个物体在重力作用下进行抛射运动时，其运动轨迹可以用抛物线来描述。
通过函数可以计算物体的运动轨迹、最大高度、最大距离等信息。
2. 反射与聚焦：光线在镜面或折射体上的反射和折射也可以用函数和抛物线来描述。
例如，抛物面反射镜和抛物面透镜都具有聚焦的作用，可以用函数和抛物线来表示其光学特性。
3. 弹道学：在弹道学中，函数与抛物线的关系被广泛应用。
例如，炮弹的弹道轨迹、导弹的飞行轨迹等都可以用抛物线来描述，通过函数可以计算出其飞行时间、最大射程等参数。
4. 抛物线天线：在通信领域，抛物线形状的天线被广泛应用于卫星通信和射频信号接收等方面。
高中抛物线定义
高中抛物线定义高中抛物线定义一、概述抛物线是一种常见的二次曲线，其形状像一个开口朝下的U形。
在高中数学中，抛物线是重要的内容之一，学生需要了解其定义、性质和应用等方面的知识。
二、定义抛物线可以通过以下两种方式来定义：1. 定义为平面上到定点（焦点）距离等于到直线（准线）距离的点的集合。
其中，焦点和准线分别位于抛物线的对称轴上。
2. 定义为二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）所表示的图像。
其中，a决定了抛物线开口朝上还是朝下，b决定了对称轴的位置，c决定了与y 轴相交的位置。
三、性质1. 对称性：抛物线关于对称轴对称。
2. 焦点性质：从焦点出发到抛物线上任意一点所经过时间相等。
3. 准线性质：从准线上任意一点出发到抛物线上任意一点所经过时间相等。
4. 切线斜率：在某个点处的切线斜率等于该点处切线与准线之间连线斜率的两倍。
5. 焦距公式：焦距f等于对称轴与准线的距离的一半。
6. 顶点坐标：当抛物线开口朝上时，顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a）；当抛物线开口朝下时，顶点坐标为（-b/2a，c+b²/4a）。
7. 焦点坐标：焦点坐标为（-b/2a，c-b²/4a+f）或（-b/2a，c+b²/4a-f），其中f为焦距。
四、应用1. 物理学中的应用：抛物线可以用来描述物体在重力作用下的运动轨迹。
例如，投掷运动中的物体在空气阻力忽略不计的情况下，其运动轨迹就是一个抛物线。
2. 工程学中的应用：抛物线可以用来设计反射面和天线等。
例如，在卫星通信领域中，天线可以通过精确设计成抛物面来实现更好的接收和发送效果。
3. 经济学中的应用：抛物线可以用来描述成本、收益和利润等经济指标之间的关系。
例如，在制定价格策略时，企业可以通过分析成本和收益之间的抛物线关系来确定最优价格。
五、总结高中抛物线定义是数学中的重要内容，学生需要掌握其定义、性质和应用等方面的知识。
通过深入了解抛物线，可以帮助学生更好地理解二次函数、几何和物理等相关概念。
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二次函数中的焦点与准线问题
【例题讲解】
（2011年·黄冈市）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线
交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．
⑴求b的值．
⑵求x1?x2的值
⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1
的形状，并证明你的结论．
⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相
切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．
解：⑴b=1
⑵显然
和
是方程组
的两组解，解方程组消元得
，依据“根与系数关系”得x1·x2=－4.
⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则
F1M1?F1N1=－x1?x2=4，而FF1=2，所以F1M1?F1N1=F1F2，另有
∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故
∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角
形．
⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：
直线y=－1即为直线M1N1．
如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为
,计算知NN1=
， NF=
，得NN1=NF
同理MM1=MF．
那么MN=MM1＋NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=
（MM1＋NN1）=
MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切．
通过此题，可以得到如下一些性质：
性质1：①x1x2=-4; ②x1+x2=4k; ③y1y2=1; ④y1+y2=4k2+2
性质2：M1F⊥FN1
性质3：NF=NN1，MF=MM1，MN=MM1+NN1.
性质4：MQ，NQ分别为∠M1MN，∠N1NM的平分线.
性质5：FQ⊥MN.
性质6：在直角梯形MM1N1N中，以M1N1为直径的圆与MN相切，切点为F.
性质7：
性质8：MQ⊥M1F,NQ⊥N1F,且MQ与M1F和NQ与N1F的交点在x轴上.
性质9：点M，O，N1共线；N，O，M1共线.
【练习巩固】
1.(2014年湖北咸宁) 如图1，P（m，n）是抛物线
上任意一点， l是过点（0，
）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．
【探究】
（1）填空：当m＝0时，OP＝ ，PH＝ ；当m＝4时，OP
＝ ，PH＝ ；
【证明】
（2）对任意m，n，猜想OP 与PH的大小关系，并证明你的猜想．
【应用】
（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线
上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．
2. （2013?南宁）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣
1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x
轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时
的值；
②试说明无论k取何值，
的值都等于同一个常数．
3.（2015·四川资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线
y=
x2相交于B、C两点.
（1）如图13-1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；
（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，
与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平
行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图13-2，设
(m<0)，过点
的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并
说明理由．
4.（2015年福建泉州）抛物线y=
x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一
性质解决问题．
问题解决
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=
x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两
点．
（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；
（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．
①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；
②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试
求CP的取值范围．
5.抛物线y=
x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2,2）的直线交该抛物线于点M，N两点
（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B.
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示）,再求
m的值；
（2）设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB；
（3）若射线NM交x轴于点P,且PA?PB=
,求点M的坐标．
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